BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Bab ii berisi teori-teori yag meladasi pembahasa dalam tugas akhir ii, yag terdiri fugsi liear, persamaa da pertidaksamaa liear, pemrograma liear, bilaga iterval, karakteristik dari persamaa liear dega koefisie iterval, efek dari koefisie iterval dalam program liear, model LPIC, kedala persamaa melibatka koefisie iterval, dualitas da POM (Productio Ad Operatios Maagemet) for Widows Fugsi Liear Misalka f(x 1, x 2,, x ) adalah fugsi dalam variabel-variabel x 1, x 2,, x. Fugsi f(x 1, x 2,, x ) diamaka fugsi liear jika da haya jika ada kostata c 1, c 2,, c, f(x 1, x 2,, x ) = c 1 x 1 + c 2 x c x. [12] Cotoh 2.1. Fugsi liear adalah f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 3x 2, sedagka f(x 1, x 2 ) 3 = x 1 x 2 buka fugsi liear. 2.2 Persamaa da Pertidaksamaa Liear Defiisi 2.1. Utuk sembarag fugsi liear f(x 1, x 2,, x ) da sembarag bilaga b, suatu persamaa f(x 1, x 2,, x ) = b disebut persamaa liear. [12] Defiisi 2.2. Utuk sembarag fugsi liear f(x 1, x 2,, x ) da sembarag bilaga b, f(x 1, x 2,, x ) b atau f(x 1, x 2,, x ) b disebut pertidaksamaa liear. [12] Cotoh 2.2. Persamaa liear adalah x 1 + 3x 2 = 7 sedagka pertidaksamaa liear adalah 2x 1 + 3x Pemrograma liear Pemrograma liear adalah alat matematika yag dikembagka utuk meagai optimasi subjek fugsi liear utuk satu himpua kedala liear. 5

2 Subjek pemrograma liear adalah wilayah yag sagat petig dalam matematika terapa da memiliki sejumlah besar keguaa da aplikasi di bayak idustri. Beberapa aplikasi saat ii meliputi; alokasi sumber daya. masalah trasportasi da pejadwala operasi. [9] Betuk stadar model pemrograma liear adalah sebagai berikut: [3] Maksimasi Z = c 1 x 1 + c 2 x c x Terhadap kedala (2.1) a 11 x 1 + a 12 x a 1 x b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x b 2 a m1 x 1 + a m2 x a m x b m da x 1 0, x 2 0,, x 0 Keteraga: Fugsi yag memaksimalka c 1 x 1 + c 2 x c x disebut fugsi objektif. x 1, x 2,, x adalah variabel keputusa. c j, b i da a ij ( utuk i = 1, 2,, m da j = 1, 2,, ) adalah parameter model. Betuk lai: 1. Memiimalka fugsi tujua: Miimasi Z = c 1 x 1 + c 2 x c x. 2. Beberapa fugsi kedala betuk pertidaksamaa lebih besar atau sama dega: a i1 x 1 + a i2 x a i x b i utuk beberapa ilai i. 3. Beberapa fugsi kedala dalam betuk persamaa a i1 x 1 + a i2 x a i x = b i utuk beberapa ilai i. 6

3 Defiisi 2.3 Solusi fisibel adalah solusi yag semua kedala terpeuhi. Solusi yag tidak fisibel adalah solusi yag setidakya satu kedala dilaggar. [3] Defiisi 2.4. Daerah fisibel adalah kumpula dari seluruh solusi fisibel. [3] Defiisi 2.5. Solusi optimal adalah solusi fisibel yag memiliki ilai palig megutugka dari fugsi tujua. [3] 2.4 Bilaga Iterval Bilaga iterval pada garis bilaga R adalah himpua seluruh titik (bilaga di atara dua titik ujug tertetu pada garis bilaga R. [6] Misalka (a, b) R da a < b. Iterval tertutup [a,b] dari a ke b adalah {x R a x b}. [2] Sifat sifat iterval: [5] Jika A = [ a, a ] da B = [ b, b ] dega 0 B maka: 1. A + B = [ a + b, a + b ] (Pejumlaha) 2. A B = [ a b, a b ] (Peguraga) 3. A B = [mi {a b, a b, a b, a b }, maks {a b, a b, a b, a b }] 4. (Perkalia) A B = [ a, a ] [1 b, 1 b ] (Pembagia) Jika 0 B, maka A/B tidak terdefiisi. Jika A, B, da C I(R) maka: 5. A + B = B + A, A B = B A (Komutatif) 6. (A + B) + C = A + (B + C), (A B) C = A (B C) (Assosiatif) 7. [0,0] da [1,1], adalah eleme etral pada sifat pejumlaha da pembagia. 8. Iterval bilaga Riil tidak memiliki pembagi 0 7

4 9. Bilaga Riil A = [ a, a ], a a tidak memiliki ivers pada sifat pejumlaha da perkalia, amu 0 (A A) da 1 ( A ) A 10. A (B + C) A B + A C (Subdistributif) 11. a(b + C) = ab + ac, a R 2.5 Karakteristik dari Persamaa Liear dega Koefisie Iterval Defiisi 2.6. Misalka [ a 1, a 2 ]x 1 + [ b 1, b 2 ]x 2 = (, )[ c 1, c 2 ] mejadi kedala yag diberika dalam masalah program liier dega koefisie iterval. Pergesera kedala adalah geraka paralel kedala dari satu posisi ke posisi lai tapa megubah kemirigaya. Pergesera ii haya disebabka oleh perubaha RHS (Right Had Side) dari satu ilai dalam [ c 1, c 2 ] ke ilai lai di [ c 1, c 2 ]. [6] Cotoh 2.3. Misalka 2x 1 + 4x 2 [4,8] mejadi kedala liear dega iterval RHS, maka kedala aka beralih dari satu versi ekstrim (2x 1 + 4x 2 4) ke yag lai (2x 1 + 4x 2 8). Defiisi 2.7. Misalka [ a 1, a 2 ]x 1 + [ b 1, b 2 ]x 2 = (, )[ c 1, c 2 ] mejadi kedala tertetu (atau fugsi tujua) dalam masalah program liier dega koefisie iterval. Kemiriga adalah perubaha slope dari kedala yag diberika (atau fugsi tujua). Kemiriga disebabka oleh perubaha setidakya satu dari koefisie iterval yag terkait dega salah satu variabel dari satu ilai dalam iterval utuk ilai lai juga dalam iterval. [6] Cotoh 2.4. Misalka 2x 1 + [2,4]x 2 4 mejadi kedala liear dega koefisie selag terkait dega x 2, maka kedala aka diubah mejadi versi ekstrim 2x 1 + 2x 2 4, da 2x 1 + 4x 2 4. Defiisi 2.8. Pembalika kedala liear (atau fugsi tujua) dari masalah pemrograma liear adalah jeis khusus mirig yag terjadi ketika terjadi perubaha simulta dari semua tada koefisie pada LHS (yaitu semua koefisie selag yag berhubuga dega variabel retag ol ). [6] 8

5 Cotoh 2.5. Misalka [ 1,1]x 1 + [ 1,2]x 2 2 mejadi kedala liear dega iterval LHS (Left Had Side), maka kedala mejadi ( x 1 x 2 2) da (x 1 + 2x 2 2). 2.6 Efek dari Koefisie Iterval dalam Program Liear Misalka C adalah himpua kedala dega koefisie iterval, C 1 da C II adalah dua himpua kedala berbeda yag dibagkitka dari C dega megguaka versi ekstrim berbeda. Daerah fisibel S I da S II yag dihasilka oleh C I da C II dijelaska oleh salah satu kemugkia ii: [6] 1. S I S II atau S II S I, yaitu suatu daerah fisibel seluruhya termuat dalam daerah fisibel laiya. 2. S I S II da S I S II, yaitu suatu daerah fisibel memotog sebagia daerah fisibel laiya. 3. S I S II =, yaitu tidak ada tumpag tidih pada daerah- daerah fisibel. Cotoh 2.6. Misalka C adalah himpua kedala sebagai berikut : [1] a 2x 1 2x 2 [1,2] C = { b x 1 + x 2 [2,3] x 1, x 2 0 Aka dicari daerah fisibel yag memeuhi himpua kedala tersebut. Peyelesaia Kedala spesifik C 1 da C II adalah sebagai berikut: a I 2x 1 2x 2 2 C I = { b I x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 C II = { a II 2x 1 2x 2 1 b II x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 9

6 Dari betuk PL diatas, maka daerah fisibel disajika pada gambar 2.1 da 2.2 Gambar 2.1. Daerah fisibel S I yag memeuhi kedala C I pada Cotoh 2.5 Gambar 2.2. Daerah fisibel S II yag memeuhi kedala C II pada Cotoh 2.5 Daerah yag diraster pada gambar 2.1 merupaka grafik himpua peyelesaia dari kedala C I. Pada kedala C I, x 1 0 sehigga yag diraster adalah sebelah atas sumbu x 1, x 2 0 sehigga yag diraster adalah sebelah kaa sumbu x 2. Garis a I melalui titik (1,0) da titik (0,-1). Ambil titik uji P(0,0) yag berada diatas garis a I, karea kedala a I adalah 2x 1 2x 2 2, sehigga diperoleh hubuga 2(0) 2(0) 2 0 2, peryataa 0 2 adalah bear, sehigga yag diraster adalah bagia atas garis a I. Garis b I melalui titik (2,0) da titik (0,2). Ambil titik uji P(0,0) yag berada dibawah garis b I, karea kedala b I adalah x 1 + x 2 2, sehigga diperoleh hubuga , peryataa 0 2 adalah salah, sehigga yag diraster adalah bagia atas garis b I. Utuk pejelasa gambar 2.2, caraya sama dega pejelasa gambar

7 Maka daerah fisibel S II S I, sebagaimaa diilustrasika oleh Gambar 2.3. Gambar 2.3. Daerah fisibel kedala C pada Cotoh 2.5 Gambar 2.3 merupaka gabuga dari kedua grafik himpua peyelesaia pada gambar 2.1 da gambar 2.2. Dalam gambar 2.3 terlihat bahwa S II S I. Cotoh 2.7. Misalka C adalah himpua kedala sebagai berikut : [1] a [1,2]x 1 + x 2 2 C = { b x 1 + [3,4]x 2 4 x 1, x 2 0 Aka dicari daerah fisibel yag memeuhi himpua kedala tersebut. Peyelesaia Kedala spesifik C I da C II adalah sebagai berikut: a I 2x 1 + x 2 2 C I = { b I x 1 + 3x 2 4 x 1, x 2 0 a II x 1 + x 2 2 C II = { b II x 1 + 4x 2 4 x 1, x 2 0 Dari betuk PL diatas, maka daerah fisibel disajika pada gambar 2.4 da

8 Gambar 2.4. Daerah fisibel S I yag memeuhi kedala C I pada cotoh 2.6 Gambar 2.5. Daerah fisibel S II yag memeuhi kedala C II pada Cotoh 2.6 Daerah yag diraster pada gambar 2.4 merupaka grafik himpua peyelesaia dari kedala C I. Pada kedala C I, x 1 0 sehigga yag diraster adalah sebelah atas sumbu x 1, x 2 0 sehigga yag diraster adalah sebelah kaa sumbu x 2. Garis a I melalui titik (1,0) da titik (0,2). Ambil titik uji P(0,0) yag berada dibawah garis a I, karea kedala a I adalah 2x 1 + x 2 2, sehigga diperoleh hubuga 2(0) + (0) 2 0 2, peryataa 0 2 adalah salah, sehigga yag diraster adalah bagia atas garis a I. Garis b I melalui titik (4,0) da titik (0,1.3). Ambil titik uji P(0,0) yag berada dibawah garis b I, karea kedala b I adalah x 1 + 3x 2 4, sehigga diperoleh hubuga 0 + 3(0) 4 0 4, peryataa 0 4 adalah bear, sehigga yag diraster adalah bagia bawah garis b I. Utuk pejelasa gambar 2.5, caraya sama dega pejelasa gambar 2.4. Maka S I S II da S I S II sebagaimaa diilustrasika oleh Gambar

9 Gambar 2.6. Daerah fisibel S I S II pada Cotoh 2.6 Gambar 2.6 merupaka gabuga dari kedua grafik himpua peyelesaia pada gambar 2.4 da gambar 2.5, sehigga diperoleh irisa daerah fisibel S I S II. Cotoh 2.8. Misalka himpua kedala C sebagai berikut: [1] a [ 1,1]x 1 +[ 1,1]x 2 1 C = { b x 1 2 c x 2 2 Aka dicari daerah fisibel yag memeuhi himpua kedala tersebut. Peyelesaia Kedala spesifik C I da C II adalah sebagai berikut: a I x 1 +x 2 1 C I = { b x 1 2 c x 2 2 a II x 1 x 2 1 C II = { b x 1 2 c x 2 2 Sehigga S I S II = sebagaimaa diilustrasika pada Gambar

10 Gambar 2.7. Daerah fisibel S I da S II pada Cotoh 2.7. Daerah yag diraster pada gambar 2.7 merupaka grafik himpua peyelesaia dari kedala C I da C II. Garis b melalui titik (-2,0), pilih titik x 1 = 0, karea kedala b adalah x 1 2 sehigga diperoleh hubuga 0 2. Peryataa 0 2 adalah bear, sehigga yag diraster adalah sebelah kaa garis b. Garis c melalui titik (0,-2), pilih titik x 2 = 0, karea kedala c adalah x 2 2, sehigga diperoleh hubuga 0 2. Peryataa 0 2 adalah bear, sehigga yag diraster adalah sebelah atas garis c. Garis a I melalui titik (1,0) da titik (0,1). Ambil titik uji P(0,0) yag berada dibawah garis a I. Karea kedala a I adalah x 1 +x 2 1, sehigga diperoleh hubuga , peryataa 0 1 adalah salah, sehigga yag diraster adalah bagia atas garis a I. Garis a II melalui titik (-1,0) da titik (0,-1). Ambil titik uji P(0,0) yag berada diatas garis a II, karea kedala a II adalah x 1 x 2 1, sehigga diperoleh hubuga ,peryataa 0 1 adalah salah, sehigga yag diraster adalah bagia bawah garis a II. 2.7 Model LPIC (Liear Programmig with Iterval Coefficiet) Betuk umum model LPIC dega kedala berupa pertidaksamaa iterval adalah sebagai berikut: [6] Mi Z = [c j, c j ]x j j=1 terhadap kedala : (2.2) 14

11 [a ij, a ij ]x j [b i, b i ] j=1 utuk i = 1,, m x j adalah variabel sig-restricted j (yaitu x j W I, j ). [c j, c j ], [a ij, a ij ], [ b i, b i ] I(R) dimaa I(R) adalah himpua seluruh bilaga iterval pada R. Keteraga : x = (x 1, x 2, x 3,, x ),dimaa x j adalah varialel ke-j. W I = himpua semua variabel sig-restricted yag terkait dega koefisie iterval. a ij = batas atas koefisie iterval dari variabel ke-j pada kedala ke-i. a ij = batas bawah koefisie iterval dari variabel ke-j pada kedala ke-i. b i = batas atas koefisie iterval dari ilai ruas kaa / RHS (Right Had Side ) pada kedala ke-i. b i = batas bawah koefisie iterval dari ilai ruas kaa /RHS pada kedala ke-i. c j = batas atas koefisie iterval variabel ke-j pada fugsi objektif. c j = batas bawah koefisie iterval variabel ke-j pada fugsi objektif. Defiisi 2.9. Utuk setiap pertidaksamaa kedala i pada (2.2), pertidaksamaa j=1 a j x j b, dimaa a j [a ij, a ij ] da b [b i, b i ], disebut formula karakteristik utuk pertidaksamaa i pada (2.2). [8] Defiisi Utuk setiap pertidaksamaa kedala i pada (2.2), jika ada satu rumusa karakteristik sedemikia sehigga himpua solusiya sama dega S atau S maka formula karakteristik ii disebut pertidaksamaa rage ilai makimum atau pertidaksamaa rage ilai miimum. [8] Keteraga : S = gabuga dari seluruh himpua solusi pertidaksamaa ekstrim. 15

12 S = irisa dari seluruh himpua solusi pertidaksamaa ekstrim. Teorema 2.1. Jika ada pertidaksamaa iterval x j 0 j maka: j=1 [a j, a j ]x j [b, b] dimaa, j=1 a j x j b da j=1 a j x j b adalah pertidaksamaa rage ilai maksimum da pertidaksamaa rage ilai miimum. [8] Teorema 2.2. Misalka Z = j=1 [c j, c j ]x j adalah fugsi objektif utuk x j 0 maka; [8] j=1 c j x j j=1 c j x j x = (x 1, x 2,, x ), x j 0. Dega megguaka teorema 2.1 da 2.2 maka dapat dihitug solusi optimal yag terbaik (best optimum) da solusi optimal terburuk (worst optimum) dari masalah LPIC yag diberika. Hal ii dilakuka dega megubah masalah LPIC asli ke dua masalah pemrograma liear klasik. [6] 2.8. Kedala Persamaa Melibatka Koefisie Iterval Teorema 2.3. jika [a,b] = [c,d] maka b c da a d. [8] Dega meerapka teorema 2.3 maka aka dapat megkoversi kedala persamaa melibatka koefisie Iterval mejadi dua kedala pertidaksamaa melibatka koefisie tetap saja, sebagai berikut: [6] Misalka j=1 [a j, a j ]x j = [b, b] (2.3) merupaka kedala persamaa dega koefisie iterval, maka dega megaplikasika teorema 2.3 aka dapat meggatika kedala ii dega dua kedala berikut: [6] j=1 a j x j b, dimaa a j = { a j jika x j 0 a j jika x j 0 (2.4) 16

13 j=1 a j x j b, dimaa a j = { a j jika x j 0 a j jika x j 0 (2.5) Teorema 2.4. Misalka P LPIC model miimasi dega m kedala pertidaksamaa iterval biasa da k kedala persamaa iterval (k 1). Misalka j=1 [a ij, a ij ]x j = [b i, b i ] merupaka kedala persamaa iterval i maka solusi worst optimum aka berada di kedua: [8] (I) j=1 a ij x j = b i, dimaa a ij = { a ij jika x j 0 a ij jika x j 0 (II) j=1 a ij x j = b i, dimaa a ij = { a ij jika x j 0 a ij jika x j 0 Utuk tiap kedala persamaa iterval i. Dega meerapka teorema ii maka aka dapat meetuka apakah worst optimum ada utuk model Dualitas Defiisi Masalah dual adalah sebuah masalah LP yag dituruka secara matematis dari satu model LP primal. Masalah dual da primal sagat berkaita erat sedemikia rupa sehiggga pemecaha simpleks optimal dari salah satu masalah aka secara otomatis meghasilka pemecaha optimum utuk masalah laiya. [10] Cotoh 2.9. Betuk primal: Maksimasi Z = 5x 1 + [9,13]x 2 Terhadap: C 1 : 6x 1 + [4,5]x 2 40 C 2 : [0.95,1.05]x 1 5 C 3 : x 2 [3.6,4.4] x 1, x

14 Betuk dualya adalah sebagai berikut: Miimasi Z = 5x 1 + [ 13, 9]x 2 Terhadap: C 1 : 6x 1 + [ 5, 4]x 2 40 C 2 : [ 1.05, 0.95]x 1 5 C 3 : x 2 [ 4.4, 3.6] x 1, x POM (Productio Ad Operatios Maagemet ) for Widows Versio 3 Program POM for Widows 3 adalah sebuah program komputer yag diguaka utuk memecahka masalah dalam bidag produksi da maajeme operasi yag bersifat kuatitatif. Program ii meyediaka 20 modul yag berbeda pegguaaya, yaitu: [11] 1. Aggregate Plaig 12. Lot Sizig 2. Assigmet (Peugasa) 13. Material Requiremet 3. Balacig Assembly Lie Plaig 4. Break eve 14. Operatios Lay Out 5. Decisio Aalysis 15. PERT/ CPM 6. Forecastig 16. Quality Cotrol 7. Ivetory 17. Realibility 8. Job Shop Schedulig 18. Simulatio 9. Learig Curve 19. Trasportatio 10. Liier Programmig 20. Waitig Lies 11. Locatio Mejalaka POM for Widows 3 a. Melalui Shortcut. Apabila ada shortcut POM for Widows 3 maka klik 2 kali pada ico (Gambar) Shortcut POM for Widows 3. b. Melalui Meu Program 18

15 Klik start Program Pilih POM for Widows 3 sehigga akam mucul layar berikut : Gambar 2.8. Tampila POM for widows 3 Secara garis besar layar POM for Widows 3 terdiri atas : 1. Title Bar Terdiri dari: The cotrol Mai Box, program ame da butto utuk layar yaitu Miimize, Maximize, da close. 2. Meu Bar Terdiri dari: File, Edit, View, Modul, Tables, Tools, Widows, da Help. 3. Tool Bar atau Butto Bar Terdiri dari: Commad Bar, cotohya prit scree da solve, Istructio Pael, Extra Data Area, Data Table, Aotatio Area, Status Pael. LINIER PROGRAMMING Modul ii diguaka utuk memecahka masalah yag terkait dega pegalokasia sumber daya perusahaa secara optimal utuk mecapai keutuga maksimal atau biaya miimum. Ada dua model dalam Liier Pragrammig, yaitu: 1. Model Grafik Model grafik diguaka utuk memecahka masalah peetua kombiasi optimum (maksimal dua variabel) gua memaksimumka laba atau memiimumka biaya dega kedala tertetu. 20

16 2. Model Simplex Model simplex diguaka utuk memecahka masalah programasi liear melalui iterasi di maa tahapa-tahapa komputasioal diulagi terus meerus sebelum diperoleh tigkat optimal. Tujuaya sama seperti Model Grafik Liear Programmig yaitu utuk medapatka keutuga maksimal (Maksimisasi) da biaya miimum (miimisasi). Nilai ruas kaa fugsi kedala harus positif, jika egatif kalika dega 1. Lagkah-lagkah dalam meyelesaika pemrograma liear 1. Susu formulasi pemrograma liear. 2. Setelah formulasi selesai disusu maka masukka data pada program POM for Widows 3 dega lagkah sebagai berikut: a. Pada meu POM klik MODULE lalu pilih Liear Programmig, lalu klik NEW sehigga mucul gambar berikut : Gambar 2.9. Tampila POM pegisia data. Keteraga: Title Judul kasus yag diselesaika Number of Costrait Jumlah fugsi batasa yag ada pada kasus Number of Variables Jumlah variabel yag ada pada fugsi tujua. Objective Tujua pegalokasia sumber daya. 21

17 Row Name Optios Nama batasa yag diigika, misalya A,B,C, b. Klik OK sehigga mucul tampila isia utuk memasukka koefisie fugsi batasa da fugsi tujua serta kapasitas maksimum batasa pada kolom RHS (Right Had Side) seperti berikut: Gambar Tampila POM pegisia data c. Masuka data, kemudia klik SOLVE apabila data sudah legkap da bear sehigga aka tampak hasilya. d. Kemudia dega meg-klik Widow aka tampil piliha Liear Programmig Result, Ragig, Solutio List, Iteratios, da Graph. 22