STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN

Transkripsi

1 STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii aka mereview beberapa betuk modifikasi metoda iterasi bebas turua utuk mecari akar persamaa o-liear. Metoda iterasi dega turua yag sagat dikeal adalah metoda Newto yag memafaatka garis taget utuk meemuka akar. Dega meggati pegguaa garis taget pada metoda Newto dega pedekata garis secat [1,2,3,4] aka diperoleh metoda iterasi Secat. Metoda ii aka bebas turua aka tetapi memiliki orde kekovergea yag lebih redah dari Newto. Selajutya [5] dega meerapka parameter q da barisa q { x } berturut-turut aka diperoleh metoda iterasi dega kekovergea kuadratik da kubik. Pegembaga selajutya [6] dega meerapka parameter barisa q { x } da stepsize h bersamasama dega metoda Bisectio aka diperoleh metoda iterasi yag tidak haya koverge titik secara kubik dalam iterasi berhigga juga koverge dalam iterval (koverge global). Kata kuci : Koverge Global, Metoda Newto, Modifikasi Metoda Iterasi, Orde Kekovergea, Simulasi Numerik. PENDAHUHLUAN Beberapa metoda iterasi yag diguaka utuk meghitug akar persamaa o liear f ( x) = 0 diataraya adalah metoda Bisectio, Newto da Secat. Masig-masig metoda memiliki kelemaha da kekuragaya. Metoda Bisectio mecari akar dari sebuah fugsi jika akarya diketahui berada dalam iterval yag diberika. Metoda ii bahka dapat mecari akar dari sebuah fugsi meskipu fugsiya tidak aalitik. Aka tetapi dalam meetuka iterval yag memuat akar merupaka suatu hal yag petig sebelum meerapka metoda ii. Cara yag dapat dipakai adalah dega meggambarka grafik fugsi atau mecari posisi akar. Meskipu memiliki kekovergea lambat, metoda ii merupaka metoda yag koverge global atau koverge dalam iterval yag diberika Disajika dalam semiar BKS PTN Wilayah Barat, 9-10 Mei

2 Selajutya adalah metoda Newto. Metoda ii megguaka garis tage utuk mecari akar dari persamaa o liear yag diberika seperti yag terlihat dalam betuk iterasi berikut f ( x ) x + 1 = x, = 0,1,2,K (1) f '( x ) Metoda Newto memerluka ilai awal yag baik dalam arti yag cukup dekat dega akarya. Apabila metoda Newto bekerja dega baik maka tigakat kekovergeaya sagat tiggi (orde 2) da sebalikya apabila ilai awalya tidak baik maka solusi iteratif yag diperoleh mugki diverge atau koverge ke solusi lai yag tidak releva. Dalam perkembagaya metoda Newto bayak diguaka sebagai dasar pegembaga metoda laiya. Dalam beberapa buku ataupu jural motoda pegembaga ii dikeal dega istilah modifikasi metoda Newto. BEBERAPA BENTUK MODIFIKASI METODE NEWTON Berikut aka dijelaska beberapa betuk modifikasi metoda Newto seperti yag dapat dilihat dalam [1,2,3,5,6]. Metoda Secat Dega meggati pedekata garis taget pada metoda Newto dega garis secat aka diperoleh iterasi yag dikeal dega metoda Secat x 1 x 2 x = x 1 f ( x 1), = 2,3,K (2) f ( x ) f ( x ) 1 2 Karea bebas turua (tidak megguaka turua), komputasi motoda ii lebih efisie dibadigka metoda Newto aka tetapi memiliki orde kekovergea yag lebih redah dari metoda Newto. Seperti halya metoda Newto, metoda ii juga sagat tergatug dega ilai awal. Apabila ilai awal utuk metoda ii tidak bagus, maka solusi iteratif yag diperoleh mugki diverge atau koverge ke solusi lai yag tidak releva. Kelemaha laiya apabila dua ilai aproksimasiya sagat dekat maka masalah pembulata (roud off) error aka mucul. Dua cara yag bisa dilakuka adalah apabila 2

3 f ( x ) lebih kecil dari x 2 da f ( x 2 ) maka ilai x 2 digati dega x 2 + ξ da f digati dega x ( x +ξ) ( x ) 2 f dimaa ξ adalah suatu ilai yag sagat kecil. ( ) 2 2 Metoda Itarasi Tapa Turua dega Parameter q : MTq Dega melakuka iprovisasi terhadap metoda Newto da Secat, Wu [5] dapat memformulasika iterasi tapa turua dega peerapa sebuah parameter q sebagai berikut dega Metoda ii memiliki kekovergea kuadratik aka tetapi masih belum koverge global. Metoda Itarasi Tapa Turua dega Parameter Barisa q { x }: MTq Dega meggati peerapa parameter q dega parameter barisa q { x }, Wu [5] juga berhasil membuat metoda iterasi dega orde kekovergea kubik Meskipu orde kekovergea sudah meigkat aka tetapi metoda iterasi ii masih belum koverge iterval. 3

4 Metoda Itarasi Tapa Turua dega Parameter Barisa q { x } da stepsize h dega Peerapa Metoda Bisectio: MTBS Dega melakuka iprovisasi terhadap MTq di atas serta metoda Bisectio yag diketahui koverge iterval, Zhu [6] berhasil megembagka metoda iterasi Metoda iterasi ii tidak haya koverge titik secara kubik dalam jumlah iterasi berhigga, juga koverge iterval dalam diameter {( b a )}. Syarat yag dibutuhka dalam peerapa metoda iterasi ii hayalah f merupaka fugsi kotiu pada [a,b] da f ( a) f ( b) < 0. Cotoh yag diguaka : 1. Fugsi Logaritma : f ( x) = l( x) pada iterval [ 0.5,5] si( x) 2. Fugsi Ekspoesial-Trigoometri : f ( x) = x+ 1 e pada iterval [ 1,4] x 3. Fugsi Ekspoesial : f ( x) = xe 0. 1 pada iterval [ 0,1] 3 4. Fugsi poliomial : f ( x) = x 1/ 1 pada iterval [ 0,5] 4

5 SIMULASI NUMERIK Simulasi umeric disii megguaka MATLAB versi 5.3 yag dijalaka pada Notebook berprocessor AMD Athlo X2 dega speed 1.3 GHz serta memori 4 GB DDR2. Sedagka cotoh fugsi beserta iterval yag diguaka utuk meguji metoda iterasi di atas adalah sebagai berikut 1. Fugsi Logaritma : f ( x) = l( x) pada iterval [ 0.5,5] 2. Fugsi Ekspoesial-Trigoometri : f ( x) si( x) = x+ 1 e pada iterval [ 1,4] x 3. Fugsi Ekspoesial : f ( x) = xe 0. 1 pada iterval [ 0,1] 3 4. Fugsi poliomial : f ( x) = x 1/ 1 pada iterval [ 0,5] Pada tahap awal aka dilakuka perbadiga metoda Newto dega metoda Secat. Hasil yag diperoleh ditujukka dalam tabel berikut. Dari tabel di atas dapat dilihat beberapa hasil yaitu : kedua metoda sama-sama koverge titik da sama-sama tidak koverge iterval. Utuk kasus di atas tidak dapat disimpulka hasilya apabila orde kekovergeaya aka tetapi secara efisiesi, metoda Secat lebih baik karea tidak melibatka turua sehigga utuk setiap cotoh metoda ii dapat diterapka haya saja ada hasil yag diverge. Sedagka utuk cotoh tertetu metoda Newto tidak dapat diterapka (NA) karea syarat bahwa f ( x) 0 tidak terpeuhi. 5

6 Berikut adalah hasil perbadiga metoda Newto, metoda iterasi Tapa turua dega Parameter q (MTq) da metoda iterasi Tapa Turua dega Parameter Barisa q { x } da stepsize h dega Peerapa Metoda Bisectio (MTBS) Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa MTq da MTBS dapat diterapka dega baik utuk semua cotoh. Selajutya dega melihat jumlah iterasiya MTBS lebih baik dari pada MTq da Newto hal ii disebabka karea MTBS memiliki orde kekovergea kubik. Selai itu MTBS memiliki kelebiha lai yaitu koverge iterval. Hal ii dapat dilihat dari tabel berikut. 6

7 7

8 KESIMPULAN Dalam metoda umerik miimal terdapat tiga hal yag aka dilakuka perbaika utuk setiap metoda yag ditawarka. Pertama memiimalka cost komputasi (salah satuya adalah meghidari pemakaia turua dalam iterasi), kedua meigkatka orde kekovergea, da ketiga mejami kekovergea global (iterval). Metoda Iterasi Tapa Turua dega Parameter Barisa q { x } da stepsize h dega Peerapa Metoda Bisectio (MTBS) meawarka semua hal yag dapat memeuhi kebutuha tersebut. DAFTAR PUSTAKA 1. Atkiso, K.E A Itroductio to Numerical Aalysis. New York : Wiley. 2. Mathews, Joh H Numerical Methods for Sciece ad Egieerig. New Jersey : Pretice Hall. 3. Nakamura, S Applied Numerical Methods i C. Sigapore : Pretice Hall. 4. Rice, J.R. (1983). Numerical Methods, software ad aalysis : IMSL referece editio. New York : McGraw-Hill. 5. X. Wu. D. Fu. New Hight order covergece iteratio methods without employig derivatives for solvig oliear equatios. Comp. Mathematics ad Applicatio, 41 (2001) Y. Zhu, X. Wu, A free-derivatives methods of order three havig covergece of both poit ad iterval for oliear equatios, App. Mathematics ad Applicatio, 137 (2003)