1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI
Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A B yag artiya f memetaka A ke B. A disebut daerah asal (domai) dari f da B disebut daerah hasil (codomai) dari f. Nama lai utuk fugsi adalah pemetaa atau trasformasi. Kita meuliska f(a) = b jika eleme a di dalam A dihubugka dega eleme b di dalam B. 2
Jika f(a) = b, maka b diamaka bayaga (image) dari a da a diamaka pra-bayaga (pre-image) dari b. Himpua yag berisi semua ilai pemetaa f disebut jelajah (rage) dari f. Perhatika bahwa jelajah dari f adalah himpua bagia (mugki proper subset) dari B. A B f a b 3
Fugsi adalah relasi yag khusus: 1. Tiap eleme di dalam himpua A harus diguaka oleh prosedur atau kaidah yag medefiisika f. 2. Frasa dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B berarti bahwa jika (a, b) f da (a, c) f, maka b = c. 4
Fugsi dapat dispesifikasika dalam berbagai betuk, diataraya: 1. Himpua pasaga terurut. Seperti pada relasi. 2. Formula pegisia ilai (assigmet). Cotoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x 2, da f(x) = 1/x. 3. Kata-kata Cotoh: f adalah fugsi yag memetaka jumlah bit 1 di dalam suatu strig bier. 4. Kode program (source code) Cotoh: Fugsi meghitug x fuctio abs(x:iteger):iteger; begi if x < 0 the abs:=-x else abs:=x; ed; 5
Cotoh 1. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi dari A ke B. Di sii f(1) = u, f(2) = v, da f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A da daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yag dalam hal ii sama dega himpua B. Cotoh 2. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi dari A ke B, meskipu u merupaka bayaga dari dua eleme A. Daerah asal fugsi adalah A, daerah hasilya adalah B, da jelajah fugsi adalah {u, v}. 6
Cotoh 3. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} buka fugsi, karea tidak semua eleme A dipetaka ke B. Cotoh 4. Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} buka fugsi, karea 1 dipetaka ke dua buah eleme B, yaitu u da v. Cotoh 5. Misalka f : Z Z didefiisika oleh f(x) = x 2. Daerah asal da daerah hasil dari f adalah himpua bilaga bulat, da jelajah dari f adalah himpua bilaga bulat tidak-egatif. 7
Fugsi f dikataka satu-ke-satu (oe-to-oe) atau ijektif (ijective) jika tidak ada dua eleme himpua A yag memiliki bayaga sama. A B a 1 b 2 c 3 d 4 5 8
Cotoh 6. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fugsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} buka fugsi satu-ke-satu, karea f(1) = f(2) = u. 9
Cotoh 7. Misalka f : Z Z. Tetuka apakah f(x) = x 2 + 1 da f(x) = x 1 merupaka fugsi satu-ke-satu? Peyelesaia: (i) f(x) = x 2 + 1 buka fugsi satu-ke-satu, karea utuk dua x yag berilai mutlak sama tetapi tadaya berbeda ilai fugsiya sama, misalya f(2) = f(-2) = 5 padahal 2 2. (ii) f(x) = x 1 adalah fugsi satu-ke-satu karea utuk a b, a 1 b 1. Misalya utuk x = 2, f(2) = 1 da utuk x = -2, f(-2) = -3. 10
Fugsi f dikataka dipetaka pada (oto) atau surjektif (surjective) jika setiap eleme himpua B merupaka bayaga dari satu atau lebih eleme himpua A. Dega kata lai seluruh eleme B merupaka jelajah dari f. Fugsi f disebut fugsi pada himpua B. A B a 1 b 2 c 3 d 11
Cotoh 8. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} buka fugsi pada karea w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupaka fugsi pada karea semua aggota B merupaka jelajah dari f. 12
Cotoh 9. Misalka f : Z Z. Tetuka apakah f(x) = x 2 + 1 da f(x) = x 1 merupaka fugsi pada? Peyelesaia: (i) f(x) = x 2 + 1 buka fugsi pada, karea tidak semua ilai bilaga bulat merupaka jelajah dari f. (ii) f(x) = x 1 adalah fugsi pada karea utuk setiap bilaga bulat y, selalu ada ilai x yag memeuhi, yaitu y = x 1 aka dipeuhi utuk x = y + 1. 13
Fugsi f dikataka berkorespode satu-ke-satu atau bijeksi (bijectio) jika ia fugsi satu-ke-satu da juga fugsi pada. Cotoh 10. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, karea f adalah fugsi satu-ke-satu maupu fugsi pada. 14
Cotoh 11. Fugsi f(x) = x 1 merupaka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, karea f adalah fugsi satu-ke-satu maupu fugsi pada. Cotoh 12. Fugsi satu-ke-satu, buka pada Fugsi pada, buka satu-ke-satu A B A B a b c 1 2 3 4 a b c d c 1 2 3 Buka fugsi satu-ke-satu maupu pada Buka fugsi A B A B a 1 b c d c 4 2 3 a 1 b c d c 4 2 3 15
Jika f adalah fugsi berkorespode satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat meemuka balika (ivers) dari f. Balika fugsi dilambagka dega f 1. Misalka a adalah aggota himpua A da b adalah aggota himpua B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b. Fugsi yag berkorespode satu-ke-satu serig diamaka juga fugsi yag ivertible (dapat dibalikka), karea kita dapat medefiisika fugsi balikaya. Sebuah fugsi dikataka ot ivertible (tidak dapat dibalikka) jika ia buka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, karea fugsi balikaya tidak ada. 16
Cotoh 13. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi yag berkorespode satu-ke-satu. Balika fugsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fugsi ivertible. Cotoh 14. Tetuka balika fugsi f(x) = x 1. Peyelesaia: Fugsi f(x) = x 1 adalah fugsi yag berkorespode satu-kesatu, jadi balika fugsi tersebut ada. Misalka f(x) = y, sehigga y = x 1, maka x = y + 1. Jadi, balika fugsi balikaya adalah f -1 (y) = y +1. 17
Cotoh 15. Tetuka balika fugsi f(x) = x 2 + 1. Peyelesaia: Dari Cotoh 7 (i) kita sudah meyimpulka bahwa f(x) = x 2 + 1 buka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, sehigga fugsi balikaya tidak ada. Jadi, f(x) = x 2 + 1 adalah fusgi yag ot ivertible. 18
Komposisi dari dua buah fugsi. Misalka g adalah fugsi dari himpua A ke himpua B, da f adalah fugsi dari himpua B ke himpua C. Komposisi f da g, diotasika dega f g, adalah fugsi dari A ke C yag didefiisika oleh (f g)(a) = f(g(a)) 19
Cotoh 16. Diberika fugsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yag memetaka A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, da fugsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yag memetaka B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fugsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, y), (2, y), (3, x) } Cotoh 17. Diberika fugsi f(x) = x 1 da g(x) = x 2 + 1. Tetuka f g da g f. Peyelesaia: (i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = x 2 + 1 1 = x 2. (ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 1) = (x 1) 2 + 1 = x 2-2x + 2. 20
Beberapa Fugsi Khusus 1. Fugsi Floor da Ceilig Misalka x adalah bilaga riil, berarti x berada di atara dua bilaga bulat. Fugsi floor dari x: x meyataka ilai bilaga bulat terbesar yag lebih kecil atau sama dega x Fugsi ceilig dari x: x meyataka bilaga bulat terkecil yag lebih besar atau sama dega x Dega kata lai, fugsi floor membulatka x ke bawah, sedagka fugsi ceilig membulatka x ke atas. 21
Cotoh 18. Beberapa cotoh ilai fugsi floor da ceilig: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = 4 4.8 = 5 0.5 = 1 0.5 = 0 3.5 = 4 3.5 = 3 Cotoh 19. Di dalam komputer, data dikodeka dalam utaia byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika pajag data 125 bit, maka jumlah byte yag diperluka utuk merepresetasika data adalah 125/8 = 16 byte. Perhatikalah bahwa 16 8 = 128 bit, sehigga utuk byte yag terakhir perlu ditambahka 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yag ditambahka utuk meggeapi 8 bit disebut paddig bits). 22
2. Fugsi modulo Misalka a adalah sembarag bilaga bulat da m adalah bilaga bulat positif. a mod m memberika sisa pembagia bilaga bulat bila a dibagi dega m a mod m = r sedemikia sehigga a = mq + r, dega 0 r < m. Cotoh 20. Beberapa cotoh fugsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 3 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 0 25 mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 ( 4) + 3 ) 23
24 3. Fugsi Faktorial 0, 1) (. 2 1 0, 1! 4. Fugsi Ekspoesial 0, 0, 1 a a a a Utuk kasus perpagkata egatif, a a 1 5. Fugsi Logaritmik Fugsi logaritmik berbetuk y a log x x = a y
Fugsi Rekursif Fugsi f dikataka fugsi rekursif jika defiisi fugsiya megacu pada diriya sediri. Cotoh:! = 1 2 ( 1) = ( 1)!.! 1 ( 1)!,, 0 0 Fugsi rekursif disusu oleh dua bagia: (a) Basis Bagia yag berisi ilai awal yag tidak megacu pada diriya sediri. Bagia ii juga sekaligus meghetika defiisi rekursif. (b) Rekures Bagia ii medefiisika argume fugsi dalam termiologi diriya sediri. Setiap kali fugsi megacu pada diriya sediri, argume dari fugsi harus lebih dekat ke ilai awal (basis). 25
Cotoh defiisi rekursif dari faktorial: (a) basis:! = 1, jika = 0 (b) rekures:! = ( -1)!, jika > 0 5! dihitug dega lagkah berikut: (1) 5! = 5 4! (rekures) (2) 4! = 4 3! (3) 3! = 3 2! (4) 2! = 2 1! (5) 1! = 1 0! (6) 0! = 1 (6 ) 0! = 1 (5 ) 1! = 1 0! = 1 1 = 1 (4 ) 2! = 2 1! = 2 1 = 2 (3 ) 3! = 3 2! = 3 2 = 6 (2 ) 4! = 4 3! = 4 6 = 24 (1 ) 5! = 5 4! = 5 24 = 120 26 Jadi, 5! = 120.
27 Cotoh 21. Di bawah ii adalah cotoh-cotoh fugsi rekursif laiya: 1. 0, 1) ( 2 0, 0 ) ( 2 x x x F x x F 2. Fugsi Chebysev 1, ) 2, ( ) 1, ( 2 1, 0, 1 ), ( x T x xt x x T 3. Fugsi fiboacci: 1, 2) ( 1) ( 1, 1 0, 0 ) ( f f f
LATIHAN SOAL 1. Misalka f adalah fugsi dari x = {0, 1, 2, 3, 4} ke x yag didefiisika oleh f(x) = 4x mod 5. Tuliska f sebagai himpua pasaga terurut. Apakah f fugsi satu-ke-satu (oe-to-oe) atau dipetaka pada (oto)? 2. Misalka meyataka bilaga bulat positif da fugsi f didefiisika secara rekursif :! 0, f 2 1 Tetuka : a). f(25) 1, 1 b). f(10) 28