Fungsional Aditif Ortogonal pada W 0 (E) di dalam R n. Riyadi. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret

Transkripsi

1 JM Volue I Noor Deseer 0 Fugsoal Ad Orogoal pada W 0 () d dala R Ryad Faulas Kegurua da Ilu Pedda Uversas Seelas Mare Asrac Ths paper dscusses aou a represeao heore o a orhogoally addve ucoal o W 0 () M() ha s a colleco o all McShae egrale ucos o a cell = a ucldea space R whch sases soe cera properes. Ths resul s a geeralzao o Chew resul. Key words : orhogoally addve ucoal McShae egrale ucldea space R. PNDAHULUAN Peela yag eahas eag ugsoal lear da ugsoal ad orogoal elah aya dlaua oleh para peel erdahulu daaraya elah dlaua oleh Hlderad (966) Chew (985) Paredes (993) da Aye da Lee (00a ). Chew (985) da Lee (989) eahas eag represeas ugsoal lear da ugsoal ad orhogoal yag eerja pada ruag ugs yag eregral Hesoc yag ddesa pada erval [a] R. gars lurus. Sedaga Paredes (993) erhasl eggeeralsasa hasl-hasl yag dperoleh Chew dega cara egeaga ruag ugs aru yag erupaa asras dar ruag ugs yag elah ddesa Chew au ruag ugs erseu juga ash ddesa pada erval [a] R. Hlderad (966) eahas eag represeas ugsoal lear ou pada ruag BV[a] ruag ugs yag ervaras eraas yag ddesa pada [a]. Sedaga Aye da Lee (00a 00 da 003) eahas eag ugsoal ad orogoal yag eerja pada ruag ugs yag ervaras eraas yag ddesa pada [a]. Maalah erupaa geeralsas dar hasl Chew (985) hususya geeralsas eag represeas ugsoal ad orogoal pada ruag ugs W 0 dega : 9

2 JM Volue I Noor Deseer 0 : 0 uu W o = yag seula ddesa pada ruag ugs yag eregral Leesgue yag ddesa pada erval [a] R dgeeralsasa uu ruag ugs yag eregral McShae yag ddesa pada sel a d dala ruag uclde R. TORI-TORI DASAR Fugsoal T pada ruag ugs X daaa ad orogoal ja T ( + g) = T () + T (g) asala g X da g epuya suppor yag salg asg. Suppor ugs X duls supp() ddesa supp()= do() :() 0. Berdasara pegera dperoleh ahwa dua ugs da g daaa epuya suppor yag salg asg ja ()g()=0 uu seap. Dala aalah R eyaaa oles seua laga real P() eyaaa oles seua pars Leesgue pada da M() eyaaa oles seua ugs yag eregral McShae pada sel =a. Telah deahu ahwa M() erupaa ruag lear da ruag egral ula. Teorea.. Deahu =a sel da M() eyaaa oles seua ugs yag eregral McShae pada sel. Ja M() aa erdapa arsa ugs sederhaa s pada sehgga s hapr d aa-aa pada uu da s uu seua. Teorea.. Deahu =a sel da : R uu seap. Ja : 0

3 JM Volue I Noor Deseer 0 () hapr d aa-aa uu da M() uu seap. () M hapr d aa-aa pada uu seap da suau laga M0. aa M() da l. HASIL DAN PMBAHASAN Karaers Ruag Fugs W o () D dala aalah R eujua ruag uclde des R eujua sse laga real da R eujua sse laga real yag dperluas. Deahu R daaa euju a hgga duls ja. Des 3.. Deahu = R dega > da : R ugs eruur da eregral McShae pada. Ddesa ruag W 0 () seaga eru : W 0 () = M : l [ ] 0. Teorea 3.3. W 0 () erupaa ruag Baach erhadap ora sup : [ ]. Bu : Dala hal haya aa dujua ahwa W 0 () legap. Al searag arsa Cauchy W 0 () yau uu seap laga > 0 erdapa laga asl N sehgga ja N erlau <. Al searag selajuya deu pars McShae P = I sehgga erupaa salah sau eraya. Fugs M() da M() erupaa ruag lear aa - M() da area M() ruag egral ula aa - M(). Oleh area u

4 JM Volue I Noor Deseer 0 uu seap laga > 0 erdapa ugs posp pada sehgga uu seap pars McShae P = I pada erlau : d P I < d P I < I P < d + < + = Aaya erlau I P() erlau: I I < uu seap I < I < aau P() hususya uu uu seap > 0. Hal erar arsa erupaa arsa Cauchy d dala R oleh area u erdapa ugs yag eregral McShae pada dega > sehgga hapr d aaaa pada yau uu seap laga > 0 erdapa laga asl N sehgga ja > N erlau : hal eraa : < = uu seap > sup : [ ] < < Dega aa la arsa overge ora e ugs. Leh laju dperoleh :

5 JM Volue I Noor Deseer 0 l [ ] l [ ] + l [ ] < uu seap laga > 0. Jad l [ ] = 0 hal erar W o. Jad W o legap oleh area u W o erupaa ruag Baach. Teorea 3.4. Deahu = R sel dega >. Nora. pada ruag W o () seper dasud pada Teorea 3.3.eeuh sa : Ja arsa W o () overge ora e suau ugs W o () aa erdapa arsa aga hapr d aa-aa pada da Bu : Al searag arsa h uu seap W o () sehgga da h W o () sehgga. overge ora e suau ugs W o () yau uu seap laga > 0 erdapa laga asl N sehgga ja N erlau : < (*) Al searag selajuya deu pars McShae P = I sehgga erupaa salah sau eraya. Fugs M() da M() erupaa ruag lear aa - M() da area M() ruag egral ula aa - M(). Oleh area u uu seap laga > 0 erdapa ugs posp pada sehgga uu seap pars McShae P = I pada erlau: d P I < d P I < P I < d + < + = 3

6 JM Volue I Noor Deseer 0 Aaya erlau I erlau : I I < uu seap I < I < aau P() hususya uu uu seap > 0. Hal erar arsa overge de e ugs hapr d aa-aa pada..... (**) Berdasara (*)uu seap laga asl erdapa laga asl N erlau : N sehgga ja () < uu seap Aaya dperoleh : + < + < Hal erar uu seap laga > 0 erdapa laga asl N sehgga ja N erlau N <. Selajuya deu arsa-arsa h. Jelas ahwa g g dah dega g da h W o () uu seap. Selajuya al searag da apa egurag ar dapa daggap > dperoleh : g g = = Khususya ja > N erlau : 4

7 JM Volue I Noor Deseer 0 g g N <. Hal erar ahwa arsa g erupaa arsa Cauchy d dala W o () yag legap. Jad overge. Dega cara yag saa dapa dujua ahwa juga overge. Oleh area u uu seap da seap erlau : j j j j j j j j j <. j j j Al N o = as {N N } aa erdasara (**) uu seap laga > 0 da N o erlau : j j j j = = <. Hal erar ahwa uu seap arsa j j overge de e j ugs hapr d aa-aa pada. Aaya : = l j j j l j j j j uu seap sehgga j j + uu seap. = j j j Al h = j j + aa h W o (). Jad erdapa arsa aga da h W o () sehgga. j hapr d aa-aa pada Represeas Fugsoal Ad Orogoal pada W 0 d dala R Lea 4.. da h uu seap 5

8 JM Volue I Noor Deseer 0 Deahu = R sel dega >. Ja F ugsoal ad orogoal da ou eraas pada ruag W 0 () aa erdapa ugs : R R eregral McShae erhadap pada uu seap R dega 0 seua da erlau : F s = s d uu seap ugs sederhaa s pada. sehgga = 0 uu hapr Bu : Karea F ou eraas uu seap laga >0 da erdapa laga > 0 sehgga ja < aa ou ula erhadap () F <. Dega aa la F seaga ugs hpua Selajuya ja dega = uu j aa erlau : o o j F = F l = l F = F hpua yag ad da erhug () Dar () da () aa euru Teorea Rado-Nody erdapa ugs F. Hal erar F erupaa ugs * pada sehgga * * d uu seap. Selajuya ddesa ugs = seap da R. Ja = 0 aa F seap. Jad 0 F = 0 oleh area u * 0 uu = 0 uu = uu hapr seua. Selajuya al searag hpua sederhaa s pada dega s = dega hpua eruur yag sepasagsepasag salg asg da aa dperoleh : F s = F = d = s d = s d. 6

9 JM Volue I Noor Deseer 0 Lea 4.. Deahu = R sel dega > F ugsoal ad orogoal da ou eraas pada ruag W o () da : R R ugs yag dperoleh pada Lea 4.. Ja uu seap laga > 0 da seap erval eruup eraas P = [-dd] dega d > 0 deu laga-laga : ; P = W ; sup d : P da da = W ; P; W ; P sup : j uu j aa l W ; P 0 0 uu seap erval P. Bu : Ja 0 < da P dega aa. Hal eraa ja 0< aa W ; P W ; P. Jad e P W ; : 0 uru ooo da eraas e awah da salah sau aas awahya adalah 0. Oleh area l W ; P 0 ada. Adaa l W ; P 0 uu suau laga >0. Berdasara desya erdapa hpua salg asg dega sehgga Selajuya uu seap d da laga-laga d da ddesa hpua-hpua : >. 0 da : da juga ddesa ugs-ugs : da g Jelas ahwa g W0 da erlau : 7

10 JM Volue I Noor Deseer 0 8 = : ] [ sup = : sup : sup : sup d d = d : sup = d Dega cara yag saa dperoleh : d g. Leh laju dperoleh : g = - = Aalog dega cara d aas juga dperoleh : g d. Karea F ou da eraas aa g F F <. Dar pha la dperoleh : g F F = = - =

11 JM Volue I Noor Deseer 0 = = = > Korads jad pegadaa salah oleh area u yag ear adalah l W ; P 0 0 Lea 4.3. Deahu = R sel dega >. Ja F ugsoal ad orogoal da ou eraas pada ruag W o () aa ugs. : R R ugs yag dperoleh pada Lea ou seraga pada seap erval eruup eraas P R da uu seap. Bu : Al searag da searag erval eruup eraas P R. Meuru Lea 4.. dperoleh l W ; P 0 = 0 yau : 0 = l 0 sup W P; ; : j j l 0 sup d : P da l 0 d : P da Hal erar ja P dega erlau : l 0 d = 0 yau uu seap laga >0 erdapa laga >0 sehga ja P dega erlau : d < 9

12 JM Volue I Noor Deseer 0 Al searag selajuya deu pars McShae P = I sehgga erupaa salah sau eraya. Fugs lear aa - M() da area M() ruag egral ula aa M() da M() erupaa ruag - M(). Oleh area u uu seap laga > 0 erdapa ugs posp pada sehga uu seap pars McShae P = I -e pada erlau: d P I < d P I < P I < d + Ddesa laga = : jelas ahwa > 0 da selajuya dplh laga o = { } aa dperoleh : P I < + = Aaya erlau I P() erlau: > 0. I I < uu seap I < aau < I P() hususya uu uu seap Jad uu seap laga >0 erdapa laga o >0 sehga ja P dega erlau 0 < I. Dega aa la ugs ou seraga pada seap erval eruup eraas PR da uu seap. Teorea 4.4. Deahu = R dega >. Fugsoal F ad orogoal da ou eraas pada ruag W o () ja da haya ja erdapa ugs Caraheodory : R R dega 30

13 JM Volue I Noor Deseer 0 0 = 0 uu hapr seua sehgga uu seap R da erlau : F = eregral McShae erhadap pada d uu seap ugs W o (). Bu : Syara cuup. Ja W o () aa erdapa arsa ugs sederhaa s pada sehgga s hapr daa-aa pada uu da s uu seua. Meuru Lea 4.3. ugs ou seraga pada seap erval eruup eraas PR da uu seap aaya: s hapr d aa-aa pada da erdapa laga M0 sehga s M area u euru Teorea Keovergea Terdoas da erlau : l s d = F s l = d d hapr d aa-aa pada. Oleh l s eregral McShae F = d Syara perlu. Al searag g W o () sehgga g yau aa-aa pada. Selajuya deu hpua-hpua : g = 0 hapr d A : g 0 B : 0da 0 da g dperoleh : F g = g d = g d = d + g = F + F g d C : 0 Jad F ad orhogoal pada W o (). 3

14 JM Volue I Noor Deseer 0 Selajuya al searag W o () da searag arsa W o () sehga overge eraas e ugs hapr daa-aa pada yau erdapa laga M 0 sehgga M uu sep da hapr d aa-aa pada. Karea ugs ou seraga pada seap erval eruup eraas PR da uu seap aa erdapa laga N0 sehgga N uu seua da hapr d aa-aa pada. Oleh area u euru Teorea Keovergea Terdoas erlau : l d = eraas paada W o (). d l F = F. Dega aa la F ou PNUTUP Berdasara hasl da peahasa dperoleh espula ahwa syara perlu da cuup agar ugsoal F ad orogoal da ou eraas pada ruag W o () adalah adaya ugs Caraheodory da : R R yag epuya sa 0 eregral McShae erhadap pada uu seap R. = 0 uu hapr seua DAFTAR PUSTAKA Aye K.K. da Lee P.Y. 00a Orhogoally addve Fucoal o BV Sgapura: Nayag Techologcal Uversy. Chew T.S. 985 Orhogoally addve Fucoal Sgapura: Uversas Nasoal Sgapura. Darawjaya S 003 O Bouded Ierval Fucos Yogyaara : SAM GMU. 3

15 JM Volue I Noor Deseer 0 Hlderad T.H. 966 Lear Couous Fucoals o The Space (BV) wh Wea Topologes Proc. Aer. Mah. Soc Idra C.R. 00 Iegral Hesoc-Kurzwel d dala Ruag uclde Berdes Yogyaara: Uversas Gadjah Mada. Lee P.Y. 989 Lazhou Lecures o Hesoc Iegrao Sgapura: Wold Scec. Paredes L.I. 993 Orhogoally addve Fucoals ad Superposo Operaors o w o ( )Ph.D. Thess Uversy o The Phlppes. Peer W.F. 993 The Rea Approach o Iegrao New Yor: Cardge Uversy Press. 33