KALKULUS MULTIVARIABEL II

Transkripsi

1 KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia

2 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan

3 Diberikan kurva mulus pada R 2 dengan rumus parameter x = x(t) y = y(t) z = (t) a t b, dengan merupakan kurva yang terorientasi secara positif. Titik awal kurva adalah A = (x(a), y(a)) dan titik ujung kurva adalah B = (x(b), y(b)). Diperhatikan integral garis dengan bentuk f(x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz dengan f, g, dan h merupakan fungsi kontinu bernilai pada.

4 Misal 1 F fungsi pada, dengan F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, menyatakan vektor gaya yang dikerjakan pada suatu partikel di sepanjang kurva 2 r = x(t)i + y(t)j + z(t)k menyatakan vektor posisi titik R = (x(t), y(t), z(t)) pada kurva 3 T(R) menyatakan vektor singgung satuan kurva di titik R = (x(t), y(t), z(t))

5 Besarnya usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan partikel dari titik R ke titik S di sepanjang kurva dengan panjang busur RS adalah s ( s cukup kecil) mendekati (F(R) T(R)). s.

6 Ditinjau partisi P = {t 0, t 1, t 2,..., t n } pada [a, b] dengan a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n = b. Partisi P membagi kurva ke dalam n kurva bagian i, dengan i merupakan kurva dengan titik awal P i 1 = (x(t i 1 ), y(t i 1 ), z(t i 1 )) dan titik ujung P i = (x(t i ), y(t i ), z(t i )).

7 Misalkan s i menyatakan panjang kurva i dan P menyatakan norma partisi P. Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n i=1 (F(P i 1 ) T(P i 1 )). s i. Diperoleh bahwa besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik A ke titik B di sepanjang kurva adalah lim n P 0 i=1 (F(P i 1 ) T(P i 1 )). s i yang disebut integral garis medan vektor F di sepanjang kurva dari A ke B dan dituliskan dengan (F T) ds.

8 Dengan memperhatikan bahwa T = dr ds, integral di atas dapat ditulis sebagai F dr, dengan dr = dxi + dyj + dzk. Lebih lanjut, dengan memandang F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k diperoleh bahwa F dr = f(x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz. Ruas kanan persamaan di atas, dapat dikerjakan seperti mengerjakan integral garis fungsi bernilai real.

9 Pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 2 pada dasarnya sama dengan pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 3. Pendefinisian dilakukan dengan cara yang analog dengan ruang berdimensi tiga, namun dengan menghilangkan faktor z.

10 ontoh Soal 1 Tentukan nilai integral garis F dr, jika diketahui kurva yang diberikan oleh fungsi bernilai vektor r, dengan F(x, y) = xyi + 3y 2 j dan r(t) = 11t 4 i + t 3 j, 0 t 1. 2 Diberikan medan gaya F pada R 2 dengan F(x, y) = (x 3 y 3 )i + xy 2 j dan kurva dengan rumus parameter x = t 2, y = t 3, 1 t 0. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik awal hingga titik ujung kurva.

11 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Terkait Lintasan Diberikan fungsi f K R 2 R (atau f K R 2 R) kontinu pada domainnya dan kurva, 1, dan 2 pada K. 1 Jika = 1 + 2, yaitu titik ujung 1 merupakan titik awal 2 (perhatikan gambar), maka f(x, y) ds = f(x, y) ds + f(x, y) ds. 1 2

12 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Terkait Lintasan 2 Jika = 1 2 dengan 1 2 =, maka f(x, y) ds = f(x, y) ds + f(x, y) ds. 1 2

13 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Terkait Lintasan 3 Didefinisikan kurva sebagai kebalikan dari kurva, yaitu titik awal kurva adalah titik ujung kurva dan titik ujung kurva merupakan titik awal kurva (perhatikan gambar). Diperoleh bahwa f(x, y) ds = f(x, y) ds.

14 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Teorema Fundamental Misalkan kurva mulus sepotong-sepotong yang secara parametrik diberikan oleh r = r(t), a t b, dengan titik awal r(a) dan titik ujung r(b). Jika fungsi bernilai real f memiliki vektor gradien f yang kontinu pada suatu himpunan terbuka yang memuat, maka f(r) dr = f(b) f(a).

15 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Definisi Integral Bebas Lintasan Diketahui F kontinu pada suatu himpunan terbuka dan terhubung D. Integral F dr dikatakan bebas lintasan jika untuk sebarang dua titik A dan B anggota D dan setiap kurva 1 dan 2 pada D yang memiliki titik awal A dan titik akhir B, berlaku 1 F dr = 2 F dr.

16 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Teorema Terkait Kebebasan Lintasan Diketahui D himpunan terbuka dan terhubung. Misalkan medan vektor F kontinu pada D. Tiga pernyataan berikut ekuivalen. 1 F dr bebas dari lintasan dalam D. 2 Terdapat fungsi bernilai real f sehingga F(r) = f(r) untuk setiap r di D. 3 F dr = 0 untuk setiap lintasan tertutup dalam D.