DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65

Transkripsi

1 DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan suatu fungsi dua fariabel z = f(x, y). suatu diferensial dz, biasa juga disebut dengan diferensial total, didefinisikan sebagai: dz fx, ydx f y, ydy dx dy Misalkan dx = Δx dan dy = Δy yang masing-masing menyatakan perubahan kecil dari x dan y. Aproksimasi yang baik bagi Δz adalah dz. Perhatikan contoh berikut: Contoh 4.1. Misalkan z = f(x, y) = x 2 + 3xy y 2, a. Tentukan fungsi dz. b. Jika x berubah dari 2 ke 2,05 dan y berubah dari 3 ke 2,96, tentukanlah dz nya. Bandingkan dengan besar Δz yang sesungguhnya. dz dx dy x y dx x y dy a b. Diketahui x = 2, dx = Δx = 0,05, y = 3, dy = Δy = -0,04. dz 3 3 0, ,04 0,65 z f x y y f y f f,, 2,05, 2,96 2,3 0,6449 Perhatikan bahwa dz Δz. 1 Kalkulus Lanjut

2 2. Aturan Rantai (Chain Rule) Misalkan y = f(x) dan x = g(t), dengan f dan g keduanya adalah fungsi yang terdiferensial. Maka y terdiferensial di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut: dy dy dx dt dx dt Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai terbagi kedalam dua versi sebagai berikut: Aturan rantai versi 1. Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t) dan y = h(t) keduanya fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z adalah fungsi yang terdiferensial di t dan dz f dx f dy dt dt dt Karena z = f(x, y), maka aturan rantai versi 1 dapat ditulis kembali menjadi dz dx dy dt dt dt Contoh 4.2. Misalkan z = x 2 y + 3xy 4, dimana x = sin 2t dan y = cos t. Tentukan dz/dt dengan t = 0. dz dx dy dt dt dt 2xy 3y 4 2cos2t 2 12xy 3 sint Untuk t = 0, maka x = sin 0 = 0 dan y = cos 0 = 1. Sehingga: dz dt Selanjutnya, misalkan z = f(x, y) dengan x dan y masing-masing adalah suatu fungsi dengan dua variabel yakni s dan t, dalam hal ini x = g(s, t) dan y = h(s, t). Aturan rantai untuk kasus ini kemudian disebut dengan aturan rantai versi 2 sebagai berikut: 2 Kalkulus Lanjut

3 Aturan rantai versi 2 Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t) dan y = h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t. s s s t t t Contoh 4.3. Misalkan z = 3x 2 y 2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan. t 6x7 2y5s 422s 7t 50s t 84s 294t 50s t t t t Aturan rantai versi umum Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel x1, x2,..., xn, dan setiap xn merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel t1, t2,..., tm. Maka u adalah suatu fungsi dari t1, t2,..., tm dan dengan i = 1, 2,..., m. u u x1 u x2 u xn... t t t t i 1 i 2 i n i Contoh 4.4. Tuliskan aturan rantai untuk kasus dimana w = f(x, y, z, t) dengan x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), dan t = t(u, v). Persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: Dengan menerapkan aturan rantai versi umum dimana n = 4 dan m = 2, maka diperoleh: w w w w w t u u u u t u dan w w w w w t v v v v t v. 3 Kalkulus Lanjut

4 3. Fungsi Implisit Misalkan F(x, y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai suatu fungsi x, katakan y = g(x), tetapi fungsi g sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih dapat ditentukan dengan menerapakan aturan rantai sebagai berikut: dx dy 0 dx dx Dari sini mudah untuk ditunjukkan bahwa dy dx F Contoh 4.5. Tentukan dy/dx jika x 3 + x 2 y 10y 4 = 0. Dengan aturan rantai diperoleh: dy x x xy dx x 40 y Dengan cara biasa, kedua ruas diturunkan terhadap x sehingga diperoleh dy dy dx dx 3 3x x 2xy 40 y 0 dy x xy dx x 40y Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap adalah sebagai berikut: Karena y tetap maka 0, sehingga 4 Kalkulus Lanjut 0 0 Dengan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh

5 F Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa F Contoh 4.6. Tentukan dan dari x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1. Misalkan F(x, y, z) = dari x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz 1. Maka: x 3x 6yz x 2yz dan 3z 6xy z 2xy 3y 6xz y 2xz 3z 6xy z 2xy 5 Kalkulus Lanjut