Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2

Transkripsi

1 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor yang didefinisikan pada lintasan. Integral sepanjang disebut integral garis. b a b a W F.ds Fs t s t dt Untuk ruang dimensi m cara menghitungnya adalah; m b k a W Fk s t s k() t dt Dalam hal ini F F, F,, Fm, sedangkan s ( s, s,, s m ). Jadi dapat juga ditulis Dalam ruang dua dimensi (D) pernyataannya menjadi x s t, y s ( t) Dalam ruang tiga dimensi (D) pernyataannya menjadi x s t, y s t, z s t 4. Sifat Integral Garis. af bg ds a F. ds b G. ds, a, b suatu konstanta. Jika lintasannya adalah c c c cm maka F. ds F. ds F. ds F. ds c c c c m i m Gambar 4- Lengkungan dipilah-pilah menjadi lengkungan,,.., m KK-Astronomi ITB Page 4-

2 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi. Bila a b lintasan disebut lintasan tertutup, simbol biasa digunakan a b ontoh Misalkan, Gambar 4- ontoh lengkungan tertutup. F x y yi x y j,, xy dengan y 0 Hitunglah kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan suatu partikel dari titik (0,0) ke titik (,) sepanjang lintasan berikut: a. Garis dengan persamaan x t, y t, 0 t b. Garis dengan persamaan x t, y t, 0 t y a s x, (a) y b x t y t, x y a s x, y (b) b x t y t x Jawab: a. Jadi () s t x t i y t j s t ti tj ds t i j dt, F x y yi x y j F t ti t t j, W F ds F( t) ds ( t) 0,0 0 s t x t i y t j s() t t i t j b. Jadi 7 W ti t t j i j dt t t t dt 0 0 ( ) F x, y yi x y j 6 F t t i t t j ds t ti t j dt KK-Astronomi ITB Page 4-

3 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi, 0,0 6 W F ds t i t t j ti t j dt W t t t dt 0 ontoh : Hitung kerja yang diperlukan dari medan vektor, x xy y xy F x y i j untuk memindahkan partikel dari (-,) ke (,) sepanjang lintasan y = x. () s t x t i y t j s t ti t j, 4 F x y x xy i y xy j F t t t i t t j Batas integrasi: x t, x t, x t Jadi,, W F ds, W t t i t t j i tj dt t t t t dt ontoh : ( ) ( ) ( 4 ) 4 /5 arilah kerja yang dilakukan oleh medan gaya F x, y, z xi yj xz yk untuk memindahkan partikel dari (0,0,0) ke (,,4) sepanjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jawab: Partikel dipindahkan dari (0,0,0) ke (,,4) jadi lintasan tempuh = garis lurus penghubung dua titik. Besar usaha dapat ditulis secara matematis dengan persamaan W F ds Dimana ds adalah lintasan yang ditempuh oleh partikel. ds dxi dyj dzk KK-Astronomi ITB Page 4-

4 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi W F ds xi yj xz yk dxi dyj dzk xdx ydy xz ydz Dari garis yang menghubungkan kedua titik dapat kita lihat adanya suatu hubungan: Partikel dipindahkan dari (0,0,0) ke (,,4) Maka terlihat bahwa y = x, dan z = 4x Apabila kita substitusikan nilai x = t maka: x = t dx = dt y = t dy = dt z = 4t dz = 4 dt batas integrasi adalah dari t = 0 sampai t = dan persamaan diatas dapat dituliskan sebagai W t dt t dt t t t dt t dt t dt t t dt t t t t ontoh 4: 6 F x, y cxy i x y j, c>0. Gaya ini bekerja pada suatu partikel yang ingin dipindahkan dari (0,0) ke garis x=, sepanjang kurva bentuk c) agar kerja yang dilakukan tidak bergantung pada b. Jawab: b y ax, a > 0 dan b > 0. Tentukan nilai a (dalam Besar usaha secara dituliskan secara matematis dengan persamaan W F ds Dimana ds adalah lintasan yang ditempuh partikel. ds dxi dyj W F ds cxy i x 6 y j dxi dyj 6 cxydx x y dy KK-Astronomi ITB Page 4-4

5 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Apabila kita substitusikan nilai x = t dan karena lintasan tempuh adalah kurva b y ax maka: x t dx dt y at b b dy abt dt Batas integrasi adalah dari t = 0 ke t = Sehingga persamaan diatas dapat dituliskan sebagai b 6 b b W ct at dt t at abt dt 0 0 b b5 act dt a bt dt 0 0 b b6 act a bt b b6 0 0 ac a b b b ac a b ac a b b b Agar tidak bergantung pada b, maka bagian pembilang, ac a b, agar dapat dibagi dengan penyebutnya harus dapat dituliskan sebagai bentuk perkalian dengan (b+). Misalkan bagian pecahan tersebut; ac b a b ac a b b b atau Yang menjadi variabel disini adalah b oleh sebab itu, ada dua persamaan; ac b a b Dengan demikian; a atau ontoh 5: a ac atau c a a c Tentukan kerja/usaha yang diperlukan oleh gaya (, ) ( ) F x y x y i xy j untuk memindahkan partikel (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sepanjang bujur sangkar yang dibatasi oleh garis x=a dan y=a, a>0 KK-Astronomi ITB Page 4-5

6 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Penyelesaian: d s dx i dy j dalam hal ini jika x konstan d s dy j sedangkan jika y konstan maka d s dx i Perhatikan; Sepanjang : F( x, y) F( x,0) dengan 0 xa Sepanjang : F( x, y) F( a, y ) dengan 0 ya Sepanjang : F( x, y) F( x, a ) dengan lintasan dari x=a ke x = 0 Sepanjang 4 : F( x, y) F(0, y ) dengan lintasan dari y= a ke y = 0 Gambar 4- Lengkungan tertutup berbentuk empat persegi panjang F( x, y) d s F( x,0) d x F( a, y) d y F( x, a) d x F(0, y) d y 4 a a 0 0 a a a W x dx aydy ( x a ) dx y i jdy x dx aydy ( x a ) dx 0 0 a a W a a a a a Jadi usaha yang diperlukan adalah W a ontoh 6: Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva yang dibentuk oleh irisan bola dan bidang dengan. Lintasan berlawanan dengan putaran jarum jam bila dilihat dari sumbu z. Partikel ini berada dalam pengaruh gaya yang dinyatakan oleh F x, y,z ( y z) i ( z x) j ( x y) k Pertanyaannya gambarkan lintasannya dan hitunglah usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel tersebut selama satu periode. KK-Astronomi ITB Page 4-6

7 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi x y z 4 x y y tan x y 4 y sec 4 4 x sec y 4 x cos y 4 x cos y 4 x cos Gambar 4- Lintasan sepanjang perpotongan bidang datar dan kulit bola. Jika: x t, maka dapat ditulis 4 cos dan z t t y t z 0t 4 cos tan 4 sin Integrasi dimulai dari bidang z=0. Maka batas integral t adalah dari - ke s t xti yt j z tk dengan demikian ( ) 4 4 t t ds t idt cos jdt sink dt Sehingga 4t 4t W F ds W y z i z x j ( x y) k ds s t ti t cos j t sink W t os t Sin i t Sin t j t t os k tos tsin i j k dt 4t 4t t 4 t cos 4 t sin 4 t sin t. cos 4 t W dt t t 4 t cos. sin 4 t KK-Astronomi ITB Page 4-7

8 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi t t W 4 t cos 4 t sin cos t sin cos sin t sin cos dt 4t 4t t t W 4 t cos 4 t sin cos sin dt 4t 4t t W cos sin 4 t dt 4 t 4 t t W cos sin dt 4 t 4 W cos sin dt 4 t W 4 cos sin dt 4 t Berdasarkan teorema dalam integral sin u du a u a Maka, t dt sin 4 t Sehingga W 4 cos sin Jadi kerja yang dilakukan F besarnya adalahw 4 cos sin atatan: jika suatu medan vektor F adalah gradien dari medan skalar, maka disebut potensial untuk F level set dari disebut permukaan ekipotensial. Dalam D disebut garis-garis ekipotensial (equipotential line) jika, menyatakan temperatur isothermal menyatakan tekanan isobaric menyatakan density isodensity ontoh: ( x, y, z) dari pernyataan; m r dengan r ( x y z ), integer m medan vektor dapat dicari KK-Astronomi ITB Page 4-8

9 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi F( x, y, z ) = ( m r ) = mr m () r = mr [ r m i r j r k ] x y z = mr [ x m i y j z k ] r r r = m mr r Jadi, m F( x, y, z) mr r Sebagai latihan coba anda selesaikan soal ini. Massa m bergerak dalam orbit lingkaran dengan kecepatan sudut. Mengalami gaya sentrifugal potensial, akibat gaya F adalah Latihan F( x, y, z) m r. Tunjukan bahwa ( x, y, z) m ( x y z ), r xi y j zk. F( x, y, z) yzi xz j x( y ) k. hitung kerja yang dilakukan olah F untuk memindahkan partikel disepanjang (0,0,0), (,,), (-,-,-).. Hitung kerja yang dilakukan oleh irisan bola x y z a dengan silinder F x, y,z y i z j x k sepanjang kurva yang dibentuk x y ax, z 0, a 0 berlawanan arah dengan jarum jam bila dilihat dari atas bidang xy. lintasannya [ a / 4]. Integral ( x y) ds dimana merupakan segitiga dengan vertex (0.0),(,0) dan (0,) bergerak berlawanan arah dengan putaran jarum jam. [ ] 4. Integral y ds dimana menyatakan lengkungan vektor; ( t) a( t sin t) i a( cost) j,0 t [ 5. Integral ( x y ) ds dengan menyatakan kurva berbentuk; ( t) a(cos t t in t) i a(sin t t cost) j,0 t [ 56 5 a ] ( ) a ] 6. Integral zds dengan menyatakan kurva berbentuk; ( t ) / t t t i t t j t k t t [ 0 ( ) cos sin,0 0 ] KK-Astronomi ITB Page 4-9

10 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 4. Teorema Green (George Green 79-84) Misalkan P dan Q dua fungsi sembarang dengan dua variable, kontinyu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinyu, pada suatu daerah R di bidang. Daerah R ini di batasi oleh kurva. Maka Q P Px, ydx Qx, ydy da R x y Simbol berarti bahwa integral diambil satu kali putar pada lengkungan dalam arah berlawanan putaran jarum jam. Gambar 4-4 Teorema Green pada lengkungan tertutup integrasi dilakukan berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Teorema: Jika R suatu daerah macam I atau II (kombinasi), maka luas daerah R tersebut adalah. A xdy y dx dengan batas daerah R. Jika dapat diuraikan menjadi,.., maka,.. i n c n Gambar 4-5 Integral sepanjang lengkungan dapat dilakukan bagian demi bagian. Bukti: y x Misal Px, y danq x, y Dari Teorema Green Q P P x y dx Q x y dy da da da R x y R R Jadi,, x y dy dx da jadi R A xdy y dx ontoh : Tentukan luas daerah yang terkurung oleh ellip Jawab : b x a y a b KK-Astronomi ITB Page 4-0

11 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Perhatikan b x a y a b Atau dapat ditulis sebagai; x y a b Gambar 4-6 Menghitung luas elips dengan cara mengubah koordinat kartesis ke koordinat polar. x x a cost Misal cos t, 0 t a y bsin t Kita gunakan pernyataan A xdy ydx jadi, karena x acost dx asintdt dan y= bsint dy = bcostdt Subsitusi pada kedua persamaan untuk mencari A A [ a cos t b cos t ab sin t sin t ] dt A ab t t dt ab dt ab ontoh : cos sin satuan luas. 0 0 Ditanya : Luas daerah R yang dibatasi lengkungan y x dan Penyelesaian: y x Misal potongan kurva : : y y / x dari (,) (0,0) x dari (0,0) (,) Gambar 4-7 Luas daerah yang diapit oleh dua kurva. Luas R : A xdy ydx xdy ydx xdy ydx sepanjang KK-Astronomi ITB Page 4-

12 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi : y x dy x dx, jadi dapat ditulis untuk lengkungan ini xdy ydx x dx x dx x dx : y x dy x dx jadi xdy ydx x dx x dx x dx Jadi 0 ( ) 5 / A x dx x dx satuan luas Theorema Green dalam bentuk vektor Jika F F i F j dalam hal ini F dan F menyatakan vector dalam arah sumbu x dan sumbu y maka R F F dxdy F dx F dy x y c (Skalar) R url F dxdy F d r (vektor) c i j k Dalam hal ini url F x y z F F F, dalam tiga dimensi (D) F F i F j F k atatan : DivV V V V x y z dengan i j k dan i i j j k k Atau V i j k V i V jv k x y z f f f Gradf i j k x y z Div Gradf url Gradf f f f x y z O f KK-Astronomi ITB Page 4-

13 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Ingat : DivV menghasilkan skalar sedangkan Grad V menghasilkan vektor. 4.5 Soal Latihan. Buktikan bahwa luas daerah yang dibentuk oleh lengkungan tertutup c dapat juga dicari dengan koordinat polar A r d. Selanjutnya tentukan luas daerah berikut bila dia dibatasi a) Oleh kardioid : c r a os dimana 0 [ b) Oleh ycloid : sin cos a ] r a t t i a t t j dengan 0t [ a ] c. Selesaikan integral F() r dr sepanjang lengkungan apabila F a) 4 F x i xy j dengan adalah suatu empat persegi panjang dengan syarat; 0x 4 dan 0 y [-8] b) F y i x j dengan adalah suatu elips; x 9y 9 c) F y i x j dengan adalah suatu lingkaran ; x y KK-Astronomi ITB Page 4-

14 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Daftar Isi Bab 4... Integral Garis dan Teorema Green Integral Garis Sifat Integral Garis Teorema Green (George Green 79-84) Theorema Green dalam bentuk vektor Soal Latihan... Daftar Gambar Gambar 4- Lengkungan dipilah-pilah menjadi lengkungan,,.., m... Gambar 4- ontoh lengkungan tertutup.... Gambar 4- Lintasan sepanjang perpotongan bidang datar dan kulit bola Gambar 4-4 Terema Green pada lengkungan tertutup integrasi dilakukan berlawanan dengan arah putaran jarum jam... 0 Gambar 4-5 Integral sepanjang lengkungan dapat dilakukan bagian demi bagian Gambar 4-6 Menghitung luas elips dengan cara mengubah koordinat kartesis ke koordinat polar.... Gambar 4-7 Luas daerah yang diapit oleh dua kurva... KK-Astronomi ITB Page 4-4