Matematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Matematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya"

Dewi Kurnia
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Matematika Teknik Dasar- 10 Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

2 Volume Benda-Putar Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinatordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadap OX.

3 Volume Benda-Putar Volume yang dibentuk oleh potongan kira-kira sama dengan volume yang dibentuk oleh empat-persegi panjang, atau δv = y.

4 Volume Benda-Putar Jika dibagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan tipis. Maka masing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume πy. δx x=b Volume total, V = πy. δx x=a

5 Volume Benda-Putar Dalam pendekatan model ini muncul kesalahan dikarenakan luas daerah di atas masing-masing adalah empat-persegi panjang, sehingga muncul pola tangga. Tetapi jika δx 0, kesalahan akan hilang maka V = a b πy. δx

6 Contoh - 1 Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh y=5cosx, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x=0 dan x= /4, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x V = න 0 π/4 πy. δx = 5π න 0 Dinyatakan dalam bentuk sudut ganda (4x) π/4 cos x cos θ = cos θ 1; cos θ = cos θ V = 5π π/4 4 න 1 + cos 4x 0

7 Contoh - 1 V = 5π 4 V = 5π 4 x + sin 4x 4 0 π π/4 V= 5π 8 satuan 3

8 Contoh - Persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t, y = 3t t. Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x dan ordinat-ordinat yang bersangkutan dengan t=0 dan t=, diputar mengelilingi sumbu-x V = න a b πy. t= V = න π 3t t. t=0 x = 3t, y= 3t-t c = 3t = 6t dt

9 Contoh - V = π න 0 V = 6π න 0 9t 6t 3 + t 4 9t 6t 3 + t 4 V = 6π 9t4 4 6t5 5 + t6 6 0 V = 6π 36 38,4 + 10,67 V = 6π 8,7 V = 156 satuan 3 6tdt dt

10 Volume Benda-Putar Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y=x +5, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3, diputar mengelilingi sumbu-y sampai satu putaran penuh.

11 Volume Benda-Putar Pada kasus tersebut tidak memiliki rumus standar, karena rumus V = b a πy. adalah rumus untuk rotasi mengelilingi sumbu-x. Dibuat metode umum Volume yang dibentuk oleh potongan = Volume yang dibentuk oleh empat persegi panjang (silinder tipis yang berongga)

12 Volume Benda-Putar δv luas empat persegi panjang kecil x keliling δv yδx. πx πxy. δx Maka untuk semua potongan seperti ini di antara x=1 dan x=3: x=3 V δv x=1 πxy. δx Jika δx 0, kesalahan akan hilang dan akan diperoleh V = න 1 3 πxy dt

13 Contoh - 3 Menggunakan soal yang diberikan pada pembahasan sebelumnya. Karena y=x + 5, maka dapat mensubstitusikan y: V = න 1 3 πxy = π න 1 3 x x + 5 = π න V = π x x 1 81 V = π x 3 + 5x

14 Contoh - 3 V = π V = π V = 80 satuan 3

ҧ ҧ Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potongan elementer dan kemudiann menghitung momennya (a)

15 ҧ ҧ Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potongan elementer dan kemudiann menghitung momennya (a) terhadap OY untuk mencari x, dan (b) terhadap OX untuk mencari തy. Axҧ σ x=b x=a x. yδx A തy σx=b y x=a. yδx Yang menghasilkan b xy x = a b, തy = a y 1 b a y a b y

16 ҧ Contoh - 4 Carilah posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh y=e x, sumbu-x, sumbu-y, dan ordinat di x= Jawaban: Langkah pertama dicari b xy xҧ x = a b, yang kemudian dihitung kedua integral a y secara terpisah.

17 Contoh - 4 Misalkan, x ҧ = I 1 I Maka I 1 = 0 xe x = x ex 1 e x 0 I 1 = xex ex 4 0 I 1 = e 4 e I 1 = 3e = 3e

18 ҧ Contoh - 4 Maka I = 0 e x = ex Sehingga x ҧ = I 1 = 3e4 +1 I 4 Kemudian dicari തy. 0 = e 4 = 3e4 +1 e 4 1 e = e4 1 x = 1,537 തy = 1 0 y = I 3 0 y I 3 54,60 +1 = = 163,8+1 = 164,8 54, , 107,

19 Contoh - 4 I 3 = 1 න 0 തy = I 3 I = y = 1 න e8 1 1 e4 1 I 3 = න 0 1 y e 4x = 1 = 1 4 e4 1 = 1 4 e 4x 0 Maka sentroidnya adalah di x ҧ = 1,537 dan തy = 13,90 = 1 8 e8 1 54, = 13,90

20 ҧ ҧ Pusat Massa Suatu Benda Putar Akan dicari posisi pusat massa (centre of gravity) dari suatu benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu-x, dna ordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu-x Jika diambil cakram-cakram elementer dan menjumlahkan seluruh momen volumenya (atau momen massanya) terhadap OY, maka kita dapat menghitung x. x = a b xy a b xy, sedangkan തy = 0

21 Contoh - 5 Carilah posisi pusat massa dari benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva x + y = 16, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3 diputar mengelilingi sumbu-x 3 I 1 = න 1 3 x 16 x = න 1 16x x 3 = 8x x4 4 1 I 1 = = 64 0 = 44 I 1 = 44 3

22 Contoh I = න 1 16 x = 16x x I 1 = = I = Jadi x ҧ = 1,89 dan തy = 0 x ҧ = I 1 = 44 I = = 1,89

23 Panjang Kurva Akan dicari panjang busur suatu kurva y=f(x) diantara x=a dan x=b Misalkan P adalah titik (x,y) dan Q adalah suatu titik pada kurva di dekat P. misalkan δx= panjang busur kecil PQ.

24 Panjang Kurva Maka: δs δx δs δx + δy δs 1 + δy δx δs δx δx 1 + δy δx 1 + δy δx Jika δx 0 ds = 1 + dy s = a b 1 + dy.

25 Contoh - 6 Carilah panjang dari kurva y=10 cosh x 10 diantara x=-1 dan x= Jawaban: y=10 cosh x s = dy. dy = sinh x 1 + dy = 1 + sinh x = x cosh 10 s = න cosh x = න cosh x 1 10 = 10 sinh x 10 1

26 Contoh - 6 s = 10 (sinh 0, sinh( 0,1)) sinh x = sinh x s = 10 (sinh 0, + sinh 0,1) = 10(0, ,100) s = 10 0,3015 = 3,015 satuan

27 Panjang Kurva Persamaan Parametrik Daripada dilakukan proses perubahan variable integral seperti yang dilakukan sebelumnya jika kurva dinyatakan dalam persamaan parametrik, dapat dibuat suatu bentuk kurva yang akan memudahkan pekerjaan. Misalkan y = f t, x = F(t) Seperti sebelumnya: δs = δx + δy Bagi kedua sisi dengan δt ds dt = dt + dy dt

28 Panjang Kurva Persamaan Parametrik Jika t 0, ini mejadi: ds = + dy dt dt dt ds dt = dt + dy dt t=t s = t=t1 dt + dy dt. dt

29 Contoh 7 Carilah panjang dari kurva x = cos θ, y = sin 3 θ di antara titik-titik yang berkorespondensi dengan =0 dan = / Ingatlah s = 0 π/ + dy. Kita memiliki = 6cos θ sin θ = 6cos θ sin θ dy = 6sin θ cos θ + dy = 36 cos 4 θ sin θ + 36sin 4 θcos θ

30 Contoh 7 + dy + dy = 36 cos 4 θ sin θ + 36sin 4 θcos θ = 36 sin θ cos θ cos θ + sin θ + dy = 36 sin θ cos θ + dy = 6 sin θ cos θ = 3 sin θ

31 Contoh 7 cos θ s = න π/3 sin θ = s = 3 1 = 3 satuan π/ 0

32 Luas Permukaan Benda Putar Jika busur suatu kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka putaran ini akan membentuk suatu permukaan. Carilah luas permukaan benda-putar yang terjadi jika busur suatu kurva y=f(x) diantara x=x 1 dan x=x diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x.

33 Luas Permukaan Benda Putar Jika kita memutar sebuah elemen busur kecil dengan panjang δs satuan, maka putaran ini akan membentuk pita tipis dengan luas A. Maka δa πy. δs Dengan membagi kedua sisi dengan x kita peroleh da = πy ds Seperti yang telah kita lihat sebelumnya ds = 1 + dy

34 Luas Permukaan Benda Putar da = πy 1 + dy x Sehingga A = x1 πy 1 + dy

35 Contoh 8 Carilah luas permukaan yang terbentuk jika busur dari parabola y =8x di antara x=0 dan x= diputar mengelilingi sumbu-x Jawaban A = න πy 1 + dy 0. y = 8x x 1/ dy = x1/ dy 1 + dy = 1 + x = x + x = x

36 Contoh 8 x + A = න π x1/ x 0 1/ x + A = න 4. π. x1/ 0 x 1/ A = 4. π න 0 A = 4. π x + 1/ x + 3/ 3/ 0.

37 Contoh 8 A = 4. π 3 8 A = 8π = 8π 3 7,314 A = 19,5π satuan

38 Luas Permukaan Benda-Putar Persamaan Parametrik Telah dilihat bahwa jika kita memutar sebuah busur kecil s, maka luas A dari pita tipis yang terbentuk diberikan oleh: δa πy. δs Jika dibagi semua sisi dengan, maka didapatkan δa δs πy. δθ δθ Dan jika 0, ini menjadi: da πy. ds

39 Luas Permukaan Benda-Putar Persamaan Parametrik Ketika membahas tentang panjang kurva, maka: ds = + dy δa δθ = πy + dy θ A = න πy θ 1 + dy.

40 Contoh 9 Carilah luas permukaan yang dihasilkan ketika kurva x=a( - sin ), y=a(1 - cos ) antara =0 dan = diputar mengelilingi sumbu-x sampai satu putaran penuh. Disini = a 1 cos θ = a 1 cos θ + cos θ dy dy = a sin θ = a sin θ + dy = a 1 cos θ + cos θ + sin θ

41 Contoh 9 + dy = a 1 cos θ tetapi cos θ = 1 sin θ + dy = 4a sin θ Diselesaikan integralnya dan dicari luas permukaan yang terbentuk π A = න 0 πy + dy.

42 Contoh 9 π A = π න a 1 cosθ. a sin θ π 0. = π න 0 A = 8πa න A = 8πa න 0 A = 8πa 0 π π 1 cos θ. sin θ. sin θ cos θ cos θ + cos3 θ/ 3 A = 8πa 0 + /3 A = 8πa 4/3 = 3πa 3 a sin θ. a sin θ. sin θ. π 0 satuan

43 Aturan-Aturan Pappus Ada dua aturan yang bermanfaat dan perlu diketahui: 1. Jika busur dari suatu kurva bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidang tersebut, maka luas permukaan yang terbentuk akan sama dengan panjang kurva tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya. Jika suatu bentuk bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu putar dalam bidang tersebut, maka volume yang terbentuk akan sama dengan luas bentuk tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.

dokumen-dokumen yang mirip

Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri

Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan