Bab 5 Siyal da Sistem Watu Disrit Oleh: Tri Budi Satoso Laboratorium Siyal, EEPIS-ITS
Materi: Represetasi matemati pada siyal watu disrit, domai watu da freuesi pada suatu siyal watu disrit, trasformasi pada siyal watu disrit Tujua: Siswa mampu meyelesaia osep dasar trasformasi Fourier Watu Disrit Siswa mampu membawa persoala dari osep siyal watu otiyu mejadi siyal watu disrit.
Sub Bab: 5.. Trasformasi Fourier Watu Kotiyu 5.. Discrete-Time Fourier Series DTFT 5.3. Discrete-Fourier Trasform DFT 5.4. Komputasi DFT 5.5. Komputasi Iverse DFT 5.6. Iterpretasi Hasil DFT 5.7. Hubuga DFT- Trasformasi Fourier
5.. Cotiues Time Fourier Trasform Siyal periodi watu otiyu ft dega periode T diyataa sebagai betu weighted sum pada comple epoetial: f jω t F e t utu semua ilai t dimaa: F oefisie-oefisie espasi F T T f t e jω tdt Ω freuesi fudametal Ω π/t
Lajuta. Persamaa dieal sebagai deret Fourier espoesial omple Dalam termiologi deret geometri serigali diyataa sebagai f t a cos Ω t + b Ω t a + si T a f t dt T F 3 a T T f tcos Ω dt F + F 4 b T f tsi Ωdt T F F j 5
5.. Discrete-Time Fourier Series DTFT Utu siyal periodi watu disrit dega periode. Kita eal freuesi digital ~ π. Espasiya diyataa dalam: X e jω 6 X e jω 7 Persamaa 6 da 7 dieal sebagai pasaga Discrete Fourier Series DFS Dalam hal ii ω freuesi fudametal π/samplig rate π/
Lajuta. Utu geap: Utu gajil: A B A A π π π cos si cos / / + + + + + / / si cos B A A π π.8a.8b
Lajuta Utu Geap: A /,,..., cos utu A π /,,..., si utu B π /,,..., cos utu A π 9
5.3. Discrete-Fourier Trasform DFT Bisa diguaa utu siyal periodi da o periodi Dimaa ω π/ Betu Iversya: Dalam termiologi W e -jπ/ diyataa: e X jω e X jω W X W X
Sifat-Sifat DFT Secara umum sama dega sifat Trasformasi Fourier watu otiyu. Tetapi durasi utu dibatasi s/d -. Maa setelah -, aa berputar embali pada ilai. Dari beberapa sifat tsb, ita bahas 4 saja, yaitu: - Sifat Liearitas - Sifat Circular Traslatio - Sifat Peralia dega Espoesial - Sifat Circular Covolutio
a. Sifat Liearitas DFT[a ] a X, DFT[a ] a X Maa: DFT[a + a ] a DFT[ ] + a DFT[ ] a X + a X..
b. Sifat Circular Traslatio Pada asus traslasi liear - merupaa betu pergesera e aa. Tetapi pada asus siyal o-periodi s/d -, maa pergesera terbatas sampai dega -. Setelah itu embali e Modulo, maa betuya mejadi 6 7 8 [,,, -, -] -mod [-,,, -3, -] - mod [-, - +,., - -] -mod [,,, -, -] 5 4 3 DFT[-mod ]W m X 3
c. Sifat Peralia dega Espoesial Jia DFT[] X Maa DFT[W -l ] X-l mod..4
d. Sifat Circular Covolutio Kovolusi Liear: Kovolusi Circular: atau [ ] [ ] [ ] { } F F F e X e X F j j ω ω mod mod Dimaa -mod merupaa versi ter-reflesi da ter-traslasi geser pada.5
Cotoh : Sebuah operasi ovolusi circular dibetu dari dua ompoe,,, da,,,3. Dapata hasil ovolusi Gambar 5.. Cotoh asus ovolusi circular
Peyelesaia: Step :,,, -mod 4, 3,, ------------- + y 6 4 Step 3:,,, -mod 4,,, 3 ------------- + y 4 Step :,,, -mod 4,, 3, ------------- + y 6 7 Step 4:,,, 3-mod 4 3,,, ------------- + y 3 4 9 Step 5:,,, -mod 4, 3,, ------------- + y5 6 4 Terjadi perulaga hasil.
Hasilya: y 4,7,4,9 y Gambar 5.. Hasil ovolusi circular { DFT [ ] DFT [ ]} IDFT.6
5.4. Computatio of DFT X + jumlaha { } { Re[ ] + Im[ ]} Re[ ] + Im[ ] j W j W j W Re ;,,..., [ ] [ ] Re W Im Re [ ] Im[ ] W [ ] [ ] Im W + Im peralia 7 [ ] [ ] Re W
5.5. Computatio of Iverse DFT X W ;,,...,.8
5.6. Iterpretatio of DFT Result versi disrit tersampel pad asiyal aalog a t Freuesi ide tapa satua Freuesi digital radiat ω π/ Freuesi ide tapa satua Ω π/t..9
Cotoh Dapata trasformasi Fourier dari siyal cosius yag memilii periode esa di dalam widow yag terdapat pada sampel. Tetapa seperti pada Gambar dibawah yag direpresetasia sebagai t 3cosπt, pada tt. Utu suatu ~ 99, da T,. t t Gambar 5.3. Cotoh siyal sius watu otiyu
Peyelesaia Didapata seue disrit sebagai 3cosπT 3cos.π utu,,.,99. Perlu dicatat bahwa merupaa siyal cosius sepajag dua periode. Gambar 5.4. Cotoh siyal sius watu disrit
Bagia real X R da imajier X I dapat dihitug dari persamaa. X e jω X 3cos,π cos ω j ω si Hasilya seperti pada gambar beriut
Bagia Real X R Ide Freq Digital rad/det m ω Freq Digital rad,π πm/ π Ω Freq Aalog rad/det π mπ π Gambar 5.5. Bagia real hasil trasformasi siyal sius
Bagia Imagier Semua berilai, atau medeati Gambar 5.6. Bagia imajier hasil trasformasi siyal sius
Keteraga Perhatia pada bagia Real, ada dua ilai mucul yaitu pada ide freuesi da - 98. Masig-masig dega ilai 3. Ii merepresetasia A/, dimaa: -A3 amplitudo - 3 jumlah sampel yag diguaa Karea strutur samplig, freuesi ide beraita secara tepat dega peuh pada gelombag cosius.
Cotoh 3 Gambara magitudo pada DFT 64 titi pada /3 si,π. Dega ilai,,,63 Gambar 5.7. Siyal sius disrit pada cotoh 3
Peyelesaia X X R + X I Magitudoya: X X X X X R R + Seperti terlihat pada gambar sebelumya, dega persamaa tersebut terjadi 6,4 gelombag sius. Jia gelombag sius tepat pada periode peuh, X aa memilii ilai A/, sehigga: A 3 64 Tetapi teryata hasilya sediit berbeda, yaitu ilai masimum terjadi pada 6, da berilai <. I I
6 Gambar 5.7. Hasil trasformasi fourier siyal sius disrit cotoh 3
5.7. Hubuga DFT-Fourier Trasform Trasformasi Fourier Discrete Fourier Trasform j j j e e e X ω ω ω,,..., / e X j π
Siyal Tersampel da Trasformasi Fourierya Gambar 5.8. Siyal persegi tersampel atas da hasil trasformasi Fourierya bawah
Zero Paddig 8 titi DFT dega tambaha 4 zero pada Hasil DFT Gambar 5.9. Siyal persegi dega 4 zero paddig atas da hasil trasformasi Fourierya bawah
6 titi DFT dega tambaha zero pada Hasil DFT Gambar 5.. Siyal persegi dega zero paddig atas da hasil trasformasi Fourierya bawah
64 titi DFT dega tambaha 6 zero pada Hasil DFT Gambar 5.. Siyal persegi dega 6 zero paddig atas da hasil trasformasi Fourierya bawah
Cotoh Lai DFT pada Siyal Sius /64*si*pi*/64 + /3*si*pi*5*/64 Gambar 5.. Siyal sius beragam freuesi atas da hasil trasformasi Fourierya bawah
Soal Latiha. Dapata betu trasformasi Fourier DFT-poit utu siyal watu disrit beriut ii: a [] ; ;,,...,9 c [] ; ; 4 4 [] ;,,..., 9 b d jπ 5 [ ] e ;,,,..., 9. Dapata betu ivers Trasformasi Fourier IDFT -poit utu siyal beriut ii: a X a [ ] ; ;,,...9 [ ] ;,,,..., 9 b X b c X c [] ; ; 3,7,,,4,5,6,8,9 [ ] cos / 5 ;,,,..., 9 d X d π
3. Sebuah siyal watu disrit diyataa dalam betu omple beriut ii j π / [] e ;,,,... Dapata betu trasformasi Fourier watu disrit DFT dari [] sebaya -titi 4. Sebuah siyal watu disrit tersusu dari fugsi siusioda: []cosπ/ Dapata betuya dalam domai freuesi -titi 5. Buatlah sebuah program visualisasi dega Matlab utu domai watu da domai freuesi utu siyal beriut ii: a [],,,,,,,,,,,,,, b [],,,,,,,,,,,,,,
6. Buat visualisasi siyal domai watu & freuesi siyal ii: a.,,,,,,,, b.,,,,,,,., 6 titi 3 titi c.,,,,,,,, d.,,,,,,,., 64 titi 8 titi 7. Buat visualisasi domai watu da domai freuesi utu siyal: a [] sicπ/ ; -3,-9,..-,,,..,9,3 b [ ] ; ; ; 3, 9,...,,,,...,9,3