ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
|
|
- Sudomo Salim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran yang hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya adalah massa, muatan, kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang dinyatakan sebagai vektor akan ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya ( A, B, dan seterusnya), sedangkan skalar dinyatakan dengan huruf biasa. Besar (nilai) dari suatu vektor A dapat dituliskan A atau dengan notasi skalar, A. A A Gambar 1 Dalam diagram, vektor biasanya dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah sebanding dengan besar vektor dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut. Minus A (yaitu A ) adalah sebuah vektor dengan besar yang sama seperti A, tetapi pada arah sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor memiliki besar dan arah, tetapi tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan sejauh 4 km ke arah utara dari Bandung direpresentasikan dengan vektor yang sama pada perpindahan sejauh 4 km ke utara Padang (kelengkungan Bumi diabaikan). Dengan demikian vektor dapat digeser sesuka hati selama besar dan arahnya tidak diubah. halaman 1
2 halaman 2 Operasi vektor dapat dibagi menjadi empat kelompok: (1) Penjumlahan dua vektor. Tempatkan ekor B pada kepala A sehingga dapat diperoleh jumlah vektor A B, yaitu vektor dari ekor A hingga kepala B (gambar 2). Penjumlahan vektor bersifat komutatif sehingga jika B ditukar dengan A pada proses di atas, maka hasilnya akan tetap sama: A B= B A. B A B A B A A B Gambar 2 Penjumlahan ini juga bersifat asosiatif: A B C= A B C. Untuk mengurangkan sebuah vektor (gambar 3), tambahkan kebalikannya: A B= A B. A B A B Gambar 3 (2) Perkalian dengan sebuah skalar. Perkalian suatu vektor oleh sebuah skalar k positif merupakan perkalian besar vektor oleh skalar tersebut dengan arah yang tidak berubah (gambar 4). Namun jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.
3 halaman 3 Perkalian ini bersifat distributif: k A B =k A k B. A 2 A A B Gambar 4 Gambar 5 (3) Perkalian titik dua vektor. Perkalian titik didefinisikan oleh A B= A Bcos, (1) dengan adalah sudut antara vektor-vektor tersebut ketika kedua ekornya saling bertemu (gambar 5). Perhatikan bahwa A B menghasilkan sebuah skalar sehingga perkalian titik ini sering juga disebut perkalian skalar. Perkalian ini bersifat komutatif, A B= B A, dan distributif, A B C = A B A C. (2) Secara geometri, A B adalah perkalian dari A dengan proyeksi B pada A (atau sebaliknya perkalian B dengan proyeksi A pada B ). Jika dua vektor sejajar, maka A B= A B. Untuk sembarang vektor A, secara khusus berlaku A A= A 2. (3) Jika vektor A dan B saling tegak lurus, maka A B=. (4) Perkalian silang dua vektor. Perkalian silang didefinisikan oleh A B= A Bsin n, (4)
4 halaman 4 dengan n adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1) mengarah tegak lurus bidang yang sisi-sisinya dibentuk oleh vektor A dan B. Namun ternyata ada dua arah yang tegak lurus bidang tersebut, yaitu masuk dan keluar. Untuk mengatasi masalah ini, digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan: jadikan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari menandakan arah dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa A B akan menghasilkan sebuah vektor sehingga perkalian silang sering disebut dengan perkalian vektor. B A Gambar 6. A B mengarah keluar bidang kertas, B A mengarah masuk bidang kertas. Perkalian silang bersifat distributif, A B C = A B A C, (5) tetapi tidak komutatif, justru A B= B A. (6) Secara geometri, A B adalah luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh A dan B (gambar 6). Jika kedua vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol dan secara khusus A A= untuk sembarang vektor A. Bentuk komponen Pada bagian sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi vektor dalam bentuk yang masih kabur, yakni tanpa merujuk pada sistem koordinat tertentu. Dalam praktik biasanya cukup mudah untuk bekerja dengan komponen vektor dalam sistem koordinat tertentu. Misalkan pada koordinat kartesian: i, j, dan k masing-masing adalah vektor satuan
5 halaman 5 yang sejajar dengan sumbu-x, y, dan z (gambar 7). Sebuah vektor sembarang A dapat dinyatakan dalam suku vektor basis tersebut (gambar 8), yaitu A= A x i A y j A z k. z z x A k A j z k y A x i i A y j x Gambar 7 Gambar 8 y Bilangan A x, A y, dan A z disebut komponen dari A. Tafsiran geometri dari komponen vektor tersebut adalah proyeksi A sepanjang tiga sumbu koordinat. Dengan hasil ini, keempat operasi vektor yang telah dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang dalam bentuk komponen-komponennya: (1) Penjumlahan dua vektor: A B= A x B x i A y B y j A z B z k. (7) (2) Perkalian dengan sebuah skalar: k A= k A x i k A y j k A z k. (8) (3) Perkalian titik dua vektor: i i= j j= k k=1; i j= i k= j k=. A B= A x B x A y B y A z B z. (9) (1) A A= A x 2 A y 2 A z 2, A= A 2 x A 2 y A 2 z. (11)
6 halaman 6 (4) Perkalian silang dua vektor: i i= j j= k k=, i j= j i= k, j k= k j= i, k i= i k= j. j k A B= i A x A y A z B x B y B z. (12) (13) Perkalian tripel Perkalian titik dan silang antara 3 buah vektor, A, B, dan C dapat menghasilkan sesuatu yang berarti dalam bentuk A B C, A B C, dan A B C. Aturanaturan yang berlaku adalah: A B C A B C. A B C = B C A = C A B, (14) (15) A B C = A x A y A z B x B y B z C x C y C z. (16) A B C A B C, A B C = A C B A B C A B C= A C B B C A. Perkalian A B C disebut dengan perkalian tripel skalar dan dapat ditulis [ A B C]. Secara geometri, perkalian tripel skalar akan menghasilkan besar volume ruang yang dibentuk oleh A, B, dan C sebagai sisi-sisinya. Volume ruang tersebut akan bernilai positif atau negatif tergantung pada unsur perkalian silang di dalam perkalian tripel skalar. Sementara itu, perkalian A B C disebut dengan perkalian tripel vektor karena hasil akhirnya adalah sebuah vektor. (17) (18)
7 halaman 7 Posisi, perpindahan, dan jarak Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dalam koordinat kartesian x, y,z. Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asal disebut dengan vektor posisi: Besarnya r=x i y j z k. (19) r= x 2 y 2 z 2, (2) adalah jarak dari titik asal, dan merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar. r= r r = x i y j z k x 2 y 2 z 2, (21) Bagian kecil vektor perpindahan, dari x, y,z hingga x dx, y dy,z dz adalah d r=dx i dy j dz k. (22) Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering berhadapan dengan permasalahan yang melibatkan dua titik, yatu sebuah titik sumber r ' (tempat sumber medan berada) dan titik medan r yang sedang ditinjau besar medannya. Akan memudahkan jika sejak awal dibuatkan notasi baru untuk menyatakan posisi relatif dari titik sumber ke titik medan. Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r (gambar 9): r= r r '. (23) titik medan r r r ' titik sumber Gambar 9. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.
8 halaman 8 Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ): r= r r ', (24) r= r r = r r ' r r '. (25) Kalkulus Vektor Limit, kontinuitas, dan turunan fungsi vektor Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuah vektor A, maka A disebut fungsi dari u dan dinyatakan dengan A u. Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan menjadi A u =A x u i A y u j A z u k. Konsep fungsi ini dapat diperluas dengan mudah. Jika setiap titik x, y,z berkaitan dengan sebuah vektor A, maka A adalah fungsi dari x, y,z yang dinyatakan dengan A x, y,z = A x x, y, z i A y x, y, z j A z x, y,z k. Dapat dikatakan vektor A ini mendefinisikan sebuah medan vektor dan serupa dengannya x, y,z mendefinisikan medan skalar. Aturan limit, kontinuitas, dan turunan untuk fungsi vektor mengikuti aturan yang sama seperti skalar. (1) Fungsi vektor yang dinyatakan dengan A u dikatakan kontinu pada u jika untuk setiap bilangan positif dapat ditemukan suatu bilangan positif sehingga A u A u dengan u u. Pernyataan ini ekuivalen dengan lim u u A u = A u. (2) Turunan dari A u didefinisikan d A du = lim u A u u A u u, dengan syarat limitnya ada. Pada kasus A u =A x u i A y u j A z u k dapat diperoleh
9 halaman 9 d A du = da x du i da y du j da z du k. (26) Turunan yang lebih tinggi seperti d 2 A/du 2 didefinisikan dengan cara yang serupa. (3) Jika A x, y,z = A x x, y, z i A y x, y, z j A z x, y,z k, maka adalah diferensial total dari A. d A= A x dx A y dy A z dz. (27) (4) Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau vektor dengan vektor mengikuti aturan yang sama seperti pada fungsi skalar. Namun perlu diingat ketika kita melibatkan perkalian silang maka urutan penulisan penting untuk diperhatikan karena terkait dengan arah dari hasil perkalian tersebut. Beberapa contoh diantaranya: d du A = d A du d du A, y A B = A B y A y B, (urutan tidak masalah) z A B = A B z A z B (pertahankan urutan A dan B ). (28) (29) (3) Gradien, Divergensi, dan Curl Misalkan sebuah operator vektor dalam koordinat kartesian didefinisikan = i x j y k z. (31) Jika x, y,z dan A x, y,z memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada daerah tertentu, maka dapat didefinisikan beberapa besaran berikut: gradien: grad = = x i y j z k (32)
10 halaman 1 divergensi: div A= A= A x x A y y A z z i j k curl: curl A= A= x y z A x A y A z (33) (34) Jika turunan parsial dari fungsi-fungsi A, B, U, dan V diasumsikan ada, maka 1. U V = U V atau grad U V =gradu grad V 2. A B = A B atau div A B =div A div B 3. A B = A B atau curl A B =curl A div B 4. U A = U A U A 5. U A = U A U A 6. A B = B A A B 7. A B = B A B A A B A B 8. A B = B A A B B A A B 9. U = 2 U= 2 U U U x 2 2 y disebut Laplacian dari U z dan 2 = 2 x 2 2 y 1. U =. Curl dari gradien U adalah nol disebut dengan operator Laplacian. z 11. A =. Divergensi dari curl A adalah nol. 12. A = A 2 A Gradien, divergensi, dan curl bukanlah sekedar operasi matematik belaka. Ketiganya dapat ditafsirkan secara geometri.
11 halaman 11 Tafsiran Gradien. Seperti vektor lainnya, gradien memiliki besar dan arah. Untuk menentukan arti geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi tiga variabel, katakanlah temperatur dalam ruang, T x, y,z, yang merupakan sebuah skalar. Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut dinyatakan dalam bentuk diferensial total dt= T x dx T y dy T z dz. (35) Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara dengan dt= T x i T y j T z k dx i dy j dz k (36) = T d r, atau dt= T d r = T d r cos, (37) yang berarti dt dr = T cos = T u, (38) dengan adalah sudut antara T dan d r, kemudian u adalah suatu vektor satuan yang menyatakan arah gerak kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dt/dr ) akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan T (yaitu saat = ). Bayangkan kita berada pada sebuah lereng bukit. Lihat ke sekeliling dan temukan bagian yang paling curam. Itu adalah arah dari gradien. Sekarang ukur kemiringan pada arah tersebut. Itu adalah besar dari gradien. Lalu bagaimana jika gradiennya nol? Jika T= pada x, y,z, maka dt= untuk perpindahan yang kecil di sekitar titik x, y,z. Keadaan ini akan berarti sebuah titik stasioner dari fungsi T x, y,z. Titik tersebut dapat berupa nilai maksimum (puncak), minimum (lembah), daerah pelana, atau sebuah permukaan berbentuk seperti bahu. Tafsiran Divergensi. Sesuai namanya, divergensi A menyatakan ukuran penyebaran vektor A. Perhatikan gambar 1 sebagai contoh pada kasus dua dimensi.
12 halaman 12 Fungsi pada gambar 1(a) memiliki divergensi yang sangat besar dan positif (jika panahnya mengarah ke dalam berarti nilainya negatif), fungsi pada gambar 1(b) memiliki divergensi nol, dan fungsi pada gambar 1(c) memiliki divergensi positif yang nilainya agak kecil. (a) (b) (c) Gambar 1 Tafsiran Curl. Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti geometrinya yang menyatakan ukuran rotasi pada sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar 1 memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi pada gambar 11 memiliki curl yang sangat besar berarah pada sumbu-z. z y x Gambar 11
13 halaman 13 Koordinat lengkung Misalkan persamaan transformasi x= f u 1, u 2, u 3, y= g u 1, u 2, u 3, z=h u 1,u 2,u 3 (39) (dengan asumsi f, g, h kontinu, memiliki turunan parsial kontinu, dan memiliki sebuah nilai invers tunggal) membentuk korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam sistem koordinat xyz dan u 1 u 2 u 3. Dalam notasi vektor, persamaan (39) dapat dituliskan r=x i y j z k= f u 1,u 2,u 3 i g u 1,u 2,u 3 j h u 1, u 2,u 3 k. (4) Sebuah titik P (gambar 12) dengan demikian dapat didefinisikan tidak hanya oleh koordinat x, y,z tetapi juga oleh koordinat u 1, u 2, u 3. Kita sebut u 1, u 2, u 3 sebagai koordinat lengkung dari suatu titik. z u 3 e 3 e 1 u 1 r P u 2 e2 y x Gambar 12 Dari persamaan (4), diperoleh d r= r u 1 du 1 r u 2 du 2 r u 3 du 3. (41) Dalam sistem koordinat lengkung ini, bentuk diferensial dari panjang busur suatu kurva dapat dituliskan dengan ds 2 = g 11 du 1 2 g 22 du 2 2 g 33 du 3 2, (42)
14 halaman 14 g 11 = r x r x, g 22 = r y r y, g 22 = r z r z. 43) Vektor r / u 1 bersinggungan dengan koordinat u 1 pada P. Jika e 1 merupakan sebuah vektor satuan pada arah tersebut, maka r / u 1 =h 1 e 1 dengan h 1 = r / u 1. Serupa dengannya, r / u 2 =h 2 e 2 dan r / u 3 =h 3 e 3 dengan h 2 = r/ u 2 dan h 3 = r / u 3. Dengan demikian, d r=h 1 du 1 e 1 h 2 du 2 e 2 h 3 du 3 e 3, (44) Besaran h 1,h 2, h 3 sering disebut sebagai faktor skala. Jika e 1, e 2, e 3 saling tegak lurus pada titik P, koordinatnya dikatakan ortogonal. Oleh karena itu, kita temukan kuadrat panjang busur adalah ds 2 =d r d r=h 1 2 du 1 2 h 2 2 du 2 2 h 3 2 du 3 2, (45) yang bersesuaian dengan panjang diagonal ruang balok pada gambar 12, dan elemen volumnya ( d ) dapat ditulis d =h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3. (46) Misalkan adalah sebuah fungsi skalar dan A= A 1 e 1 A 2 e 2 A 3 e 3 adalah fungsi dalam koordinat lengkung ortogonal u 1,u 2,u 3, maka gradien, divergensi, curl, dan laplacian-nya adalah: =grad = 1 e h 1 u 1 1 e 1 h 2 u 2 1 e 2 h 3 u 3 3 A=div A= 1 h 1 h 2 h 3 [ A u 1 h 2 h e1 h2 e A=curl A= 1 2 h3 e 3 h 1 h 2 h 3 h u 1 u 2 u 3 A 1 A 2 A 3 h u 1 A 2 h 3 h 2 u 1 h 2 A 3 ] =laplacian = 1 3[ h 1 h 2 h u 1 h h 2 3 h 1 u 1 u 2 h h 1 3 h 2 u 2 u 3 h h ] h 3 u
15 halaman 15 Keempat bentuk tersebut * akan tereduksi menjadi ekspresi biasa dalam koordinat kartesian jika u 1, u 2,u 3 digantikan oleh x, y,z ; lalu e 1, e 2, e 3 diganti dengan i, j, k ; dan h 1 =h 2 =h 3 =1. Bentuk khusus koordinat lengkung ortogonal lain diantaranya adalah koordinat silinder dan koordinat bola. Z Z P(ρ, θ, z) z P(r, θ, φ) x z O φ r ρ y Y x î kˆ θ O φ r ρ ĵ y Y X Gambar 13 Gambar 14 X Koordinat Silinder,,z. Perhatikan gambar 13. Persamaan transformasi: x= cos, y= sin, z=z, dengan, 2, z. Faktor skala: h 1 =1,h 2 =,h 3 =1. Elemen panjang busur: ds 2 =d 2 2 d 2 dz 2. Elemen volum: d = d d dz Perhatikan bahwa dari sini dapat juga diperoleh hasil lain untuk koordinat polar dalam bidang dengan mengabaikan ketergantungan pada z. Sebagai contoh dalam kasus koordinat polar tersebut, ds 2 =d 2 2 d 2 ; sedangkan elemen volum digantikan oleh elemen luas, da= d d. * Lihat buku Mathematical Methods in The Physical Sciences (Mary L. Boas) untuk penurunan lengkapnya.
16 halaman 16 Koordinat Bola,,. Perhatikan gambar 14. Persamaan transformasi: x=r sin cos, y=r sin sin,z=r cos, dengan r,, 2. Faktor skala: h 1 =1,h 2 =r,h 3 =r sin. Elemen panjang busur: ds 2 =dr 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2. Elemen volum: d =r 2 sin dr d d. Integral Garis, Permukaan, dan Volum Dalam bahasan listrik magnet selanjutnya akan ditemui berbagai macam bentuk integral, diantaranya yang paling penting adalah integral garis (atau lintasan), integral permukaan (atau fluks), dan integral volum. Integral Garis. Sebuah integral garis I adalah suatu pernyataan dalam bentuk b I= v d r, (47) a dengan v adalah sebuah fungsi vektor, d r adalah elemen vektor perpindahan (pers. 22), dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b. Jika lintasan integrasi membentuk loop tertutup, maka tanda integral diberi tambahan lingkaran: v d r. Integral Permukaan. Sebuah integral permukaan I didefinisikan I= v d a, S (48) dengan v adalah sebuah fungsi vektor dan d a adalah elemen vektor luas yang arahnya tegak lurus permukaan yang dimaksud. Jika permukaannya tertutup (menjadi seperti ruang), maka seperti sebelumnya tanda integral diberi tambahan lingkaran: v d a. Untuk integral permukaan biasa (pers. 48), dapat ditemui dua arah yang tegak lurus
17 halaman 17 permukaan sehingga pemilihan arah permukaan akan cukup membingungkan. Namun biasanya kita bebas memilih salah satu dari kedua arah tersebut. Untuk kasus integral permukaan tertutup, arah yang keluar (menjauh) dari permukaan disepakati sebagai arah elemen luas, d a. Integral Volum. Sebuah integral volum I dinyatakan I= T d, V (49) dengan T adalah sebuah fungsi skalar dan d adalah elemen kecil dari volum. Untuk koordinat kartesian, d =dx dy dz. Sebagai contoh, jika T adalah kerapatan suatu materi (yang nilainya dapat bervariasi dari titik ke titik), maka integral volum akan memberikan massa total. Kadang akan ditemui juga bentuk integral volum dari suatu fungsi vektor: v d = v x i v y j v z k d = i v x d j v y d k v z d. Teorema fundamental Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya. Teorema Gradien: Teorema Curl (Stokes): b T d r=t b T a a v d a= v d r S (5) (51) Teorema Divergensi (Gauss): V v d = v d a S Dari pers. 5 s.d. 52 dapat dilihat bahwa teorema gradien melibatkan operasi gradien dan integral garis; teorema curl melibatkan operasi curl, integral permukaan, dan integral garis; (52)
18 halaman 18 dan teorema divergensi melibatkan operasi divergensi, integral volum, dan integral permukaan. Teorema potensial (skalar dan vektor) Teorema 1. Jika curl dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, maka F dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar V : F= F= V, (53) atau setara dengan pernyataan berikut: b a F d r tidak tergantung lintasan (konservatif) untuk setiap titik-titik ujung yang diberikan, F d r = untuk sembarang loop tertutup. Teorema 2. Jika divergensi dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, maka F dapat dinyatakan sebagai curl dari sebuah potensial vektor A : F= F= A, (54) yang juga setara dengan: F d a tidak tergantung permukaan untuk setiap batas tertutup yang diberikan, F d a= untuk sembarang permukaan tertutup. KUMPULAN SOAL-JAWAB SOAL 1 Misalkan suatu vektor C seperti pada gambar di samping. Turunkan aturan cosinus dengan memanfaatkan perkalian titik dari vektor C pada dirinya sendiri dengan menyesuaikan variabel pada A dan B! A B C
19 halaman 19 Jawab: Dari gambar dapat kita tentukan: C= A B, kemudian C C= A B A B = A A A B B A B B, atau C 2 =A 2 B 2 2 AB cos (aturan cosinus). SOAL 2 Tentukan sudut antara dua buah diagonal ruang suatu kubus! Jawab: z Berdasarkan gambar di samping, 1 A r B r A= 1 i 1 j 1 k ; A= 3 B=1 i 1 j 1 k ; B= 3 A B= 1 1 1=1= A Bcos = 3 3cos 1 θ 1 y cos = 1 3, x sehingga =arc cos 1 3 7,5288o. SOAL 3 Dengan menggunakan perkalian silang, tentukanlah komponen vektor satuan yang tegak lurus bidang seperti ada gambar! Jawab: z 3 nˆ Perkalian silang antara dua vektor sembarang yang menjadi sisi-sisi bidang pada gambar akan menghasilkan vektor 2 y 1 x yang tegak lurus bidang tersebut. Sebagai contoh, ambil bagian alas dan sisi sebelah kiri masing-masing menjadi vektor A dan B :
20 halaman 2 A= 1 i 2 j k ; B= 1 i j 3 k A B= i j k =6 i 3 j 2 k. Vektor A B ini arahnya sudah sesuai dengan n, tetapi besarnya belum cocok (ingat, vektor satuan harus bernilai 1 satuan). Untuk menghasilkan vektor satuan n, bagi saja A B dengan besarnya: A B = =7. Dengan demikian, SOAL 4 n= A B A B = 6 7 i 3 j 2 7 k. Carilah vektor posisi relatif r dari titik sumber (2, 8, 7) ke titik medan (4, 6, 8). Tentukan besarnya dan bentuk vektor satuan r! Jawab: r= r r '= 4 i 6 j 8 k 2 i 8 j 7 k =2 i 2 j 1 k. r = 4 4 1=3, sehingga r= 2 3 i 2 3 j 1 3 k. SOAL 5 Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut: (a) f x, y, z =x 2 y 3 z 4 ; (b) f x, y, z =x 2 y 3 z 4 ; (c) f x, y, z =e x sin y ln z. Jawab: (a) (b) f =2 x i 3 y 2 j 4 z 3 k f =2 x y 3 z 4 i 3 x 2 y 2 z 4 j 4 x 2 y 3 z 4 k (c) f =e x sin y ln z i e x cos y ln z j e x sin y 1 z k
21 halaman 21 SOAL 6 Ketinggian dari suatu bukit (dalam satuan meter) diberikan oleh h x, y =1 2 x y 3 x 2 4 y 2 18x 28 y 12, dengan y adalah jarak (dalam km) sebelah utara, x adalah jarak ke timur kota Bandung. (a) Di manakah puncak bukit tersebut berada? (b) Berapa ketinggian bukit tersebut? (c) Seberapa curam kemiringan (dalam satuan m/km) pada sebuah titik 1 km utara dan 1 Jawab: km timur kota Bandung? Pada arah manakah kemiringan tercuram di titik tersebut? (a) Tentukan gradien fungsi terlebih dahulu: h=1[ 2 y 6 x 18 i 2 x 8 y 28 j]. Untuk menentukan puncak bukit, gunakan syarat h= (puncak bukit merupakan salah satu jenis titik stasioner): h=1[ 2 y 6 x 18 i 2 x 8 y 28 j]=, menghasilkan sistem persamaan linear dua peubah: 2 y 6 x 18=}. Solusi dari sistem persamaan ini adalah x, y = 2,3. 2 x 8 y 28= Dengan demikian puncak bukit tersebut berada pada 2 km sebelah barat dan 3 km utara Bandung. (b) Substitusikan x, y = 2,3 pada h x, y : h 2, 3 = =72 m. (c) Substitusikan x, y = 1, 1 pada h. h 1,1 =1[ i j]=22 i j. h = m/km, arahnya ke barat laut (135 derajat dari sumbu-x positif).
22 halaman 22 SOAL 7 Misalkan r adalah sebuah vektor dari suatu titik tertentu x, y, z ke titik x, y,z dan r adalah panjangnya. (a) Tunjukkan bahwa r 2 =2 r (b) Cari rumus umum untuk r n (dalam bentuk r, yaitu vektor satuan yang searah dengan r ) Jawab: (x, y, z ) (x, y, z) r= x x i y y j z z k r= x x 2 y y 2 z z 2 r 2 = x x 2 y y 2 z z 2 (a) (b) r 2 = x [ x x 2 y y 2 z z 2 ] i y [ x x 2 y y 2 z z 2 ] j z [ x x 2 y y 2 z z 2 ] k =2 x x i 2 y y j 2 z z k=2 r (terbukti) x rn =nr n 1 r rn 1 x =n r x 2r =nrn 1 r x, ( r x =x x ) y rn =nr n 1 r y, z rn =nr n 1 r z ; sehingga r n =nr n 1 r. SOAL 8 Ujilah kebenaran teorema gradien, menggunakan fungsi T=x 2 4 x y 2 y z 3 titik-titik a=,,, b= 1,1, 1 dan dua lintasan berikut: dengan (a) z (b) z (1, 1, 1 ) (1, 1, 1 ) O y O z = x 2 = y 2 y x x
23 halaman 23 Jawab: b Teorema gradien adalah: T d r=t b T a. a Pada soal telah disebutkan T=x 2 4 x y 2 y z 3, sehingga T a = ; T b =1 4 2=7 ; dan T b T a =7. (a) Lintasan ini dapat dibagi menjadi 3 bagian, - bagian 1, x : 1, y=z=dy=dz=. 1 T d r 1 = 2 x dx=[x 2 ] 1 =1. - bagian 2, y : 1, x=1, z=, dx=dz=. 1 T d r 2 = 4 dy=[4 y] 1 =4. - bagian 3, z : 1, x= y=1, dx=dy=. 1 T d r 3 = 6z 2 dz=[2z 3 ] 1 =2. b T d r= T d r 1 T d r 2 T d r 3 =1 4 2=7. a (b) T d r= 2 x 4 y dx 4 x 2z 3 dy 6 y z 2 dz. Karena x : 1; y=x, z=x 2, dy=dx, dz=2 x dx, maka T d r= 2 x 4 x dx 4 x 2 x 6 dx 6 x x 4 dx= 1x 14 x 6 dx 1 1 T d r= 1x 14 x 6 dx=[5 x 2 2 x 7 ] 1 =5 2=7. SOAL 9 z Uji kebenaran teorema divergensi untuk fungsi v= x y i 2 y z j 3 x z k. Gunakan volum pada gambar kubus di samping dengan panjang sisi 2 satuan! Jawab: Teorema divergensi adalah: V v d = v d a. S Cari dulu nilai ruas kiri: sesuai dengan soal, dapat diperoleh v= y 2z 3 x. 2 x 2 2 y
24 halaman 24 v d = y 2z 3 x dx dy dz=48. Cek nilai ruas kanan dengan menggunakan penomoran permukaan berikut ini: z (V ) (II) (IV ) (III) y x (I) (V I) 2 2 (I) d a 1 =dy dz i, x=2 ; v d a 1 = 2 y dy dz=2[ y 2 ] 2 =8. (II) d a 2 = dy dz i, x= ; v d a 2 = ; v d a 2 =. 2 2 (III) d a 3 =dx dz j, y=2 ; v d a 3 = 4z dx dz=16. (IV) d a 4 = dx dz j, y= ; v d a 4 = ; v d a 4 =. (V) d a 5 =dx dy k, 2 2 z=2 ; v d a 5 = 6 x dx dy=24. (VI) d a 6 = dx dy k, z= ; v d a 6 = ; v d a 6 =. Jumlahkan seluruh integrasi (I) s.d. (VI), ternyata hasilnya adalah v d a= =48 (cocok dengan ruas kiri). SOAL 1 Ujilah kembali kebenaran teorema divergensi untuk fungsi v=r 2 cos r r 2 cos r 2 cos sin. Gunakan bola berjari-jari R pada oktan pertama sebagai volum yang ditinjau!
25 halaman 25 Jawab: Sesuai transformasi pada koordinat lengkung, divergensi untuk koordinat bola dapat dituliskan R z v= 1 r 2 r r 2 v r 1 r sin sehingga untuk soal ini diperoleh v= 1 r 2 r r 2 r 2 cos 1 r sin v sin 1 v r sin, r 2 cos sin 1 r sin x R R r 2 cos sin y = 1 r 2 4r 3 cos 1 r sin r 2 cos cos 1 r sin r 2 cos cos = r cos [4 sin cos cos ]=4 r cos. sin Kemudian hitung ruas kiri teorema divergensi dengan elemen volum dalam koordinat bola, d =r 2 sin dr d d : v d = R 4r cos r 2 sin dr d d =4 / 2 r 2 dr / 2 cos sin d d =R = R 4 4. Sekarang cek ruas kanan, perrmukaan bola yang dimaksud terdiri dari 4 bagian: (1) bagian lengkung, d a 1 =R 2 sin d d r ; r=r ; v d a 1 = R 2 cos R 2 sin d d /2 v d a 1 =R 4 /2 cos sin d 4 d =R 1 2 R4 = 2 4 (2) kiri: d a 2 = r dr d ; = ; v d a 2 = r 2 cos sin r dr d = v d a 2 =.. (3) belakang: d a 3 =r dr d ; = 2 ; v d a 3= r 2 cos sin r dr d = r 3 cos dr d R v d a 3 = / 2 r 3 dr cos d = R 1 = 1 4 R4.
26 halaman 26 (4) alas: d a 4 =r sin dr d ; = 2 ; v d a= r 2 cos r dr d R v d a 4 = / 2 r 3 dr cos d = 1 4 R 4. Totalnya adalah: v d a= R 4 SOAL R R 4 = R 4 4 (cocok). z Uji kebenaran teorema Stokes (curl) untuk fungsi v= y k pada permukaan segitiga seperti gambar di samping! (,, a) Jawab: Teorema Stokes adalah: v d a= v d r S (a,, ) (, 2a, ) y Cek ruas kanan, v d r = y dz. x Ambil jalur yang berlawanan jarum jam pada garis-garis batas permukaan tertutup segitiga. Ada 3 bagian garis pada segitiga tersebut: (1) kiri: z=a x ; dz= dx ; y= ; sehingga v d r 1 =. (2) alas: dz=, sehingga v d r 2 =. (3) belakang (kanan): z=a 1 2 y ; dz= 1 2 dy ; y : 2a. v d r 3 = 2 a y 1 2 dy = 1 2[ y 2 2 ]2 a = 4 a 2 4 =a 2 Totalnya dalam loop tertutup adalah v d r = a 2 =a 2. Sekarang cek ruas kiri: v= i. v d a= proyeksi permukaan segitiga pada bidang xy= 1 2 a 2a =a (cocok). 2
27 halaman 27 SOAL 12 Misalkan F 1 =x 2 k dan F 2 =x i y j z k. Hitung divergensi juga curl dari F 1 dan F 2. Manakah yang dapat dituliskan sebaga gradien dari skalar? Cari potensial skalar yang cocok dengannya! Dan manakah yang dapat dinyatakan sebagai curl dari vektor? Cari potensial vektor yang cocok dengannya! Jawab: F 1 = x y z x 2 =; F 2 = x x y y z z =1 1 1=3. = = i j k i j k F 1 x y z 2 = j x x 2 = 2 x j ; F = 2. x y z x x y z F 2 =, maka F 2 adalah gradien dari suatu skalar. Potensial skalar yang memenuhi adalah V= 1 2 x 2 y 2 z 2 sehingga F 2 = V. F 1 =, maka F 1 adalah curl dari suatu vektor. Potensial vektor yang berkaitan dengan F 1 adalah A dengan syarat F 1 = A, menyebabkan A y z A z y = A x z A z x = ; A y x A x y =x 2 A y = x 3 3. Dengan ketentuan ini dapat dipilih A x = A z = sehingga A= x 2 3 j (tapi tidak unik). Fungsi Delta Dirac (Pengayaan) Misalkan ada suatu fungsi vektor v= 1 r 2 r dalam koordinat bola. Pada setiap titik, v mengarah radial keluar.
28 halaman 28 Jika seseorang mencari sebuah fungsi dengan divergensi positif yang sangat besar, maka fungsi itulah contohnya. Akan tetapi, jika divergensinya dihitung dengan cara biasa (koordinat bola), ternyata hasilnya tepat nol! v= 1 r 2 r r r = 1 r 2 r 1 =. Lebih aneh lagi jika kita coba uji kebenaran teorema divergensi dengan mengecek ruas kanan teorema, yaitu dengan mengintegrasikan fungsi sepanjang permukaan bola berjarijari R yang berpusat pada titik asal koordinat: v d a= 1 R r R 2 sin d d r = 2 padahal ruas kiri teorema divergensi, v d =. 2 sin d d =4, Mana yang benar? Ruas kiri atau ruas kanan? Apakah teorema divergensi telah salah? Permasalahan rupanya disebabkan oleh titik r= di mana v nilainya meledak secara liar (pembagian dengan nol akan menghasilkan nilai tak hingga). Divergensi v ( v ) sebenarnya memang bernilai nol, kecuali di r =. Oleh karena itu, perlu didefinisikan fungsi baru yang dapat mengakomodasi sifat divergensi ini. Patokan yang digunakan untuk adalah nilai teorema divergensi untuk kasus ini haruslah 4 (mengacu pada ruas kanan). Fungsi spesial ini dikenal dengan nama fungsi delta Dirac. Fungsi delta Dirac 1D x a luasnya 1 satuan a Gambar 15. Fungsi delta Dirac, luas daerah di bawah kurva bernilai 1 satuan. x
29 halaman 29 Definisi: x a ={,, jika x a jika x=a} dengan x a dx=1. (55) Sifat-sifat: f x x a = f a x a dan f x x a dx= f a. (56) Fungsi delta Dirac 3D Definisi yang diberikan pada fungsi delta Dirac 1D dapat diperluas menjadi 3D: 3 r = x y z, (57) dan integral volumnya bernilai 1: Selain itu, 3 r d = x y z dx dy dz=1. (58) f r 3 r r = f r. (59) Dengan fungsi delta Dirac ini, masalah yang dikemukakan pada bagian awal dapat terpecahkan secara mudah, yaitu atau secara umum r r 2 =4 3 r, r r 2 =4 3 r. (6) SOAL 13 (a) Tuliskan pernyataan yang menyatakan kerapatan massa dari sebuah partikel bermassa m yang berada pada titik r. Lakukan hal yang sama untuk rapat muatan dari suatu
30 halaman 3 muatan titik pada r! (b) Berapa rapat muatan dari sebuah dipol listrik, yang terdiri dari muatan titik -q pada titik asal koordnat dan muatan titik +q pada r? (c) Berapakah rapat muatan yang seragam dari kulit bola tipis berjari-jari R dan muatan Jawab: totalnya Q? (a) Perhatikan pers. (58), satu per volum merupakan fungsi delta Dirac, sehingga: m r =m 3 r r ; q r =q 3 r r. (b) r =q 3 r r q 3 r. (c) Misalkan r = A r R. Untuk mendapatkan konstanta A, maka dibutuhkan syarat Q= r d = A r R 4 2 dr= A 4 R 2, sehingga A= Q 4 R 2. Dengan demikian, r = Q 4 R 2 r R. ***
Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciBAB VI INTEGRAL LIPAT
BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA
Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I 2015-2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciAljabar Vektor. Sesi XI Vektor 12/4/2015
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI Vektor e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 Aljabar Vektor Vektor juga memiliki
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan
Lebih terperinciMatematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN
Matematika asar INTEGRAL PERMUKAAN Misal suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan merupakan proyeksi pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i +
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciLAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:
LAMPIRAN A.TRANSFORMASI KOORDINAT 1. Koordinat silinder Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: Vector kedudukan adalah Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: Maka: Misalkan
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciSuryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor
Lebih terperinciPertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.
Lebih terperinciKINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK
KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak
BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinci1 Energi Potensial Listrik
FI101 Fisika Dasar II Potensial Listrik 1 Energi Potensial Listrik gus Suroso (agussuroso@fi.itb.ac.id) Pada kuliah sebelumnya, telah dibahas besaran-besaran gaya dan medan elektrostatik yang timbul akibat
Lebih terperinci2.2 kinematika Translasi
II KINEMATIKA PARTIKEL Kompetensi yang akan diperoleh setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep kinematika partikel pada kehidupan sehari-hari
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciKoordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciDr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
SISTEM-SISTEM KOORDINAT Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, terdapat tiga sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Suatu titik
Lebih terperinciMedan Elektromagnetik 3 SKS. M. Hariansyah Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Ibn Khaldun Bogor
Medan Elektromagnetik 3 SKS M. Hariansyah Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Ibn Khaldun Bogor 2 0 1 4 Medan Elektromagnetik I -Referensi: WILLIAM H HAYT Materi Kuliah -Analisa Vektor
Lebih terperinciBAB I TEGANGAN DAN REGANGAN
BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN.. Tegangan Mekanika bahan merupakan salah satu ilmu yang mempelajari/membahas tentang tahanan dalam dari sebuah benda, yang berupa gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
INTEGRASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis URAIAN MATERI Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa dari vektor. Integral Biasa
Lebih terperinciSISTEM KOORDINAT VEKTOR. Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM
SISTEM KOORDINAT VEKTOR Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM Tujuan Pembelajaran Mahasiswa dapat memahami koordinat vektor Mahasiswa dapat menggunakan sistem koordinat vektor untuk menyelesaikan
Lebih terperinciIntegral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015
2//25 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TK 85 Pengampu : Achfas Zacoeb esi XIII INTEGRAL e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 823398339 Integral Garis Dari Gambar.,
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 )
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 ) Kalkulus Vektor Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciBab 5 Potensial Skalar. A. Pendahuluan
Bab 5 Potensial Skalar A. Pendahuluan Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang memberikan informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial informasi
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciBab 4 Hukum Gauss. A. Pendahuluan
Bab 4 Hukum Gauss A. Pendahuluan Pada pokok bahasan ini, disajikan tentang hukum Gauss yang memberikan fluks medan listrik yang melewati suatu permukaan tertutup yang melingkupi suatu distribusi muatan.
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciTEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR
TEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR Interpretasi Geometri dari Derivatif Vektor Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k maka:. Derivatif dari kurva
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciBINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.
BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD hanisantosa@gmail.com 2 BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral,
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciPertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes
Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x,y) pada = {(x,y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciTRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL
TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL 7 th International Junior Science Olympiad (IJSO) 11 th Initational World Youth Mathematics Intercity Competition (IWYMIC) MODUL FISIKA GERAK (Sumber: College Physics,
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinci4.4. KERAPATAN FLUKS LISTRIK
4.4. KERAPATAN FLUKS LISTRIK Misalkan D adalah suatu medan vektor baru yang tidak bergantung pada medium dan didefinisikan oleh Didefinisikan fluks listrik dalam D sebagai Dalam satuan SI, satu garis fluks
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciIntegral yang berhubungan dengan kepentingan fisika
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai
Lebih terperinciK 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2
1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciTOPIK 8. Medan Magnetik. Fisika Dasar II TIP, TP, UGM 2009 Ikhsan Setiawan, M.Si.
TOPIK 8 Medan Magnetik Fisika Dasar II TIP, TP, UGM 2009 Ikhsan Setiawan, M.Si. ikhsan_s@ugm.ac.id Pencetak sidik jari magnetik. Medan Magnetik Medan dan Gaya Megnetik Gaya Magnetik pada Konduktor Berarus
Lebih terperinciSoal dan Solusi Materi Elektrostatika
P Soal dan Solusi Materi Elektrostatika 1. Tentukan medan listrik pada jarak z di atas salah satu ujung kawat sepanjang L yang membawa muatan berdistribusi seragam dengan rapat muatan, seperti gambar berikut
Lebih terperinciAPLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciSoal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013
Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciGradien, Divergensi, dan Curl
GRADIEN, DIVERGENSI, DAN CURL Materi pokok pertemuan ke 8 : 1. Operator Del 2. Gradien 3. Turunan berarah URAIAN MATERI Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 6 INTEGRAL GARIS Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinci4.3. MEDAN LISTRIK OLEH DISTRIBUSI MUATAN KONTINYU
4.3. MEDAN LISTRIK OLEH DISTRIBUSI MUATAN KONTINYU Selain muatan berbentuk titik, dimungkinkan juga distribusi muatan kontinyu dalam bentuk garis, permukaan atau volume seperti yang ditunjukkan pada Gambar
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral (Stokes Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Stokes Theorem Review : Pada pembahasan sebelumnya, kepadatan sirkulasi atau curl pada bidang dua dimensi
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciTeori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas
Teori Relativitas Mirza Satriawan December 7, 2010 Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus Quiz 1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel. 2 Tuliskan
Lebih terperinciA + ( B + C ) = ( A + B ) + C
VEKTOR ANALISIS 1.1. Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada sebuah jumlah yang nilai dapat diwakili oleh satu ( positif atau negatif ) nomor asli. x, y, dan z yang kami gunakan dalam dasar aljabar
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciANALISA VEKTOR. Skalar dan Vektor
ANALISA VEKTOR Skalar dan Vektor Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Contoh dari besaran skalar antara lain massa, kerapatan, tekanan, dan volume. Sedangkan besaran
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Modul 1
Modul 1 Analisis Vektor Paken Pandiangan, S.Si., M.Si. A nalisis vektor mulai dikembangkan pada pertengahan abad ke19. Pada saat ini merupakan bagian yang sangat penting bagi mereka yang mendalami ilmu
Lebih terperinci