INTEGRAL RANGKAP DUA. diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang, {( )

Transkripsi

1 Matematika asar Misal INTEGAL ANGKAP UA diberikan daerah di bidang XO yang berbentuk persegi panjang, {( ) } =, y a b, y d dan fungsi dua peubah z = f (,y ) >. Maka untuk menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f (,y ) dan di bawah oleh dilakukan sebagai berikut. Bagi daerah menjadi sub d y i a i b X persegi panjang yang berukuran i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi panjang, misal titik potong diagonal ( i,y i ), sehingga kita dapatkan bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f (,y ) dan di bawah oleh sub persegi panjang. Bangun ruang ( partisi ) tersebut akan mendekati bangun balok dengan tinggi f ( i,y i ). Maka kita dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah hasilkali luas alas ( A i = i y i ) dan tinggi ( f ( i,y i ) ), yakni V i = f ( i,y i ) A i. Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam n n bentuk : Vi = f ( i, yi) Ai. Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan i= i= volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f (,y ) dan di bawah oleh bila diambil sebanyak tak hingga partisi atau n, yakni : n V = lim f ( i, yi ) Ai n i = Integral rangkap dua dari z = f (,y ) atas daerah didefinisikan sebagai berikut: n f (, y) da = lim f ( i, yi ) Ai n i= Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut : [, +, ] = (, ) + (, ). ( ) ( ) a f y bg y da a f y da b g y da. Bila = B C dan B C = maka (, ) = (, ) + (, ) f y da f y da f y da B C anang Mursita

2 Matematika asar Iterasi Integral Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f (,y ) atas daerah berbentuk persegi panjang kita lakukan sebagai berikut. Luas penampang benda yang tegak lurus terhadap sumbu dengan Z y d, misal A(y i ) adalah b z A( yi) = f (, y) d. a Volume bangun ruang merupakan n d jumlah volume : A( yi) y untuk a i= n. Oleh karena itu, integral rangkap dua b dari z = f (,y ) atas daerah dapat X y diselesaikan dengan ara berikut : d f (, y) da = A( y) dy = f (, y) dy d. d b a engan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua dari z = f (,y ) atas daerah dapat diselesaikan dengan ara sebagai berikut : (, ) = (, ) f y da b d a f y d dy Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi. Contoh Hitung integral f (, y) da bila a. f (, y) = y dan = {(, y) < <, < y < 3} b. f (, y) = dan daerah tertutup yang dibatasi oleh garis = -, =, y =, y =. Jawab : 3 3 a. f (, y) da = y dy d = y dy d = 6 anang Mursita

3 Matematika asar b. f (, y) da = d dy = d dy = 3 Integral angkap atas aerah Sembarang Misal merupakan daerah sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f (,y ) atas daerah dilakukan berikut. ibentuk daerah persegi panjang yang melingkupi daerah dan didefinisikan suatu fungsi baru, g (, y ) yaitu: (, ) g y (, ) ; (, ) ; (, ) f y y = y Nilai integral rangkap dua dari g (,y ) atas sama dengan integral rangkap dua dari f (,y ) atas, dituliskan : (, ) = (, ) f y da g y da Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerah sembarang dapat diari dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti menghitung integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang. Adapun daerah sembarang seara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu :. Tipe I, ( ) {,, ( ) ( )} = y a b v y w Integral rangkap dua dari z = f (,y ) atas dituliskan dengan : (, ) = (, ) f y da b a. Tiep II, ( ) w( ) f y dy d v( ) {, ( ) ( ), } = y g y h y y d Integral rangkap dua dari z = f (,y ) atas ditlusikan dengan : (, ) = (, ) f y da d h( y) f y d dy g( y) anang Mursita

4 Matematika asar g(y) w() d h(y) v() O a b X Tipe I O Tipe II X Contoh Hitung integral f (, y) da bila a. f (, y) = dan = {(, y) < <, < y < + } b. f(,y) = y dan merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh =, y =, sumbu X. Jawab : + + a. f (, y) da = dy d = dy d = 6 b. aerah dapat dituliskan menjadi : i. = { y y } (, ), atau ii. = {(, y) y, y 4} Untuk, f (, y) da = y dy d = y dy d = 4 4 Untuk, f (, y) da = y d dy = y d dy = y y Perubahan Urutan Integrasi Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan seara langsung seperti apa yang diminta. Sebagai ontoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat anang Mursita

5 Matematika asar dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan mengintegralkan terhadap y kemudian terhadap ). 4 e y dy d Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral dituliskan dalam bentuk : e y da =, y 4, y. aerah digambarkan berikut : maka ( ) aerah dapat juga dinyatakan dengan : {(, ), } = y y y Oleh karena itu, nilai integral dari : 4 e y y dy d e y = d dy O 4 X Contoh 3 Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut y a. f (, y) d dy b. f (, y) dy d Jawab : anang Mursita

6 a. Misal = {(, y) y, y } Matematika asar y 4 Jadi f (, y) d dy = f (, y) dy d.. b. Misal = {(, y), y }. Maka = {(, y), y } 4. Maka = {(, y) y, y } { (, y) y, y } y y Jadi f (, y) dy d = f (, y) d dy + f (, y) d dy Koordinat Kutub Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat artesius ( dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ). Misal (,y ) merupakan titik pada koordinat artesius. Maka dalam koordinat kutub didapatkan hubungan : = r os θ (,y) dan y = r sin θ. r y Integral rangkap dua dari f (,y ) atas daerah dapat dituliskan : f (, y) da = f ( r os θ, r sinθ) da (, θ) θ = F r da O Sumbu Polar alam koordinat artesius, da = d dy atau da = dy d, sedangkan dalam dalam koordinat kutub : da = J(r,θ) dr dθ atau da = J(r,θ) dθ dr dengan J( r, θ) = r y θ y = r θ os θ sinθ r sinθ r osθ = r disebut determinan Jaobi dari r dan θ. Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut : f (, y) da = F( r, θ) J( r, θ) drdθ = F( r, θ) r dr dθ anang Mursita

7 Matematika asar Contoh 4 Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan Jawab : Misal = {(, y), y } setengah lingkaran dengan r dan π π θ. Jadi π/ dy d. Maka merupakan daerah π/ π/ dy d = r osθ dθ dr = r osθ dθ dr = π/ 3 Soal Latihan ( Nomor sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut :. ( ) ( ) { } + 8y da ; =, y, y 4 3 y da ; = {, y, y } y da y ; = + +, y, y. ( ) ( ) 3. ( ) 4. ( ) ( ) { } π sin y y sin da ; =, y, y π 3 3 y d dy π os y dy d π 5. ( ) 6. ( ) ( Nomor 7 sd 6 ) Hitung integral rangkap dua berikut : 7. y dy d anang Mursita

8 Matematika asar 3 9 y 8. y d dy 9. 3 π sin y dy d π π. ( y ) dy d y. e y d dy ; daerah dibatasi oleh y =, = dan y =.. 6y da 3. y da ; merupakan trapesium dengan titik sudut (,3 ), ( 5,3 ), (, ) dan ( 4, ). y da ; daerah dibatasi oleh =, =, y = ½ π dan y = π /. 5. ( + y) da ; daerah dibatasi oleh y = dan y = 6. y da ; daerah dibatasi oleh y =, y =, = dan y =. 4. os( ) ( Nomor 7 sd ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan integrasinya terlebih dahulu e y dy d 4 8. os( ) d dy y e d dy y 3 ln. dy d anang Mursita

9 Matematika asar os. dy d π. se ( os ) sin d dy ( Nomor 3 sd 9 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut ( Gunakan koordinat kutub ) 3. e + y da ; daerah di dalam lingkaran + y = y da ; daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : + y = 4, y = dan y = y da ; daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : + y = 4, y = dan y =. 6. y da ; daerah di dalam + y = 4 dan di luar + y = yang terletak di kuadran pertama. y dy d 7. ( 4 ) y 8. ( + ) sin y d dy y dy d 9. ( + ) anang Mursita