Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Pada materi ini akan dipelajari laju perubahan f pada sebarang arah. Gunakan notasi vektor p = (x, y). Misalkan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada arah sumbu x dan sumbu y positif. Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) di p dapat ditulis: f (p + hi) f (p) f x (p) = lim h 0 h f (p + hj) f (p) f y (p) = lim h 0 h Gantikan posisi i atau j dengan sebarang vektor satuan u.

3 dan Gradien Definisi Untuk sebarang vektor satuan u, misalkan D u f (p) = lim h 0 f (p + hu) f (p) h Limit ini, jika ada, disebut turunan berarah dari f di p pada arah u.

4 dan Gradien Vektor u menentukan sebuah garis L di bidang xy melalui (x 0, y 0 ). Bidang yang melalui L tegak lurus terhadap bidang xy dan memotong permukaan z = (x, y) pada kurva C. Persinggungannya di titik (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) mempunyai kemiringan D u f (x 0, y 0 ). D u f (x 0, y 0 ) mengukur laju perubahan f terhadap jarak dalam arah u.

5 dan Gradien Hubungan dengan Gradien Ingat kembali bahwa f (p) = f x (p)i + f y (p)i. Teorema A Misalkan f dapat didiferensialkan di p, maka f mempunyai turunan berarah di p pada arah vektor satuan u = u 1 i + u 2 j dan D u f (p) = u f (p) yakni D u f (x, y) = u 1 f x (x, y) + u 2 f y (x, y)

6 Contoh 1 dan Gradien Jika f (x, y) = 4x 2 xy + 3y 2, tentukan turunan berarah dari f di (2, 1) pada arah vektor a = 4i + 3j.

7 Contoh 1 dan Gradien Jika f (x, y) = 4x 2 xy + 3y 2, tentukan turunan berarah dari f di (2, 1) pada arah vektor a = 4i + 3j. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah ( 4 5) i + ( 3 5) j. f x (x, y) = 8x y f x (2, 1) = 17 f y (x, y) = x + 6y f y (2, 1) = 8 Berdasarkan Teorema A, maka 4 D u f ( 2, 1) = 5, 3 17, 8 = (17) ( 8) = 5 5

8 Contoh 2 dan Gradien Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x, y, z) = xy sin z di titik (1, 2, π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k.

9 Contoh 2 dan Gradien Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x, y, z) = xy sin z di titik (1, 2, π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah 1 3 i j k Maka, D u f ( 1, 2, π ) = 2 f x (x, y, z) = y sin z f x (1, 2, π/2) = 2 f y (x, y, z) = x sin z f y (1, 2, π/2) = 1 f z (x, y, z) = xy cos z f z (1, 2, π/2) = 0 1 3, 2 3, 2 2, 1, 0 = (2) (1) (0) = 4 3

10 dan Gradien Untuk sebuah fungsi f yang diketahui pada titik p yang diketahui, ke arah mana fungsi tersebut berubah paling cepat, yaitu ke arah mana D u f (p) paling besar? Dari rumus geometri untuk hasilkali titik, kita dapat menuliskan D u f (p) = u f (p) = u f (p) cos θ = f (p) cos θ di mana θ adalah sudut di antara u dan f (p), sehingga D u f (p) dapat dimaksimumkan ketika θ = 0 dan diminimumkan ketika θ = π.

11 dan Gradien Teorema B Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju f (p) ) dan menurun paling cepat pada arah yang berlawanan (dengan laju f (p) ).

12 Contoh 3 dan Gradien Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y 2 x 2 di titik (1, 1, 0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar?

13 Contoh 3 dan Gradien Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y 2 x 2 di titik (1, 1, 0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar? Penyelesaian: Misalkan f (x, y) = y 2 x 2. Karena f x (x, y) = 2x dan f y (x, y) = 2y, maka f (1, 1) = f x (1, 1)i + f y (1, 1)j = 2i + 2j Jadi, serangga tersebut seharusnya bergerak dari (1, 1, 0) pada arah 2i + 2j, di mana kemiringannya adalah 2i + 2j = 8.

14 dan Gradien 1. Tentukan turunan berarah dari f di titik p pada arah a untuk fungsi-fungsi berikut a. f (x, y) = y 2 ln x; p = (1, 4); a = i j b. f (x, y) = e x sin y; p = (0, π/4); a = i + 3j c. f (x, y) = e xy ; p = (1, 1); a = i + 3j d. f (x, y, z) = x 3 y y 2 z 2 ; p = ( 2, 1, 3); a = i 2j + 2k e. f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; p = (1, 1, 2); a = 2i j k

15 dan Gradien 2. Tentukan vektor satuan pada arah di mana f meningkat paling cepat di p. Berapakah laju perubahan pada arah tersebut? a. f (x, y) = e y sin x; p = (5π/6, 0) b. f (x, y, z) = xe yz ; p = (2, 0, 4) 3. Ketinggian sebuah gunung di atas permukaan laut di titik (x, y) adalah 3000e x2 +2y meter. Sumbu x positif mengarah ke timur dan sumbu y positif mengarah ke utara. Seorang pendaki tepat berada di titik (10, 10). Jika pendaki tersebut bergerak ke arah barat laut, apakah ia akan mendaki atau menurun? dan pada kemiringan berapa?