BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +

Transkripsi

1 BAB 1 Konsep Dasar 1

2 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) PDB Eksak Denisi Misal F suatu fungsi dari dua variabel real, dan F kontinyu pada turunan pertama pada domain D maka jumlah difrensial df didenisikan sebagai df (x y) = dx + untuk semua (x y) 2 D. 13

3 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 14 Denisi Persamaan 2.1 disebut difrensial eksak pada domain D jika ada fungsi F dari dua variabel x y sedemikian hingga ekspresi tersebut sama dengan jumlah df (x y) untuk 8(x y) 2 D. Sesuaikan denisi dengan persamaan 2.1 diperoleh M(x y) = N(x y) = Teorema Persamaan 2.1 dengan M N kontinyu pada turunan pertamanyan (M N 2 C 1 (D)) akan memenuhi dua kondisi berikut: 1. Bila 2.1 PDB eksak di D y) y) untuk 8(x y) 2 D 2. Sebaliknya y) y) untuk 8(x y) 2 D maka dikatakan 2.1 adalah PDB eksak. Bukti Akan dibutkikan bagian pertama dari teorema ini. Jika 2.1 eksak di D maka Mdx + N adalah eksak difrensial di D. Dengan denisi dan 2.1.2, maka terdapat suatu fungsi F sedemikian hingga = M(x y) dan = N(x y) untuk 8(x y) 2 D. Selanjutnya turunkan M terhadap y dan N terhadap x 2 F (x y) y) F (x y) y) Kita tahu bahwa =

4 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 15 untuk 8(x y) 2 D, sehingga dapat y) y) 8(x y) 2 D. Selanjutnya gunakan fakta ini untuk membuktikan bagian yang kedua Solusi PDB Eksak Ada dua cara menyelesaikan PDB jenis ini, yaitu menggunakan prosedur dalam teorema atau dengan teknik pengelompokan. Contoh Tentukan solusi PDB eksak (3x 2 + 4xy)dx + (2x 2 + 2y) = 0 Penyelesaian Jelas persamaan ini adalah PDB eksak y) = 4x y) 8(x y) 2 D. Dengan menggunakan cara yang pertama maka kita mempunyai = 3x 2 + 4y dan = 2x 2 + 2y Integralkan bentuk pertama F (x y) = M(x y) + (y) = (3x 2 + 4xy) + (y) Kemudian turunkan terhadap y = 2x 2 + d(y) padahal kita punya = N(x y) = 2x 2 + 2y

5 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 16 sehingga 2x 2 + 2y = 2x 2 + d(y) atau d(y) = 2y: Integralkan persamaan terakhir ini diperoleh (y) = y 2 + c 0, dengan demikian F (x y) menjadi F (x y) = x 3 + 2x 2 y + y 2 + c 0 : Bila F (x y) merupakan solusi umum maka keluarga solusi itu adalah F (x y) = c 1 sehingga ) x 3 + 2x 2 y + y 2 + c 0 = c1 atau x 3 + 2x 2 y + y 2 = c yang merupakan solusi persamaan PDB eksak yang dimaksud. Cara yang kedua adalah dengan menggunakan teknik pengelompokan, lihat catatan dalam perkuliahan Faktor Integrasi Faktor integrasi ini digunakan untuk menyelesaikan PDB order satu tidak eksak. Langkah yang dimaksud adalah merubah PDB tidak eksak menjadi eksak. Renungkan lagi persamaan 2.1, y) y) maka dapat ditentukan (x y) sedemikian hingga (x y)m(x y)dx + (x y)n(x y) = 0 (2.2)

6 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 17 merupakan PDB eksak. Sekarang bagaimana prosedur menentukan (x y), dapatlah digunakan teorema diatas. Bila persamaan @N ; N = ; (x y) = (2.3) adalah merupakan formula faktor integrasi secara umum. Contoh Tentukan solusi PDB berikut ini 1. (4xy+3y 2 ;x)dx+x(x+2y) = 0, bila faktor integrasinya hanya tergantung pada x saja 2. (x 2 y + 2xy 2 + 2x + 3y)dx + (x 3 + 2x 2 y + 3x) = 0, bila faktor integrasinya hanya tergantung pada xy Penyelesaian Soal nomor 1 bisa dilihat dalam catatan, selanjutnya kita bahas soal nomor 2. Jika tergantung pada xy ini berarti = (x y) misal z = xy = y = x = x2 + 4xy + 3 = 3x2 + 4xy + 3:

7 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 18 Sekarang gunakan faktor integrasi 2.3 dan substitusikan nilai-nilai diatas ini, maka didapat = (x3 + 2x 2 y + y (x2 y + 2xy 2 + 2x + (x 2 + 4xy + 3) ; (3x 2 + 4xy + @z = z = ln = e z = e xy Dengan demikian faktor integrasinya adalah (x y) = e xy. Sekarang soal nomor dua menjadi PDB eksak dengan mengalikan faktor integrasi terhadap sukusukunya dimasing-masing ruas. e xy (x 2 y + 2xy 2 + 2x + 3y)dx + e xy (x 3 + 2x 2 y + 3x) = 0 Dengan meyakini persamaan ini merupakan PDB eksak cara menyelesaikan sama dengan teknik diatas yakni terdapat dua cara. Coba anda kerjakan sebagai latihan Teknik Variabel Terpisah Bila persaman 2.1 kita transformasikan kedalam bentuk f 1 (x)g 1 (y)dx + f 2 (x)g 2 (y) = 0 (2.4) selanjutnya kalikan persamaan ini dengan g 1 (y)f 2 (x) maka akan diadapat f 1 (x) f 2 (x) dx + g 2(x) = 0 (2.5) g 1 (y)

8 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 19 Persamaan 2.4 tidak eksak namun persamaan 2.5 adalah eksak sehingga teknik penyelesaiannya menyesuaikan. Bisa juga dengan mengintegralkan langsung bentuk itu menjadi f1 (x) f 2 (x) dx + g2 (x) g 1 (y) = 0 Contoh Tentukan solusi PDB berikut ini dengan menggunakan teknik pemisahan variabel. 1. (x + y) 2 dx ; xy = 0 2. (2xy + 3y 2 )dx ; (2xy + x 2 ) = 0 Penyelesaian Soal nomor 1 bisa dilihat dalam catatan, selanjutnya kita bahas soal nomor 2. Ambil suatu permisalan y = vx dan tentunya = vdx+xdv, lalu substitusikan kedalam persamaan nomor 2. (2x 2 v + 3x 2 v 2 )dx ; (2x 2 v + x 2 )(vdx + xdv) = 0 2x 2 vdx + 3x 2 v 2 dx ; 2x 2 v 2 dx ; 2x 3 vdv ; x 2 vdx ; x 3 dv = 0 x 2 (v + v 2 )dx ; x 3 (2v ; 1)dv = 0 1 (2v ; 1) dx ; x (v + v 2 ) dv = 0 Jelas persamaan terakhir ini merupakan PDB eksak sehingga gunakan cara 1 x dx ; (2v ; 1) (v + v 2 ) dv = 0 yang sama untuk menyelesaikannya. Atau bisa diintegralkan langsung menjadi ln x + c 0 + ln v ; 3 ln(1 + v) + c 1 = 0 ln x + c 0 + ln(y=x) ; 3 ln(1 + (y=x)) + c 1 = 0 ) ln x + ln(y=x) ; 3 ln(1 + (y=x)) = c Persamaan terakhir adalah solusi umum dari PDB yang dimaksud.

9 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU PDB Linier Order Satu Nonhomogen Pada umumnya PDB linier order satu nonhomogen dapat dinyatakan dengan Untuk persamaan 2.6 dapat kita tulis dalam + P (x)y = Q(x) dx (2.6) dx + P (x)y = Q(x)yn (2.7) (P (x)y ; Q(x))dx + = 0 sehingga M(x y) = P (x)y ; Q(x) dan N(x y) = 1: y) = P (x) y) = 0 dengan demikian persamaan ini bukan merupakan PDB eksak, sehingga perlu ditentukan faktor integrasinya. Kita pilih faktor integrasi yang hanya tergantung pada x, yaitu (x). sedemikian ((x)p (x)y ; (x)q(x))dx + (x) = (x)p (x)y ; (x)q(x) merupakan PDB eksak, yang berakibat bahwa Selesaikan bentuk ini didapat P (x)dx = ln jj = 1 P (x)dx ) = e R P (x)dx > 0

10 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 21 Kalikan terhadap persamaan 2.6 didapat e R P (x)dx dx + er P (x)dx P (x)y = Q(x)e R P (x)dx yang mana hal ini sama dengan d e R P (x)dx y = Q(x)e R P (x)dx dx atau e R P (x)dx y = e R P (x)dx Q(x)dx + c atau ) y = e ; R R P (x)dxr e P (x)dx Q(x)dx + c (2.8) Persamaan ini disebut Persamaan Bernoulli Selanjutnya untuk persamaan 2.7 dapat kita tulis dalam Misal v = y 1;n maka = 1 dv yn dx (1;n) dx ;n y dx + P (x)y1;n = Q(x): sehingga persamaan diatas menjadi dv + (1 ; n)p (x)v = Q(x)(1 ; n) dx Misal P p (x) = (1 ; n)p (x) dan Q q (x) = (1 ; n)q(x) maka persamaan diatas dapat direduksi kedalam bentuk ) dv dx + P p(x)v = Q q (x) adalah persaman sebagaimana 2.6, sehingga cara menyelesaikan sama. Contoh Tentukan solusi PDB berikut ini

11 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU (x 2 + 1) + 4xy = x y(2) = 1 dx 2. dx + y = xy3 y(0) = 2 Penyelesaian Soal nomor 1 dapat diselesaikan langsung dengan persamaan 2.8, sehingga maka P (x) = 4x (x 2 +1) dx + 4x (x 2 + 1) y = x (x 2 + 1) x dan Q(x) = 2 +1) y = e ; R P (x)dx sehingga dengan menggunakan e R P (x)dx Q(x)dx + c y dapat ditentukan sebagai y = x 4 4(x 2 + 1) 2 + x 2 2(x 2 + 1) 2 + c (x 2 + 1) 2 untuk y(2) = 1 maka substitusikan ke persamaan ini didapat c = 19, akhirnya solusi khususnya adalah ) y = x 4 4(x 2 + 1) 2 + x 2 2(x 2 + 1) (x 2 + 1) 2 Ikuti langkah dalam prosedur yang telah diberikan untuk mengerjakan soal nomor 2. Anda kerjakan sebagai latihan

12 BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU 23 Latihan Tutorial 2 1. Mana diantara soal-soal berikut ini yang merupakan PDB order 1 eksak. (a) (y sec 2 x + sec x tan x)dx + (tan x + 2y) = 0 (b) ( 2 + 1) cos rdr + 2 sin rd = 0 (c) 2s;1 t ds +s;s 2 dt = 0 t 2 2. Selesaikanlah PD order 1 eksak berikut ini! (a) (2y sin x cos x + y 2 sin x)dx + (sin 2 x ; 2y cos x) = 0 y(0) = 3 1+8xy (b)!dx 2=3 + = 0 y(1) = 8 x 2=3 y 1=3 2x4=3y2=3 ;x1=3 y 4=3 3. Tentukan faktor integrasi untuk masing-masing soal berikut ini (a) (x 2 y + 2xy 2 + 2x + 3y)dx + (x 3 + 2x 2 y + 3x) = 0, bila tergantung pada xy (b) (y 3 ; 2x 2 y)dx + (2xy 2 ; x 3 ) = 0, bila tergantung pada x + y 4. Gunakan metoda variabel terpisah untuk menyelesaikan beberapa persoalan berikut ini (a) (x tan y + y)dx ; x = 0 x (b) ( p x + y + p x ; y)dx + ( p x ; y ; p x + y) = 0 5. Gunakan metoda Bernoulli untuk menyelesaikan PD berikut ini (a) (x 2 + x ; 2) + 3(x + 1)y = x ; 1 dx (b) dr d + r tan = cos r( pi 4 ) = 1