SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS

JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 289-297 SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS Suroto Prod Matematka, Jurusan MIPA, Fakultas Sans dan Teknk Unverstas Jenderal Soedrman e-mal : suroto_80@yahoo.com ABSTRACT. In ths paper we defne polynomals over a max plus algebra. Furthermore we prove that the set of such polynomals s a sem rng. Key words: sem rng, max-plus algebra, polynomal ABSTRAK. Pada makalah n ddefnskan polnom atas aljabar max-plus. Lebh lanjut dbuktkan bahwa hmpunan semua polnom tersebut merupakan sem rng. Kata kunc: sem rng, aljabar max-plus, polnom 1. PENDAHULUAN Msalkan S adalah suatu hmpunan tdak kosong. Hmpunan S yang dlengkap dengan suatu operas bner yang bersfat assosatf dnamakan sem grup (Fraellgh, 2000). Menurut Golan (2005), hmpunan S yang dlengkap dengan dua buah operas bner yakn penjumlahan (dnotaskan +) dan pergandaan (dnotaskan ) dnamakan sem rng apabla memenuh: 1. (S, +) merupakan sem grup komutatf dengan elemen netral. 2. (S, ) merupakan sem grup dengan elemen satuan. 3. Elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operas. 4. Operas + dstrbutf terhadap operas. Sem rng S dkatakan dempoten apabla untuk setap a S berlaku a + a = a dan dkatakan komutatf apabla operas pergandaannya bersfat komutatf (Mora, dkk, 2009). Suatu sem rng komutatf yang setap elemen tak netralnya mempunya nvers terhadap operas pergandaan dnamakan sem lapangan. Msalkan dberkan struktur aljabar Rmax R { } dengan R adalah hmpunan semua blangan rl, yang dlengkap dengan dua buah operas bner yakn operas penjumlahan dan pergandaan. Aljabar max-plus merupakan struktur aljabar

290 Suroto yang terbentuk dar Rmax dengan dlengkap operas maxmum sebaga operas penjumlahannya dan operas plus sebaga operas pergandaannya, yakn a b = maxmum (a, b) dan a b = a + b untuk setap a, b Rmax (Farlow, 2009). Elemen denttas terhadap operas penjumlahannya adalah dan terhadap operas pergandaannya adalah 0. Hmpunan Rmax yang dlengkap dengan operas penjumlahan dan pergandaan tersebut merupakan sem rng, dan selanjutnya dnamakan sem rng max-plus (Akan, dkk., 2006). Menurut Bacell, dkk (2001), sem rng max-plus tersebut juga merupakan sem lapangan dempoten. Pembahasan aljabar max-plus bsa dperluas pada kajan matrks yang dlakukan dengan cara mendefnskan matrks dengan entr-entrnya adalah elemen pada aljabar max-plus. Kajan mengena matrks atas aljabar max plus telah dlakukan oleh Rudhto, dkk (2008) dan dperoleh bahwa matrks atas aljabar maxplus terhadap operas penjumlahannya merupakan sem grup komutatf dempoten, sedangkan terhadap operas pergandaannya merupakan sem grup. Telah dketahu sebelumnya bahwa aljabar max-plus merupakan sem lapangan dempoten. Pada makalah n, pembahasan aljabar max-plus dperluas pada kajan polnom dengan cara membentuk polnom yang koefsennya adalah elemenelemen pada aljabar max-plus. Selanjutnya, struktur aljabar max-plus dan sfatsfatnya sebaga sem lapangan akan dgunakan untuk membuktkan beberapa sfat yang berkatan dengan polnom yang dbentuk dar aljabar max-plus tersebut. 2. SEMIRING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS Bagan n merupakan bagan utama pada penulsan makalah n. Terlebh dahulu ddefnskan polnomal dengan setap koefsennya adalah elemen-elemen pada aljabar max-plus, sepert dnyatakan pada defns berkut: Defns 2.1 Msalkan Rmax adalah aljabar max-plus maka polnom yang berbentuk n f(x) = a x =0 = a 0 + a 1 x + + a n x n

Sem Rng Polnom Atas Aljabar Max-Plus 291 dengan a 0, a 1, a 2,, a n Rmax dnamakan polnom atas aljabar max-plus dengan ndetermnate x. Untuk selanjutnya, hmpunan semua polnom atas aljabar max-plus dnotaskan dengan Rmax[x], yakn R max [x] = {a 0 + a 1 x + + a n x n a 0, a 1,, a n R max }. Dua buah polnom d R max [x] dkatakan sama apabla untuk setap koefsen yang letaknya bersesuaan nlanya sama, yatu a 0 + a 1 x + + a n x n = b 0 + b 1 x + + b m x m jka a = b untuk setap 0. Defns 2.2 Untuk setap a 0 + a 1 x + + a n x n, b 0 + b 1 x + + b m x m d R max [x], ddefnskan operas penjumlahan polnom sepert berkut: (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + + b m x m ) = c 0 + c 1 x + + c k x k (2.1) dengan c = a b = max(a, b ) untuk setap. Terlebh dahulu dtunjukkan bahwa operas penjumlahan pada persamaan (2.1) terdefns dengan bak (well defned) d R max [x]. Msalkan polnomal a 0 + a 1 x + + a n x n, b 0 + b 1 x + + b m x m, g 0 + g 1 x + + g k x k, h 0 + h 1 x + + h l x l d R max [x]. Jka a 0 + a 1 x + + a n x n = b 0 + b 1 x + + b m x m g 0 + g 1 x + + g k x k = h 0 + h 1 x + + h l x l maka (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (g 0 + g 1 x + + g k x k ) = (a 0 g 0 ) + (a 1 g 1 )x + + (a r g r )x r = (b 0 h 0 ) + (b 1 h 1 )x + + (b r h r )x r = (b 0 + b 1 x + + b m x m ) + (h 0 + h 1 x + + h l x l ).

292 Suroto Dengan demkan, operas penjumlahan pada R max [x] terdefns dengan bak (well defned). Defns 2.3 Untuk setap a 0 + a 1 x + + a n x n, b 0 + b 1 x + + b m x m d R max [x], ddefnskan operas penjumlahan polnom sepert berkut: (a 0 + a 1 x + + a n x n ) (b 0 + b 1 x + + b m x m ) = d 0 + d 1 x + + d m+n x m+n (2.2) dengan d = k=0 a k b k = (a 0 b ) (a 1 b 1 ) (a 1 b 1 ) (a b 0 ) = max((a 0 + b ), (a 1 + b 1 ),, (a 1 + b 1 ), (a + b 0 )) Secara analog dengan operas penjumlahan pada R max [x], dperoleh bahwa operas pergandaan pada R max [x] juga terdefns dengan bak (well defned). Sebelumnya sudah djelaskan tentang pendefnsan operas penjumlahan dan pergandaan pada R max [x] yang terdefns dengan bak. Selanjutnya dperoleh bahwa R max [x] terhadap operas penjumlahan pada persamaan (2.1) memenuh aksomaaksoma semgrup, sepert dnyatakan pada proposs berkut: Proposs 2.1 (R max [x], +) adalah sem grup komutatf dengan elemen netral. Bukt. Untuk setap a 0 + a 1 x + + a n x n, b 0 + b 1 x + + b m x m, c 0 + c 1 x + + c k x k polnom-polnom d R max [x] berlaku :. (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + + b m x m ) = t 0 + t 1 x + + t k x k dengan t = a b, untuk setap. Karena Rmax adalah sem lapangan, maka berlaku t = a b adalah elemen d Rmax. Sehngga t 0 + t 1 x + + t k x k merupakan polnom d R max [x]. Dengan demkan, operas penjumlahan tertutup pada R max [x].

Sem Rng Polnom Atas Aljabar Max-Plus 293. ((a 0 + a 1 x + + a n x n ) + ( b 0 + b 1 x + + b m x m )) + ( c 0 + c 1 x + + c k x k ) = p 0 + p 1 x + + p s x s, dengan p = (a b ) c untuk setap. Karena Rmax adalah sem lapangan, maka berlaku (a b ) c = a (b c ) untuk setap. Dar sn dperoleh bahwa ((a 0 + a 1 x + + a n x n ) + ( b 0 + b 1 x + + b m x m )) + ( c 0 + c 1 x + + c k x k ) = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (( b 0 + b 1 x + + b m x m ) + ( c 0 + c 1 x + + c k x k )). Dengan demkan, operas penjumlahan bersfat assosatf d R max [x].. (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + + b m x m ) = t 0 + t 1 x + + t k x k dengan t = a b, untuk setap. Karena Rmax adalah sem lapangan, maka berlaku a b = b a untuk setap. Dengan demkan dperoleh bahwa (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + + b m x m ) = (b 0 + b 1 x + + b m x m ) + (a 0 + a 1 x + + a n x n ) sehngga operas penjumlahan bersfat komutatf d R max [x]. v. Polnom netral ddefnskan sebaga polnom dengan semua koefsennya adalah elemen netral pada R max yakn. Polnom netral n mempunya bentuk a 0 + a 1 x + + a n x n dengan a =, untuk setap. Polnomal n merupakan elemen denttas d R max [x] terhadap operas penjumlahan. Dengan demkan, eksstens elemen netral pada R max [x] terpenuh. Untuk selanjutnya, polnom netral cukup dtuls 0(x).

294 Suroto Dar uraan d atas, terbukt bahwa R max [x] terhadap operas penjumlahan adalah sem grup komutatf dengan elemen netral. Selan tu, dperoleh bahwa R max [x] terhadap operas pergandaan pada persamaan (2.2) juga memenuh aksoma-aksoma semgrup, sepert dnyatakan pada proposs berkut: Proposs 2.2 (R max [x], ) adalah sem grup dengan elemen satuan. Bukt. Untuk setap a 0 + a 1 x + + a n x n, b 0 + b 1 x + + b m x m, c 0 + c 1 x + + c r x r polnom-polnom d R max [x] berlaku :. (a 0 + a 1 x + + a n x n ) (b 0 + b 1 x + + b m x m ) = t 0 + t 1 x + + t k x k dengan t = k=0 a k b k. Karena R max adalah sem lapangan, maka t = k=0 a k b k adalah elemen pada R max. Jad t 0 + t 1 x + + t k x k adalah polnom d R max [x]. Dengan demkan, operas pergandaan tertutup d R max [x].. ((a 0 + a 1 x + + a n x n ) ( b 0 + b 1 x + + b m x m )) ( c 0 + c 1 x + + c k x k ) = (( n =0 a x ) ( m =0 b x m )) ( k =0 c x k ) n+m k =0 ) = [ j=0 ( j=0 a j b j )x ] ( c x k n+m+k =0 j=0 j p=0 = [ ( a p b j p )c j ]x n+m+k =0 = ( j+p+l= a j b p c l )x n+m+k =0 j=0 j p=0 ) = [ a j ( b p c j p ]x = ( n =0 a x m+k ) [ =0 ( j=0 b j c j ) x ] = ( n =0 a x ) (( m =0 b x ) ( k =0 c x ))

Sem Rng Polnom Atas Aljabar Max-Plus 295 = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) (( b 0 + b 1 x + + b m x m ) ( c 0 + c 1 x + + c k x k )) Dengan demkan operas pergandaan bersfat assosatf d R max [x]. Polnom satuan pada R max [x] ddefnskan sebaga polnomal yang berbentuk a 0 + a 1 x + + a n x n dengan a 0 adalah elemen satuan d R max yakn 0 dan a adalah elemen netral pada R max yakn untuk setap 0. Polnom n merupakan elemen denttas d R max [x] terhadap operas pergandaan. Dengan demkan, eksstens elemen satuan pada R max [x] terpenuh. Untuk selanjutnya, elemen satuan pada R max [x] dnotaskan dengan 1(x). Dar uraan tersebut d atas, terbukt bahwa R max [x] dengan operas pergandaan adalah sem grup dengan elemen satuan. Selanjutnya dar hasl yang dperoleh pada Proposs 2.1 dan Proposs 2.2 dapat dtunjukkan bahwa R max [x] terhadap operas penjumlahan dan pergandaan pada persamaan (2.1) dan (2.2) adalah sem rng, sepert yang dnyatakan pada proposs berkut yang merupakan hasl utama pada paper n. Proposs 2.3 (R max [x], +, ) adalah sem rng. Bukt. Sebelumnya sudah dketahu bahwa Rmax merupakan sem lapangan, sehngga elemen netral pada Rmax merupakan elemen penyerap terhadap operas pergandaan, yakn a = a = untuk setap a Rmax. Karena adalah elemen penyerap pada Rmax, maka untuk setap polnom b 0 + b 1 x + + b n x n d R max [x] berlaku 0(x) ( b 0 + b 1 x + + b n x n ) = 0(x) ( b 0 + b 1 x + + b n x n ) = 0(x).

296 Suroto Dengan demkan, elemen netral pada R max [x] yakn 0(x) merupakan elemen penyerap terhadap operas pergandaan. Selanjutnya, untuk setap polnom a 0 + a 1 x + + a n x n, b 0 + b 1 x + + b m x m, c 0 + c 1 x + + c r x r d R max [x] berlaku [(a 0 + a 1 x + + a n x n ) + ( b 0 + b 1 x + + b m x m )] ( c 0 + c 1 x + + c r x r ) = (( n =0 a x ) + ( m =0 b x )) ( r =0 c x ) = ( k =0 (a b )x ) ( r =0 c x ) = (( n =0 a x ) ( r =0 c x )) + (( m =0 b x ) ( r =0 c x )) = [(a 0 + a 1 x + + a n x n ) ( c 0 + c 1 x + + c r x r )] +[(b 0 + b 1 x + + b n x n ) ( c 0 + c 1 x + + c r x r )] Secara analog dperoleh bahwa ( c 0 + c 1 x + + c r x r ) [(a 0 + a 1 x + + a n x n ) + ( b 0 + b 1 x + + b m x m )] = [( c 0 + c 1 x + + c r x r ) (a 0 + a 1 x + + a n x n )] +[( c 0 + c 1 x + + c r x r ) ( b 0 + b 1 x + + b m x m )] Jad operas penjumlahan dstrbutf terhadap operas pergandaan. Karena (R max [x], +) adalah sem grup komutatf dengan elemen netral, (R max [x], ) adalah sem grup dengan elemen satuan, elemen netral pada R max [x] merupakan elemen penyerap terhadap operas pergandaan, dan operas penjumlahan dstrbutf terhadap operas pergandaan, maka terbukt bahwa (R max [x], +, ) adalah sem rng. Untuk selanjutnya, sem rng (R max [x], +, ) n dnamakan sem rng polnomal atas aljabar max-plus.

Sem Rng Polnom Atas Aljabar Max-Plus 297 3. KESIMPULAN Perluasan kajan aljabar max-plus dapat dlakukan pada kajan polnom yang dlakukan dengan cara mendefnskan polnom dengan koefsennya adalah elemenelemen pada aljabar max-plus. Polnom yang dbentuk n selanjutnya dnamakan sebaga polnom atas aljabar max-plus. Hmpunan semua polnom atas aljabar maxplus yang dlengkap dengan operas penjumlahan polnomal merupakan sem grup komutatf dengan elemen netral, sedangkan dengan operas pergandaan polnomal merupakan sem grup dengan elemen satuan. Lebh lanjut, hmpunan semua polnomal atas aljabar max-plus n merupakan sem rng. Peneltan lanjut dapat dlakukan untuk sem modul atas semrng polnomal atas aljabar max-plus. 4. DAFTAR PUSTAKA Akan, M., Bapat, R., and Gaubert, S. (2006). Max-Plus Algebra. Chapman and Hall Bacell, F., Cohen, G., Olsder, G.J., and Quadrat, J.P. (2001). Synchronzaton and Lnearty. An Algebra for Dscrete Event Systems. John Wley & Sons. New York Farlow, K.G. (2009). Max-Plus Algebra. Master s Thess. Vrgna Polytechnc Insttute and State Unversty Fralegh, J.B. (2000). A Frst Course n Abstract Algebra. Addson-Wesley Publsng Company, Inc. New York Golan, J.S. (2005). Some Recent Apllcatons of Semrng Theory. Natonal Cheng Kung Unversty, Tanan. Mora, W., Wasanawcht, A., and Kemprast, Y. (2009). Invertble Matrces over Idempotent Semrngs. Chamchur Journal of Mathematcs, Vol 1 Number 2, (55-61) Rudhto, A.M., Wahyun, S., Suparwanto, A., dan Suslo, F. (2008). Matrks atas Aljabar Max-Plus Interval. Jurnal Natur Indonesa 13(2), Februar 2011 (94-99)