Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua (kedua titik tersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n). Definisi Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p 0 adalah sebuah titik di S. 1 f (p 0 ) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f (p 0 ) f (p) untuk seluruh p di S. 2 f (p 0 ) adalah nilai minimum global dari f di S jika f (p 0 ) f (p) untuk seluruh p di S. 3 f (p 0 ) adalah nilai ekstrem global dari f di S jika f (p 0 ) bukan maksimum global dan bukan minimum global.

3 Titik Kritis

4 Titik Kritis Teorema A Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.

5 Titik Kritis Titik Kritis Titik kritis dari f di S ada tiga jenis 1 Titik batas 2 Titik stasioner. Kita menyebut p 0 titik stasioner jika f (p 0 ) adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapat didiferensialkan dan f (p 0 )= 0. Di titik tersebut, suatu bidang singgung akan horizontal. 3 Titik tunggal/singular. Kita menyebut p 0 sebagai titik singular jika p 0 adalah sebuah titik dalam di S di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalnya, sebuah titik di mana grafik dari f mempunyai sebuah sudut lancip.

6 Titik Kritis Teorema B Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada sebuah himpunan S yang mengandung p 0. Jika f (p 0 ) adalah sebuah nilai ekstrem, maka p 0 harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu p 0 adalah (i.) sebuah titik batas di S, atau (ii.) sebuah titik stasioner dari f, atau (iii.) sebuah titik singular dari f

7 Contoh 1 Titik Kritis Tentukan nilai maksimum atau minimum dari f (x, y) = x 2 2x + y 2 4. Penyelesaian: Fungsi tersebut dapat didiferensialkan di seluruh daerah asalnya, yaitu bidang xy. Sehingga satu-satunya titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkan f x (x, y) dan f y (x, y) sama dengan nol. Tetapi f x (x, y) = 2x 2 dan f y (x, y) = y 2 bernilai nol hanya ketika x = 1 dan y = 0. Perhatikan bahwa f (1, 0) = 1, dan f (x, y) = x 2 2x + y 2 4 = x 2 2x y = (x 1) 2 + y Jadi, f (1, 0) sebenarnya adalah sebuah nilai minimum global untuk f.

8 Contoh 2 Titik Kritis Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untuk f (x, y) = x2 + y 2. a 2 b 2 Penyelesaian: Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkan f x (x, y) = 2x dan f a 2 y (x, y) = 2y sama dengan nol. Persyaratan b 2 ini menghasilkan titik (0, 0), yang tidak memberikan nilai maksimum atau minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsi tersebut tidak mempunyai titik ekstrem lokal.

9 Syarat Cukup untuk Titik Ekstrem Teorema C Uji Parsial Kedua Titik Kritis Andaikan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam lingkungan (x 0, y 0 ) dan f (x 0, y 0 ) = 0. Misalkan Maka D = D(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) f 2 xy(x 0, y 0 ) (i.) jika D > 0 dan f xx (x 0, y 0 ) < 0, f (x 0, y 0 ) adalah sebuah nilai maksimum lokal, (ii.) jika D > 0 dan f xx (x 0, y 0 ) > 0, f (x 0, y 0 ) adalah sebuah nilai minimum lokal, (iii.) jika D < 0, f (x 0, y 0 ) bukan sebuah nilai ekstrem ((x 0, y 0 ) adalah sebuah titik pelana), (iv.) jika D = 0, uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan.

10 Contoh 3 Titik Kritis Tentukan titik ekstrem, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikan dengan F (x, y) = 3x 3 + y 2 9x + 4y. Penyelesaian: Titik-titik kritis F x (x, y) = 9x = 9(x 2 1) 0 = 9(x 1)(x + 1) x = 1 atau x = 1 F y (x, y) = 2y = 2y = 2y y = 2 titik-titik kritisnya adalah (1, 2) dan ( 1, 2)

11 Titik Kritis Selanjutnya F xx (x, y) = 18x, F yy (x, y) = 2, dan F xy (x, y) = 0 Di titik kritis (1, 2) D = F xx (1, 2) F yy (1, 2) F 2 xy(1, 2) = 18(2) 0 = 36 > 0 dan F xx (1, 2) = 18 > 0, sehingga F (1, 2) = 10 adalah sebuah minimum lokal dari F. Di titik kritis ( 1, 2) D = F xx ( 1, 2) F yy ( 1, 2) F 2 xy( 1, 2) = 18(2) 0 = 36 < maka ( 1, 2) adalah sebuah titik pelana dan F ( 1, 2) = 2 bukan sebuah nilai ekstrim.

12 Contoh 4 Titik Kritis Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x, y) = 2 + x 2 + y 2 pada himpunan tertutup S = { (x, y) : x y 2 1 }. Penyelesaian: Karena f x (x, y) = 2x dan f y (x, y) = 2y, maka titik stasionernya adalah titik (0, 0) dan D(0, 0) = f xx (0, 0)f yy (0, 0) f 2 xy(0, 0) = = 4 > 0 dan f xx (0, 0) = 2 > 0 maka f (0, 0) = 2 adalah nilai minimum.

13 Titik Kritis Nilai maksimum global akan terjadi di batas dari himpunan S. Kita dapat menguraikan secara parametrik batas S dengan x = cos t, y = 2 sin t, 0leqt 2π Masalah optimasi kemudian dapat disederhanakan menjadi optimasi dengan fungsi satu peubah g(t) = f (cos t, 2 sin t), 0 t 2π Berdasarkan Aturan Rantai g (t) = f dx x dt + f dy y dt = 2x( sin t) + 2y(2 cos t) = 2 sin t cos t + 8 sin t cos t = 6 sin t cos t = 3 sin 2t

14 Titik Kritis dengan menetapkan g (t) = 0 dihasilkan t = 0, π 2, π, 3π 2, dan 2π. Jadi g mempunyai lima titik kritis di [0, 2π] yaitu (1, 0), (0, 2), ( 1, 0), (0, 2), dan (1, 0) untuk f ; titik yang terakhir akan sama dengan yang pertama karena sudut 2π menghasilkan titik yang sama dengan sudut 0 o. Maka nilai-nilai f yang bersesuaian f (1, 0) = 3 f (0, 2) = 6 f ( 1, 0) = 3 f (0, 2) = 6 Di titik kritis bagian dalam S kita mempunyai f (0, 0) = 2. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa nilai minimum f di S adalah 2 dan nilai maksimumnya adalah 6.

15 Teorema A Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f (p) yang dikenai kendala g(p) = 0, selesaikan sistem persamaan f (p) = λ g(p) dan g(p) = 0 untuk p dan λ. Setiap titik p seperti ini adalah sebuah titik kritis untuk soal ekstrem terkendala, dan λ yang bersesuaian dengan itu disebut pengali Lagrange.

16 Contoh 5 Berapakah luas terbesar yang dimiliki sebuah persegi panjang jika panjang diagonalnya adlaah 2? Penyelesaian:

17 Jadi, kita merumuskan masalah memaksimumkan f (x, y) = xy dengan g(x, y) = x 2 + y 2 4 = 0. Gradien-gradien yang bersesuaian adalah f (x, y) = f x (x, y)i + f y (x, y)j = yi + xj g(x, y) = g x (x, y)i + g y (x, y)j = 2xi + 2yj Sehingga persamaan Lagrange menjadi y = λ(2x) x = λ(2y) x 2 + y 2 = 4 Kalikan persamaan pertama dengan y dan persamaan kedua dengan x sehingga diperoleh y 2 = 2λxy dan x 2 = 2λxy. Artinya y 2 = x 2 (1)

18 Dari (3) dan (4) diperoleh x = 2 dan y = 2. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke (1), maka diperoleh λ = 1 2. Kita dapat menyimpulkan bahwa persegi panjang dengan luas terbesar dengan diagonal 2 adalah bujur sangkar dengan panjang sisi 2, luasnya adalah 2.

19 Contoh 6 Gunakan metode Lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari f (x, y) = y 2 x 2 pada elips x2 4 + y 2 = 1. Penyelesaian: Kita dapat menuliskan kendala sebagai g(x, y) = x 2 + 4y 2 4 = 0, maka f (x, y) = 2xi + 2yj g(x, y) = 2xi + 8yj Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah 2x = λ2x (2) 2y = λ8y (3) x 2 + 4y 2 = 4 (4)

20 Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y tidak dapat bernilai 0. Jika x 0, persamaan (1) menghasilkan λ = 1, sehingga diperoleh y = 0 dan x = ±2. Jadi kita memperoleh titik-titik kritis (±2, 0). Jika y 0, maka akan menghasilkan λ = 1 4, sehingga diperoleh x = 0 dan y = ±1. Jadi kita peroleh titik-titik kritis (0, ±1). Selanjutnya, untuk f (x, y) = y 2 x 2 f (2, 0) = 4 f ( 2, 0) = 4 f (0, 1) = 1 f (0, 1) = 1 Jadi nilai minimum dari f (x, y) adalah -4, dan nilai maksimumnya adalah 1.

21 Fungsi dengan Lebih dari Satu Kendala Jika lebih dari satu kendala dikenakan pada peubah-peubah dari sebuah fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Contohnya, jika kita mencari nilai ekstrem dari fungsi f dengan tiga peubah yang dikenai dua kendala g(x, y, z) = 0 dan h(x, y, z) = 0, kita dapat menyelesaikan persamaan-persamaan f (x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0 untuk x, y, z, λ, dan µ, di mana λ dan µ adalah pengali-pengali Lagrange.

22 Ini ekuivalen dengan penentuan solusi dari sistem yang terdiri dari lima persamaan simultan dengan peubah-peubah x, y, z, λ, dan µ f x (x, y, z) = λg x (x, y, z) + µh x (x, y, z) f y (x, y, z) = λg y (x, y, z) + µh y (x, y, z) f z (x, y, z) = λg z (x, y, z) + µh z (x, y, z) g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0 Dari solusi sistem ini, kita memperoleh titik-titik kritis.

23 Contoh 6 Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan dari silinder x 2 + y 2 = 2 dan bidang y + z = 1. Penyelesaian:

24 Kita akan memaksimumkan dan meminimumkan f (x, y, z) dengan kendala g(x, y, z) = x 2 + y 2 2 = 0 dan h(x, y, z) = y + z 1 = 0. Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah 1 = 2λx 3 = 2λy + µ 3 = µ x 2 + y 2 2 = 0 y + z 1 = 0 Dari (1) diperoleh x = 1 2 λ, dari (2) dan (3) diperoleh y = 1 2 λ. Jadi dari (4), ( 1 2 λ) 2 ( λ) 2 = 2, yang menghasilkan λ = ± 1 2. Solusi λ = 1 2 menghasilkan titik kritis (x, y, z) = (1, 1, 2) dan λ = 1 2 menghasilkan titik kritis (x, y, z) = ( 1, 1, 0). Maka diperoleh f (1, 1, 2) = 5 adalah nilai maksimum dan f ( 1, 1, 0) adalah nilai minimum.

25 1. Tentukan seluruh titik kritisnya dan nyatakan apakah setiap titik tersebut memberikan nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal atau merupakan titik pelana (gunakan Teorema C). a. f (x, y) = xy + 2 x + 4 y b. f (x, y) = e (x 2 +y 2 4y) 2. Tentukan nilai maksimum global dan nilai minimum global dari f di S dan nyatakan di mana nilai-nilai tersebut terjadi a. f (x, y) = x 2 + y 2 ; S = {(x, y) : x 2 + y 2 1} b. f (x, y) = x 2 6x + y 2 8y + 7; S = {(x, y) : x 2 + y 2 1}.

26 3. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f (x, y) = x 2 + 4y 2 2x + 8y Tentukan semua titik ekstrem dan jenisnya dari fungsi f (x, y) = x 2 y pada cakram x 2 + y Tentukan ukuran kotak dengan volume terbesar yang dapat termuat dalam bola x 2 + y 2 + z 2 = 3.