BAB I BILANGAN KOMPLEKS
|
|
- Indra Atmadjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada Bilangan Kompleks (C). Seara umum bilangan real (R) merupakan subset dari bilangan kompleks. Apakah sifat-sifat pada R juga berlaku pada C? Adakah sifatsifat pada C yang tidak berlaku pada R? Mari kita menjawab pertanyaanpertanyaan tersebut dengan memulainya dari definisi berikut... Definisi Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan oleh (x,y). Bilangan x disebut bagian real, ditulis Re() dan y disebut bagian imajiner, ditulis Im(). Khususnya (x,) x, dan (,y) disebut bilangan imajiner sejati. Kita sepakati bahwa lambang I menyatakan pasangan terurut dari (,), dan i disebut satuan imajiner... Definisi Dua bilangan kompleks (x,y ) dan (x,y ) dikatakan sama, ditulis, jika dan hanya jika x y dan x y.. Sifat-sifat operasi aljabar bilangan kompleks.. Definisi Jika (x,y ) dan (x,y ) adalah dua bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali dari dan masing-masing adalah :
2 + (x + y ) + (x + y ) (x + x, y + y ).. (x + y ) (x + y ) (x x - y y, x y + x y )... Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+,-) membentuk sebuah lapangan (field). Coba anda ingat kembali materi pada mata kuliah Struktur Aljabar. Buktikan! Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks, dan adalah sebagai berikut :. + C dan. C. (sifat tertutup). + + dan.. C. (sifat komutatif). ( + ) + + ( + ) dan ( ) ( ) (sifat asosiatif) 4. ( + ) + (sifat distribuif) 5. Ada (,) C sehingga + ( elemen netral penjumlahan) 6. Ada (,) C sehingga. ( elemen netral perkalian) 7. Untuk setiap (x,y) C, ada (-x,-y) sehingga + (-) 8. Untuk setiap (x,y) C, ada - sehingga Notasi lain dari (x,y) Diketahui bahwa x (x,) dan i (,). Perhatikan pula (,y) (,)(y,) iy, sehingga (x,y) (x,) + (,y) x + (,y). Jadi diperoleh (x,y) x + iy. Demikian juga i ((,)(,) (-,) -. Oleh karena itu (x,y) dapat juga ditulis sebagai x + iy, dengan x Re() dan y Im().
3 Dengan notasi x +iy, kita akan lebih mudah untuk melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dipandang sebagai operasi aljabar biasa dengan mengingat bahwa i -. Contoh Soal :. Jika x + iy dan x + iy,buktikan bahwa (x - x ) + (y - y )i! Bukti : (x + iy ) (x + iy ) (x + iy ) +(-x - iy ) (x - x ) + (y - y )i Coba anda berikan sifat pembagian bilangan kompleks!. Diketahui + i dan 5 i. Tentukan +, -,, dan / Jawab : + ( + i) + (5 i) 7 + i, dan - ( + i) - (5 i) - + 4i Lanjutkan untuk, dan /!..4 Sekawan Kompleks Jika (x,y) x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari ditulis didefinisikan sebagai (x,-y) x iy. Contoh sekawan dari + i adalah i, dan sekawan dari 5i adalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : Teorema : a. Jika bilangan kompleks, maka :.. + Re()
4 4. - i Im () 4. [Re()] + [Im()] b. Jika, bilangan kompleks, maka : ( ), dengan.. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena x + iy (x,y) merupakan pasangan terurut bilangan real, maka dapat digambarkan seara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang. Jika kita hubungkan titik asal (,) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks x+iy (x,y) dapat dipandang sebagai vektor. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut Im Im y +y + y y x x x +x Re Re Gambar - -
5 5 Tugas : Diketahui + i dan 5 i. Gambarkan pada bidang Argand,,, +, -,,, + dan -!.4 Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 : Jika x+iy (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis x+iy x + y. Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik (,) ke (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks x +iy dan x +iy adalah ( x y x) + ( y ). Selanjutnya apabila x +iy dan r real positif, maka r merupakan lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari r. Bagaimanakah dengan < r dan > r. Gambarkanlah pada bidang dan berilah nama daerahnya. Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka berlaku :. (Re()) + (Im()) Re() Re() 5. Im() Im()
6 6 B. Jika, bilangan kompleks, maka berlaku : Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B!.5 Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinyatakan dalam bentuk x+iy (x,y), maka bilangan kompleks dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu (r,θ). Adapun hubungan antara keduanya adalah : Gambar x r os θ, dan y r sin θ, sehingga θ ar tan ( x y ). θ adalah sudut antara sumbu x positif dengan o. Didapat juga r x + y. Untuk, sudut dihitung
7 7 dari tan θ x y, dan jika, maka r dan θ dapat dipilih sebarang. Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah (r, θ) r (os θ + i sin θ) r Cis θ. Bentuk sekawan dari adalah (r, -θ) r(os θ - i sin θ). Definisi 5 : Pada bilangan kompleks (r, θ) r(os θ + i sin θ), sudut θ disebut argument dari, ditulis arg. Sudut θ dengan θ < π atau -π < θ π disebut argument utama dari, ditulis θ Arg. Pembatasan untuk sudut θ tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks r (os θ + i sin θ ) dan r (os θ + i sin θ ) dikatakan sama, yaitu r r, dan θ θ. Selain penulisan bilangan kompleks (r, θ) r(os θ + i sin θ) r Cis θ, maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), yaitu re iθ, dan sekawannya adalah re -iθ. Tugas : Buktikan bahwa e iθ os θ + i sin θ, dengan menggunakan deret MaLaurin untuk Cos θ, Sin θ dan e t dengan mengganti t iθ. Contoh Soal : Nyatakan bilangan kompleks + i dalam bentuk polar dan eksponen! Jawab : Z + i, r, tan θ, sehingga θ 45 o π. Jadi (Cos π isin 4 π) Cis 4 π e iπ 4
8 8.6 Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks.6. Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah r(os θ + i sin θ). Jika r (os θ + i sin θ ) dan r (os θ + i sin θ ), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : [r (os θ + i sin θ )][r (os θ + i sin θ )] [r r (os θ + i sin θ )][ (os θ + i sin θ )] [r r (os θ os θ + i sin θ os θ + i sin θ os θ - sinθ sin θ )] r r [os (θ + θ ) + i sin (θ + θ )] Dari hasil perkalian tersebut diperoleh arg( ) θ + θ arg + arg Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan.. n dan... n?.6. Dalil De Moivre Jika diketahui r (os θ + i sin θ ), r (os θ + i sin θ ), dan seterusnya sampai n r n (os θ n + i sin θ n ), untuk n asli; maka seara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian.. n r r r n [os (θ + θ + +θ n ) + i sin (θ + θ + +θ n )]. Akibatnya jika, r(os θ + i sin θ) maka n r n (os nθ + i sin nθ). Khususnya untuk r, maka didapat rumus De-Moivre : (os θ + i sin θ) n os nθ + i sin nθ, n asli. Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut :
9 9 r ( Cosθ + isinθ) r ( Cosθ + isinθ ) Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu (os θ - i sin θ ), maka diperoleh : r r [os (θ - θ ) + i sin (θ - θ )] Dari rumus di atas diperoleh arg θ - θ arg arg. Akibat lain jika r(os θ + i sin θ), maka (os(-θ) + i sin (-θ)).untuk r n n n. Setelah pembilang dan penyebut dikalikan r ( Cosnθ + isinnθ ) sekawan penyebut, maka didapat : n n (os(-nθ) + i sin (-nθ)) r n ( ). Jadi dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat. Contoh : Hitunglah ( i ) 6 Jawab : Misalkan - i, r // + Tan θ, karena di kuadran IV,maka dipilih θ - o. Diperoleh ( i) [Cos(- o )+isin(- o )], sehingga ( 6 i ) -6 [Cos 8 o + isin8 o ) -6.(-) - -6.
10 .6. Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar ke-n dari bilangan kompleks w, jika n w, dan ditulis n w. Jika ρ(cosφ +isinφ) akar ke-n dari bilangan kompleks w r(cosθ+isinθ), maka : n w atau ρ n (Cosφ +isinφ) n r(cosθ+isinθ), sehingga diperoleh : ρ n r dan nφ θ +kπ, k bilangan bulat. Akibatnya ρ r n dan φ θ + kπ. Jadi, akar ke n dari bilangan n kompleks w r(cosθ+isinθ) adalah : r n [Cos( θ + kπ n ) + isin θ + kπ ( )], k bilangan bulat dan n bilangan asli. n Dari persamaan n w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k,,,,,(n-); φ θ + kπ < π, sehingga n diperoleh,,,, n sebagai akar ke n dari w. Contoh : Hitunglah (-8) /4 Jawab : Misalkan (-8) /4, berarti harus diari penyelesaian persamaan 4-8. Tulis ρ(cosφ +isinφ) dan 8 8(Cos8 +isin8 o ), sehingga ρ 4 (Cos4φ +isin4φ) 8(Cos8 +isin8 o ). Dari persamaan ini diperoleh ρ 4 8, atau ρ dan φ Π + kπ 4. Jadi Z [Cos( Π + kπ 4 Π )+isin( + kπ )]. 4
11 Keempat akar yang diari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k,,, ke persamaan terakhir. Tugas: Carilah keempat akar tersebut!.7 Soal-Soal Latihan Bab :. Buktikan Teorema dengan memisalkan (x,y) x + iy.. Diketahui 6 + 5i dan 8 i. Tentukan +, -,, dan /. Jika --i, buktikan Cari bilangan kompleks yang memenuhi sifat : a. - dan b Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku :. +. Re(. ) 6. Hitung jarak antara + i dan 5 i. 7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. + i i b. < i < Nyatakan bilangan kompleks -i dalam bentuk polar dan eksponen! 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari : -i-. Hitunglah : (a) (-7) /.. (b) (-+I) 5.. Buktikan dengan dalil De Moivre bahwa : a. Cosx Cos x Sin x b. Tgn a [Sina 4 Sin a] : [4Cos a Cosa ] *** SELAMAT MENGERJAKAN ***
12 BAB II FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsepkonsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang. Ingatlah kembali materi mata kuliah Teori Himpunan, seperti operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifatsifatnya. Selain itu anda juga perlu mengingat materi Lingkungan dan komplemennya, Titik Limit, Titik Batas, Himpunan Buka, Himpunan Tutup pada mata kuliah Analisa Variabel Real. Dengan mengingat materi tersebut, maka anda akan lebih mudah memahami materi berikut.. Lingkungan a) Lingkungan adalah himpunan semua titik yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di, berjari-jari di r, r >. Ditulis N(,r) atau < r. b) Lingkungan tanpa adalah himpunan semua titik yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di, berjari-jari di r, r >. Ditulis N*(,r) atau < < r.
13 Contoh : a) N(i,) adalah ekuivalen dengan i <, Gambarkan! b) N*(,a) adalah ekuivalen dengan < < a, Gambarkan!. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S,merupakan himpunan semua titik pada bidang yang tidak termasuk di S. Contoh : a) A {/Im < }, maka A {/Im }. Gambarkan! b) B {/<<4}, maka B {/ atau 4}. Gambarkan!. Titik Limit Titik disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(,δ) maka S N*(,δ) φ. 4. Titik batas Titik disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(,δ) memuat suatu titik di S dan memuat sati titik yang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N(,δ) sehingga N(,δ) S. Titik yang bukan titik interior atau titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Buka Himpunan S disebut himpunan buka jika S tidak memuat bagian dari batasnya. 8. Himpunan Tutup
14 4 Himpunan S disebut himpunan tutup jika S memuat semua batasnya. 9. Himpunan Terhubung Himpunan buka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh beberapa penggal garis lurus yang seluruhnya terletak di S.. Daerah Terbuka Himpunan buka S yang terhubung disebut daerah terbuka.. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan limitnya. Contoh : A {/ // < }, B {/ //<} U {(,)}, dan C {/ // } Dari himpunan di atas, maka A adalah himpunan buka dan terhubung. Batas dari A adalah {/ //}. Penutup dari A adalah {/ // }. B adalah bukan himpunan buka dan juga bukan himpunan tutup. Titik limit dari B adalah {/ // }. Interior C adalah {/ // <}.. Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan titik anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang w, yaitu (,w). Fungsi tersebut ditulis w f().
15 5 Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis D f dan f() disebut nilai dari f atau peta dari oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis R f, yaitu himpunan f() untuk setiap anggota D. Contoh : a) w + i b) w 4 + i ) w 5 d) f() + Contoh a,b, adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang. Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang,keuali -/. Jika x + iy, maka fungsi w f() dapat diuraikan menjadi w u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila r(cosθ+isinθ), maka w u(r, θ) +v(r, θ). Contoh :. Tuliskan f() i dalam bentuk u dan v! Jawab : Misal x + iy, maka fungsi w f() i u(x,y) + iv(x,y) (x + iy ) i (x +xyi-y ) i (x -y ) +i(4xy-). Jadi u (x -y ) dan v 4xy-.. Jika r(cosθ+isinθ), maka f() + i [r (Cosθ+iSinθ)] + i (r Cos θ- r Sin θ) + (+rsinθ)i, berarti u r Cos θ-r Sin θ dan v +rsinθ).
16 6 Komposisi Fungsi Jika diberikan fungsi f() dengan domain D f dan fungsi g() dengan domain D g. Jika R f D g φ, maka ada fungsi komposisi (gof) () g (f ()), dengan domain suatu himpunan bagian dari D f. Jika R g D f φ, maka (fog) () f (g ()). Tidak berlaku hukum komutatif pada (gof) () dan (fog)(). Contoh : f() i dan g() + + i Jika R f D g φ, maka (gof) () g (f ()) g(-i) (-i) + (-i) +i 9-6i-+ i -+i i Jika R g D f φ, maka (fog) () f (g ()) f( + + i) + + i Jadi, (gof) () (fog)().. Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas x + iy anggota domain f ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, yaitu pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w f(). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang ke titik di bidang w dengan aturan f. Untuk suatu titik maka f() disebut peta dari.
17 7 Contoh : Diketahui fungsi w + i. Untuk setiap variabel bebas x + iy didapat nilai w (x+iy) + i. Misalnya untuk + i, dan i, berturut-turut diperoleh : w + i, dan w 5i. Gambar dari,,w, dan w dapat dilihat di bawah ini. y v w (,) (,) x u (,-) w (,-5) Contoh : Diketahui fungsi w. Dengan menggunakan r (Cosθ+iSinθ), maka diperoleh w r (Cosθ+iSinθ). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang, maka dapat dipetakan ke bidang w menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r. Daerah arg α dipetakan menjadi daerah arg w α. Coba anda Gambarkan keduanya pada bidang Argand!
18 8.4 Limit Diketahui daerah D pada bidang dan titik o terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w f() terdefinisi pada D, keuali mungkin di o. Y v D. K K N.. o. δ f(). w o.w N*( o,δ)</- o /<δ Bidang Z /f() - w o / < ε Bidang W Apabila titik bergerak mendekati titik melalui setiap lengkungan sebarang K dan nilai f() bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu w o, maka dikatakan limit f() adalah w o untuk menuju, ditulis : Lim f ( ) o w o Seara formal, definisi limit dapat dilihat berikut ini : Definisi : Misalkan fungsi f(w) terdefinisi pada daerah D, keuali mungkin di (titik di dalam D atau pada batas D). Limit dari f() adalah w o untuk menuju, jika untuk setiap ε >, terdapat δ > sedemikian hingga / f() - w o / < ε, apabila < / - o / < δ, ditulis : Lim f ( ) o w o Perlu diperhatikan bahwa :
19 9. Titik o tidak perlu termasuk domain fungsi f.. Variabel menuju o melalui sebarang lengkungan K,artinya menuju o dari segala arah.. Apabila menuju o melalui dua lengkungan yang berbeda saja, mengakibatkan f() menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk menuju o. Contoh : Buktikan bahwa : Lim 5 Pembuktian : Analisis Pendahuluan : (langkah ini boleh tidak ditulis di lembar jawaban) Misalkan diberikan bilangan ε >, kita akan menari δ > sedemikian hingga sehingga < < δ 5 < ε untuk, lihat bagian sebelah kanan 5 5 < ε < ε ( + ) 5 < ε ( ) < ε < ε ε δ < Hal ini menunjukkan bahwa δ ε / telah diperoleh.
20 Bukti Formal : Jila diberikan ε >, maka pilih δ ε/, sehingga untuk, berlaku < < δ 5 ( + )( ) 5 - < δ) ε. Contoh : Buktikan bahwa : Lim o o Bukti : Untuk setiap ε >, maka akan diari δ >, sehingga untuk o, / - o / < ε apabila / - o / < δ. Jika δ, maka < / - o / < δ mengakibatkan / - o / / o / /+ o / < δ /+ o / δ {/- o + o /} < δ ( +/ o /). Jadi didapat δ minimum antara dan ε ( + o. Tuliskan bukti formal pembuktian tersebut! ).5 Teorema Limit Teorema : Jika fungsi f mempunyai limit untuk menuju o, maka nilai limitnya tunggal. Teorema : Misalkan (x,y) x+iy dan f() u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik o (x o,y o ) x o +iy o di dalam D atau batas D. Maka Limit f() x o +iv o jika dan hanya o jika Limit u(x,y) x o dan limit v(x,y) v o
21 (x,y) (x o,y o ) (x,y) (x o,y o ) Teorema : Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di o. Lim f() w o dan lim F() W o, maka :. Lim (f() +F() ) wo + Wo (untuk o ). Lim (f(). F()) wo. Wo (untuk o ). Lim (f() / F()) wo / Wo (untuk o ) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut! Contoh : + Hitunglah lim i i Jawab lim Contoh : ( + i)( i) i i Jika f() xy x + y + x i y + Buktikan Lim f() tidak ada! Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk menuju di sepanjang garis y, maka lim f() Lim f() Lim x i. (x,) (,) x x Sedangkan di sepanjang garis y x, lim f() Lim f() Lim ( + i) x + (x,x) (,) x
22 .6 Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f() terdefinisi di D pada bidang dan titik o terletak pada interior D, fungsi f() dikatakan kontinu di o jika untuk menuju o, maka Lim f() f( o ). Jadi, ada tiga syarat fungsi f() kontinu di o, yaitu :. f( o ) ada. Lim f() ada o. Lim f() f( o ) o Fungsi f() dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f() kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. Teorema 4 : Jika f() u(x,y) + iv(x,y), f() terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan o x o +y o i titik di dalam R, maka fungsi f() kontinu di o jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (x o,y o ). Teorema 5 : Andaikan f() dan F() kontinu di o, maka masing-masing fungsi :. f() + F(). f(). F(). f() / F(), F(), 4. f(f(); f kontinu di F( o ), kontinu di o.
23 Contoh : Fungsi f() + 4, i i + 4i, i f(i) +4(i) + 8i, sedangkan untuk mendekati i, maka Lim f() +i i + i 4i. Jadi f() diskontinu di i. Contoh : Dimanakah fungsi g() + + kontinu? Jawab : Coba anda periksa bahwa g() diskontinu di dan. Jadi g() kontinu di daerah {/ dan }..7 Soal-Soal Latihan Bab II. Tentukan nilai fungsi : a. f() -+ di 5-I + b. g(), di i. Jika x + iy, tuliskan f() 5i + dalam bentuk u dan v!. Jika r(cosθ+isinθ), maka tuliskan f() + i dalam bentuk u dan v! 4. Jika f() i dan g(), tentukan (gof) () dan (fog)(). 5. Fungsi w 5 + i. Gambarkan w dan w untuk + i, dan 5 i. 6. Diketahui fungsi w. Dengan menggunakan r (Cosθ+iSinθ), maka gambarkan w!
24 4 7. Jika g() i 4 +, Hitunglah limit g() untuk i 8. Jika f() i y x y x xy Buktikan Lim f() untuk menuju tidak ada! 9. Apakah fungsi h() i i i i,, , kontinu di i?jelaskan!. Dimanakah fungsi g() i kontinu? *** SELAMAT MENGERJAKAN ***
25 5 BAB III TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS. Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan D. Jika diketahui bahwa nilai limit f() f( ) ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik. Dinotasikan : f ( ) Jika f ( ) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di. Dengan kata lain : f ( ) lim Δ f f ( + Δ) f ( ) Δ Δ Jika terdifferensial di semua titik pada D maka f terdifferensial pada D Contoh.. Buktikan f() terdifferensiasi diseluruh C Bukti : Ditinjau sebarang titik C f () lim lim f() f( ) lim ( + )( )
26 6 Teorema. Karena sebarang maka f() terdifferensial di seluruh C Jika f fungsi kompleks dan f ( ) ada maka f kontinue di Bukti : Diketahui f ( ) ada Akan dibuktikan f kontinue di atau lim f() f( ) lim f() f( ) lim f() f( ) lim f() f( ). lim f() f( ) f ().. lim sehingga lim f() f() lim f() lim f() lim f() lim f() lim f() f() dengan kata lain f kontinue di Contoh.. Buktikan bahwa f() kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di Bukti :
27 7 f() x + y berarti u(x,y) x + y v(x,y) u dan v kontinue di C maka f() konstanta di C f () lim f() f( ) lim lim Jadi f() terdifferensial di. Syarat Chauhy Riemann Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di x + i y adalah syarat Chauhy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. Teorema.. (Syarat Chauhy Riemann) Jika f() u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di x + i y, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (x,y ) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauhy Riemann u x v dan y u y v x derivatif f di dapat dinyatakan dengan f ( ) u x (x,y ) + i v x (x,y )
28 Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di (x,y ) maka f() u(x,y) + i v(x,y) 8 pasti tidak terdefferensial di x + i y Contoh.. Buktikan f() tidak terdifferensiasi di Bukti : f() x + y sehingga u(x,y) x + y v(x,y) Persamaan Cauhy Riemann u x x ; u y y v x v ; y u x v x... () y dan u y v - y... () x () dan () tidak dipenuhi jika x atau y, jadi pasti f tidak terdifferensial di Catatan : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh..
29 9 x ( + i) y ( i) Buktikan fungsi f() x + y f() tidak terdifferensial di Bukti : x y u x + y x + y v x + y dengan u(,) dengan v(,) u x (,) lim x u(x, ) u(, ) x u y (,) lim u(,y) u(, ) y - y v x (,) lim v(x, ) v(, ) x x v y (,) lim y v(,y) v(, ) y Jadi persamaan Cauhy Riemann terpenuhi Tetapi f() f( ) x ( + i) y ( i) (x + y )(x + iy) untuk Sepanjang garis real y lim x ( + i) y ( i) x x + i Sepanjang garis real y x lim i x ( + i) x x + i
30 Jadi lim f() f( ) tidak ada sehingga f tidak terdifferensial di meskipun persamaan C-R dipenuhi di (,) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f() u(x,y) + iv(x,y), x + i y f () ada maka u x, u y v v,, ada di (x, y ) berlaku C-R yaitu x y u x v y dan u y v - dan f ( ) u x (x,y ) + i v x (x,y ) x ii. Syarat ukup u(x,y), v(x,y), u x (x,y), v x (x,y), u y (x,y), v y (x,y) kontinue pada kitar x + i y dan di (x,y ) dipenuhi C-R maka f ( ) ada Contoh.. Buktikan f() e x (os y + i sin y) terdiferensial untuk setiap dalam C Bukti : u(x,y) e x os y u x (x,y) e x os y u y (x,y) -e x sin y ada dan kontinue di setiap v(x,y) e x sin y v x (x,y) e x sin y (x,y) C v y (x,y) e x os y Berdasarkan persamaan C-R : u x v y dan u y -v x dipenuhi di (x,y) C dan (x,y) C ada kitaran dimana keenam fungsi kontinue dan C-R dipenuhi di (x,y). Jadi f () ada C
31 Dan f () u x (x,y) + i v x (x,y) e x os y + i e x sin y. Syarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika f() u(x,y) + iv(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x r os ϕ dan y r sin ϕ dapat diperoleh r os ϕ + i sin ϕ sehingga f() u(r, ϕ) + i v(r, ϕ) dalam sistem koordinat kutub Teoreama.. Jika f() u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) terdiferensial dan kontinue pada suatu kitar (r, ϕ ) dan jika dalam kitar tersebut u r, uϕ, v r, vϕ ada dan kontinue di (r, ϕ ) dipenuhi C-R yaitu: u r r v dan ϕ r v - ϕ u r, r maka f () ada di dan f () (os ϕ i sin ϕ ) [u r (r, ϕ ) + iv r (r, ϕ )] Contoh.. Jika diketahui f() -,tentukan f () dalam bentuk kootdinat kutub Jawab : f() - r - (os ϕ - i sin ϕ) diperoleh : u r - os ϕ sehingga u r -r -4 os ϕ dan u ϕ -r - sin ϕ v -r - sin ϕ sehingga v r r -4 sin ϕ dan v ϕ -r - os ϕ keenam fungsi ini kontinue dan syarat C-R dipenuhi untuk semua
32 Jadi f() - terdiferensial untuk Dengan demikian f () dalam koordinat kutub adalah : f () (os ϕ i sin ϕ ) (-r -4 os ϕ + i r -4 sin ϕ) is (-ϕ) (- -4 ) is -ϕ -r -4 is(-4ϕ).4 Aturan Pendiferensialan Jika f(), g() dan h() adalah fungsi kompleks serta f (), g () dan h () ada, maka berlaku rumus-rumus berikut : d d()., d d. d [ f () ] d f () d. [f() ± g()] f () ± g () d d 4. [f()g()] f ()g() + f ()g () d f 5. d g d () () ( ) f ( ) f ( ) g ( ) [ g( ) ] g d n 6. n n- d 7. Jika h() g[f()] maka h () g [f()]f () biasa disebut dengan komposisi (aturan rantai) dw dw dϕ. d dϕ d.5 Fungsi Analitik
33 Definisi.5. Fungsi f analitik di, jika ada r > sedemikian hingga f () ada untuk setiap N (,r) (persekitaran ) r Z f differensiable Fungsi analitik untuk setiap C dinamakan fungsi utuh Contoh.5.. f() analitik keuali di. f() x + iy diperoleh : u x ; v y sehingga u x x ; v x ; u y ; v y y dengan menggunakan persamaan C-R : x y y ± x dan v x u y persamaan C-R dipenuhi dan kontinue digaris y ± x berarti f () ada hanya di y ± x f() tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. Sifat sifat analitik Misalnya f dan g analitik pada D, maka : o o f ± g merupakan fungsi analitik fg merupakan fungsi analitik o f/g merupakan fungsi analitik dengan g
34 4 o h g o f merupakan fungsi analitik o berlaku aturan L hospital yaitu : lim () () () () f f, g() g () g g.6 Titik Singular Definisi.6. Titik disebut titik singular dari f jika f tidak analitik dari tetapi untuk setiap kitar dari memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. Jenis kesingularan f() atau titik singular antara lain :. Titik singular terisolasi Titik dinamakan titik singular terisolasi dari f() jika terdapat δ > demikian sehingga lingkaran δ hanya melingkari titik singular lainnya. Jika δ seperti itu tidak ada, maka disebut titik singular tidak terisolasi.. Titik Pole (titik kutub) Titik disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim n ( ) f ( ) A. Jika n, disebut sebagai titik pole sederhana.. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular disebut titik singular dapat dihapuskan dari f() jika lim f() ada.
35 5 5. Titik Singular Essensial Titik singular yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik abang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika f() mempunyai titik singular di, maka sama dengan menyatakan f(/w) mempunyai titik singular di w. Contoh.6. g() ( i) berarti titik i adalah titik pole tingkat dari g() h() tidak merupakan titik singular k() ln ( + ) maka titik abang adalah dan - karena ( + ) ( ) ( + ).7 Fungsi Harmonik f() u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R, u x v y dan u y -v x. Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku v xy v yx. Jika dalam u x v y dan u y -v x diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku u xx + u yy v xx + v yy Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplae dalam dimensi.
36 6 ϕ + x ϕ y u dan v dimana f() u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f() harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f() u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. Contoh.7. Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u 4xy x y, (x,y) C Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f() u(x,y) + iv(x,y) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R u x v y dan u y -v x u x 4y x y u y xy 4x v y 4y x y v y 4 6x y + g(x) karena v x -u y maka -xy + g (x) -xy + 4x sehingga g (x) 4x diperoleh g(x) x 4 + C Jadi v y 4 6x y + x 4 + C f u + iv 4xy 4x y + i(y 4 6x y + x 4 + C) i(y 4 6x y + x 4 4ixy + 4x y) + ic i(x +iy) 4 + ic i 4 + A dengan A ic
37 7 Cara Milne Thomson Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga f() u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f () u x (x,y) + iv x (x,y) sesuai persamaan C-R : f () u x (x,y) iu y (x,y) x + iy dan x iy sehingga diperoleh x + dan y i f() u x +, + i - iu y, i Suatu identitas dalam dan jika diambil maka f () ux(,) iu y (,) Jadi f() adalah fungsi yang derivatifnya u x (,) iu y (,) kemudian didapat v(x,y) Contoh.7. Dari Contoh.7. dengan u 4xy 4x y, (x,y) C, jika diselesaikan dengan menggunakan ara Milne Thomson. Jawab : u x 4y x y u y xy 4x f () u x (,) iu y (,) -i(-4 ) 4i sehingga f() i 4 + A f() i(x + iy) 4 + A
38 8 4xy 4x y + i(x 4 6x y + y 4 ) + A.8 SOAL-SOAL LATIHAN BAB III. Dengan menggunakan definisi derivatif, tentukan f () dan f (i) untuk : a. f() + 5 b. f(). f() + i. Dengan menggunakan aturan pendiferensialan tentukan f () untuk : a. f() + i ( i) ( + 5) b. f() ( + ). Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut adalah analitik : a. f() e -x (os y i sin y) b. f() sin x osh y + i os x sinh y. f() + 4. Buktikan bahwa f terdiferensial dimana-mana jika : a. f() e -x (os y i sin y) b. f() os x osh y + i sin x sinh y 5. Tentukan titik di bidang kompleks sehingga fungsi f() x 5 + 5iy terdiferensial kemudian tentukan f ( 4i) dan f (- + i) a. f() e -x (os y i sin y) b. f() sin x osh y + i os x sinh y. f() +
39 9 6. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut adalah harmonik dan dapatkan fungsi analitik f() u(x,y) + i v(x,y) yang bersesuaian : a. u x xy + x y + b. u xe -x os y y e x sin y *** Selamat Mengerjakan ***
40 4 BAB IV INTEGRAL KOMPLEKS 4. Lintasan Jika g dan h fungsi bernilai real dan konstanta dari variabel real t (a,b) maka himpunan titik-titik (g(t).h(t)) di bidang x.y akan membentuk suatu kurva. Jadi himpunan titik Z x + i.y di bidang komples adalah kurva jika x g (t) dan y h (t). Jika tidak ada pada kurva yang berkawanan dalam ( a,b ), kurva disebut kurva tunggal. Kurva yang titik awal dan titik akhirnya berhimpitan dinamakan kurva tertutup. Kurva tertutup yang tidak memotong dirinya sendiri disebut kurva tertutup tunggal. Misal kurva C { Z g(t) + ih(t), a t b } dengan g (t) dan h (t) ada dan kontinue pada [ a,b ], untuk t [ a,b ] nilai g (t) dan h (t) tidak pernah bersama nol, maka C disebut kurva mulus. Jika kurva C merupakan rangkaian beberapa kurva mulus C,, C n titik akhir C j berimpit dengan titik awal C j+ untuk j,,.., n maka kurva C disebut suatu lintasan atau kontur. Lintasan C ini ditulis C + C + + Cn. Perjanjian arah lintasan Arah positif jika berlawanan dengan arah jarum jam. Arah negatif jika searah dengan arah jarum jam.
41 4 4. Integral Garis Integral garis fungsi p(x,y) sepanjang lintasan C terhadap x dinyatakan dengan C P ( x, y) dx Jika P( x,y ) dx sepanjang kurva C ke lintasan tertentu terhadap t pada [a,b] dan x g(t), y h(t) maka b P ( x, y) dx P( g( t), h( t) h' ( t) dt C a Jika sepanjang C pada arah yang berlawanan ditulis P ( x, y) C Sedangkan untuk integral sepanjang lintasan tertutup dinotasikan dengan dx C P( x,y ) dx. Sifat-Sifat :. C k P( x,y ) dx k C P( x,y ) dx, k konstan. -C P( x,y ) dx - C P( x,y) dx. Jika CC +C C n maka C k P( x,y ) P( x,y ) dx + + n P( x,y ) dx. 4. Jika C lintasan tertutup tunggal, maka berlaku : Catatan : Contoh 4.. ( P( x, y) dx - P( x, y) dx Keempat sifat berlaku juga untuk pengintegralan terhadap y. xy + 5)dy dengan x sin t ;y os t Penyelesaian :
42 4 y t π dengan y os dy t diperoleh dt os t sin t y t sehingga : π π (sin t os t + 5) (- os t sin t) dt os t sin t + os t sin t dt π sin t ( sin t) os t + os t sin t dt π π sin t os t dt - π sin 4 t os t dt + sin t os t dt misal u sin t du os t du os t dt dt t u dan t π u du - 4 u u du + u du 5 - [ u [ ] ] + [ u ] u 5... ( silakan selesaikan) Contoh 4.. Hitung I x y dx + xy dy dengan C adalah
43 4 a. Garis patah berawal dari titik i melalui + i dan berakhir titik b. Penggal garis dengan titik awal i dan titik akhir Penyelesaian : a. i i + b C : y dan x t t dy dx dt C : x dan y t t dx dy dt I x y dx + xy dy + x y dx + xy dy t dt + t dt t dt + t dt / + (-/) b. Gambar pada a Misal : x t dx dt t π y t dy -dt
44 44 I t ( t) dt + t ( t) (-dt) t t t ( t + t ) dt t t t + st t dt -t + t st dt -/ t + t /4t 4 I Contoh 4.. Hitung y dx + x dy dengan C : x a os t; y a sin t arah C diambil arah positif t π Penyelesaian : π y dx + x dy a sin t (-a sin t) dt + (-a os t) a ost dt π -a 4 sin 4 t + os 4 t digunakan reduksi π -a 4 (sin t + os t) sin t os t dt π -a 4 ½ sin t dt... (silakan lanjutkan sebagai latihan)
45 45 Contoh Hitunglah (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy sepanjang: a. Parabola x t, y t + b. Garis lurus dari (,) ke (,) dan kemudian ke (,4). Garis lurus dari (,) ke (,4) Jawab: a. Parabola x t dx dt y t + dy t dt (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy (( t t t t (t (t + ) + (t) t + + t t )dt + ((t) t )dt + (6t t 6t) dt )dt )dt ( 6 t + 4 t t ) dt t 7 t t t 4 t 4 b. Sepanjang garis lurus dari (,) ke (,) maka y dan dy
46 46 (,) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy (. + x x ) dx + (. x )() (6 + x x 6x x ) dy Sepanjang garis lurus dari (,) ke (,4) maka x dan dx (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy 4 y ( y + )() + (. y) dy 4 (6 y) dy y 6 y y 4 Jadi nilai yang diinginkan Sepanjang garis lurus dari (,) ke (,4) Persamaan garis yang menghubungkan (,) ke (,4) adalah:
47 47 y y y y x x x x y 4 x y x y 6 x atau y ( x 6) dy dx Maka (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy 4 y ( y + ( y 6) )(dy) + (( y 6) y) dy 4 y 4 y 4 y 8 (y + 4y (8y 9 (8y 44y y 8) dy y 9y + 54) dy y 4y + 6)(dy) + (6y 8 y) dy + 54y 8 9 (4 ) (4 ) + 54(4 ) (64 7) (6 9) + 54() Integral Lintasan Kompleks Integral lintasan fungsi sepanjang C ditulis ( ) f d Atau integral tertentu dari f() dari a ke b sepanjang kurva C Untuk pada C maka dapat ditulis (t) x(t) + i y(t) dengan a t b sehingga
48 48 d (t) dx + idy dt Sifat : - () b a f d f ( () t ) (t) dt f () (). d - f d k () (). f d k f d f () f () ( ). d ± g() d d + f () f () ( ) 4. d d + g d f d dengan C C + C Jika f() u(x,y) + iv(x,y) u + iv maka dengan integral garis kompleks dapat dinyatakan dalam suku-suku integral garis real sebagai Contoh 4.. f () d ( u + iv)( dx + idy) d u dx - v dy + I vdx + vdy Hitung f () d jika f() y x + 6ix dan terdiri atas penggal garis dari sampai I dan dari I sampai + I i C + i C dari gambar
49 49 f () () C d + f d C x dx x y t dy C x t dx x y dy Pada lintasan C () f d u dx vdy + i v dy + u dy dt + i t dt ½ i pada lintasan C () f d u dx vdy + i v dx + u dy Jadi : () - t dt + i 6t dt ½ + i f d + i Teorema 4.. d Jika f kontinue pada lintasan C M > f() M, C maka < M L dengan L panjang lintasan Contoh 4..
50 5 Jika C lintasan tertutup segitiga dengan sudut, dan 4i Buktikan ( e + ) d 6 Penyelesaian : B A O f() e + f() e + e + - e x + x + y pada lintasan AO - x f() e x e x + diambil x agar maksimal f() e + 4 Pada lintasan OB iy 4 f() e pada limit AB
51 5 x + iy y + 4x, - x f() e (x maksimal) karena terdapat tiga lintasan, maka diambil M terbesar yaitu 5 dan L keliling segitiga yaitu sehingga e + M.L 5. 6 terbukti Teorema 4.. (Teorema Cauhy) Fungsi analitik dan fungsi kontinue dalam integral tertutup tutup C maka f ()d Bukti : f analitik f kontinue D { dalam dan pada C} f() u(x,y) + iv (x,y) analitik u, v kontinue dan v x, v y, u x, u y kontinue sehingga berlaku f () u x + iv x v y iuy, kontinue Sebelumnya terdapat Teorema Green : P(x,y), Q(x,y), P x, P y, Q x, Q y konstanta pada D maka P dx + Q dy Q - P x y dxdy
52 5 sehingga f ()d ( u + iv)d ( u + iv)( dx + idy ) u d x + iud y + ivd x vd y u d x v d y + i u d y + v d y (-vx u y ) dxdy + i (u x v y ) dxdy (-vx + v x ) dxdy + i (u x u x ) dxdy Jadi f ()d Contoh 4.. Hitung 4 d, C kurva tertutup sederhana Jawab : f () 4 f () kontinue dan analitik di dalam C sesuai Teorema Cauhy Contoh d d Jika C lingkaran. Tunjukkan 4 4 Penyelesaian : f() 4 f () ( 4)
53 5 Kontinu di dalam dan pada C. Jadi menurut Teorema Cauhy f ()d Teorema 4.. (Teorema Cauhy Gousar) Fungsi analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C f ( )d Contoh 4..5 Buktikan jika C lintasan tertutup sepanjang sisi-sisi bujur sangkar dan titik-titik sudut + i, - + i, - + -i, i dengan arah positif. d π i Penyelesaian : - + i + i Z - - i - i Dibuktikan lingkaran j dengan pusat (,) dan r ½ Ambil, sehingga f() adalah analitik pada lingkaran tersebut keuali, j d π i (menurut Cauhy). Karena f() juga analitik di dalam j, maka : d d j πi
54 Anti Derivatif Fungsi Analitik Fungsi analitik pada domain terhubung tunggal D, dan D Jika C dan C lintasan tunggal penghubung ke dan keduanya membentuk lintasan tertutup tunggal C C + C maka : Sehingga f ()d f ()d + f ( )d f ( )d f ()d - D Integral dari ke tidak tergantung lintasannya asal lintasan dalam D, ditulis : ( ) f ϕ dϕ tidak tergantung lintasan D f() Contoh 4.4. f() fungsi analitik di seluruh bidang kompleks. ( ) f ϕ D G() ¼ 4 merupakan fungsi anti derivatifnya maka untuk sebarang lintasan dari sampai + i adalah + i d G( + i) G() - Contoh 4.4. i Jika D C, maka Cosh analitik di seluruh C. Maka os d sin sinh i sinh
55 55 Contoh 4.4. f() i θ r r e (r >, -π < θ < π) Cabang utama dari / analitik keuali pada OX mempunyai suatu anti derivatif F ¾ 4/ Untuk sebarang lintasan di r sampai i yang tidak memotong OX maka : i -i d F(i) F(-i) ¾ (e iπ/ e - iπ/ ) ¾ i sin (π/) ¾ i 4.5 Rumus Integral Cauhy Jika fungsi analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, dalam maka :. f( ). f ( ). f n ( ) f () d πi - πi f () ( - ) d n! f () πi - n + ( ) d Contoh 4.5. d Tentukan ( )( ), jika lintasan C : a. lingkaran C berarah positif dengan persaman b. lingkaran C berarah positif dengan persaman 4
56 56 Penyelesaian : a. Fungsi f ( ) analitik di dalam dan pada C dan di dalam C, ( ) sehingga menurut rumus integral Cauhy f() f ( ) ( -) d πi dan jawaban (a) adalah π i f() πi / b. Fungsi g ( ) analitik di dalam dan pada C ( dan di dalam C, sehingga ) menurut rumus integral Cauhy g () g( ) ( - ) d πi dan jawaban (b) adalah π i g () πi / 4.6 SOAL-SOAL LATIHAN BAB IV. Hitung + d dengan C lintasan positif keliling persegi dengan titik-titik sudut + i, - + i, - i, i. + 4i. Selesaikan I d sepanjang x t; y t ; t + i. Hitung integral garis (xy + y ) dx dan (x xy) dy sepanjang parabola y x dari titik A(-,) ke titik (,4) 4. Hitung integral garis : a. (x y dx + xy dy) sekeliling lintasan tertutup C bagian dari garis x dan bagian parabola y x ke arah positif xy b. dy sekeliling lingkaran x + y a ke arah positif x + y
57 Hitung d, dengan C : a. setengah lingkaran e iϕ dengan ϕ dari sampai π b. setengah lingkaran e iϕ dengan ϕ dari sampai -π. lingkaran penuh e iϕ dengan ϕ dari π sampai π 5 6. Selesaikan I d ( ) dimana C adalah lingkaran *** SELAMAT MENGERJAKAN SEMOGA SUKSES ***
58 58 DAFTAR PUSTAKA Churhill, R.V, Brown, J.W. 99. Complex Variables and Appliations. New York : MGraw-Hill Publishing Company. Sardi, Hidayat Fungsi Kompleks. Modul Perkuliahan -9 UT. Jakarta : Karunika. Soemantri, R Fungsi Variabel Kompleks. Jakarta : Ditjen Dikti Depdikbud. Spiegel, Murray R Theory and Problems of Complex Variables. New York : MGraw-Hill, In
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB III. TURUNAN 3.1 Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z D. Jika diketahui bahwa nilai lim zz f(z) z f(z z ) ada,
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Lebih terperinciBab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Lebih terperinciBil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad
4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian
Lebih terperinciMODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan
Lebih terperinciBilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciFUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Lebih terperinciBab III. Integral Fungsi Kompleks
Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat
Lebih terperinciANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 07, No. 1 (2018), hal 41-46. ANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi INTISARI Analisis kompleks salah satu cabang matematika
Lebih terperinciBilangan dan Fungsi Kompleks
Bab 5 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kompleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciBab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
Lebih terperinci7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z
MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciCATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
Lebih terperincix Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1.
Bab. Fungsi Kmpleks BAB. FUNGSI KOMPLEKS Sebelum membahas ungsi kmpleks,berikut ini diberikan beberapa knsep dan istilah ang akan banak digunakan dalam pembahasan selanjutna.. Daerah di bidang kmpleks
Lebih terperinciFungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciBAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
Lebih terperinciFT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi
Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan
Lebih terperinci1 Nama Anggota 1:Darul Afandi ( ) Jawaban soal No 40. -
Universitas Jember Jurusan Matematika - FMIPA MAM 56 Deadline: Wednesday, 9 ; :55 Analisis Kompleks Tugas Template Jawaban Nama Kelompok: Group J Nama Anggota:. Darul Afandi (8). Wahyu Nikmatus Sholihah
Lebih terperinciFungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma
Fungsi Gamma Pengantar Matematika Teknik Kimia Muthia Elma Fungsi Gamma Defenisi Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut Dalam aplikasinya fungsi
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Rekap Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan,
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA 1 MINGGU KE- POKOK DAN SUB POKOK BAHASAN TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM (TIU) SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATAKULIAH : FUNGSI KOMPLEKS (3 SKS)
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami bilangan kompleks Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks Mengetahui Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Lebih terperinciTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciBAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinci