Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat diyataka sebagai : f f a < R dega a! Atau ditulis f ' f '' f f < R!! Deret diatas disebut Deret Taylor di titik da daerah - < R disebut daerah kekovergea atau keaalitika deret Bila f fugsi etire maka daerah keaalitika deret yaitu : - < Bila maka deret disebut Deret Mac lauri berbetuk f f < R! Dalam memperderetka atau megekspasika suatu fugsi aka lebih mudah dilakuka asalka kita sudah mempuyai perdereta dari fugsi tertetu Caraya dega melihat pola dasar betuk perdereta suatu fugsi tertetu tersebut da daerah keaalitikaya Cotoh Nyataka f e dalam deret Mac Lauri Peyelesaia : Fugsi f e merupaka fugsi etire sehigga daerah keaalitika : < da f e f 6
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret Dega demikia e! < Cotoh Perderetka dalam deret Mac Lauri fugsi f Peyelesaia : e Fugsi f e merupaka fugsi etire sehigga daerah keaalitika adalah < Dega meguaka betuk e < maka di dapatka! deret : e!! < Cotoh 3 Tetuka deret Mac Lauri dari fugsi f Peyelesaia : Fugsi f tidak aalitik di sehigga daerah keaalitika: < Perhatika bahwa! f sehigga f! Dega demikia < Deret-deret petig laiya: < tujukka! 6
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret Soal Latiha Nomor 5 Guaka betuk deret yag sudah ada utuk meetuka perdereta fugsi berikut ke dalam deret Mc Lauri da tetuka daerah kovergesiya f si f cos 3 f l - 3 4 f 5 f 3 Nomor 6-9 Guaka betuk deret yag sudah ada utuk meetuka perdereta fugsi berikut ke dalam deret Taylor di pusat yag diketahui da tetuka daerah kovergesiya 6 f i 7 f i 8 f i 9 π f si 6 Deret Lauret Bila fugsi f tidak aalitik di maka f tidak dapat diperderetka dalam deret Taylor di Agar f dapat diperderetka di maka dilakuka dega cara membuag titik sigular dari daerah - < R sehigga didapatka daerah R < - < R cici / aulus yag merupaka daerah keaalitika fugsi f Hal ii telah dilakuka oleh Lauret sebagaimaa 63
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret dijelaska berikut Misal f tidak aalitik di t etapi aalitik pada aulus R < < R Maka fugsi f dapat diperderetka di mejadi betuk deret deret Lauret sebagai berikut : b a f R < < R dega a f f d da b π i d i π 3 C Suku pertama di ruas kaa tidak lai adalah deret Taylor da suku keduayayag berupa poliomial berpagkat egatif disebut sebagai bagia utama dari deret Lauret Jadi secara umum deret Lauret terdiri dari dua bagia : deret Taylor da bagia utamaya Litasa C merupaka litasa tutup sederhaa yag terletak di dalam aulus yag meligkupi Aulus itu kemudia mejadi daerah kovergesi deret Lauret C yaitu : Notasi lai yag biasa diguaka utuk meyataka betuk deret Lauret f C R < < R f dega C ± ± d πi C Utuk meghidari perhituga itegral litasa maka dalam memperderetka fugsi ke dalam deret Lauret kita tidak megguaka rumusa di atas tetapi dilakuka dega megguaka batua deret Taylor maupu deret 64
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret Mc Lauri yag sudah kita pelajari Agar lebih jelas diberika cotoh berikut Cotoh Perderetka fugsi f e / dega pusat di da tetuka daerah keaalitikaya Peyelesaia : Fugsi f e / tidak aalitik di Sehigga fugsi f diperderetka ke dalam deret Lauret dega daerah keaalitika : < < atau < < Maka f e /! < < Cotoh Perderetka f di titik da tetuka 3 daerah kovergesiya Peyelesaia : Perhatika bahwa fugsi f 3 tidak aalitik di da Sehigga deret dega pusat di kedua titik tersebut merupaka deret Lauret sedagka di merupaka deret Mc Lauri Bila f diperderetka dega pusat maka daerah kovergesi yag mugki yaitu : < - < da < - i Daerah < - < < - da - < 65
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret 66 Disii kita tiggal memperderetka suku kedua dari f Pada daerah - < : Jadi f dega daerah kovergesi < < ii Daerah < - atau < Pada daerah ii diperoleh Jadi < f Jika 3 f diperderetka dega pusat maka daerah kovergesiya yag mugki yaitu : < - < da < - i UtukDaerah < - < < - da - < kita tiggal memperderetka suku pertama dari f yaitu Pada daerah - < :
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret Jadi f < < ii Utuk daerah < - atau < Maka Jadi f < - Jika f diperderetka dega pusat maka daerah 3 kovergesiya yag mugki yaitu : < < < da < Selajutya diserahka pembaca sebagai latiha Soal latiha Nomor 4 Perderetka fugsi berikut pada daerah yag diketahui : f < < f < 3 f < 4 f < < 4 3 67
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret Nomor 5 sd 7 Ekspasika dalam deret Lauret dega daerah kovergesiya berbetuk R < < R dari fugsi berikut da tetuka daerah kovergesiya: 5 6 7 f f f 3 8 4 6 3 Nomor 7 Perderetka dalam deret lauret pada daerah R < - < R dari : 8 f i 9 f 4 f i i 4 Nomor 3 Perderetka f pada daerah < > 3 < < Nomor 4 5 Perderetka fugsi berikut dega pusat diketahui : 4 f sih 5 f 68