Universitas Jember Jurusan Matematika - FMIPA MAM 56 Deadline: Wednesday, 9 ; :55 Analisis Kompleks Tugas Template Jawaban Nama Kelompok: Group J Nama Anggota:. Darul Afandi (8). Wahyu Nikmatus Sholihah (8). Irawati NIM (8). Kiki Kurdianto (8) 5. Reyka Bella Desvandai (88) Nama Anggota :Darul Afandi (8) Jawaban soal No. - Soal no.: Hitunglah Hitung (5z z + )dz disekeliling (a) Lingkaran z, (b) bujur sangkar dengan titik-titik sudut (,),(,),(,) dan (,), (c) kurva yang dibatasi parabola y x dari (,) ke (,) dan y x dari (,) ke (,) Solusi: a. Hitung (5z z + )dz disekeliling Lingkaran z Penyelesaiaan: z x + y x + y r x r cos θ cos θ dx sin θ dθ y r sin θ sin θ dy cos θ dθ θ π z re πθ z (cos θ + i sinθ) z (cos θ + i sinθ)
(5z z + )dz c pi 5(cos θ + isinθ) (cos θ + i sinθ) + (dx + idy) pi (5 cos θ + 5i sin θ cos θ i sin θ + )( sin θ dθ + i cos θ dθ) pi 5 cos θ sin θ + 5i cos θ cos θ 5i sin θ sin θ 5 sin θ cos θ + cos θ sin θ i cos θ cos θ + i sin θ sin θ + sin θ cos θ sin θ + i cos θ dθ 5 (sin 5θ sin θ) 5 (sin 5θ + sin θ) + (sin θ sin θ) + (sin θ + sin θ) 5 + cos θ dθ + i (cos 5θ + cos θ) 5 (cos 5θ cos θ) (cos θ + cos θ) (cos θ cos θ) + sin θ dθ 5 sin 5θ + 5 sin θ 5 sin 5θ 5 sin θ + sin θ sin θ + sin θ + sin θ 5 + cos θ dθ + i cos 5θ + 5 cos θ 5 cos 5θ + 5 cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ + sin θ dθ 5 sin 5θ + sin θ + cos θ dθ + i 5 cos θ cos θ cos θ + sin θ dθ [5. 5 cos 5θ cos θ + sin θ + i(5. sin θ sin θ sin θ cos θ)]θ [cos 5θ cos θ + sin θ + i(5 sin θ sin θ cos θ)]π [cos π cos 8π + sin π + i(5 sin 6π sin 8π sin π cos π)] [cos cos + sin + i(5 sin sin sin cos )] [ + + i( )] [ + + i( )]
i) ( i) i + i b. Bujursangkar dengan titik-titik sudut (, ), (, ), (, ), dan (, ) Pada titik (, ) ke (, ) memiliki persamaan y, dy,, (5z z + )dz 5((x + iy) (x + iy) + )d(x + iy) 5((x + iy) (x + iy) + )d(x + iy) (5(x + ) (x + ) + )dx 5x x + dx [x 5 ( ) + x] [ ( ) + ] Pada titik (, ) ke (, ) memiliki persamaan x, dx
,, (5z z + )dz i 5((x + iy) (x + iy) + )d(x + iy) 5((x + iy) (x + iy) + )d(x + iy) (5( + iy) ( + iy) + )idy 5( + iy 6y iy + y ) ( + iy y iy ) + dy i (5 + iy y iy + 5y ) iy + y + iy + dy i (6 + 7iy 7y 9iy + 5y )dy i[6y + 7 iy 9y 9 iy + y 5 ] i[(6 + 7 i 9 9 i + ) ] i[ + 5 ] 5 i Pada titik (, ) ke (, ) memiliki persamaan x dx
,, (5z z + )dz i 5((x + iy) (x + iy) + )d(x + iy) 5((x + iy) (x + iy) + )d(x + iy) (5( + iy) ( + iy) + )idy 5( + iy 6y iy + y ) ( + iy y iy ) + dy i (5 + iy y iy + 5y ) iy + y + iy + dy i (6 + 7iy 7y 9iy + 5y )dy i[6y + 7 iy 9y 9 iy + y 5 ] i[ (6 + 7 i 9 9 i + )] i[ 5 ] i + 5 Pada titik (, ) ke (, ) memiliki persamaan y, dy,, (5z z + )dz (5(x + ) (x + ) + )dx 5x x + dx [x 5 ( ) + x] [ ( ( ) + )] Penyelesaiannya yang diinginkan adalah : + + + ( ) + ( 5 i) + (i + 5 ) + ( ) c. Kurva Pada Parabola y x dari(, ) ke (, ) dan y x dari (, ) ke (, ) 5
). Lintasan, y x dy x dx (5z z + ) dz c [5(x + iy) (x + iy) + ] (dx + idy) c 5(x + y 6x y + ix y ixy ) (x xy + ix y iy ) + (dx + ix dx) c 5x + 5y x y + ix y ixy x + xy ix y + iy + (dx + i dy) c 5x + 5(x ) x x + i x x ix x 6 x + xx ix x + ix 6 c + (dx + ix dx) 5x + 5x 8 x 6 + ix 5 + ix 7 x + x 5 ix + ix 6 + (dx + ix dx) c 5x + 5x 8 x 6 x + x 5 + x 6 + x 8 + 6x 5 x 7 dx + i x 5 + x 9 6x 7 + x 5 x 7 x + 6x 6 x + x 6 + x dx 5x 8 x 7 7x 6 + 9x 5 + 5x x + dx + i (x 9 8x 7 + 7x 6 + x 5 5x + x) dx [ 5 9 x9 8 x8 7 7 x7 + 9 6 x6 + 5 5 x5 x + dx + i( x 8 8 x8 + 7 7 x7 + 6 x6 + 5 5 x5 + x )] [5x 9 x8 x 7 + x6 + x 5 x + x + i(x x 8 + x 7 + 5x 6 x 5 + x )] [5 + + + i( )] i i + + i( + + 5 + )] [ + 6 + + 8 6
). Lintasan, x y dx y dy (5x + 5y x y + ix y ixy x + xy ix y + iy + ) (dx + idy) (5y 8 + 5y y 8 y + iy 6 y iy y y 6 + y y iy y + iy + ) (y dy + i dy) (5y 8 + 5y y 6 + iy 7 iy 5 y 6 + y iy 5 + iy + ) (y dy + i dy) (5y 8 + iy 7 y 6 iy 5 + 8y + iy + ) (y dy + i dy) y 9 y 7 6y 7 + y 5 + 6y 5 y + y dy + i 6y 6 + 8y + y + dy y 9 8y 7 + 9y 5 y + y dy + i (5y 8 + y 8 y 6 (5y 8 + y 8 y 6 6y 6 + 8y + y + dy [ y 8 8 y8 + 9 6 y6 y + y + i( 5 9 y9 77 7 y7 + 5 y5 + y)] [y y8 + y6 y + y + i(5y y 7 + y 5 + y)] ( + + + i(5 + + )) ( + 6 + 8 + i ( )) ( i) + i Jadi, + ( i) + ( + i) i + + Nama Anggota : Wahyu Nikmatus sholihah (8) Jawaban soal no.9 - Soal No.9 Hitunglah z dz disekeliling lingkaran (a) z dan (b) z 7
Jawab (a) z x + y x + y x rcosθ dx sinθdθ θ π y rsinθ dy cosθdθ z dz (x iy) (dx + idy) (x y ixy)(dx + idy) (cos θ sin θ i cos θ sin θ)( sin θdθ + i cos θdθ) (cos θ sin θ i sin θ)( sin θdθ + i cos θdθ) ( cos θ sin θ + sin θ + i sin θ sin θ + i sin θ i sin θ cos θ + i sin θ cos θ)dθ (sin θ cos θ sin θ + sin θ cos θ)dθ + i (cos θ sin θ cos θ + sin θ sin θ)dθ (( cos θ + cos θ) + ( cos θ) + ( cos θ cosθ)) π + i((sin θ sin θ) ( sin θ) + ( sin θ)) π ([( + ) + + ( )] [( + ) + + ( )]) i() ([ + ] [ + ]) Hasil yang didapat adalah (b) z dz z (x ) + y (x ) + y (x ) rcosθ y rsinθ x rcosθ dx sinθdθ θ π y rsinθ dy cosθdθ (x iy) (dx + idy) (x y ixy)(dx + idy) x dx y dx i xydx + i x dy i y dy + xydy x dx y dx + xydy + i( x dy y dy x dx y dx + xydy... persamaan () i( x dy y dy xydx)... persamaan () xydx) 8
Persamaan () x dx y dx + xydy (cos θ + ) ( sin θdθ) sin θ( sin θdθ) + (cos θ + )(sin θ) cos θdθ (cos θ + cos θ + )( sin θdθ) + sin θdθ + (cos θ + )(sin θ) cos θdθ (cos θ sin θ + cos θ sin θ + sin θ)dθ+ sin θdθ+ (cos θ sin θ + cos θ sin θ)dθ (cos θ sin θ)dθ sin θdθ + sin θdθ ( cos θ) π ( sin θ) π + ( cos θ + cos θ) π + Persamaan () i( x dy y dy xydx) i[ (cos θ + ) (cos θdθ) sin (cos θdθ) (cos θ + )(sin θ)( sin θdθ)] i[ (cos θ + cos θ + cos θ)dθ sin cos θdθ + (sin θ cos θ + sin θ)dθ] i[ (cos θ + cos θ + cos θ)dθ + sin cos θdθ + (sin θ)dθ] i[((sin θ + sin θ) + ( θ + i[( + ((π + ) ) + + + ((π ) )] i[π + π] iπ Persamaan () + Persamaan () + iπ iπ Hasil yang didapat adalah iπ sin θ) + (sin θ)) π + ( sin θ) π + ( θ sin θ)π ] Nama Anggota :Irawati (8) Jawaban soal no dan 6. Soal No. Hitunglah z dz + z dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z + z z + z ( i)z + ( + i)z dari titik z ke z+i Solusi z dz + z dz didefinisikan oleh : z + zz + z ( i)z + ( + i)z dari titik z ke z + i 9
(x iy) d(x + iy) + (x + iy) d(x iy) (x ixy y )(dx + idy) + (x + ixy y )(dx idy) (x ixy y )dx + i(x ixy y )dy + (x + ixy y )dx + i(x + ixy y )dy x ixy y + x + ixy y )dx + i(x ixy y x ixy + y )dy (x y )dx + i( ixy)dy (x y )dx + (xy)dy...p ers() Misal z x + iy dan z x iy, maka: z + zz + z ( i)z + ( + i)z x + ixy y + (x + iy)(x y) + x ixy y ( i)(x + iy) + ( + i)(x iy) x y + x + y x + iy ix + y + x iy + ix + y x x + y x x + y y x x...pers() dy (x )dx...pers() Persamaan () dan () disubtitusikan ke persamaan (): (x (x x))dx + x(x x)(x )dx x (x x + x )dx + x(x x + x)dy (x x + x x )dx + (8x x + x )dx (6x 8x + x )dx 6 5 x5 x + x ] 6 5 () (5) + (7) 8 5
Jadi z dz + z dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z + zz + z ( i)z + ( + i)z dari titik z ke z + i adalah 8 5 Soal No.6 Hitunglah (5x + 6y )dx(x y + )dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xy dengan titik sudut (,), (,) dan (,) Solusi (5x + 6y )dx(x y + )dy menggunakan teorema Green : pada titik(, )(, ) y y y y x x x x y x (y ) (x ) y x y x P dx + Qdy R R R R y ( dq dx dp dy )dxdy ( d d (x y + ) (5x + 6y ))dxdy dx dy ( 6)dxdy ( y)dydx ( y)dydx ( y)] ydx ( ( y) )dx ( 9 x)dx 9 8 x ] 9 8. 9 8.6 8
Jadi (5x + 6y )dx(x y + )dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xy dengan titik sudut (, ), (, ) dan(, ) adalah 8 Nama Anggota :Kiki Kurdianto (8) Jawaban soal no 5 dan 7 Soal No 5: Periksa teorema green di bidang untuk x ydx + y xy dy dimana batas daerah yang dikelilingi suatu lingkaran x + y, x + y 6. Solusi: Perhitungan dengan Teorema Green Misal P x y maka P/ y x Q y xy maka Q/ x y Q x ydx + y xy dy x P x da 6 6 ( y x )rdrdθ ( r sin Θ r cos Θ)rdrdΘ (( r /) sin Θ (r /) cos Θ)] dθ ( sin Θ cos Θ ( 6 sin Θ 6 cos Θ))dΘ (6 sin Θ + 6 cos Θ)dΘ (sin Θ + cos Θ)dΘ ()dθ 6.Θ] π 6.π ( 6). π Perhitungan dengan menggunakan Integral Garis Untuk x + y 6 x cost maka x sin tdt y sint maka y cos tdt
dengan < t < π Maka, (( cos t) ( sin t))d( cos t) + (( sin t) ( cos t)( sin t) )d( sin t)dx ((6 cos t. sin t)( sin t))d(t) + ((6 sin t 6 sin t cos t)( cos t) )d(t)dx (( 56 cos t sin t + 56 cos t sin t 56 cos t sin t))d(t) (( 5 cos t sin t + 56 cos t sin t))d(t) ( 5 cos t sin t)d(t) + (56 cos t sin t)d(t) ( 5 cos t sin t)d(t) 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8[ (cos t sin t)d(t) ( + cos t cos t )d(t) (( + cos t)( cos t))d(t) (( cos t + cos t cos t))d(t) ( cos t)d(t) ( cos t)d(t) ( ( + cos t))d(t) ( ( cos t )d(t) cos t )d(t) ( )dt 8([ t]π 8([ t]π [ sin t]π ) 8 (cos t)dt] (cos w) dw ) 8(π ( 8 sin 8π sin )) 8 8π + 6sin8π 8π
(56 cos t sin t)d(t) 56 56 56 56[ 56[ (cos t sin t)d(t) (( cos t)(cos t)(sin t))d(t) (cos t cos t)(sin t))d(t) (cos t sin t)dt du (u sin t) sin t 56([ u + u ] π ] 56([ cos t + cos t] π ] 56[( + ) ( + )] (cos t sin t)dt] (u du sin t) sin t ] Sehingga, (( cos t) ( sin t))d( cos t) + (( sin t) ( cos t)( sin t) )d( sin t)dx 8π Untuk x + y x cos t maka x sin tdt y sin t maka y cos tdt dengan < t < Maka, (( cos t) ( sin t))d( cos t) + (( sin t) ( cos t)( sin t) )d( sin t)dx ( cos t) )d(t)dx (( cos t. sin t)( sin t))d(t) + ((8 sin t 8 sin t cos t) (( 6 cos t sin t + 6 cos t sin t 6 cos t sin t))d(t) (( cos t sin t + 6 cos t sin t))d(t) ( cos t sin t)d(t) + (6 cos t sin t)d(t)
( cos t sin t)d(t) 8 8 8 8 8 8 8[ (cos t sin t)d(t) ( + cos t cos t )d(t) (( + cos t)( cos t))d(t) (( cos t + cos t cos t))d(t) ( cos t)d(t) ( cos t)d(t) ( ( + cos t))d(t) ( cos t )d(t) ( cos t )d(t) ( )dt 8([ t] (cos t)dt] (cos w) dw ) 8([ t] [ 8 sin t] ) 8( π ( 8 sin 8 sin())) 8π 5
(6 cos t sin t)d(t) 6 6 6 6[ 6[ (cos t sin t)d(t) (( cos t)(cos t)(sin t))d(t) (cos t cos t)(sin t))d(t) (cos t sin t)dt du (u sin t) sin t 6([ u + u ] π ] 6([ cos t + cos t] ] 6[( + ) ( + )] (cos tsint)dt] (u du sin t) sin t ] Sehingga, ((cost) (sint))d(cost) + ((sint) (cost)(sint) )d(sint)dx 8π jadi nilai yang diinginkan adalah + 8π + 8π π soal no 7 Tunjukkan secara langsung bahwa +i i (6z + 8iz)dz memiliki nilai sama sepanjang lintasan yang menghubungkan titik-titik +i dan -i untuk (a) suatu garis lurus, (b) garis lurus dari +i ke +i dan kemudian dari +i ke -i. (c) lingkaran z 5. a. Suatu garis lurus + i (, ) i (, ) Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y 7x + 5 6
+i i (6z + 8iz)dz (dx 7idx) (dx 7idx) (dx 7idx) (dx 7idx) i 6(x + iy) + 8i(x + iy)d(x + iy) 6(x y + xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy) 6(x ( 7x + 5) + xi( 7x + 5)) + 8ix 8( 7x + 5) 6(x (9x 5x + 65) x i + 5xi) + 8ix + 56x 6(x 9x 5x + 65 x i + 5xi) + 8ix + 56x 88x + x 75 8x i + 8xi + 8x + 56x ( 88x + 56x 95) + i(8x + 8x)(dx 7idx) ( 88x + 56x 95 588x + x)dx+ 7(88x 56x + 95) + ( 8x + 8x)dx ( 876x + x 95)dx + i (9x 78x + 765)dx [9x + 56x 95] + [6x 79x + 765x] ( 8688 + 96 58 + 788 9 + 85)+ i(6 87 + 788 + 6658 8995) 88 66i (b) garis lurus dari +i ke +i dan kemudian dari +i ke -i garis lurus dari +i ke +i + i (, ) + i (, ) Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y maka y x 7
+i i (6z + 8iz)dz garis lurus dari +i ke -i + i (, ) i (, ) i 6(x + iy) + 8i(x + iy)d(x + iy) 6(x y + xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy) 6(x () + xi()) + 8i(x + i)(dx + idy) 6x 96 + 8xi + 8ix (dx + idy) (6x 8) + i(56x)(dx + idy) (6x 8)dx 56xdy+ (6x 8)dy 56xdx (6x 8)dx + i 56xdx [x 8x] + i[8x ] (8 5 5 + 8) + i(8 5) 5 + 96i Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah x maka x y 8
+i i (6z + 8iz)dz i 6(x + iy) + 8i(x + iy)d(x + iy) 6(x y + xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy) 6(() y + ()iy) + 8i( + iy)(dx + idy) 96 6y + 8yi + i 8y(dx + idy) (96 6y 8y) + i(8y + )(dx + idy) (96 6y 8y)dx (8y + )dy+ (96 + 6y 8y)dy (8y + )dx ( 8y )dy + i 96 6y 8y [ y y] + i[96y y y ] ( 6 + 96 + 8 + 8) + i( 88 + 5 6 8 + 8 + 6) 9 6i Jadi, nilai yang diinginkan adalah + ( 5 + 96i) + (9 6i) 8 66i (c) lingkaran z 5 x + y 5 x 5 cos t y 5 sin t Dimana t π 5 Nama Anggota 5:Reyka Bella Desvandai (88) Jawaban soal no 8 dan 6. Soal No.8 Hitunglah: i i (xy + iy )(dx + idy) a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z i dan z -i b. sepanjang kurva x t, y + t t jawab : a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z i dan z -i 9
batas dari (i) sampai dengan (-i) maka titik bergerak dari (,) sampai (,-) x (x() x())t + x() x ( )t + x t dx y (y() y())t + y() y ( )t y t dy maka batas t dari : t (6t( t + ) + i( t + ) ( i)dt ( t + 6t + i(t t + ))( i)dt ( t + 6t + t i ti + i)( i)dt ( t + t i + t ti + 8t i + 8t 8ti 8t + i + )dt ( 6t + t i + t ti + i + )dt 6 t + t i + t t i + ti + t ( 6 + i + i + i + ) ( 6 + + ) + ( + )i ( 6 ) + ( + 8 i )i b. sepanjang kurva x t, y + t t x t y + t t () dx dy t + () ()
mencari batas t terlebih dahulu x t- batas bawah i maka melalui titik (,) ketika x, maka diperoleh x t- t- t t batas atas -i maka melaui titik (,-) ketika x, maka diperoleh t- t t t (xy + iy )(dx + idy) ((t )( + t t ) + i( + t t ) )( + ( t + )i) ((6t + t 6 + i(t t t + t + ))())dt+ ((6t + t 6 + i(t t t + t + ))(i ti))dt ( t + t + t i t i t i + ti + i)dt + ( 6t i + t i)+ (t i t i 6i + ti t + t 5 + t t + t t t + t + t)dt (t 5 5t t + 9t + i(t t + t + 6t ))dt t6 t 5 t + 9 t t + i( 5 t5 t + t + 8t t) t 6 6 8 + 6 + ( + i(6 5 ) 6) + i(8 5 6 + 8 68 + + i( ) 5 + 8) t
+ 9 i( 5 + + 8 ) 68 5 + + 7 + i( ) 6 7 + i( 98 6 ) hasil pengintegralan (t)-(t) ( + i(6 5 ( + i79 )) ( 7 + i(98 6 )) + 7) + i(6 5 98 6 )) Soal No.6: Periksa Teorema auchy untuk fungsi z iz 5z + i jika adalah a. lingkaran z b. lingkaran c. ellips jawab : z z i + z + i z iz 5z + i z iz 5z + idz z x + iy (x + iy i(x + iy ) 5(x + iy) + i)dz (x xy + xy 5x + x yi iy x i + iy 5yi + i)dz (x xy + xy 5x) + i(x y y x + y 5y + )dz
z x + y u x xy + xy 5x u dx x y + y 5 u 6xy + x dy v x y y x + y 5y + v 6xy x dx v dy x y + y 5 a. x + y x cost y sint t π dx sint dy cost untuk menunjukkan suatu fungsi berlaku teorema auchy yaitu : f(z)dz karena f(z) u + iv analitik dan memiliki turunan yang kontinu, mengakibatkan u dx v dy v dx u dy () (5) (6) kontinu di dalam dan pada. sehingga teorema Green dapat digunakan dan diperoleh : ( v dx u )dxdy + i( dy ( u dx v dy ))dxdy
z x + y + ( ) u dx x y + y 5 (cost) (sint) + (sint) 5 cos t sin t + sint 5 u 6xy + x dy 6(cost)(sint) + cost 6costsint + cost v 6xy x dx 6costsint cost v dy x y + y 5 cos t sin t + sint 5 i ( v dx u )dxdy + i( dy ( u dx v dy ))dxdy ( (6costsint cost) ( 6costsint + cost)) sintcost+ (cos t sin t + sint 5 (cos t sin t + sint 5) sintcost + i Berdasarkan persamaan diatas terbukti bahwa fungsi z terbukti analitik b. x + y + x + y x cost y sint t π dx sint dy cost karena f(z) analitik maka pada kasus ini harus dibuktikan : ( v dx u )dxdy + i( dy ( u dx v dy ))dxdy
u dx x y + y 5 ( cost) ( sint) + ( sint) 5 u dy v dx 9cos t 9sin t + sint 5 6xy + x 6( cost)( sint) + ( cost) 8costsint + cost 6xy x 6( cost)( sint) ( cost) 8costsint cost v dy x y + y 5 ( cost) ( sint) + ( sint) 5 9cos t 9sin t + sint 5 i ( v dx u )dxdy + i( dy ( u dx v dy ))dxdy (( (8costsint cost) ( 8costsint + cost)) sint cost+ ((9cos t 9sin t + sint 5) (9cos t 9sin t + sint 5)) sint cost + i c. z i + z + i x + y + ( i) + x + y + (i) x + y 9 (x + y 9) x + y 9 x + y 9 x 9cost y 9sint dx 9sint dy 9cost 5