BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

Transkripsi

1 BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya pada suku buga majemuk, besar buga pada akhir jagka waktu selalu ditambahka kepada modal M. Dega demikia modal M maki besar karea buga yag telah didapat pada setiap akhir jagka waktu diperbugaka lagi. Dega kata lai buga berbuga. Lambag modal pada awal jagka waktu pertama dilambagka dega M 0, da pada awal jagka waktu ke-k dega M k. Teorema 1: Modal sebesar M 0 ditabug di bak dega suku buga p% per tahu (majemuk) selama tahu. Maka Jumlah uag tabuga pada akhir tahu ke adalah: M k = M 0 (1 + p%) = M 0 (1,0p) Bukti: Perlu diigat bawa besar modal pada akhir jagka waktu pertama sama dega besar modal pada awal jagka waktu kedua. Modal pada akhir tahu pertama = M 1 = modal pada awal tahu + buga. Jadi, M 1 = M 0 + pm 0 = M 0 (1 Modal pada akhir tahu kedua = M 2 = modal awal tahu + buga Maka, M 2 = M 0 (1 + p M 0 (1 = M 0 (1 (1 = M 0 (1 2. Dari pola ii tampak bahwa, M k. = M 0 (1 k, da M = M 0 (1 Rumus ii harus dibuktika lewat iduksi matematik. Cotoh 1: Saya meabug Rp ,- di bak dega suku buga 3% per tahu majemuk. Berapa besar tabuga saya pada (a) akhir tahu ke 3? (b) Awal tahu ke 7? (a) Besar tabuga saya pada akhir tahu ke 3 = M k = M 0 (1 k. Di sii k = 3, p = 3%, M 0 = Maka, M 3 = (1 + 3%) 3 = (1,03) 3 = , = ,6 Jadi, modal tersebut pada akhir tahu ke 3 = Rp ,- (dibulatka ke 1 rupiah). Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 1

2 (b) Awal tahu ke 7 = akhir tahu ke 6. Maka, M 6 = (1,03) 8 = , = ,1482 Jadi modal tersebut pada awal tahu ke 7 besarya mejadi Rp , Nilai Akhir da Nilai Tuai sebuah modal Nilai Akhir A sebuah modal yag ditabug atas dasar suku buga majemuk adalah ilai modal itu pada akhir jagka waktu tertetu. Cotoh 1 di atas adalah ilai akhir sebuah seluruh modal da bugaya. Nilai Tuai T sebuah modal dari sebuah modal adalah modal yag harus dibayarka (ditabug) pada awal jagka waktu tertetu yag diketahui ilai akhirya. Teorema 2: (a) Nilai Akhir A dari modal sebesar M yag ditabug atas dasar suku buga majemuk p% per tahu selama tahu adalah A = M(1. (b) Nilai Tuai T sebuah modal yag ditabug selama tahu dega suku buga p% pertahu agar ilai akhir mejadi A adalah : A T = ( 1 Bukti: Bagia (a) sudah termasuk dalam Teorema 1, sehigga haya perlu membuktika bagia (b). Bukti pertama. Nilai Tuai T dibayar pada awal tahu. T berbuga selama tahu dega suku buga majemuk p%, mejadi T(1. Hasil A ii adalah ilai akhir A. Jadi T(1 = A sehigga T = Bukti kedua. Rumus buga majemuk M = M o (1 + p%), dalam kasus ii (Nilai Tuai T), maka M = A, M 0 = T, da p sama saja, dapat diperoleh A = T(1 A sehigga T =. ( 1 Cotoh 2:. Berapakah saya harus membayar (ilai tuai) ke bak pada awal tahu pertama apabila 4 tahu medatag tabuga saya mejadi Rp ,- jika suku buga majeuk 4% per tahu? A Dalam rumus T =, diperoleh A = , p = 4%, = 4. ( Maka, T = = = , = , (1,04) (1,04) Jadi ilai tuai yag harus saya bayar adalah Rp ,-. ( 1 + p) Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 2

3 2.2. Cicila Seseorag dapat memijam sejumlah uag atau membeli suatu barag dega membayarya kembali dalam jagka waktu tertetu da dega buga tertetu atas dasar kesepakata. Pembayara dega cara ii disebut kredit. Besar uag yag dibayarka setiap periode pembayara disebut agsura. Cara pembayara da besar buga maupu suku bugaya disepakati atara pemberi pijama da pemijam. Adapu caraya ada beberapa macam seperti yag aka dibahas di bawah ii. 1. Sistem I: Besar Buga Merata da Agsura Tetap Ii adalah cara perhituga yag termudah. Besar buga dihitug berdasarka besarya ilai pijama, sedagka jagka waktu sesuai dega kesepakata da besarya pijama. Misalka seseorag megambil kredit sebesar P dalam jagka bula dega suku buga p% per bula. Pemijam aka meluasi kreditya dalam jagka agsura (bula ). Tiap agsura A = P/ harus ditambah buga sebesar pp. Jadi besarya tiap agsura adalah P/ + pp. Nilai ii besarya tetap. Jadi, diperoleh teorema berikut ii: Teorema 1.1: Misalka kredit sebesar P dega suku buga p% per bula da buga merata dalam jagka waktu kredit bula. Maka besarya agsura A diberika oleh rumus berikut ii: A = P/ + pp. Cotoh 1.1: P = , p = 1,25% per bula (atau 15% per tahu), = 12 bula. Agsura setiap bula, A = P/ + pp = + 0, = = ,- Jadi agsura setiap bula adalah Rp ,- Cotoh 1.2: Jaka membeli sepeda motor seharga Rp ,- dibayar cicila dega buga tetap da suku buga 15% per tahu (atau 12%/12 = 1,25% per bula) dega jagka waktu 12 bula Agsura yag harus dibayar setiap bulaya adalah (rumus P/ + pp) = /12 + 0, = = Jadi Jaka harus membayar Rp ,00 setiap bulaya. Tabel di bawah ii meggambarka agsura dega besar buga tetap. Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 3

4 Tabel 1. Agsura tetap dega besar buga merata sebesar 1.25%, jagka waktu 12 bula, da besar pijama Rp ,00. Agsura ke Buga 1.25% Agsura Pijama Sisa Pijama Cara ii memag palig mudah meghitug, tetapi belum tetu megutugka bagi pemijam atau pemilik modal. 2. Sistem II. Agsura pokok tetap, buga meuru Dalam Sistem ii besar buga dihitug dari sisa pijama sedagka agsura pokok pijama tetap. Jadi, jika pokok pijama P dega jagka waktu bula da suku buga p, maka setiap bula besarya agsura pokok adalah P/ sedag buga dihitug dari sisa pijama. Perhatikalah Tabel 2 di bawah ii: Tabel 2. Pijama P, suku buga p% per bula meuru, jagka waktu 12 bula Agsura ke Besar Buga Agsura Pokok Sisa Pijama 1. P/ +pp pp P/ P 1P/ 2. P/ + pp( 1)/ pp( 1)/ P/ P 2P/ 3. P/ + pp( 2)/ pp( 2)/ P/ P 3P/... P/ + pp/ pp/ P/ P P/ I II P 0 Dalam Tabel 2, terlihat bahwa agsura pertama terdiri dari agsura pokok P/ ditambah dega buga dari sisa pijama yag dalam kasus agsura pertama sisa pijama masih utuh P, sehigga agsura pertama adalah P/ + pp. Agsura kedua terdiri dari agsura pokok P/ ditambah buga dari sisa pijama yag dalam kasus agsura kedua sisaya adalah P P/, sehigga besar bugaya p(p P/) = pp( 1)/. Jadi, besarya agsura kedua adalah P/ + pp( - 1)/. Sisa pijama setelah agsura kedua adalah P 2P/. Maka Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 4

5 besarya agsura ketiga = P/ + p(p 2P/) = P/ + pp( 2)/. Dst. Dapat dilihat pola yag terjadi. Besarya setiap agsura maupu keseluruha agsura (kolom pertama) merupaka deret aritmetika meuru dega suku pertama adalah P/ + pp, dega beda yaitu pp/, da bayak suku yaitu. Demikia juga besar buga (kolom kedua) merupaka deret aritmetika meuru dega suku pertama pp, dega beda adalah pp/ da bayak suku yaitu. Diiggatka bahwa jumlah deret aritmetika adalah S = ½(t 1 + t ) dega t 1 adalah suku pertama da t r adalah suku terakhir. Dapat dilihat bahwa agsura ke k, A k adalah A k = P/ + pp( k + 1)/. Besar buga agsura ke-k, B k, adalah (diperoleh dari rumus A k ) B k = pp( k + 1)/ Jumlah seluruh agsura, P,, adalah P = ½ {(P/ + pp) + (P/ +pp/)} = P + ½pP( + 1). Jumlah seluruh buga, B, adalah B = ½(pP + pp/) = ½pP( + 1). Tetu saja ilai ii dapat diperoleh dari jumlah seluruh agsura dikuragi pokok pijamaya. Jadi ditemuka teorema berikut ii: Teorema 2.1: Misalka kredit sebesar P diluasi dalam jagka waktu bula, suku buga p% dega buga meuru megikuti sisa pijama. Maka besar agsura ke-k, besarya buga pada agsura ke-k, jumlah seluruh agsura, P, da jumlah seluruh buga, B, diberika oleh rumus-rumus berikut ii: P + pp( k + 1) A k = B k = pp( k + 1)/ P = P + ½pP( + 1) B = ½pP( + 1). Cotoh 2.1: Badu megambil kredit Rp ,- dari sebuah bak dega jagka waktu peluasa 12 bula da dega suku buga 3% perbula meuru meurut sisa pijama. Berapakah besarya: (a) agsura ke-5? (b) buga agsura ke-6, (c) seluruh agsura, (d) seluruh buga, da (e) Buatlah tabel seluruh agsura! Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 5

6 Dalam kasus ii P = , p = 3%, = 12. P + pp( k + 1) (a) Agsura ke-5 dega rumus A k = sehigga , ( ) A 5 = = = = Agsura ke-5 adalah Rp ,- (b) Buga pada agsura ke-6 dega rumus B k = pp( k + 1)/. Uutuk k = 6 sehigga B 6 = 0, ( )/12 = ( ) = = ,- Buga agsura ke-6 adalah Rp ,- (c) Agsura keseluruha dega rumus P = P + ½pP( + 1) sehigga P 12 = ½ 0, (12 + 1) = = Agsura keseluruha adalah Rp ,- (d) Buga keseluruha megguaka rumus B = ½pP( + 1) sehigga B = ½ 0, (12 +1) = Buga keseluruha adalah Rp ,- (e) Tabel agsura legkap Tabel ii sebaikya memuat kolom-kolom: Agsura, Besar Buga, Agsura Pokok, da Sisa Pijama. Dalam baris akhir memuat jumlah masig masig kolom utuk memeriksa kecocoka dega data. Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 6

7 Tabel 3. Kredit Rp ,- jagka waktu 12 bula dega suku buga 3% meuru meurut sisa pijama Agsura ke Besar Buga Agsura Pokok Sisa Pijama Cotoh 2.2: Cadra kredit mobil bekas seharga Rp dega jagka waktu 5 tahu dega buga 1% per bula meuru meurut sisa pijama. Jika pembayara itu setiap bula, berapakah seluruh pembayara agsuraya? Di sii P = ,- p = 1%, = 5 12 = 60 Maka dega rumus P = P + ½pP( + 1), dipuyai P 60 = ½ 0, (60 + 1) = = Seluruh pemyara kreditya adalah Rp , - da buga yag telah dibayarkaya adalah Rp ,- 3. Sistem III. Agsura merata dega buga meuru Dalam sistem ii, besarya agsura adalah merata, artiya setiap kali megagsur besarya tidak berubah, sedagka besar bugaya meuru meurut sisa pijama. Jika A adalah besarya agsura yag merata, maka tetulah bahwa A diperhitugka sebagai agsura pokok yag berubah-ubah da buga yag juga berubah-ubah. Umpamaya, besarya kredit P da suku buga p%. Pada agsura pertama besarya buga adalah pp. Jadi besar agsura pokok adalah A pp, da sisa pijama adalah P (A pp) = P + pp - A. Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 7

8 Teorema 3.1: Dalam sistem kredit dega agsura merata, jika besar pijama (kredit) adalah P, suku buga p%, jagka waktu, maka besarya agsura setiap bulaya, A, adalah A =. (1 Bukti pertama. Lihatlah Tabel 3 di bawah ii Tabel agsura merata (A) pijama P, suku buga p% meuru meurut sisa pijama, jagka waktu. Agsura ke Buga Agsura Pokok Sisa Pijama 1. A pp A pp P A + pp 2. A p(p A + pp) A - p(p A + pp) P A + pp [A - p(p A + pp)] Dst. Perhatikalah: Agsura pokok I: = A pp, sisa pijama P + pp - A Agsura pokok II = A p(p A + pp) = A pp + pa p 2 P = A(1 = (A pp)(1. da seterusya. Melihat polaya maka, diperkiraka Agsura ke- = (A pp)(1-1. Jumlah agsura I s/d ke adalah jumlah deret geometrik dega suku pertama = A pp, rasio = (1, da bayak suku. Tetapi jumlah ii haruslah sama besar dega pijama P (luas). Jadi, diperoleh ( A pp) [(1 ] ( A pp) [(1 ] P = = (1 p pp = A(1 A - + pp 0 = A(1 A- A[(1 1] =. p. sehigga A =. (1 Bukti dega iduksi matematik. Tuliska rumus itu dalam betuk: A(1 A =. Pagkal iduksi: utuk = 1, memberika A(1 - A = +p) Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 8

9 A + pa A = pa = A = P + pp A pp = P Ruas kiri berbuyi agsura pokok, ruas kaa berbuyi besar pijama. Bear, sebab sekali dibayar (utuk = 1) sudah luas. Kita coba utuk = 2 (walaupu sebearya tidak perlu) A(1 2 A = 2. A(1 + 2p + p 2 ) A = + 2p + p 2 ) Ap(2 = + 2p + p 2 ) A(2 = P(1 + 2p + p 2 ) bear, sebab, pada waktu agsura kedua telah dilaksaaka, sisa pijama harus ol, yaki, P 2A pa + 2pP + p 2 P = 0. Sisa pijama setelah agsura kedua sama dega sisa agsura pertama yaitu P A + pp dikuragi agsura kedua sebesar A (P (A pp)p), lihat tabel. Hipotesis iduksi:. Rumus diaggap bear utuk = k. Jadi A(1 k A = k Lagkah: Aka dibuktia bahwa rumus juga bear utuk = k + 1. Pada agsura ke (k +1) sisa pijama sudah habis (ol). Jadi, [A(1 k A]/p - P(1 k + A + Ap[(1 k 1]/p - k = 0, A[(1 k 1](1 /p A/p - P(1 k+1 = 0 A[(1 k+1 1]/p - P(1 k+1 A(1 k+1 A = k+1 Jadi terbukti rumus bear utuk = k + 1. Kesimpulaya rumus bear utuk semua ù. Terdapat korolari (teorema akibat) utuk Teorema 3.1 ii, yaki tetag jumlah seluruh pembayara kreditya, yaitu, A = (1 =. (1 Korolari 3.2: Misalka seseorag mempuyai kredit sebesar P dega agsura merata A, suku buga p%, da jagka waktu peluasa bula, maka jumlah seluruh agsura, S, diberika oleh rumus berikut ii Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 9

10 S = A =. (1 Cotoh 3.1: P = , p = 2%, da = 12, maka besarya agsura A = A = 12 0, ,02 = 12 (1 1, , = , , Jadi besarya agsura Rp ,- Jumlah seluruh agsura = A = ,9664 = ,6. Jadi jumlah seluruh agsura Rp ,- Cotoh 3.2: Diberika P = , p = 2%, da = 24 dega agsura merata. Besarya agsura A = (1 Jadi besarya agsura Rp ,- 24 0, ,02 = 24 1,02 0, , = = ,9726 Jumlah seluruh agsura = A = ,9726 = ,34. Jadi besarya seluruh agsura = Rp ,- Cotoh 3.3: David membuat perjajia kredit sepeda motor bekas seharga Rp ,-. Ia sepakat setiap bula megagsur Rp ,- da pemilik kedaraa meerapka suku buga 2%. Dalam berapa bula David aka meluasi kreditya? Besarya agsura A = (1 Di sii A = , p = 2%, P = , da aka dicari. Jelas bahwa = 0, ,02 1,02 Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 10

11 , = 1,02 Kedua ruas dibagi dega , 5 (1,02 1) = 4 1,02 5 1,02 5 = 4 1,02 (5 4) 1,02 = 5 1,02 = 5 log 1,02 = log 5 0, = 0, = 0, : 0, = 81, Jadi jagka waktu kredit adalah 82 bula. Hasil 82 bula adalah pembulata. Jadi dapat diperkiraka bahwa agsura tetap itu tetu kurag sedikit dari Utuk = 82, maka agsura tetapya sebesar: 0, ,02 A = = 82 (1 1,02 A = ,8046. Jadi agsura merata itu sebearya cukup Rp ,- berbeda Rp 712,- dari kesediaa David. Cotoh 3.4: Edi mampu meyisihka peghasilaya Rp ,- sebula selama 10 tahu. Berapakah kredit yag dapat dimitaya jika pemberi kredit meetapka suku buga 2% dega agsura merata. Ii tetulah sistem III, sebab agsuraya merata. Jadi dapat diguaka rumus berikut: A = (1 Di sii A = , p = 2%, = = 120. Igi dicaari P, besar pijama yag mugki. Masukka data ke dalam rumus di atas = 0,02 P 1, , (1,02 ) P = = , ,02 1,02 Jadi Edi dapat megajuka kredit sebesar Rp ,- 120 Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 11 82

12 Pertayaa: 1. Sebutka tiga sistem kredit yag telah dibahas? 2. Maakah sistem kredit yag palig megutugka bagi pemijam? 3. Maakah yag dapat salig dikaitka? 3. Ekuivalesi Utuk membadigka tiga sistem kridet yag ada, aka dicari ekuivalesi atara kredit Sistem I da Sistem III. Kredit Sistem I adalah kredit dega besar pijama sebesar P suku buga p% jagka waktu. Dalam sistem ii besarya agsura adalah P/ + pp, dega kata lai besar agsura tetap da dapat dikataka buga merata, yaki selalu sebesar pp. Dalam Sistem III, kredit sebesar P suku buga p% da jagka waktu, besar agsura adalah A merata. Agsura ii diperhitugka sebagai agsura pokok da buga dari sisa pijama (jadi meyerupai P + pp). Sistem III ii diamaka agsura tetap da buga meuru. Igi dicari syarat-syarat agar Sistem I da III ii ekuivale. Tetu saja kata ekuivale ii tidak persis seperti dalam cabag-cabag matematika pada umumya. Jadi, dipuyai kredit sebesar P dega suku buga p% merata dalam jagka waktu. Kredit ii diubah mejadi kredit sebesar P dega suku buga b% dega agsura tetap da buga meuru dalam jagka waktu. Dalam kasus ii P da kosta da igi dicari hubuga atara b da p. Dapat diaggap bahwa p diketahui da b dicari. Perhatikalah Tabel di bawah ii, yaki tabel tetag agsura tetap da buga meuru. Dalam sistem I, besar agsura tetap adalah P/ + pp. Dalam Sistem III, agsura ii adalah A. Kemudia A ii kita pecah mejadi agsura pokok da buga meuru (tergatug sisa pijama) atas suku buga b%. Lihat tabel di bawah ii: Tabel 4. Peyesuaia buga merata p% ke b% buga meuru pijama sebesar P da jagka waktu Agsura ke Buga meuru Agsura Pokok Sisa Piama 1. P/ +pp bp P/ +pp bp P P/ - pp + bp 2. P/ +pp b(p/ +pp bp) P/ + pp P P/ - pp + bp b( P/ +pp bp) - [P/ + pp b(p - (P/ + pp bp)] P/ +pp 0 P Teorema 4: Kredit sebesar P dega sistem buga merata (tetap) dega suku buga p% da jagka waktu, diubah ke agsura tetap A dega buga meuru da suku buga b%, jagka waktu. Maka hubuga atara b da p adalah sebagai berikut: Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 12

13 ( 1 [(1 (1 ] = + p (1 1 b Bukti. Bukti megguaka iduksi matematik Pagkal iduksi: Utuk = 1, dipuyai (1 = (1 [1 + b 1 b]/b = 1 + p 1 + b = 1 + p bear, sebab utuk = 1 berarti tidak ada lagi sisa pijama. Jadi, lihat tabel, P P/ - pp + bp = 0 P P - pp + bp = 0 P + bp = P pp 1 + b = 1 + p setelah kedua ruas dibagi dega P. Dicoba utuk = 2, (walaupu sebearya tidak perlu) (1 Rumus ( 1 [(1 (1 ] = 1 + p b Utuk = 2: (1 2 (1 + 2p)(1 + 2b + b 2 1 2b)/2b = 1 + 2p 1 + 2b + b 2 (1 + 2p)(b/2) = 1 + 2p 1 + 2b + b 2 b/2 - pb = 2p b 2 + 3b/2 pb = 2p bear, sebab, setelah agsura kedua sisa pijama harus ol. Jadi, lihat tabel, P P/ - pp + bp - [P/ + pp b[p - (P/ + pp bp)] = 0 Utuk = 2 P P/2 - pp + bp - [P/2 + pp b[p (P/2 + pp bp)] = 0 Kedua ruas dibagi dega P 1 ½ - p + b - [ ½ + p b[1 ( ½+ p b)] = 0 1 ½ - p + b ½ - p + b[1 - ½ - p + b] = 0 - p + b p + ½ b - bp + b 3 = 0 3b/2 bp + b 2 = 2p. + Hipotesis: Rumus diaggap bear utuk = k, atau ( 1 k [(1 (1 + kb) ] = + kp k (1 + pk ) 1 kb k [(1 (1 + kb) ] kp k (1 + pk ) ( 1 1 = 0. kb Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 13

14 Lagkah: Dibuktika bahwa rumus bear utuk = k + 1.Sisa pijama setelah agsura ke-(k +1) habis (ol). k [(1 (1 + kb) ] kp k (1 + pk ) ( 1 1 = 0 kb Sisa buga setelah agsura ke-(k + 1) (1 k (1 + kp)[(1 k (1 + kb)]/kb + b[(1 k (1 + kp){(1 k (1 k (1 + kb)] 1 kp = 1 + kp + p (1 k (1 (1 + pk) (1 k (1 /kb + (1 + kb)(1 + kp)/kb + (1 + kp) [(1 + kb) b(1 + kb)]/kb (1 k+1 - )1 + kp) (1 k+1 /kb 1 (k + 1)p + (1 + kp)(1+ lp/kb + (1 + kp) (1 + kb)/kb b(1 + kp) (1 k+1 (1 + kp) (1 k+1 + [(1 + kp) (1 + kb + b + kb 2 kb 2 ]/kb (1) Karea jagka waktuya sekarag (k +1) bula, maka (1) mejadi (1 k+1 (1 + kp) (1 k+1 + (1 + kp)[1 + kb + b]/kb = 1 + (k + 1)p. (1 k+1 (1 + kp) (1 k+1 + (1 + kp)[1 + (k + 1)b]/kb = 1 + (k + 1)p...(2) Jadi rumus bear utuk = k +1. Cotoh 4.1:. Jika = 3, p = 1,25%, berapakah b? Jadi, ( 1 [(1 (1 ] = + p (1 1 b (1 +b) 3 - (1,0375)[(1 +b) 3 (1 + 3b)]/3b = 1,0375. Ii adalah persamaa pagkat 3 dalam variabel b, ada cara (disebut cara Cardao) tetapi juga tidak sederhaa. Maka biasaya dilakuka dega coba-coba (lihat metode umeric). Jika dimasukka b = 1,9, diperoleh 1, ,01984 = 1,03825 Nilai ruas kiri = 1,01986 selisihya dega ruas kaa (1,03825) = 0, Jadi masih ada kesalaha (galat) sebesar 1,8%. Sukardjoo, Kaa, Rosita ( 2005) 14