FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL

Transkripsi

1 FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL

2 FUNGSI FAKTORIAL Definisi n e d n! Buktikan bahwa :!! e d e d e ( ) Terbukti

3 FUNGSI Gamma Definisi ( ) p p e d ; p > Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial ( ) ( p ) p + + e d ( p + ) p! p e d p! ( )!, ( )!, ( 3)! dst

4 Nilai Fungsi Gamma ditabulasi untuk Gamma sampai dengan Gamma

5 Hubungan Rekursif Fungsi Gamma u p e d ( p + ) Lakukan integrasi parsial, seperti berikut : dv e du p p p d v e p p d p ( ) ( p + e e ) p ( p + ) p e d p( p) ( p + ) p( p) dp

6 Hubungan Rekursif Fungsi Gamma ( p + ) p( p) ( 3 ) ( + ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 3+ ) 3( 3) 3( + ) 3.( ) 6( ) 6 dst

7 Hubungan Rekursif Fungsi Gamma p ( p) ( p + ),6,5,6,5 (,6) (,6 + ) (,6) (,5 ) (,5 + ) (,5 ),5,5,5,5,5,5 (,5 + ) (,5),5 (,5 ) Tabel F. Gamma Tabel F. Gamma

8 Nilai (,5),5 t t (,5) t e dt e dt Misalkan t y, maka dt y dy e y y (,5 ) e ydy (,5) e d [ ( )] ( + y,5 4 e ) d dy t

9 Nilai (,5) π / [ (,5) ] 4 e r r π e rdr dθ 4 θ π [ (,5 ) ] π (,5) π

10 Contoh soal Hitunglah integral berikut dengan Fungsi Gamma : Jawab ue e u du d e u u d Misal u, maka du d Untuk maka u Untuk maka u / e u du (,5 ) (,5) π 4 e π d 4

11 Soal Latihan Hitunglah integral-integral berikut dengan Fungsi Gamma :.. 3. te 3t dt ( y + y ) ( ln ) /3 e d y dy

12 Formula penting terkait Fungsi Gamma ( p) ( p) π sinπp Untuk p,5 (,5) (,5) (,5) (,5) [ (,5) ] (,5) π π π π sin,5π

13 Contoh soal Buktikan bahwa : Bukti z! z ( z) z!! π z sinπz ( z)! ( z + ) ( z) Ingat : ( n + ) n! dan!( z)! z( z) ( z) ( n + ) n( n) z! z! ( z)! z[ ( z) ( z) ] π ( z)! z ( z) z!! sinπz πz sinπz dan ( n) ( n) π sinπn

14 Fungsi Beta Definisi : B ( ) p ( ) q p, q d ; p > ; q >. ( p, q ) B ( q p ) B, Definisi : B ( ) p p, q y ( a y) p+ q a a q dy

15 Fungsi Beta Definisi 3 : B π / ( ) ( ) p p, q sinθ ( cosθ ) q dθ Definisi 4 : B p y dy, ( ) p+ q + y ( p q)

16 Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gamma Fungsi Gamma ( p) t p e t dt Misal t y, maka ( p) y y e dy p ( ) q p ( ) ( ) ( + y p q y e ) 4 d dy q ( p) ( q) ( r cosθ ) ( r sinθ ) q q e d π / p r 4 e rdrdθ atau Jika (p) dikalikan dengan (q) dikalikan maka :

17 Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gamma dan Fungsi Gamma ( ) ( ) ( ) ( ) + / sin cos 4 θ θ θ π d dr e r q p p q r q p ( ) p + q ( ) q p B, ( ) ( ) ( ) ( ) q p B q p q p,. 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) q p q p q p B +,

18 Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gamma contoh B ( ) ( ) ( ), ( 3 ) ( )( π ) π

19 Contoh soal Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta π / sin 3 cos d p Solusi dengan def. Fungsi Beta 3 B( p, q) ( sinθ ) ( cosθ ) π / π / ( 3 ) ( ) 3/ sin cos / d sin ( cos ) π / / p 3 p 5 4 q 3 q 4 d q dθ π / sin 3 cos d B ( 5, 3 ) 4 4 ( 5 ) ( 3 4 4) ( )...

20 Contoh soal Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta y dy ( + y) 6 Solusi dengan def. Fungsi Beta 4 B( p q) p p 3 ( p + q) 6 q 3 p y dy, p+ q ( + y) Jadi y dy ( + y) 6 B ( 3,3) ( 3) ( 3) 4 ( 6)

21 Soal Latihan Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta yang sesuai. y dy ( 3 + y ). d 3. π / dθ sinθ

22 Aplikasi dalam persoalan Fisika Sket grafik + y 9 Gunakan fungsi Beta untuk menghitung : a. Luas daerah pada kuadran pertama b. Titik pusat massa dari daerah ini (anggap rapat massanya seragam) Jawab a y + y 9 A da d dy 3 9 y d dy 3 A 9 y dy

23 Aplikasi dalam persoalan Fisika 3 A 9 y dy Misalkan : y y dy d Batas : y y 3 9 A 9 9 d / 9 / ( 9 ) d Gunakan Fungsi Beta kedua B p ( p, q) y ( a y) a a p+ q q dy a y p q p+ q ( a y) dy a B( p, q)

24 A A / + 3/ ( 9) B( /,3/ ) ( 9) ( / ) ( 3/ ) ( ) π / π 9 A ( 9 ) π 4 Dengan rumus luas lingkaran : A π r π ( 3) π Sama

25 B. Titik pusat massa luasan tersebut dihitung dengan rumus : pm y pm dm dm y dm dm ρ da ρda ρ yda ρda Dst...

26 Fungsi Error dan Pelengkapnya Definisi Fungsi Error Erf ( ) e π t dt Definisi Pelengkap Fungsi Error Erfc ( ) π e t dt

27 Fungsi Error Erf Erf ( ) π π e t dt π ( ) ( ) π Selesaikan dengan Fungsi Gamma

28 Fungsi Error dan Pelengkapnya Erf Erf Erf Erf ( ) ( ) + t + t Erfc e dt e dt π ( ) + Erfc ( ) π e t dt ( ) + Erfc( ) Erf ( ) ( ) Erfc( ) Erfc( ) Erf ( )

29 Dari deret pangkat tak hingga : Fungsi Error e t + t + t +! 3 t + 3! 4 t ! e t t + 4 t! 6 t + 3! 8 t ! Erf t 4 dt ( ) t +... π! Erf ( ) t π 3 t t... 5.! Erf ( ) +... π 3 5.! 3 5 <<

30 Pelengkap Fungsi Error Definisi pelengkap fungsi error Kita tuliskan : dan lakukan integrasi by part sbb :

31 Pelengkap Fungsi Error Pelengkap Fungsi Error Sekarang tuliskan lagi : 3 t t e dt d t e t kemudian lakukan integral by part lagi sbb :

32 Pelengkap Fungsi Error Jika proses ini terus dilanjutkan, maka akan didapat ungkapan deret untuk pelengkap fungsi error, sbb : >>

33 Contoh soal e. d e u 5. du π / 3. e t dt π

34 Formula Stirling Formula Stirling adalah formula pendekatan untuk fungsi Faktorial dan Fungsi Gamma, sbb : Bukti Substitusi variabel baru y sehingga

35 Formula Stirling persamaan di atas menjadi : untuk p besar, logaritma dapat diekspansi dalam deret pangkat berikut : sehingga

36 Formula Stirling π Untuk p besar

37 Bandingkan nilai eksak n! dengan formula pendekatan Stirling n n! eksak n! Formula Stirling Persen selisih 5 8,,7 %,43 X 8,4 8, % 5 3,4 X 64

38 Soal. Dalam mekanika statistik sering digunakan persamaan : ln N! N ln N N disini N berorde bilangan Avogadro, N 6 Buktikan dari Formula Stirling!. Hitunglah : lim n ( n)! n ( n! ) n ( ) 3. Hitunglah : 55,5

39 Integral Eliptik Bentuk Legendre disebut juga integral eliptik tak lengkap jenis ke satu dan ke dua k disebut modulus dan φ disebut amplitudo integral eliptik. Integral ini ditabulasi untuk nilai θ arc sin k dan φ antara dan π/. k dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka θ dapat ditentukan, sedangkan φ dapat dilihat pada batas integral, dengan mengetahui θ dan φ, maka nilai integral eliptik dapat dilihat pada tabel integral eliptik F(k,φ) dan E(k,φ).

40 Integral Eliptik Integral eliptik lengkap Integral eliptik lengkap jenis pertama dan kedua adalah nilai-nilai K dan E (sebagai fungsi k) untuk φ π/ Sama seperti sebelumnya, k dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka θ dapat ditentukan, dengan mengetahui θ, maka nilai integral eliptik lengkap dapat dilihat pada tabel integral eliptik lengkap K dan E

41 Contoh soal. π / 4 dφ,5sin φ

42 Bagaimana menghitung integral eliptik untuk φ > π/??? Tinjau fungsi sin [f(sin )] yang merupakan integran dari integral eliptik 9π / 4 π π π / 4 π / π / luas A

43 7π / 4 π π π / 4 π / π / luas A catat 7π / 4 3π / 3π / π / 4 π / π / luas A

44 Contoh soal 5π / 4,37 sin φ dφ

45 Jika batas bawah integral tidak nol, maka : dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka : Karena F(k,φ) dan E(k,φ) merupakan fungsi ganjil

46 Contoh soal π / 4 7π /8,64sin φ dφ

47 Bentuk Jacobi Jika kita ambil sin φ, pada bentuk Legendre, maka akan didapat integral eliptik bentuk Jacobi jenis pertama dan kedua, sbb :

48 dan

49 Contoh soal,8 d ( )(,6 )

50 Contoh soal. 5π / 4,37 sin φ dφ 3. π / 4 7π /8,64sin φ dφ,5. d 4.,5 ( )( 4 3 ),5 d