BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka lokal da terdiri ataompoe periodik atau kompoe siklik kali tre kuadratik. Dega kata lai utuk sembarag titik s [, meuliska fugsi itesitas sebagai berikut * dega ( s ( ( ( s s as kita dapat * (3. ( ( s ( * s a s (3. ( ( ( s s s (3.3 adala fugsi periodik dega periode da a adala * kemiriga dari tre kuadratik serta ( ( s a s. Dalam baasa ii tidak diasumsika suatu betuk parametrik dari keuali bawa adala periodik dega persamaa : ( ( s (3. utuk semua s da k Ζ, dega Ζ adala impua bilaga bulat. Diasumsika bawa adala diketaui. Misalka utuk suatu ω Ω, kita aya memiliki sebua realisasi N ( ω dari proses Poisso N yag terdefiisi pada suatu ruag peluag ( ΩI,,P dega fugsi itesitas seperti (3. yag diamati pada iterval terbatas [, ] [,. Karea s diketaui maka utuk meduga fugsi itesitas ( s seperti pada (3.3 ukup diduga kompoe periodikya yaitu ( s. Karea adala fugsi periodik dega periode, maka masala meduga pada titik s
dega s [, dapat direduksi mejadi masala meduga pada titik s dega s [,. Kita juga asumsika bawa s adala titik Lebesque dari yaitu berlaku : lim ( s x ( s dx. (3.5 Syarat ukup agar s merupaka titik Lebesque dari adala fugsi kotiu di s. Misalka K : [, merupaka fugsi berilai real, yag disebut kerel, yag memeui sifat sifat berikut: (K K merupaka fugsi kepekata peluag, (K K terbatas, da (K3 K memiliki daera defiisi pada [-,] (Helmers et al. 7. Misalka juga merupaka barisa bilaga real positif yag koverge ke, yaitu : jika (3.6 Dega otasi di atas, dapat dirumuska peduga bagi pada titik s [, sebagai berikut: ( K,, k ( x s k s K N ( dx. ( (3.7 Ide dibalik pembetuka peduga tipe kerel di atas dapat digambarka sebagai berikut. Dega megguaka (3.3 da (3., kita perole : Misalka N # ( ( ( ( s ( s ( s k s : { k: [, ] } ( s s k I s k, N k. (3.8 dimaa # meyataka bayakya aggota. ( { [ ]} ( ( s k I s k, N k s k { [ ]} N s k k ( s k ( ( [, ] x I x dx
N k s k ( ( N k ([, ] [, ] EN N s k s k ([, ] [, ] N( [, ] [, ] (3.9 k ( dimaa I meyataka fugsi idikator. Agar pedekata ( pertama pada (3.9 berlaku, diperluka asumsi bawa s adala titik Lebesgue bagi da asumsi (3.6 terpeui. Dega demikia dari (3.9 dapat disimpulka ˆ ( s N( [ s k, s k ] [, ] (3. (. k adala peduga utuk ( s. Peduga ( s ( dapat dituliembali sebagai berikut: ˆ s I s k, s k N d. x ˆ, [ ] ([ ] ( k ( (3.,, Dega meggati fugsi Ι[ ] (., kita dapatka peduga pada (3.7. pada (3. dega kerel umum K, maka 3. Sifat Sifat Statistik Peduga Teorema 3. ( Aproksimasi asimtotik bagi ilai arapa Misalka fugsi itesitas memeui (3. da teritegralka lokal. Jika kerel K adala simetrik da memeui sifat (K,(K,(K3,, memiliki turua kedua berigga pada s da ( ˆ ( s ( ( ( K,, ( maka E s s x K x dx o (3. utuk
Bukti Teorema : E (,, ˆ K E ( s k ( ( x s k K N ( dx x ( s k K EN ( dx k (. (3.3 Persamaa (3.3 dapat ditulis mejadi x ( s k K ( x I ( x [, ] ( dx R k (. (3. Persamaa (3. dapat ditulis R k ( R k ( x K x x d ( Ι ( [, ] x K ( x s( x s k Ι ( x s k [, ] d. (3.5 Dega meggati variabel, maka persamaa (3.5 dapat ditulis mejadi ( x s k ( R k K ( x ( x s Ι ( x s k [, ] dx (3.6 Karea mempuyai turua kedua pada s, megakibatka terbatas di sekitar s. Dega megguaka deret Taylor, yaitu : x ( x s ( s ( s x ( s ο(! (3.7 da fakta bawa k ( ( s k x Ι ( x s k [, ] Ο(, (3.8 utuk berlaku seragam utuk semua x [, ] (3.6 mejadi maka persamaa
x K( x ( ( ( ( ( s s x s ο O! ( s ( s K( x dx ( ( ( ( s xk x dx x K x dx ο! O (3.9 Karea K merupaka fugsi kepekata peluag yag memiliki daera defiisi K x dx. Karea kerel K adala simetrik, maka pada[-,], maka ( ( xk x dx da berdasarka asumsi ruaaa persamaa (3.9, yaitu O Seigga persamaa (3.9 dapat ditulis mejadi E(,, ( ˆ ( s s ( s x K x dx o K, maka suku ke lima dari sama dega o( ( ( utuk. Jadi Teorema 3. terbukti., utuk. Teorema 3. ( Aproksimasi asimtotik bagi ragam Misalka fugsi itesitas memeui (3. da teritegralka lokal. Jika kerel K memeui sifat (K, (K, (K3,, utuk, maka ( s π Var ( K,, ( s K ( x dx ο 6 (3. utuk, asalka s adala titik Lebesgue bagi. Bukti Teorema 3. : Utuk ilai yag besar da k j, [ s j, s j ] iterval [, ] da tidak overlap seigga utuk semua ( ( x s k x s j k j, K N ( dx da K N ( dx adala Seigga Var ( s dapat ditetuka sebagai berikut: ( K,, bebas. Var ( K,, ( s ( x s k Var K k ( N ( dx
(( s k ( x s k K Var ( N ( dx. k (3. Karea N adala peuba aak Poisso, maka Var (N E(N seigga (3. mejadi ( x s k K k ( E N dx ( ( x ( s k K ( x dx. k (( (3. Dega peggatia variabel, serta megguaka persamaa (3.3 da (3., maka persamaa (3. dapat ditulis k x ( ( ( [, K x I x d R. x k R ( ( ( ( ( [, K x s x I x d ( ( x s k ( x K x s I( x s k [, d.(3.3 R k Dapat diperatika bawa ( x s k ( s k π I ( x s k [, dx 6 k o( (3. utuk berlaku seragam utuk semua x [, ] meyubstitusika persamaa (3. ke (3.3 diperole ( K,, 6 R Var ( s K ( x s dx o(. Dega x π (3.5 utuk. Dega peggatia variabel, maka persamaa (3.5 dapat ditulis mejadi
π π K ( x ( x s dx o( K ( x ( x s dx. 6 6 R R (3.6 Selajutya, dari suku pertama (3.6 kita mempuyai ( x s dx ( ( ( ( x s s s dx x s s dx s dx ( ( ( (. (3.7 Utuk meujukka bawa suku pertama (3.7 adala koverge ke ol, aka diguaka ilai yag lebi besar, yaitu ( ( x s s dx. (3.8 Dega asumsi bawa s adala titik Lebesque bagi, maka kuatitas (3.8 koverge ke ol jika, atau dapat juga ditulis o (. Sedagka suku kedua persamaa (3.7 adala ( s dx (s. Dega meggabugka asil yag diperole, maka ( x s dx (s ( o. utuk. Dega demikia (3.6 dapat ditulis mejadi π K x dx o o K x dx o 6 π 6 ( ( ( s ( ( ( ( s ( ( π s s K ( x dx o( K ( x dx o K ( x dx o 6 π 6 (
utuk. Akirya didapatka ( s π Var ( K,, ( s K ( x dx ο 6 (3.9 utuk. Jadi Teorema 3. terbukti. Akibat 3. ( Aproksimasi asimtotik bagi MSE Misalka fugsi itesitas memeui (3. da teritegralka lokal. Jika kerel K adala simetrik da memeui sifat (K, (K, (K3, memiliki turua kedua MSE utuk. (3.3 berigga pada s maka ( π (,, ( ˆ ( s s ( K Bukti Akibat 3. :, da ( s x K x dx ( (, K x dx ο o 6 ( ( ( ( ( ( ( MSE ˆ s Bias ˆ s Var ˆ s (3.3 K,, K,, K,, (,, ˆ K ( ˆ,, ( K dega Bias ( s ( E s s. Dega megguaka Teorema 3. da 3. kita perole da utuk. Bias s x K x dx o ( ˆ ( s ( ( ( K,, ( s π Var ( K,, ( s K ( x dx ο, 6 Seigga persamaa (3.3 dapat ditulis mejadi: ( s π ( ( ( ο ( s x K x dx o K x dx 6
( ( ( π s ( s x K x dx ( (, K x dx ο o (3.3 6 utuk Dega demikia Akibat 3. terbukti.