SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT

Transkripsi

1 TUGAS KALKULUS LANJUT SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Oleh: KAMELIANI 46 JUUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVESITAS NEGEI MAKASSA 4

2 SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT A. SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Integral lipat dua dan integral lipat tiga mewarisi hampir semua sifat-sifat integral tunggal. Berikut adalah sifat-sifat integral lipat dua (yang juga dimiliki integral sifat tiga). () Integral lipat dua bersifat linear, yaitu [f(x, y) + g(x, y)]da = f(x, y)da + g(x, y)da kf(x, y)da = k f(x, y) da, dimana k adalah konstanta (). Jika f(x, y) g(x, y) untuk setiap (x, y)di, maka berlaku f(x, y)da g(x, y) da (). jika f(x, y) untuk semua (x, y)di, dan S maka berlaku kf(x, y)da k f(x, y) S da, (4). Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan) pada daerah yang saling berimpit pada hanya sebuah sisi atau ruas garis. f(x, y)da = f(x, y) S da + f(x, y) da S Universitas Negeri Makassar Page

3 Sifat-sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di sini. Misalkan m f(x, y) M untuk semua (x, y) di maka m (luas ) = m dxdy f(x, y)dx dy M dxdy = M (luas ) Satu sifat lainnya yang perlu dikemukakan adalah akibat dari sifat f(x, y) f(x, y) f(x, y) Berdasarkan sifat integral nomor, maka berlaku Atau f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy Untuk fungsi f yang kontinu, ternyata urutan pengintegralan tidak menjadi masalah. Hal ini dituliskan dalam teorema berikut. Teorema urutan integral (Teorema Fubini) Misalkan f fungsi kontinu pada empat persegi panjang = [a, b]x[c, d], maka b d f(x, y) dxdy = [ f(x, y)dy] dx = [ f(x, y)dx] dy a c c a d b Universitas Negeri Makassar Page

4 B. PENEAPAN SIFAF-SIFAT INTEGAL ALAM MENYELESAIKAN MASALAH. Soal dan Pembahasan. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah yang diberikan! x eyda, = {(x, y) y, y x y } engan menerapkan sifat () dan (), maka x eyda y x = eydx dy = ye = (ye y )dy y = [ e y ey ] (ye)dy x y y y dy = (ye y ye)dy = ( e 4 4e) ( e e) = e 4 e. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah yang diberikan! 6x 4y da, adalah segitiga dengan titik puncak (,), (,), dan (5,) Pertama-tama harus dibuat persamaan garis yang melalui titik-titik puncak tersebut, agar bisa diketahui batas-batas daerahnya. Kita dapat membuat persamaan garis berdasarkan dua titik puncak yang diketahui. Persamaan garis yang melalui titik (,) dan (,) y y y y` = x x x x` Universitas Negeri Makassar Page 4

5 y = x y = x y = x + Persamaan garis yang melalui titik (,) dan (5,) y y y y` = x x x x` y = x 5 5y = 5 y = Persamaan garis yang melalui titik (,) dan (5,) y y y y` = x x x x` y = x 5 4y 4 = x y = x + Berikut ini adalah gambar segitiga yang dimaksud Universitas Negeri Makassar Page 5

6 Ada dua cara untuk mendeskripsikan daerah yang diarsir. Cara I Jika kita menggunakan fungsi x, maka daerah akan dibagi menjadi dua daerah karena fungsi yang berada di bawah berbeda bergantung pada nilai x. Pada kasus ini, daerah diberikan sebagai =, dimana = {(x, y) x, x + y } = {(x, y) x 5, x + y } engan menggunakan sifat (6), maka 6x 4y da = 6x 4y da + 6x 4y da = 6x 4y dydx + 6x 4y dydx x+ 5 x+ = (6x y y ) x+ dx + (6x y y ) dx x+ 5 = [x 8 + ( x + ) ]dx 5 + [ x + 5x 8 + ( x + ] ) dx = [x 4 8x ( x + ) ] + [ 4 x4 + 5x 8x + 4 ( x + ) ] 5 = 95 Perhatikan bahwa menyelesaikan integral pada fungsi berbentuk kuadrat tidak perlu dikalikan satu persatu. Lebih mudah diintegralkan dengan integral subsitusi yang telah dipelajari di Calculus I. Universitas Negeri Makassar Page 6

7 Cara II Jika kita menggunakan fungsi y, maka daerah tidak perlu dibagi menjadi dua bagian. Batas-batas untuk x adalah y = x + x = y + y = x + x = y = {(x, y) y + x y, y } Sehingga y 6x 4y da = (6x 4y)dxdy y+ y = x 4xy y + dy = y y + (y ) ( y + ) = [5y y + 4 (y )4 + ( y + ) 4] = 95 dy. Hitunglah nilai integral berikut dengan membalikkan urutan dari integralnya.! 9 x e y dydx x Perhatikan bahwa kita tidak bisa melakukan integral terhdap y karena kita membutuhkan y di depan eksponensial untuk melakukan integral terhadap y. Akan tetapi, jika urutan integral dibalik, maka kita bisa menghitung nilai integral di atas. Universitas Negeri Makassar Page 7

8 Membalik urutan integral artinya kita akan melakukan integral terhadap x terlebih dahulu kemudian terhadap y. Ketika membalik urutan integral, maka batas-batsanya juga akan berubah. Agar memudahkan mencari batas-batasnya, maka pertama-tama kita gambarkan daerah yang diberikan berdasarkan batas-batas yang telah diketahui. Berdasarkan integral di atas, batas-batas daerahnya adalah x x y 9 Berdasarkan pertidaksamaan di atas, batas bawah pada sumbu y adalah y = x^ dan batas atas pada sumbu y adalah y = 9 dengan batas pada sumbu x yaitu antara x = dan x =. Berikut ini adalah gambar daerah yang dimaksud Karena kita ingin mengintegralkan terhadap x terlebih dahulu,maka kita perlu menentukan batas-batas untuk x terlebih dahulu, kemudian batas-batas untuk y. Batas pada sumbu x adalah x y Batas pada sumbu y adalah y 9 Sehingga bentuk integralnya sekarang adalah sebagai berikut 9 x e y dydx = x e y dxdy x 9 y Universitas Negeri Makassar Page 8

9 Berikut adalah penyelesaian untuk bentuk integral yang baru 9 y 9 y x e y dxdy = e y x dxdy y = e y x dxdy 9 9 = e y [ 4 x4 ] y dy 9 = e y [ 4 x4 ] y dy 9 = 4 y e y dy (karena di integralkan terhadap x, maka y dianggap konstanta, sehingga berlaku sifat linear integral = 4 ey 9 = 4 (e79 ) C. Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral pada aerah Persegi Panjang dan Bukan Persegi Panjang Contoh Soal! aerah Persegi Panjang. Tentukan Volume benda pejal di bawah bidang z = x + y + pada = {(x, y): x, y (x + y + ) dxdy = [ x + yx + x] dy = ( + y + ) dy = [ y + y + y] = ( ) ( + + ) = 7 Universitas Negeri Makassar Page 9

10 daerah z = x + y + pada = {(x, y): x, y. Carilah Volume benda pejal yang berada di atas fungsi g(x,y) dan berada di bawah fungsi f(x,y) dengan batas-batas x dan y sebagai berikut. g(x, y) = 4 f(x, y) = 9 x y,5 x,5,5 y,5,5,5 Volume = [9 x y ( 4)]dydx,5,5,5 = [y x y y ],5,5,5,5 dx = {[ 655 4,5x ] [ ,5x ]} dx,5,5 = [ 5 4 x ] dx,5 = [ 5 4 x x ],5,5 = = 7,5 satuan volume Universitas Negeri Makassar Page

11 aerah bukan Persegi Panjang. Carilah volume benda yang dibatasi oleh persamaan bola x + y + z = 6 dan Paraboloida z = x + y Bentuk daerahnya adalah sebagai berikut Gambar di atas adalah daerah yang dimaksud yakni irisan antara bola dan paraboloida. Subsitusi z = x + y ke persamaan x + y + z = 6 sehingga diperoleh Universitas Negeri Makassar Page

12 x + y + (x + y ) = 6 x + y + (x + y ) 6 = (x + y )(x + y + ) = Untuk (x + y ) = maka y = ± x untuk (x + y + ) = tidak ada solusi Batas-batas untuk y adalah x y x sedangkan untuk x adalah x Sehingga dengan menggunakan maple, volume benda yang diperoleh adalah diperoleh x 6 x y (x + y ) x dydx = 4 6 π π = 7,74 Perhitungan dengan Maple Menggambar plot Universitas Negeri Makassar Page

13 . Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral dalam Koordinat Polar Soal an Pembahasan. Hitunglah nilai integral berikut dengan mengubahnya ke dalam koordinat polar terlebih dahulu. xy da adalah daerah di antara lingkaran dnegan jari-jari dan jari-jari 5. lingkaranlingkaran tersebut berpusat pada titik asal. aerahnya berada pada kuadran I. Pertama-tama kita harus mengubah daerah dalam koordinat polar. Lingkaran dengan jari-jari berarti r =, dan lingkaran dengan jari-jari 5 berarti r = 5. Karena daerah yang dimaksud berada di antara jari-jari tersebut, maka dapat dituliskan r 5 Sedangkan daerah yang dimaksud berada pada kuadran I, sehingga dapat dituliskan θ π iketahui bahwa dalam koordinat polar, x = r cos θ dan y = r sin θ, da = rdrd θ Sehingga, xy da π 5 = ( r cos θ)( r sin θ)rdrd θ π 5 = r (sin θ) drd θ π = [ 4 r4 (sin θ)] 5 d θ π = 4 [r 4 (sin θ)] 5 d θ = 69 4 π (sin θ) d θ (menggunakan sifat kelinearan integral) (menggunakan sifat kelinearan integral) Universitas Negeri Makassar Page

14 = 69 π 4 ( ) cos θ = Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh r = + sin θ dan r = aerah yang dimaksud adalah sebagai berikut. Untuk mengetahui luas daerah di atas, maka terlebih dahulu perlu diketahui batas-batas untuk nilai θ dimana kurva saling berpotongan. Untuk mengetahui nilai θ bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut. iketahui r = + sin θ dan r = apat dituliskan + sin θ = sin θ = maka θ = 7π 6, π 6 Universitas Negeri Makassar Page 4

15 Berikut ini adalah gambar daerah θ Kita tahu bahwa π 6 Jika kita gunakan 7π 6 adalah bentuk lain dari π 6 π θ maka kita akan menghitung daerah yang tidak di 6 arsir. Oleh karena itu batas yang digunakan adalah π 6 θ 7π 6 Untuk menentukan nilai r, fungsi yang terdekat dengan titik asal merupakan batas bawah, dan fungsi yang terjauh merupakan batas atas. Sehingga luas daerah adalah A = da 7π 6 + sin θ = rdrdθ π 6 7π 6 = r π 6 + sin θ dθ 7π 6 = ( sinθ + sin θ ) dθ π 6 7π 6 = ( sinθ cos (θ)) dθ π 6 Universitas Negeri Makassar Page 5

16 7π 6 = 7 θ 6 cos θ sin θ π 6 = + 4π = 4,87. Tentukan volume benda yang berada di bawah bola x + y + z = 9, di atas bidang z =, dan berada pada silinder x + y = 5 Kita tahu bahwa rumus untuk menentukan volume adalah V = f(x, y)da Ubah fungsi x + y + z = 9 ke bentuk z = 9 x + y. Kita mengambil nilai yang positif karena kita akan menghitung di atas bidang xy (z = ) Kini kita mempunyai dua fungsi yaitu z = dan z = 9 x + y Kita ingin menghitung daerah yang berada di bawah bola tetapi berada pada silinder x + y = 5. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. Jadi, daerah yang akan dicari volumenya adalah sebuah cilinder yang penutupnya merupakan sebuah bola. Universitas Negeri Makassar Page 6

17 Sebelumnya kita ubah terlebih dahulu batas-batasnya dalam koordinat polar. θ π r 5 (jari-jari silinder) Sehingga volume daerah yang dimaksud adalah V = 9 x y da π 5 = 9 r r dr dθ = (9 r ) π = (9 r ) π = 9 dθ π = 8π 5 5 dθ dθ (r = x + y ) 4. Hitunglah volume benda yang berada di antara fungsi z = x + y dan bidang z = 6. Jika disketsakan maka gambar grafiknya sebagai berikut. Universitas Negeri Makassar Page 7

18 Volume yang dicari adalah daerah selisih antara kedua kurva tersebut, yakni V = 6 da x + y da = 6 (x + y )da Agar memudahkan dalam mencari nilai volume, fungsi di atas di ubah dalam koordinat polar. emikian pula batas-batas daerahnya. Berikut ini adalah batas-batas daerahnya θ π r 4 z = 6 r Sehingga, V = 6 (x + y )da π 4 = (6 r ) r dr dθ π = (8r 4 r4 ) π = 64 dθ = 8π 4 dθ Universitas Negeri Makassar Page 8

19 AFTA PUSTAKA Purcell,dkk..Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid. Jakarta: Erlangga Budi Wono Setya..Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannya.Bandung:ITB. (di akses 4 esember 4) (di akses 4 esember 4) (di akses 9 esember 4) m (di akses 5 Januari 5) (di akses 5 Januari 5) Universitas Negeri Makassar Page 9