BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA

BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA A-3 Dan Aresta Yuwanngsh 1 1 Mahasswa S Matematka UGM dan.aresta17@yahoo.com Abstrak Dberkan R merupakan rng dengan elemen satuan, M R-modul kanan, dan R S End M merupakan rng endomorfsma modul. Submodul sejat nvaran penuh d M dsebut submodul prma apabla untuk setap deal I d S dan submodul nvaran penuh U d M dengan I M atau U. Suatu I U berakbat submodul P d M dsebut submodul semprma apabla P merupakan rsan dar submodul-submodul prma d M. Dalam tulsan n akan dbahas mengena beberapa sfat terkat submodul semprma dengan mengacu pada defns submodul prma d atas. Kata kunc: submodul prma, submodul semprma, submodul nvaran penuh. PENDAHULUAN Pada teor rng, telah dkenal adanya konsep deal prma. Kemudan dar deal prma dapat dturunkan konsep terkat deal semprma. Begtu halnya dalam teor modul, tedapat konsep submodul prma yang merupakan generalsas dar deal prma pada suatu rng. Berdasarkan konsep submodul prma n dapat dturunkan konsep submodul semprma yang merupakan rsan dar submodul-submodul prma d dalam modul tersebut. Konsep terkat submodul prma telah banyak dbahas dalam sejumlah paper dan jurnal. Salah satunya dbahas dalam [1] dan []. Dalam papernya, [1] mendefnskan submodul prma dengan memandang modul M sebaga modul atas rng rng dengan elemen satuan R. Namun dalam papernya [] submodul prma ddefnskan dengan memandang modul M sebaga modul atas rng endomorfsma S End R M. Konsep yang dperkenalkan oleh [] n sebenarnya sama dengan konsep yang dperkenalkan oleh [1] hanya berbeda pada rng pembentukannya saja. Selan tu dalam [] juga dperkenalkan konsep submodul semprma yang merupakan rsan dar semua submodul prma. Apabla dberkan rng R dengan elemen satuan, M merupakan modul kanan atas rng R, sera rng endomorfsma S End R M, maka modul M otomats juga dapat dpandang sebaga modul kr atas rng endomorfsma S. Pada makalah n, akan dbahas mengena konsep submodul semprma pada M dengan mengacu pada defns submodul Makalah dpresentaskan dalam Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka dengan tema Kontrbus Penddkan Matematka dan Matematka dalam Membangun Karakter Guru dan Sswa" pada tanggal 10 November 01 d Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY

semprma yang ddefnskan oleh []. Akan dbahas juga beberapa sfat terkat submodul semprma dan modul semprma. PEMBAHASAN SUBMODUL PRIMA DAN SUBMODUL SEMIPRIMA Pada bagan n akan dbcarakan mengena konsep submodul prma dar suatu M R-modul. Dalam keseluruhan s makalah n, yang dmaksud dengan M R-modul adalah M merupakan modul kanan atas rng R dengan elemen satuan 1 R dan yang dmaksud dengan S M End R merupakan rng endomorfsma modul. Dalam paper n, pendefnsan submodul prma dbatas hanya untuk suatu submodul sejat yang nvaran penuh d dalam M R-modul. Suatu submodul d M dsebut submodul nvaran penuh (fully nvarant) apabla untuk setap f S memenuh f. Dapat dtunjukkan bahwa hmpunan dar semua submodul nvaran penuh d M tertutup terhadap operas penjumlahan dan rsan submodul. Berkut dberkan defns dar submodul prma d M R-modul. Defns.1. [] Dberkan M R-modul dan submodul sejat yang nvaran penuh d M. Submodul dsebut submodul prma d M apabla untuk setap deal I d S dan submodul nvaran penuh U d M dengan I U maka berakbat I M atau U. Suatu M R-modul dsebut modul prma apabla 0 merupakan submodul prma d M.. Selanjutnya, berkut dberkan suatu teorema yang menyatakan beberapa ekuvalens terkat defns dar submodul prma. Teorema.. [] Dberkan M R-modul dan submodul sejat yang nvaran penuh d M. Pernyataan-pernyataan d bawah n ekuvalen: a) merupakan submodul prma d M. b) Untuk setap deal kanan I d S dan submodul U d M dengan I U maka berakbat I M atau U. c) Untuk setap S dan submodul nvaran penuh U d M dengan U berakbat M atau U. dengan S m maka berakbat M d) Untuk setap S dan m M atau m. maka Selanjutnya, suatu submodul prma d M dsebut submodul prma mnmal apabla tdak ada submodul prma lan d M yang termuat d dalam submodul. Berkut dberkan salah satu sfat terkat submodul prma mnmal. Proposs.3. [] Jka P merupakan submodul prma d M R-modul, maka P memuat submodul prma mnmal d M. Sebelum masuk ke pembahasan selanjutnya, dketahu bahwa suatu M R-modul merupakan modul self-generator apabla modul M membangun setap submodulnya. Berkut dberkan suatu sfat terkat modul self-generator. Proposs.4. [6] Dberkan M R-modul dan rng endomorfsma S End R M. Modul M merupakan modul self-generator jka dan hanya jka untuk setap submodul U d M U Hom M, U M. memenuh sfat R Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA - 18

Suatu M R-modul merupakan modul quas-projectve apabla untuk setap epmorfsma f : M N dan homomorfsma g : M N, tedapat homomorfsma H : M M sedemkan hngga memenuh g f h. Berkut dberkan suatu sfat terkat dengan modul quas-projectve. Proposs.5. [5] Dberkan M R-modul dan rng endomorfsma S End R M. Jka M merupakan modul quas-projectve, dbangun secara hngga, dan N merupakan submodul I Hom M, N I Hom M, MI. d M, maka untuk setap R memenuh R Selanjutnya, ddefnskan hmpunan I S dengan I f S f M. Berkut dberkan suatu lemma yang menyatakan syarat perlu hmpunan I menjad suatu deal d S. Lemma.6. [] Dberkan M R-modul dan S End M R. Apabla merupakan submodul nvaran penuh d M, maka Dalam pembentukan deal I f S f M merupakan deal d S. I dperlukan submodul nvaran penuh d M. Apabla merupakan submodul prma, ternyata I membentuk deal prma d S. Hal n djelaskan dalam teorema berkut. Teorema.7. [] Dberkan M R-modul, rng endomorfsma S End M R, dan submodul nvaran penuh d M. a) Jka merupakan submodul prma d M, maka I merupakan deal prma d S. b) Jka M merupakan modul self-generator dan I merupakan deal prma d S, maka merupakan submodul prma d M. Dapat dtunjukkan bahwa rsan dar submodul-submodul prma d M R-modul tdak membentuk submodul prma. Hal nlah yang melatarbelakang pendefnsan submodul semprma. Berkut dberkan defns dar submodul semprma d M R-modul. Defns.8. [] Dberkan M R-modul dan submodul sejat yang nvaran penuh d M. Submodul dsebut submodul semprma d M apabla merupakan rsan dar submodul-submodul prma d M. Sepert halnya pendefnsan modul prma, M R-modul dsebut modul semprma apabla 0 merupakan submodul semprma d M. Selanjutnya, berkut dberkan beberapa contoh dar submodul semprma. Contoh.9. Dberkan sebaga modul. Dketahu bahwa p1, p,..., pk dengan p1, p,..., p k merupakan blangan-blangan prma d. Dapat dtunjukan bahwa p1, p,..., pk masng-masng merupakan submodul prma d. Submodul p1p... pk merupakan submodul semprma d M karena p1p... pk merupakan rsan dar submodul-submodul prma p1, p,..., pk. BEBERAPA SIFAT SUBMODUL SEMIPRIMA Pada bagan n akan dbahas mengena beberapa sfat terkat submodul semprma. Telah dketahu dar bagan sebelumnya bahwa submodul sejat yang nvaran penuh d M dsebut submodul semprma apabla merupakan rsan dar submodul-submodul prma d M. Lebh lanjut, modul M merupakan modul semprma apabla submodul 0 Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA - 19

merupakan submodul semprma d M. Dapat dbuktkan bahwa jka rng R dpandang sebaga R-modul maka berlaku sfat R merupakan rng semprma jka dan hanya jka R R-modul merupakan modul semprma. Sebelum masuk ke pembahasan selanjutnya, dberkan suatu sfat yang nantnya dgunakan dalam pembuktan beberapa sfat submodul semprma. Sfat 3.1. Dberkan modul self-generator M. Jka P merupakan deal d S maka berlaku I P I f S f M P M. PM dengan PM Bukt. Karena M merupakan modul self-generator maka berdasarkan Proposs.4 P M Hom M, P M M P Hom M, P M. dperoleh, sehngga dperoleh Dambl sebarang f P. Karena P HomM, PM maka f M PM, sehngga dperoleh f I PM. Selanjutnya, dambl sebarang g I PM maka dperoleh PM. Dengan demkan, dperoleh, g M g Hom M P M P. Jad terbukt bahwa IPM P. Selanjutnya, akan dberkan suatu teorema yang menjelaskan hubungan antara modul semprma dengan rng endomorfsma S. Namun, sebelumnya berkut dberkan terlebh dahulu suatu lemma yang akan dgunakan dalam pembuktan teorema tersebut. Lemma 3.. [] Dberkan M R-modul, P I yatu hmpunan submodul-submodul nvaran penuh d M, dan P0 I, maka dperoleh I I0. I I P. Jka I f S f M P untuk 0 atau Teorema 3.3. [] Jka M merupakan modul semprma maka rng S merupakan rng semprma. J P I yatu hmpunan submodul-submodul prma d M. Bukt. Msalkan Karena M merupakan modul semprma maka dperoleh 0 P. Karena untuk setap I dketahu bahwa P merupakan submodul prma, maka berdasarkan Teorema.7 dperoleh I merupakan deal prma d S untuk setap I. Dengan mengambl P0 0 maka berdasarkan Lemma 3. dperoleh I I0 0. Dengan demkan, terbukt bahwa I S merupakan rng semprma. Dperhatkan bahwa konvers dar Teorema 3.3 belum tentu berlaku. Apabla dketahu S merupakan rng semprma, maka dperlukan suatu syarat tambahan agar modul M membentuk modul semprma. Hal n djelaskan dalam proposs berkut n. Proposs 3.4. [3] Dberkan M R-modul merupakan modul quas-projectve yang dbangun secara hngga dan merupakan modul self-generator. Jka S merupakan rng semprma maka M merupakan modul semprma. Bukt. Dambl sebarang deal I d S dan dbentuk I M I. Karena M merupakan modul self-generator maka dperoleh I I. Karena M merupakan modul quas-projectve dan dbangun secara hngga maka berdasarkan Proposs.5 dperoleh I HomR M, I M. Pertama dtunjukkan bahwa merupakan submodul prma d M. Dambl sebarang S dan submodul nvaran penuh U d M dengan U tetap Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA - 0

M. Karena M modul self-generator maka U f M untuk suatu S. Karena U submodul nvaran penuh d M maka dperoleh U S U Sf M f, sehngga dperoleh U Sf M. Karena U maka Sf M f untuk setap f. Andakan terdapat f sehngga f M f, berart f I dan I. Karena I merupakan deal prma d S maka berakbat Sf I sehngga dperoleh Sf M. Terjad kontradks, sehngga dperoleh f M untuk setap f sehngga terbukt bahwa U. Dengan demkan, terbukt bahwa merupakan submodul prma d M. Selanjutnya, karena merupakan submodul prma maka berdasarkan Teorema.7 dperoleh I merupakan deal prma d S. Msalkan dbentuk hmpunan submodul prma d M,, maka dperoleh I I dan jelas bahwa I0 0. Dketahu S merupakan rng semprma, berart 0 S merupakan rsan dar semua deal prma I d S. Untuk setap I, dbentuk I M Karena I I maka dperoleh 0 I. sehngga dperoleh I 0. Karena M merupakan modul self-generator maka dperoleh 0. Dengan demkan, terbukt bahwa M merupakan modul semprma. Berkut dberkan suatu proposs yang merupakan syarat cukup agar hmpunan I merupakan deal semprma d S. Proposs 3.5. [4] Dberkan M R-modul. Jka merupakan submodul semprma d M, maka I merupakan deal semprma d S. Selanjutnya, berkut dberkan suatu proposs yang merupakan syarat cukup suatu submodul d M merupakan submodul semprma. Proposs 3.6. [4] Dberkan M R-modul. Jka M merupakan modul self-generator dan P : P M merupakan submodul semprma d merupakan deal semprma d S, maka M dan I P. Bukt. Msalkan PM. Karena M merupakan modul self-generator maka P IPM I. Karena P merupakan deal semprma d S maka dperoleh P K dengan K merupakan deal prma d S untuk setap. Karena M merupakan modul I HomR M, I M HomR M, K M. D K HomR M, K M HomR M, K M self-generator maka dperoleh. Jad dperoleh ss lan dperoleh KM KM sehngga K M. Karena K merupakan deal prma d Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA - 1

S dan M merupakan modul self-generator maka jelas bahwa K M merupakan submodul prma d M untuk setap. Dengan demkan, terbukt bahwa merupakan submodul semprma d M. Apabla modul M merupakan modul self-generator, ternyata pendefnsan submodul semprma dapat dlakukan dengan cara lan. Hal n dberkan dalam proposs berkut n. Proposs 3.7. [4] Dberkan M R-modul self-generator dan submodul nvaran penuh d M. Submodul merupakan submodul semprma jka dan hanya jka untuk setap f S fsf M f M. dengan maka berakbat Bukt.. Dketahu merupakan submodul semprma, maka P untuk suatu keluarga hmpunan dar submodul-submodul prma d M. Dambl sebarang f S dengan fsf M, maka berakbat fsf M P untuk setap P. Karena fs merupakan deal kanan d S dan P merupakan submodul prma maka berakbat f M P untuk setap P. Dengan demkan, terbukt bahwa f M.. Akan dtunjukkan bahwa merupakan submodul semprma. Berdasarkan Proposs 3.6 berart cukup dtunjukkan bahwa I merupakan deal semprma d S. Dambl sebarang f S dengan fsf I. Dr defns I, maka dperoleh fsf M f M. Jad dperoleh. Berdasarkan yang dketahu, maka dperoleh f I, sehngga terbukt bahwa I merupakan deal semprma d S. Dengan demkan, terbukt bahwa merupakan submodul semprma d M. Sepert halnya dalam pendefnsan submodul prma, dalam pendefnsan submodul semprma juga terdapat suatu teorema ekuvalens. Teorema 3.8. [4] Dberkan M R-modul self-generator dan submodul nvaran penuh d M. Pernyataan-pernyataan berkut n adalah ekuvalen: 1. merupakan submodul semprma d M. J M J M.. Jka J merupakan deal d S dengan maka berakbat 3. Jka J merupakan deal d S dengan J M maka berakbat J M. 4. Jka J merupakan deal kanan d S dengan J M maka berakbat J M. 5. Jka J merupakan deal kr d S dengan J M maka berakbat J M. Bukt. 1 4. Dketahu merupakan submodul semprma d M, maka P P untuk suatu keluarga hmpunan dar submodul-submodul prma d M. Karena J M, maka dperoleh dketahu J merupakan deal kanan d S dengan J M P berakbat J M P 4 3. Jelas. untuk setap P. Karena P merupakan submodul prma d M maka untuk setap P. Akbatnya, terbukt bahwa J M. P Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA -

3. Dambl sebarang deal J d S dengan J M. Andakan J M maka J M. Dperhatkan bahwa: J I M J JI I J I M J M JI M I J M I M Karena JI M J, I J M I M, dan I M I M maka dperoleh J I M bahwa J M. 1. Dambl sebarang f S dengan fsf M penuh maka dperoleh SfSf M. Dperhatkan bahwa: SfS M SfSfS M SfSf M. Berdasarkan yang dketahu, maka dperoleh SfS M f M. Terbukt bahwa merupakan submodul semprma d M. 1 5. P,. Kontradks dengan (3). Dengan demkan, terbukt. Karena submodul nvaran. Akbatnya, dperoleh Dketahu merupakan submodul semprma d M, berart dengan P submodul prma d M untuk setap. Msalkan J merupakan deal kr d S dengan J M, maka dperoleh J M J J M JS J M P J M P untuk setap. Akbatnya, dperoleh untuk setap. Karena P merupakan J M submodul prma d M maka dperoleh terbukt bahwa J M. 5 3. Jelas. P untuk setap. Dengan demkan, Akbat 3.9. [4] Dberkan M R-modul self-generator dan submodul semprma d M. n J M Jka J merupakan deal kanan (kr) d S sedemkan hngga memenuh untuk suatu blangan bulat posstf n, maka berakbat J M. Bukt. Pembuktan dlakukan dengan menggunakan nduks matematka pada n. Untuk kasus n=1, jelas bahwa pernyataan benar. Selanjutnya, dasumskan bahwa pernyataan n1 J M J M. Akan benar untuk n-1, yatu jka maka berakbat n dtunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n. Dketahu bahwa J M dtunjukkan bahwa J M n 1 n n J M J M J M., akan. Karena n maka n n, sehngga dperoleh J M. n1. Dengan demkan, dperoleh Berdasarkan asums, maka terbukt bahwa J M. Selanjutnya, karena setap submodul prma d M memuat submodul prma mnmal maka berkut dberkan suatu sfat yang menyatakan bahwa submodul semprma merupakan rsan dar submodul-submodul prma mnmal. Proposs 4.10. Dberkan M R-modul dan submodul semprma P d M. Submodul semprma P merupakan rsan dar submodul-submodul prma mnmal d M. Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA - 3

Bukt. Msalkan dbentuk hmpunan P P submodul prma d M K K submodul prma mnmal d M dengan K P, P dan hmpunan. Dketahu bahwa P merupakan submodul semprma berart P P. Karena setap submodul prma d P M memuat submodul prma mnmal maka jelas bahwa dambl sebarang Pj sehngga a K maka terdapat j K a P. Akbatnya, dperoleh j. Dengan demkan terbukt bahwa P K P P K KESIMPULAN K P P. Selanjutnya, K P K sehngga a K. Berart terdapat P j a P sehngga terbukt bahwa P K. Berdasarkan hasl d atas dketahu bahwa suatu submodul sejat nvaran penuh d M R-modul merupakan submodul prma d M apabla untuk setap deal I d S dan submodul nvaran penuh U d M dengan I U maka berakbat I M atau U. Submodul semprma merupakan rsan dar submodul-submodul prma d M. Dengan mengacu pada defns submodul prma d atas dapat dsmpulkan bahwa konsep dan sfat-sfat deal semprma pada suatu rng dapat dgeneralsas menjad konsep terkat submodul semprma beserta dengan sfat-sfatnya. DAFTAR PUSTAKA Dauns, J., Prme Modules, Journal fur de rene und angewandte Mathematk, 98 (1978) 156-181. Sanh, N.V., Vu, N.A., Asawasamrt, S., Ahmed, K.F.U., dan Thao, L.P., Prmeness n Module Category, Asan-European Journal of Mathematcs, 3(1) (010) 145-154. Sanh., N.V., dan Asawasamrt, S., S., Ahmed, K.F.U., dan Thao, L.P., On Prme and Semprme Golde Modules, Asan-European Journal of Mathematcs, 4() (011) 31-334. Sanh, N.V., Ahmed, K.F.U., dan Thao, L.P., On Semprme Modules wth Chan Condtons, Asan-European Journal of Mathematcs. Wsbauer, R., 1991, Foundatons of Module and Rng Theory, Gordon and Breach, Tokyo. Wsbauer, R., 1996, Modules and Algebras: Bmodule Structure and Group Actons on Lagebras, Addson Wesley Longman, Unted States of Amerca. K Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 01 MA - 4