Integral Vektor. (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Transkripsi

1 TK 47 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik ipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka : V. AdV = A. nd = A. d (7.) Dari Pers. (7.), integral permukaan dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.

2 Teorema Gauss (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut : ontoh oal : Hitunglah A. n. d dengan A = 2x z i + x 2 yj xz 2 k dan adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x =, x =, y =, y =, z =, z =. Penyelesaian : Teorema Gauss (lanjutan) Menurut teorema divergensi Gauss : A. nd = V. AdV Maka,. AdV = i + V k x y z. 2x z i + x 2 yj xz 2 k = 2 + x 2 2xz dxdydz Jadi, = 2x + x3 3 x2 z dydz = = 7 y zy 3 dz z dz = 7 3 z 2 z2 = 6 A. nd =. AdV V = 7 3 = 6 satuan 7 3 z dydz dxdydz 2

3 Teorema tokes Definisi : Jika adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batasbatasnya adalah kurva yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat, maka : F. dr = F. n. d (7.2) Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang permukaan dengan sebagai batasnya. Teorema tokes (lanjutan) Agar lebih memahami teorema tokes, lihat contoh soal berikut : ontoh oal : Hitunglah A. d dengan A = 2x y i + yz 2 j y 2 zk dimana adalah separuh dari permukaan bola x 2 + y 2 + z 2 = bagian atas dan batasnya. Penyelesaian : 3

4 Teorema tokes (lanjutan) Batas dari adalah suatu lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 =, z = dan persamaan parameternya adalah x = cos t, y = sin t, z =, dimana t 2. Berdasarkan teorema tokes A. n. d = A. dr. A. dr = 2x y i yz 2 j y 2 zk. d xi + yj + zi Jadi, 2π 2π 2π 2π = 2x y dx yz 2 dy y 2 zdz = 2 cos t sin t sin t dt = 2 sin t cos t + sin 2 t dt = sin 2t + dt 2 = cos 2t + t + sin 2t 2π = π A cos 2t 2. n. d = A. dr = π satuan Teorema Green Teorema tokes berlaku untuk permukaan-permukaan dalam ruang yang memiliki kurva sebagai batasnya, sedangkan teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema tokes. Jadi ada satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu dengan menggunakan teorema Green. 4

5 Teorema Green (lanjutan) Definisi : Jika adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana. M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam, maka : Mdx + Ndy = N M x y dxdy (7.3) Teorema Green (lanjutan) Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana A = Mi + Nj, maka A. dr adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup integral garis, yaitu : A. dr = Mi + Nj. dxi + dyj + dzk = Mdx + Ndy Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah : = N M x y dxdy 5

6 Teorema Green (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut : ontoh oal : Periksa teorema Green pada bidang untuk 2xy x 2 dx + x + y 2 dy, dimana adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh y = x 2 dan y 2 = x. Penyelesaian : Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (, ) dan (,), arah positif dalam menjalani ditunjukkan pada gambar di samping. Teorema Green (lanjutan) epanjang y = x 2, integral garisnya adalah : 2x x 2 x 2 dx + x + x 2 2 d x 2 x= x= = 2x 3 + x 2 + 2x 5 dx = 7 6 epanjang y 2 = x, integral garisnya adalah : 2y 2 y y 2 2 d y 2 + y 2 + y 2 dy y= = 4y 4 2y 5 + 2y 2 dx = 7 y= 5 Maka integral garis yang diinginkan adalah : = = 3 satuan 6

7 Teorema Green (lanjutan) Dengan teorema Green : N M x y dxdy = x+y 2 x = 2x dxdy x= x= x y=x 2 2xy x2 y = 2x dxdy = y 2xy x x 2 dx dxdy = x 2 2x 3 2 x 2 + 2x 3 dx x= = 3 satuan (Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!) Latihan. Teorema Gauss : Hitunglah A. n. d dengana = 2xy z i + y 2 j x + 3y k pada daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x =, y =, z =. 2. Teorema tokes : Hitunglah A. n. d dengan A = 3yi xzj + yz 2 k, dimana adalah permukaan paraboloida 2z = x 2 + y 2 yang dibatasi oleh z = 2 dan sebagai batasnya. 3. Teorema Green : Hitunglah x 2 xy 3 dx + y 3 2xy dy dengan adalah suatu bujursangkar dengan titik sudut (,), (,2), (2,2), (2,). 7

8 Terima kasih dan emoga Lancar tudinya! 8