JMP : Vol. 8 No., Des. 016, al. 33-40 ISSN 085-1456 ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI Novita Eka Cadra Uiversitas Islam Darul Ulum Lamoga ovitaekacadra@gmail.com Masriai Mayuddi Uiversitas Islam Darul Ulum Lamoga Siti Alfiatur Romaia Uiversitas Islam Darul Ulum Lamoga ABSTRACT. Kerel adjusted desity estimatio is a modificatio of te regular kerel desity estimatio. Te modificatio is applied to a kerel fuctio. Tis kerel fuctio is derived from te locatio-scale trasformatio. Simulatio study sows tat tis estimatio ave better results ta te regular estimatio because it as smaller MSE value. I additio, if ormal kerel is used as a kerel fuctio te te curve estimatio will be smooter ta oter kerel fuctio suc as uiform kerel ad Epaceikov kerel. Keywords: estimatio, desity, kerel, locatio-scale trasformatio. ABSTRAK. Estimasi desitas kerel adjusted merupaka modifikasi dari estimasi desitas kerel biasa. Modifikasi dari estimasi ii dilakuka pada fugsi kerelya. Fugsi kerel yag diguaka berasal dari trasformasi skala-lokasi. Berdasarka simulasi, estimasi ii memberika asil yag lebi baik dari estimasi desitas kerel yag biasa, karea mempuyai ilai MSE yag lebi kecil. Selai itu, jika kerel yag diguaka kerel ormal maka asil kurva estimasiya lebi alus dibadigka kerel laiya seperti kerel uiform da kerel Epaceikov. Kata Kuci: estimasi, desitas, kerel, trasformasi skala-lokasi. 1. PENDAHULUAN Aalisis data bertujua utuk memperole iformasi dari suatu data, seperti pola sebara data, maupu peyajia data supaya muda dipaami. Pola sebara data dapat diperiksa melalui betuk fugsi desitasya. Dalam praktekya, betuk suatu fugsi destitas biasaya belum diketaui. Utuk megestimasi fugsi desitas tersebut, diguaka pedekata oparametrik, yaitu dega fugsi kerel (Wad da Joes, 1995).
34 Novita Eka Cadra d.k.k. Meurut Hardle (1991), pemilia badwidt ( ) da kerel ( K ) sagat petig dalam estimasi desitas kerel. Aka tetapi, pemilia kerel tidak begitu berpegaru dalam estimasi. Ole sebab itu, Sriera da Stute (011) memodifikasi estimasi tersebut pada betuk kerelya dega megguaka trasformasi skala-lokasi, da selajutya disebut estimasi desitas kerel adjusted. Suatu estimasi yag baik dapat diliat berdasarka ilai Mea Square Error (MSE) yag miimum. Pada tulisa ii aka dibadigka estimasi desitas kerel dega estimasi desitas kerel adjusted berdasarka ilai MSE.. ESTIMASI DENSITAS KERNEL Diberika data pegamata dari variabel radom X, i 1,,..., berdistribusi idepede idetik (i.i.d) dega desitas f. Estimasi desitas kerel tergatug pada parameter badwidt ( ) da kerel ( K ). Semaki besar ilai badwidt, maka semaki alus kurva estimasi yag diasilka. Secara umum, defiisi kerel K adala ( ) 1 x K x K. Defiisi.1 (Hardle, 1991) Estimator desitas kerel utuk fugsi desitas f didefiisika ˆ 1 f ( x ) K x X. (1) i i 1 i maka Berikut sifat tak bias asimtotik dari fˆ ( x ). Karea Xi, i 1,,..., i.i.d, ˆ 1 E f ( x ) E K x X i i 1 E K x u K( s) f ( x s) ds. () Dega megguaka perluasa deret Taylor utuk f ( x s), persamaa () mejadi ISSN 085-1456
Estimasi Desitas Kerel Adjusted 35 dega E f x f x f x K o ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K) s K( s) ds. Utuk koverge ke ol, maka E fˆ ( x ) koverge ke f( x ). Artiya, estimator desitas kerel tak bias asimtotik (Bai da Egelardt, 199). Selajutya, dari persamaa (3), diperole bias dari f ˆ ( x ) sebagai berikut Bias fˆ ( ) ˆ x E f( x) f ( x) f x K o ( ) ( ) ( ), 0. Dari asil tersebut terliat bawa bias merupaka fugsi kuadrat dalam. Dega demikia, utuk meguragi bias dipili ilai yag kecil. Karea X, i 1,,..., i.i.d, maka i dega ˆ 1 Var f ( x ) Var K x X i i 1 1 Var K x u 1 E K x u E K x u 1 1 K f ( x) o, 0, K K () s ds. Terliat bawa bila aik, maka variasi berkurag. Hal ii kotradiksi dega bias. Utuk megatasi al tersebut diguaka MSE yag merupaka kombiasi dari variasi da bias kuadrat dari f ˆ ( x ), ˆ 1 1 MSE f ( x ) f ( x ) K f ( x ) ( K ) o o, 0,. 4 4 4 (3) Nilai MSE tersebut aka koverge ke ol jika 0,. Hal ii berarti estimator desitas kerel kosiste, yaitu f ˆ ( x) p f ( x) (Bai da Egelardt, 199). ISSN 085-1456
36 Novita Eka Cadra d.k.k. Selajutya, ilai badwidt optimal, op, diperole dari turua pertama MSE fˆ ( x ) teradap sama dega ol, yaitu op f ( x) K f ( x) ( K) 1/5. 3. ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED Pada tau 011, Sriera da Stute memodifikasi betuk kerel megguaka trasformasi skala-lokasi yag berkaita dega estimator desitas kerel (Cadra, dkk, 015). Betuk kerelya mejadi * ˆ K ( x) f x (4) dega parameter lokasi da 0 parameter skala. Dega megguaka betuk kerel baru Persamaa 4, maka diperole estimator desitas kerel adjusted berikut ˆ x X ( ) i X j fa x K j1 i1. (5) Teorema 3. 1 (Sriera da Stute, 011) Diberika bawa K merupaka fugsi yag simetris da f terdiferesial dua kali secara kotiu pada x, serta E X. Selajutya, jika da 0, sedemikia seigga, maka utuk da 0, da f ( x) f ( x) Bias f x f y y dy f y y dy o ˆ a ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ˆ ( ) ( ) a ( ) (1) Var f x f x f y dy o. Bukti: Dega megguaka persamaa (5), diperole ˆ x z y E fa ( x ) E K ISSN 085-1456
Estimasi Desitas Kerel Adjusted 37 y u K( u) f ( y) f x dydu. Karea K simetris, maka dega megguaka perluasa deret Taylor, diperole E f x f x f y y dy f y y dy o ˆ f ( x) f ( x) ( ) ( ) ( )( ) a ( )( ) ( ). Estimator desitas kerel adjusted tak bias asimtotik apabila koverge ke ol. Utuk meetuka bias dari estimator desitas kerel adjusted, diperole dega selisi atara arga arapaya dega estimator tersebut. Dega demikia, Bias f x f y y dy f y y dy o ˆ f ( x) f ( x) ( ) ( )( ) a ( )( ) ( ). Selajutya, ilai variasiya diperole dega cara berikut. ˆ x X ( ) i y Var fa x Var 3 4 i1. Dega megguaka defiisi variasi, Var( X ) E( X ) ( E( X )) (Bai da Egelardt, 1991), diperole ˆ y1 u Var fa ( x ) K ( u ) K ( v ) f ( y1 ) f ( y1 u v ) f x dy1dvdu 1 f ( x) o( ) f( x) 1 ( ), 0. (q.e.d) f y dy o Selajutya, berdasarka Teorema 3.1, ilai MSE dari estimator desitas kerel adjusted diperole sebagai berikut. ˆ f ( x) f ( x) f ( x) ( ) ( ) ( )( ) MSE fa x f y dy f y y dy f ( y )( y ) dy 1 4 o o( ), 0,. Estimator desitas kerel adjusted kosiste utuk 0,, karea MSEya koverge ke ol. Dega demikia, dapat ditulis fˆ ( x ) p f ( x ) a ISSN 085-1456
38 Novita Eka Cadra d.k.k. (Bai da Egelardt, 1991). Dega megambil ilai EX ( ), ilai MSEya mejadi Selajutya, diambil ˆ f ( x) f ( x) Var( X ) MSE fa ( x ) f ( y ) dy. (6) a, akibatya persamaa (6) mejadi ˆ f ( x) a f ( x) Var( X ) MSE fa ( x ) f ( y ) dy a. (7) Dega melakuka turua pertama pada persamaa (7) teradap a sama dega ol, diperole ilai badwidt optimal da optimal berikut opt 1/5 4. SIMULASI opt f ( x) Var( X ) f ( x) f ( y) dy Simulasi dilakuka utuk meliat kierja suatu estimator, yaitu dega membadigka ilai MSE atara estimator desitas kerel dega estimator desitas kerel adjusted. Estimator yag memiliki ilai MSE lebi miimum merupaka estimator terbaik. Dalam simulasi ii, peulis megguaka data acak yag berdistribusi Normal, da tiga jeis kerel yaitu kerel Uiform, Epaceikov, serta Normal (Gaussia). Selai itu, diguaka pula ilai optimal 1/5, mea dari data adala, da stadar deviasi dari data adala. Hasil simulasi ditampilka pada Tabel 1. 1/5. Tabel 1. Perbadiga Nilai MSE dari f ˆ ( x ) da f ˆ a ( x ) dega Kerel Berbeda Jumla Data Kerel MSE fˆ ( x ) 0 50 MSE fˆ a ( x ) Uiform 0,9567 0,9379001 Epaceikov 0,9569618 0,94958 Normal 0,94153 0,9365913 Uiform 1,19391 1,177564 Epaceikov 1,19018 1,176661 ISSN 085-1456
Estimasi Desitas Kerel Adjusted 39 100 Normal 1,179788 1,175789 Uiform 0,7387496 0,737393 Epaceikov 0,7409351 0,7371 Normal 0,737438 0,7367734 Dari Tabel 1 terliat bawa ilai MSE utuk estimator desitas kerel adjusted lebi kecil dibadigka ilai estimator desitas kerel. Lebi lajut, kerel ormal megasilka ilai MSE lebi kecil dibadigka kerel uiform da Epaceikov. Selai itu, berikut ii ditampilka kurva estimasi desitas dari masigmasig kerel utuk 0 (kiri: estimasi desitas kerel da kaa: estimasi desitas kerel adjusted). Gambar 1. Kurva Estimasi Desitas utuk 0 Dari Gambar 1 terliat bawa estimator desitas kerel adjusted memberika kurva estimasi yag lebi alus dibadigka kurva estimasi desitas kerel. Selai itu, dega kerel Normal, kurva estimasi yag diasilka lebi alus dibadigka dega megguaka kerel laiya. 5. KESIMPULAN Estimator desitas kerel adjusted merupaka estimator yag diperole dega memodifikasi estimator desitas kerel biasa. Estimator ii dapat direpresetasika pada persamaa (5). Dari asil simulasi utuk sampel sebayak 0, 50, da 100, diperole ISSN 085-1456
40 Novita Eka Cadra d.k.k. bawa estimator desitas kerel adjusted lebi baik dari estimator desitas kerel biasa karea mempuyai ilai MSE yag lebi kecil. Hasil simulasi juga meujukka bawa pegguaa kerel ormal dapat memberika asil yag lebi baik dibadig kerel laiya seperti kerel uiform da kerel Epaceikov. DAFTAR PUSTAKA Bai, L. J. da Egleardt, M., Itroductio to Probability ad Matematical Statistics, Duxbury Press, 199. Cadra, N. E., Haryatmi, S. da Zulaela, Regresi Noparametrik Kerel Adjusted, Jural Ilmia Matematika da Pedidika Matematika, 7(1) (015), 1 10. Hardle, W., Smootig Teciques wit Implemetatio i S, Spriger-Verlage, 1991. Sriera, R. da Stute, W., Kerel Adjusted Desity Estimatio, Statistics ad Probability Letters, 81 (011), 571 579. Wad, M. P. da Joes, M. C., Kerel Smootig, Capma ad Hall, 1995. ISSN 085-1456