I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. mandiri jika tidak mengandung t secara eksplisit di dalamnya. (Kreyszig, 1983)

Transkripsi

1 I PENDAHULUAN Latar Belaag Permasalaha ebiaa pemaea ia yag memberia eutuga masimum da berelauta (tida teradi epuaha dari populasi ia yag dipae) adalah hal yag sagat petig bagi idustri periaa Para ilmuwa berusaha meyelesaia permasalaha tersebut dega berbagai cara, salah satuya adalah dega memodela permasalaha tersebut secara matematis emudia meyelesaiaya dega megguaa metode yag sesuai utu model tersebut Dalam tulisa ii aa dipelaari diamia populasi dari model pertumbuha dua spesies ia yag berompetisi yag bergatug tida haya pada sumberdaya esteral tetapi uga bergatug pada spesies etiga, yaitu sumberdaya yag dapat memperbaharui diriya sediri Selai itu, pertumbuha dari dua spesies ia yag berompetisi uga dipegaruhi oleh usaha pemaea terhadap edua spesies ia tersebut Permasalaha yag ditampila dalam tulisa ii diformulasia dalam betu otrol optimum utu uit watu taterbatas (ifiite horizo) Calo solusi optimal diperoleh dega meerapa Prisip Masimum Potryagi Karya ilmiah ii merupaa reostrusi dari tulisa Chattopadhyay da awa-awa yag berudul A resource based competitive system i three species fishery Tuua Tuua peulisa arya ilmiah ii adalah: melaua aalisis estabila titi tetap da megamati diamia populasi ia, megaalisis model ebiaa pemaea ia yag dapat memberia eutuga masimum da berelauta 3 Metode da Sistematia Peulisa Metode peulisa arya ilmiah ii adalah studi literatur Karya ilmiah ii terdiri atas delapa bagia Bagia pertama meelasa latar belaag masalah, tuua, da sistematia peulisa Bagia edua meyaia ladasa teori yag membahas sistem diamia, teori modal, da otrol optimum Bagia etiga meyaia modelmodel dasar yag membagu model yag aa diaalisis Bagia eempat meyaia pembahasa masalah dega mereostrusi model yag aa diaalisis Bagia elima meyaia aalisis estabila Bagia eeam membahas masalah pemaea masimum Bagia etuuh meyaia formulasi ebiaa pemaea optimal yag dibuat dalam betu formulasi masalah otrol optimum da pembahasa peetua calo solusi optimal dega meerapa prisip masimum Potryagi Bagia terahir meyaia esimpula tetag hasil yag diperoleh dari pembahasa sebelumya II LANDASAN TEORI Beberapa ladasa teori yag dibahas pada bab ii meliputi sistem persamaa diferesial (SPD), titi tetap, pelieara da osep estabila, serta teori otrol optimum yag disaria dari berbagai sumber pustaa Sistem persamaa diferesial (SPD), ilai eige, da vetor eige Defiisi (SPD Madiri) Misala suatu sistem persamaa diferesial (SPD) diyataa sebagai d f( ), dt = = dega f fugsi otiu dari da mempuyai turua parsial otiu SPD tersebut disebut sistem persamaa diferesial madiri ia tida megadug t secara esplisit di dalamya (Kreyszig, 983) Defiisi (SPD Liear Orde Satu) Jia suatu sistem persamaa diferesial (SPD) diyataa sebagai = A+ b, () =, R () dega A adalah matris oefisie beruura, maa sistem tersebut diamaa SPD liear orde dega odisi awal () = Sistem () disebut homoge ia b = da tahomoge ia b (Fisher, 99)

2 Defiisi 3 (Vetor Eige da Nilai Eige) Jia A adalah suatu matris, maa vetor taol pada disebut suatu vetor eige dari A ia A adalah suatu peggadaa salar dari ; yaitu, A = λ () utu suatu salar λ Salar λ disebut ilai eige dari A, da disebut suatu vetor eige dari A yag berpadaa dega λ (Ato, ) Utu mecari ilai λ dari matris A, maa persamaa () dapat ditulis embali sebagai ( A λi) = (3) dega I matris idetitas Persamaa (3) mempuyai solusi taol ia da haya ia p ( λ) = det( A λi) = A λi = (4) Persamaa (4) disebut persamaa arateristi dari matris A (Ato, ) Titi tetap, pelieara da estabila Defiisi 4 (Titi Tetap da Titi Biasa) Misala diberia SPD taliear beriut = f( ): U () Titi dega f( ) = disebut titi ritis atau titi tetap atau titi eseimbaga Titi pada bidag fase () yag bua titi tetap, yaitu f ( ), disebut titi biasa atau titi regular (Tu, 994) Defiisi 5 (Titi Tetap Stabil) Misala adalah titi tetap sebuah SPD madiri da () t adalah solusi yag = dega memeuhi odisi awal Titi diataa titi tetap stabil ia terdapat ε > yag memeuhi sifat beriut: utu setiap ε, dega < ε < ε, terdapat ε > sedemiia sehigga ia < ε maa ( t) ε <, utu setiap t > t (Szidarovszy & Bahill, 998) Catata: Norm = Defiisi 6 (Titi Tetap Stabil Asimtoti Loal) Titi diataa titi tetap stabil asimtoti loal ia titi stabil da terdapat ε > sedemiia sehigga ia < ε lim t, = maa = dega (Szidarovszy & Bahill, 998) Defiisi 7 (Titi Tetap Stabil Asimtoti Global) Titi diataa titi tetap stabil asimtoti global ia titi stabil da R lim t =, dega Ω =, (Szidarovszy & Bahill, 998) Gambar Kosep Kestabila dari Defiisi 5, 6, da 7 Defiisi 8 (Titi Tetap Tastabil) Misala adalah titi tetap sebuah SPD t adalah solusi yag madiri da memeuhi odisi awal ε ε = dega Titi diataa titi tetap tastabil ia terdapat ε > yag memeuhi sifat beriut: utu sembarag ε, < ε < ε, terdapat sedemiia sehigga ia < ε maa ( t) ε ε Tastabil Stabil Stabil asimtoti loal Stabil asimtoti global, utu setiap t > t (Velhurst, 99)

3 3 Defiisi 9 (Titi Tetap Simple) Suatu titi tetap SPD taliear diataa A tida simple ia pada sistem liearya mempuyai ilai eige ol, yaitu ia det A (Tu, 994) Defiisi Titi Tetap Simple Hyperbolic Titi tetap simple diataa hyperbolic ia A pada A tida memilii ilai-ilai eige λ dega bagia-bagia real ol, berarti Re( λ) (Tu, 994) Teorema (Teorema Taylor utu variabel) Misala f : Ω da segme garis yag meghubuga da berada pada Ω Jia (,, = ) da = (,, ) maa f( ) = f ( ) + fi( ) ( i i ) + fi ( )( i i )( ) i=! i= = fi ( )( i i )( )( ) fi, i,, i i i i,, = m i, i,, im = ( i ) i i m i R m m m 3!! dega + ( ) m = i, i,, i + m i i i i i + m+ im+ m +!,,, i i im utu ilai c pada R f ch (3) + =, da h = (Grossma, 995) Dega memerhatia sistem taliear = f( ) pada () da megguaa espasi Taylor di seitar titi tetap, misala di titi asal (, ) utu peyederhaaa, diperoleh = A +ϕ ( ) (taliear) (4) dega A Df f f a a f( ) f( ) a a da ϕ ( ) sedemiia sehigga limϕ ( ) = A pada (4) disebut pelieara dari (4) atau sistem yag dilieara yaitu = A (liear) (5) Utu sistem pada bidag, U R diperoleh = f ( ) = A+ϕ ( ) sebagai = f( ) = a+ b + ϕ(, ) = f = c + d + ϕ, dega f f a a b a f f c a d a da ϕ(, ) ϕ(, ) lim = lim r r r r dega r = +, yaitu ϕ da ϕ meadi sagat ecil da bisa diabaia Secara umum, utu setiap titi tetap, y,, dapat didefiisia variabel- variabel baru ξ ( ) da η ( y y ), adalah ξ a b ϕ = y + η c d y y ϕ Persamaa (6) haya meggambara, e titi sehigga = f ( ) perpidaha titi tetap dari tetap taol (, y ) ( ξ, η) ( 6 ξ, η ) (Tu, 994)

4 4 Matris A pada (4) disebut sebagai matris Jacobi atau biasa uga disebut sebagai matris variasi (Abell & Braselto, 4) Teorema (Teorema Pelieara dari Hartma & Grobma) Misala sistem diami taliear = f( ) pada () mempuyai titi tetap simple hyperbolic, da misala titi tetap tersebut berada pada (, ) utu peyederhaaa, maa pada U di seitar, bidag fase dari sistem taliear (4) da sistem hasil peliearaya (5) adalah euivale (Tu, 994) Misala λ = α ± iβ adalah ilai eige dari matris Jacobi A dega Re( λ ) = α da Im( λ ) = β Kestabila titi tetap simple hyperbolic mempuyai beberapa perilau sebagai beriut: Stabil Attractor, ia : a Re( λ) = α < dega Im ( λ ) = utu setiap =,, 3 (7) Lihat Gambar Re λ = α < dega b Terdapat ( ) Im ( ) λ = da ( λ) dega Im Re = α < λ utu =,, 3 da (8) Lihat Gambar 3 Tastabil Repellor, ia : a Re( λ) = α > dega Im ( λ ) = utu setiap =,, 3 (9) Lihat Gambar 4 b Terdapat ( λ) α Im( λ ) = da ( λ) dega Re = > dega Re = α > Im λ utu =,, 3 da () Lihat Gambar 5 3 Titi Sadel, ia : Re λ = α > dega a Terdapat ( ) Im( λ ) = da ( λ) dega Re = α < Im λ utu =,, 3 da () Lihat Gambar 6 Re λ = α > dega b Terdapat ( ) Im( λ ) = da ( λ) dega Re = α < Im λ = utu =,, 3 da () Lihat Gambar 7 Re λ = α < dega c Terdapat ( ) Im( ) λ = da ( λ) dega Im Re = α > λ utu =,, 3 da (3) Lihat Gambar 8 Re λ = α < dega d Terdapat ( ) Im( λ ) = da ( λ) dega Re = α > Im λ = utu =,, 3 da (4) Lihat Gambar 9 (Tu, 994) Gambar Attractor (stabil) Gambar 3 Attractor (stabil)

5 5 Gambar 4 Repellor (tastabil) Gambar 7 Titi Sadel Gambar 5 Repellor (tastabil) Gambar 8 Titi Sadel Gambar 6 Titi Sadel Gambar 9 Titi Sadel Gambar sampai 9 merupaa alira-alira hyperbolic dalam 3 dimesi 3 Kestabila Liapuov Dalam Matematia, estabila Liapuov serig diguaa utu mempelaari masalah diamia sistem Beriut ii adalah defiisi-defiisi formal yag diguaa utu membagu estabila Liapuov Defiisi (Matris Defiit Positif) Suatu matris simetris real A disebut defiit positif ia T A > utu semua taol dalam (Leo, ) Teorema 3 Misala A adalah matris simetri real berorde Maa A adalah defiit positif a da haya ia semua ilai-ilai eigeya adalah positif (Leo, ) Defiisi (Fugsi Liapuov) Suatu fugsi berilai real da terturua V ( ) pada titi di seitar, utu peyederhaaa misala =, sedemiia V V = yaitu sehigga ( ),

6 6 ( ) = ia da haya ia = ( = ) V disebut fugsi Liapuov, (Tu, 994) Defiisi 3 (Fugsi Defiit Positif/Negatif da Semidefiit Positif/Negatif) Misala V ( ) adalah fugsi berilai real dega adalah (,,, ) V( ) adalah defiit positif (egatif) pada daerah S di seitar titi asal ia V( ) > (V( ) < ) utu semua pada S, da V( ) = V( ) adalah semidefiit positif (egatif) pada daerah S di seitar titi asal ia V( ) (V( ) ) utu semua pada S, da V( ) = ( Smith, 987) Teorema 4 (Stabil Seragam) * Misala () t, t t adalah solusi ol dari * sistem = X( ), da X( ) =, maa ( t) adalah stabil seragam utu t t ia terdapat fugsi berilai real V ( ) pada daerah di seitar = dega : (i) V( ) da turua-turua parsialya otiu; V adalah defiit positif; ( ii ) ( iii ) V ( ) adalah semidefiit egatif Teorema 5 (Stabil Asimtoti Loal da Global) Misala semua odisi pada Teorema 4 dipeuhi, ecuali ( iii ) digati oleh adalah defiit egatif maa solusi ol-ya adalah stabil asimtoti ( iii) V( ) Catata: Daerah di seitar titi asal disebut domai estabila asimtoti, atau domai atrasi Ketia domai atrasiya adalah seluruh bidag, maa sistemya disebut stabil asimtoti global 3 Fugsi V( ) yag memeuhi Teorema 5 disebut fugsi Liapuov lemah, sedaga fugsi yag memeuhi Teorema 6 disebut fugsi Liapuov uat ( Smith, 987) 4 Keterbatasa, Keotiua, Kemootoa Fugsi da Keovergea Itegral Tawaar Defiisi 4 (Fugsi Terbatas) Suatu fugsi f : A B disebut terbatas ia terdapat bilaga real M > sedemiia sehigga f ( ) M utu setiap A (Zipse, 987) Defiisi 5 ( Fugsi Kotiu) Suatu fugsi f diataa otiu di c ia lim f c ( ) ada f c ada 3 lim f = f c c Jia salah satu dari etiga syarat tersebut taterpeuhi maa f diataa taotiu Titi dimaa fugsi f taotiu disebut titi etaotiua (discotiuity) dari f (Stewart, 99) Defiisi 6 (Kotiu Bagia demi Bagia) Fugsi yag mempuyai seumlah berhigga titi etaotiua disebut fugsi yag otiu bagia demi bagia (piecewise cotiuity) (Stewart, 99) Defiisi 7 (Kemootoa) Misala f terdefiisi pada selag I (terbua, tertutup, atau ta satupu) Fugsi f diataa i ai pada I ia utu setiap pasag bilaga da dalam I, < f ( ) < f ( ) ii turu pada I ia utu setiap pasag bilaga da dalam I, < f ( ) > f ( ) (Purcell, 999) Teorema 6 Misala fugsi f otiu pada [, ] terturua pada ( ab, ) i Jia f ( ) ( ab, ), maa f ai pada [ ab, ] ii Jia f ( ) ( ab, ), maa f turu pada [ ab, ] ab da > utu setiap pada < utu setiap pada (Purcell, 999)

7 7 Defiisi 8 (Itegral Tawaar) t Jia f ( ) d ada utu setiap t a, maa a t lim f ( ) d = f ( ) d (4) a a dega syarat limitya ada (sebagai bilaga berhigga) Jia limitya ada maa itegral pada (4) disebut overge (Stewart, 99) 5 Solusi Persamaa Diferesial Biasa dega Metode Operator D Persamaa diferesial berorde dega oefisie-oefisie osta dapat ditulisa sebagai ay + a y + + ay + a = Q (5) d Misala D sehigga persamaa (5) d dapat ditulisa embali sebagai persamaa (5) beriut ( ad + a D + + ad + a ) y= Q dega Q adalah fugsi dari Solusi umum dari persamaa (5) berbetu y = CF + PI dega CF (Complemetary Fuctio) megadug ostata sembarag da PI (Particular Itegral) yag tida megadug ostata sembarag Persamaa (5) dapat ditulis dalam betu f D y = Q, (53) dega f ( D ) adalah poliomial berderaat Utu asus Q =, dega meyusu persamaa batu (Auiliary Equatio) diperoleh solusi dari persamaa (53) yag biasa disebut CF Sedaga utu meetua PI dimisala Q adalah f D fugsi dari ( Q ) sedemiia sehigga maa f ( D) Q = Q f ( D), (54) y = Q f (55) ( D) adalah solusi PI dari persamaa (53) pada persamaa (55) bertugas f D sebagai operator yag dioperasia pada Q, utu meghasila PI Utu asus Q = e α dega α adalah ostata, atura turua memberia hasil sebagai beriut α α DQ = De = αe (56) α α α ( D+ a) e = De + ae α α = αe + ae = ( α + a) e α (57) Dari (56) da (57) dapat disimpula α α f ( D) e = f ( α ) e, sehigga α α e = e, f ( α ) f ( D) f ( α ) (Bapai, 97) Cotoh Carilah solusi umum dari persamaa diferesial 3y y 4y = 5e (58) Jawab CF diperoleh dari 3y y 4y = persamaa batuya adalah 3β β 4= 4 da β =, β =, adalah aar-aar 3 persamaa batu Oleh area itu diperoleh CF = A e + A e β β 4 3 Ae = A e +, dega A, A d ostata sembarag Misala D, d maa persamaa (58) meadi ( 3D D 4) y = 5e PI diperoleh dari 5e y = 3D D 4 = 5 e 3 ( ) 4 5 = e 6 Jadi solusi umum dari persamaa diferesial (58) adalah y = CF + PI = Ae + Ae + e, dega A, A 6 ostata sembarag

8 8 6 Kotrol Optimum Dalam suatu masalah eoomi yag berembag meurut watu, sistem pada watu t dapat diugapa dega peubah eadaa (state variabel) () t t atau,, dalam betu vetor () t Dega ilai t yag berbeda, vetor () t meempati posisi yag berbeda di ruag Diamia sistem dapat diyataa secara matemati melalui persamaa diferesial: ( (), (), ) = f t U t t (6) d dega = Misala dietahui eadaa dt sistem pada watu t, t = Jia dipilih peubah otrol U() t yag terdefiisi utu t t, maa diperoleh persamaa diferesial orde satu dega peubah tatetu () t Karea diberia maa (6) mempuyai solusi tuggal Solusi yag diperoleh merupaa respo terhadap otrol U yag dilambaga dega U () t Dega memilii fugsi otrol yag sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh Agar solusi yag diperoleh adalah solusi yag diigia, diperlua adaya riteria bagi solusi yag diigia, artiya utu setiap otrol U() t da respoya state () t dihubuga dega fugsi T J U = f t, U t, t dt (6) t dega f fugsi yag diberia T tida harus fied (ditetua) da ( T ) mempuyai odisi tertetu Di atara semua fugsi/peubah otrol yag diperoleh ditetua salah satu sehigga J meadi masimum Kotrol yag bersifat demiia disebut otrol optimum (Tu, 993) Beriut ii aa dibahas prisip masimum Potryagi utu masalah otrol optimum dega horizo watu taberhigga Teorema 7 Misala diberia suatu permasalaha seperti beriut,,, (63) mas () f u tudt terhadap edala = f, u ve (virtually everywhere), i ( t) u U, lim i =, (64) =, i =,, m (65) U adalah himpua yag berada di m, f i fi :, i =,,, f i da, i =,,, otiu, demiia uga dega f, da ve (virtually everywhere) berarti t terdefiisi di maa-maa, ecuali di seumlah berhigga titi Diasumsia bahwa () t, u ( t) adalah solusi optimal di atara semua pasaga ( (, ) u ()) yag memeuhi (64), (65), da itegral pada (63) overge, dega u () otiu bagia demi bagia pada setiap iterval Diasumsia uga bahwa f ( t + σ, () t, u () t ) d( t) ada utu setiap σ pada iterval ( ε, ε ), sehigga utu fugsi α ( t) yag otiu bagia demi bagia, berlau f t+ σ, t, u t t δ ( () ()) ( εε, ), [, ) α () t utu setiap t da α() t dt < Maa terdapat pasaga ( p, p () t ), p, ( p, p( t) ) utu setiap t, sedemiia sehigga p( t ) adalah solusi otiu dari persamaa adoit p =H( t, ( t), u ( t), p( t) ) ve, (66) dega H = p f ( t,, u) + p( t) f (, u) Selautya H t, t, ut, pt mas u H t, ( t), u( t), pt = ve (67) da lim H t, t, u t, p t = (68) ( ) (Seierstad, )