BAB III PEMBAHASAN. bagaimana respon sebuah peubah Y terhadap perubahan yang terjadi pada peubah

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN A. Estimasi Noparametrik Tujua dasar dalam sebua aalisa regresi adala utuk mempelajari bagaimaa respo sebua peuba Y teradap perubaa yag terjadi pada peuba lai yaitu X. Hubuga atara X da Y dapat ditulis sebagai berikut: Y i = m(x i ) + ε i ; i =,2,3,, (3.) Dimaa m(x i ) adala fugsi matematik yag disebut sebagai fugsi regresi da ε i adala sisaa yag diasumsika idepede dega mea ol. Pada aplikasi, terdapat sekumpula data {(X,Y ),..,(X i, Y i )} yag berisi iformasi tetag fugsi m(x i ). Dari data-data ii diduga ataupu diestimasi fugsi m(x i ) tersebut. Dalam beberapa peelitia, serig dijumpai permasalaa pada ubuga fugsioal atara 2 variabel Y da X di maa betuk betuk ubuga secara parametrik tidak dapat diguaka yag diakibatka dari sedikitya pegetaua yag diperole tetag fugsi m(x i ) ii, maka estimasi teradap fugsi m(x i ) ii dapat didekati secara oparametrik. Agar pedekata oparametrik ii megasilka estimasi teradap fugsi m(x i ) yag masuk akal, maka al yag arus diperatika adala asumsi bawa m(x i )memiliki derajat kemulusa. Biasaya kotiuitas dari m(x i ) merupaka syarat yag cukup utuk mejami sebua estimator aka koverge pada m(x i ) yag sesugguya bila jumla data bertamba tapa batas. Estimasi oparametrik secara umum tidakla efektif diguaka utuk ukura sampel yag kecil (Suyoo, 997:3). Dalam aplikasi-aplikasi yag lai, dapat diguaka 40

2 kemajua fasilitas-fasilitas perituga da metode-metode perituga utuk megembagka ubuga fugsioal atara Y da X. Hal iila yag mugki mejadi pertimbaga utuk megguaka metode da tekik oparametrik. Kelebia statistika oparametrik dibadig dega statistika parametrik adala :. Asumsi yag diguaka miimum seigga meguragi kesalaa pegguaa 2. Perituga dapat dilakuka dega cepat da muda 3. Kosep da metode oparametrik muda dipaami 4. Dapat diterapka pada skala kualitatif (omial da ordial). Estimator-estimator oparametrik yag bayak diguaka adala estimatorestimator smootig, dimaa error dari observasi direduksi dari rata-rata data dega bermacam cara. B. Estimator Desitas Kerel Estimator desitas kerel merupaka pegembaga dari estimator istogram. Estimator desitas kerel adala suatu metode pedekata teradap fugsi desitas yag belum diketaui dega megguaka fugsi kerel. Estimator diperkealka ole Roseblatt (956), Parze (962) seigga disebut estimator desitas kerel Roseblatt-Parze (Hardle, 994). Pegalusa dega pedekata kerel selajutya dikeal sebagai pegalusa kerel (kerel smooter) sagat tergatug pada fugsi kerel da badwidt. Defiisi (Hardle, 994:32) Didefiisika X adala variabel radom dega distribusi kotiu F(x) da desitas f (x) = d F(x). Estimator desitas kerel utuk fugsi f (x) adala dx 4

3 f (x) = K (X i x) K (X i x ) f (x) = (3.2) dega x adala sebua agka spesifik yag ilaiya tetap. Persamaa (3.2) dapat disederaaka dega K (u) = (u ), dega memisalka u = X i x seigga dapat ditulis f (x) = K (X i x) (3.3) dega K adala sebua fugsi yag merupaka fugsi kotiu, berarga real, terbatas da memeui K(x)dx =, fugsi ii diamaka fugsi kerel, da adala bilaga positif yag disebut dega badwidt. Jika K(u) adala fugsi desitas kerel, maka K (u) juga. Estimator kerel memeui asumsi-asumsi sebagai berikut: (Silverma, 986) (i) (ii) K (x) 0, utuk semua x K(x) bersifat simetris K( x) = K(x), utuk semua x (iii) K(x)dx = (iv) xk(x)dx = 0 (v) x 2 K(x)dx = μ 2 (K) 0, dega μ 2 (K) mome kedua tertetu (vi) [K(x)] 2 dx = K 2 (x) dx = K 2 2 = R(K) Jika fugsi kerel merupaka fugsi desitas, maka estimator fugsi dega megguaka fugsi kerel juga merupaka suatu fugsi desitas probabilitas. Aka dibuktika fugsi desitas kerel memag memeui f (x)dx =. Bukti 42

4 f (x)dx = K (X i x)dx f (x)dx = K (X i x ) dx dega subtitusi : u = X i x da dx = du maka diperole f (x)dx = K( u)du f (x)dx = K(u)du f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx = Jadi, f (x) merupaka suatu fugsi desitas. Aka diguaka kembali subtitusi u = X i x, maka mea desitas yag di estimasi adala xf (x)dx = x K (X i x ) dx 43

5 xf (x)dx = (X i + u)k(u)du xf (x)dx = X i K(u)du + uk(u)du xf (x)dx = X i merupaka mea sampel dari X i. Mome kedua dari x dega pdf merupaka desitas yag diestimasi, yaitu x 2 f (x)dx = x2 K (X i x ) dx x 2 f (x)dx = (X i + u) 2 K(u)du x 2 f (x)dx = X i 2 K(u)du + 2 X i uk(u)du + 2 u 2 K(u)du x 2 f (x)dx = X i μ 2 (K) dega μ 2 (K) = u 2 K(u)du adala mome kedua dari u. Selajutya, dapat dicari variasi dari desitas f (x) sebagai berikut 44

6 2 2 x 2 f (x)dx ( x 2 f (x)dx) = X i μ 2 (K) ( X i) 2 x 2 f (x)dx ( x 2 f (x)dx) = σ μ 2 (K) dega σ adala variasi sampel. Dega demikia, estimasi desitas meaikka variasi sampel sebesar 2 μ 2 (K). Meurut Sukarsa da Sriadi (202:20) meyataka bawa fugsi kerel ada bermacam-macam, cotoya kerel Gaussia, kerel Uiform, kerel Biweigt. Tabel 3. meyajika bermacam-macam fugsi kerel da betukya, sebagai berikut: Tabel 3. Macam-macam Fugsi Kerel Tipe Kerel Uiform Triagular Biweigt (Quadratik) Triweigt Gaussia Epaecikov Fugsi Kerel K(u) = 2 I (,)(u) K(u) = ( u )I (,) (u) K(u) = 5 6 ( u2 )I (,) (u) K(u) = ( u2 ) 3 I (,) (u) K(u) = 2π e u2 2 I (,) (u) K(u) = 3 4 ( u2 )I (,) (u) dega I adala Idikator. 45

7 C. Estimasi Bias Estimator desitas kerel f (x) merupaka estimator tak bias asimtotik dari suatu fugsi kepadata f(x). Meurut Haeruddi (997:27) adaika f (x) adala estimator desitas kerel dari suatu fugsi kepadata f(x) pada titik x R da adaika X i berdistribusi idetik dega fugsi kepadata f(x), maka E[f (x)] = E [ K (X i x ) ] E[f (x)] = E [K (X i x )] E[f (x)] = E [K (X i x )] E[f (x)] = x K (y ) f(y)dy misalka s = y x, maka dy = ds. Seigga, E[f (x)] = K(s)f(x + s)ds E[f (x)] = K(s)f(x + s) ds itegral tersebut tidak dapat diselesaika kecuali megguaka pedekata ekspasi taylor dari f(x + s) dega s = 0, ketika 0. Utuk setiap kerel order ke v, maka dapat megguaka atura sebagai berikut 46

8 f(x + s) = f(x) + f (x)s + 2 f (x) 2 s 2 + 3! f (x) 3 s v! fv (x) v s v + o( v ) o( v ) adala sisa dari order yag lebi reda dari v saat 0. Maka, ekspasi taylor order dua utuk f(x + s) sebagai berikut: f(x + s) = f(x) + f (x)s + 2 f (x) 2 s 2 + o( 2 ) Selajutya, dega atura K(s)ds = da s j K(s)ds = μ j (K), maka E[f (x)] = K(s) [f(x) + f (x)s + 2 f (x) 2 s 2 + o( 2 )] ds E[f (x)] = f(x) K(s)ds + f (x) s K(s)ds + 2 f (x) 2 s 2 K(s)ds + o( 2 ) K(s)ds E[f (x)] = f(x)() + f (x)(0) + 2 f (x)2 s 2 K(s)ds + o( 2 ) () E[f (x)] = f(x) + 2 f (x) 2 μ 2 (K) + o( 2 ) (3.4) Aka diitug bias, itegrated squared bias, da variasi dari f (x) sebagai berikut (i) Bias dari f (x) Bias f (x) = E(f (x)) f(x) Bias f (x) = f(x) + 2 f (x) 2 μ 2 (K) + o( 2 ) f(x) 47

9 Bias f (x) = 2 f (x) 2 μ 2 (K) + o( 2 ) (3.5) (ii) Itegrated Squared Bias dari f (x) Bias (f (x)) 2 dx = 4 4 μ 2 (K)2 (f (x)) 2 dx + (o ( 2 )) 2 Bias (f (x)) 2 dx = 4 4 μ 2 (K)2 R (f ) + o( 4 ) (3.6) (iii) Variasi dari f (x) Selajutya aka diitug variasi dari f (x). Aka diguaka pedekata Taylor order satu. Faktaya lebi kecil dari () jika 0 da. Var(f (x)) = 2 Var ( K (X i x) ) Var(f (x)) = 2 Var(K (X i x)) Var(f (x)) = Var(K (X i x)) Var(f (x)) = {E[K 2 (X i x)] (E[K (X i x)]) 2 } Var(f (x)) = { 2 y x K2 ( ) f(y)dy (f(x) + o())2 } Substitusi s = y x da dy = ds, maka Var(f (x)) = 2 K2 (s)f(x + s)ds (f(x) + o())2 Var(f (x)) = K2 (s)ds f(x + s) (f(x) + o())2 48

10 Var(f (x)) = R(K)f(x) + o() (f(x) + o())2 Var(f (x)) = f(x)r(k) + o ( ) Var(f (x)) = (() )f(x)r(k) + o(() ), (3.7) dega R(K) = K 2 (s)ds D. Mea Square Error da Mea Itegrated Square Error Meurut Suyoo (997:4) megugkapka bawa suatu estimasi desitas kerel yag dibuat tergatug dari beda atara desitas yag sebearya f dega asil estimasi f. Cara pegukura beda atara desitas sebearya f dega asil estimasi f adala dega square error (SE) di suatu titik SE x (f ) = {f (x) f(x)} 2 (3.8) Seigga mea square error (MSE) dapat dirumuska MSE x (f ) = E [{f (x) f(x)} 2 ] MSE x (f ) = E{f (x) E[f (x)] + E[f (x)] f(x)} 2 MSE x (f ) = E [(f (x) E[f (x)]) 2 ] + E [{E[f (x)] f(x)} 2 ] + 2E{(f (x) E[f (x)])(f (x) f(x))} MSE x (f ) = E [(f (x) E[f (x)]) 2 ] + [{E[f (x)] f (x)} 2 ] MSE x (f ) = var f (x) + (bias f (x)) 2 (3.9) 49

11 Maka, berdasarka persamaa (3.9) dapat dicari ilai MSE dari f (x) sebagai berikut: MSE (f (x)) = varf (x) + [bias 2 f (x)] 2 MSE (f (x)) = f(x)r(k) + o(() ) + [ 2 2 f (x) 2 ì 2 (K) + o( 2 )] MSE (f (x)) = 4 f(x)r(k) + 4 (f (x)ì 2 (K)) 2 + o(() ) + o( 4 ) (3.0) utuk 0, sedagka pegukura keselurua beda atara desitas yag sebearya f dega asil estimasi f disebut MISE yaitu mea itegrated square error (Haeruddi,997:7). MISE(f ) = MSE x (f )dx MISE(f ) = E{f (x) f(x)} 2 dx MISE(f ) = E [(f (x) E[f (x)]) 2 ] dx + E [{E[f (x)] f(x)} 2 ] dx MISE(f ) = varf (x) dx + (bias f (x)) 2 dx (3.) Maka, MISE[f (x)] = MSE[f (x)]dx 50

12 MISE[f (x)] = { f(x)r(k) (f (x)μ 2 (K)) 2 + o(() ) + o( 4 )} dx MISE[f (x)] = f(x)r(k)dx + + o( 4 ) 4 4 (f (x)μ 2 (K)) 2 dx + o(() ) MISE[f (x)] = R(K) f(x)dx + o( 4 ) μ 2(K) 2 (f (x)) 2 dx + o(() ) MISE[f (x)] = 4 R(K) + 4 μ 2(K) 2 (f (x)) 2 dx + o(() ) + o( 4 ) MISE[f (x)] = 4 R(K) + μ 4 2(K) 2 R(f ) + o(() ) + o( 4 ) (3.2) utuk 0, E. Regresi Kerel Sala satu tekik smootig utuk megestimasi fugsi pegalus m pada persamaa (3.) adala regresi kerel. Dalam jural Sukarsa da Sriadi (202:2), Regresi kerel merupaka metode utuk memperkiraka ekspektasi bersyarat dari variabel acak dega megguaka fugsi kerel. Metode alteratif dalam pedekata regresi oparametrik ii megguaka pemulus kerel, yag megguaka rata-rata terbobot dari data. Tujua aalisis regresi adala 5

13 meemuka ubuga atara sepasag variabel acak X da Y, utuk medapatka da megguaka bobot yag sesuai. Meurut Hardle (994:26), dalam setiap regresi oparametrik, arapa bersyarat dari variabel Y relatif teradap variabel X dapat ditulis E(Y X) = m (x) atau E(Y X = x) = y f(x,y)dy f(x). Dimaa m adala fugsi yag tidak diketaui utuk medapatka da megguaka bobot kerel yag sesuai. Dalam regresi kerel terdapat berbagai estimator yag dapat diguaka utuk meduga betuk m, diataraya adala estimator Nadaraya-Watso, estimator Poliomial Lokal, estimator Pristly-Cao da estimator Gasser-Muller. Dalam bab ii aka dibaas megeai estimator Nadaraya-Watso. F. Estimator Nadaraya-Watso Nadaraya da Watso pada tau 964 medefiisika estimator regresi kerel seigga disebut estimator Nadaraya-Watso (Wad da Joes, 995:30). Nilai dari fugsi m(x) sesuai dega ilai prediktor yag ekuivale dega ekspektasi dari variabel target dibawa kodisi ilai dari prediktor tetap yaitu x, maka m (x) = E(Y X = x) m (x) = yf(y x)dy m (x) = yf(x, y)dy f(x) (3.3) 52

14 Selajutya, Oryza (203:22) meyataka bawa aka diguaka estimator desitas kerel sebagai metode yag sederaa utuk megestimasi f(x, y) da f(x). Estimasi dari f(x, y) da f(x) diotasika sebagai f (x, y) da f (x). f (x, y) = K x x ( X i x ) K y y ( Y i y ) x y (3.4) f x (x) = K x ( X i x ) x x (3.5) dimaa K x ( X i x x ) da K y ( Y i y ) merupaka fugsi kerel, x da y merupaka y kosta yag berilai positif disebut dega badwidt. Tela disebutka bawa fugsi kerel memeui K x (u)du = K y (u)du = (3.6) uk x (u)du = uk y (u)du = 0 (3.7) u 2 K x (u)du < (3.8) u 2 K y (u)du < (3.9) dari persamaa (3.6) da persamaa (3.7) diperole mejadi persamaa di bawa ii: x K x ( X i x ) dx = x y K y ( Y i y ) dy = y (3.20) 53

15 ( x ) 2 xk x ( x ) dx = x ( y ) 2 yk y ( y ) dy = 0 y (3.2) utuk mecari perituga yag sederaa yaitu m (X) dapat megguaka subtitusi dari persamaa (3.4) da persamaa (3.5) ke dalam persamaa (3.3) sebagai berikut: m (x) = yf (x, y)dy f (x) m (x) = y K x x ( X i x ) K y y ( Y i y ) dy x y K x ( X i x ) x x m (x) = K x ( X i x ) yk y ( Y i y ) dy x y K x ( X i x x ) y (3.22) Selajutya, jika dimisalka Z = Y i y, maka dy = y dz y y y yk y ( Y i y ) dy = y y y (Y i + y Z)K y (Z)dZ yk y ( Y i y ) dy = Y i K y (Z)dZ + ZK y (Z) y dz y y yk y ( Y i y ) dy = Y i () + y (0) y 54

16 y yk y ( Y i y ) dy = Y i (3.23) y Substitusi dari persamaa (3.23) ke dalam persamaa (3.22), da peyederaaa dari K x (. ) mejadi K(. ) da dari x mejadi megasilka: m (x) = K x ( X i x ) Y i K x ( X i x ) m (x) = K ( X i x ) Y i K ( X i x ) (3.24) dega mesubtitusika persamaa (3.24) teradap model regresi pada persamaa (3.), maka estimator Nadaraya-Watso dari model regresi (3.) adala m (x) = K ( X i x ) Y i K ( X i x ) + ε i, i =,2,3,..., (3.25) dega, K : fugsi kerel : ilai badwidt tertetu X i : ilai amata variabel prediktor ke-i Y i : ilai amata variabel respo ke-i x : ilai radom varibael X atau dapat dega ilai tertetu dari variabel X 55

17 m (x) : estimator Nadaraya-Watso dari x G. Estimator Nadaraya-Watso dega Tipe Kerel Gaussia Pada persamaa (3.25) diketaui bawa estimator Nadaraya-Watso membutuka fugsi kerel, K(x). Pada pembaasa ii aya diguaka satu jeis fugsi bobot kerel, yaitu Kerel Gaussia. Alasa pemilia kerel Gaussia, karea fugsi bobot kerel tersebut terdefiisi atau memiliki ilai pada semua bilaga riil. Jika megguaka estimator Nadaraya-Watso da Tipe kerel Gaussia, maka model peduga m (X i ) aka berbetuk sebagai berikut : m (x) = K ( X i x ) Y i K ( X i x ) dega, K(x) = 2π exp ( 2 ( x2 )) = 2π exp ( 2 x2 ) maka m (x) = 2π exp ( 2 (X i x 2) ) Y i 2π exp ( 2 2 (X i x ) ) (3.26) H. Pemilia Badwidt Meurut Silverma (986), tigkat kemulusa f ditetuka ole fugsi kerel K da badwidt, tetapi pegaru fugsi kerel kurag sigifika dibadig pegaru badwidt. Badwidt pada estimator kerel berfugsi utuk meyeimbagka atara bias da variasi dari fugsi tersebut. Nilai yag kecil aka memberika grafik yag kurag mulus amu memiliki bias yag kecil. Sebalikya jika badwidt yag terlalu besar meyebabka fugsi yag diestimasi terlalu mulus, seigga ubuga variasiya reda da memiliki potesi bias 56

18 yag besar. Tujua estimasi kerel adala memperole kurva yag mulus amu memiliki ilai MSE yag tidak terlalu besar, maka perlu dipili ilai optimal utuk medapatka grafik optimal. Pemilia badwidt merupaka masala utama dari estimator desitas kerel. Pemilia badwidt yag optimum dilakuka dega cara memperkecil tigkat kesalaa. Semaki kecil tigkat kesalaa maka semaki baik estimasiya. Utuk megetaui ukura tigkat kesalaa suatu estimator dapat diliat dari MSE (Mea Square Error) atau MISE (Mea Itegrated Square Error).. Badwidt Rule of Tumb Meurut Wad (995), formula-formula utuk badwidt yag optimal yaitu dega memiimalka Asymptotic Itegrated Mea Square Error (AMISE) teradap. AMISE adala persamaa yag diasilka dega megilagka order tertiggi dari pedekata formula Mea Itegrated Square Error (MISE) pada persamaaa (3.2). Maka, ilai AMISE adala sebagai berikut: AMISE (f (x)) 4 R(K) + 4 μ 2(K) 2 R(f ) (3.27) Utuk megasilka ilai badwidt optimal, maka 0 = AMISE 0 = ( 4 R(K) + 4 μ 2(K) 2 R(f )) 0 = 2 R(K) + 3 μ 2 (K) 2 R(f ) 57

19 2 R(K) = 3 μ 2 (K) 2 R(f ) R(K) = 2 3 μ 2 (K) 2 R(f ) R(K) = 5 μ 2 (K) 2 R(f ) 5 R(K) = μ 2 (K) 2 R(f ) R(K) = ( μ 2 (K) 2 R(f ) ) seigga, 5 opt = R(K) 5 5 μ 2 (K) 2 5 R(f " ) 5 (3.28) persamaa diatas tidak dapat lagsug diguaka karea terdapat parameter yag tidak diketaui yaitu R(f ). Nilai R(f ) dapat dipermuda dega megguaka pedekata kelompok distribusi stadar. Sebagai coto adala distribusi ormal dega variasi σ 2, jika P merupaka desitas ormal stadar, maka P(x) = e x2 2σ 2 2πσ Seigga, f (x) 2 dx = P (x) 2 dx f (x) 2 dx = 3 8 π 2σ 5 (3.29) f (x) 2 dx 0.22σ 5 58

20 Jika megguaka kerel Gaussia, maka badwidt optimal dapat diperole dega mesubtitusika persamaa (3.29) ke dalam persamaa (3.28), seigga dapat diperole opt = () 2 5(2 π) 5 (0.22) 5 σ 5 =.06σ 5 pada persamaa (3.28) terdapat μ 2 K da K(x) 2 dx yag dapat disubtitusika dega ilai yag teragkum pada tabel (3.2) Tabel 3.2 Nilai (K(u)) 2 du da u 2 K(u)du fugsi kerel Tipe Kerel K(u) (K(u)) 2 du u 2 K(u)du Uiform K(u) = 2 I (,)(u) Triagular K(u) = ( u )I (,) (u) 2 3 Biweigt (Quadratik) Triweigt Gaussia Epaecikov K(u) = 5 6 ( u2 )I (,) (u) K(u) = ( u2 ) 3 I (,) (u) K(u) = 2π e u2 2 I ( ~,~) (u) K(u) = 3 4 ( u2 )I (,) (u) ð Sumber : Multivariat Desity Estimatio: Teory, Practice, ad Visualizatio (Scott,987) 2. Ubiased Cross Validatio (UCV) Meurut Guidoum (205:3), metode ii pertama kali diperkealka ole Rudemo (982), kemudia dikembagka ole Scott (987). Metode Ubiased Cross Validatio (UCV) merupaka metode pemilia badwidt yag

21 bertujua utuk megestimasi dega cara memiimalka Itegrated Square Error (ISE), dega fugsi berikut: (r) 2 UCV(, r) = (f ĥ (x)) 2 ( ) r (2r) f ĥ,i (Xi ) (3.30) dega, (r) 2 R(K (r) ) (f (x)) = 2r+ + r ( ) ( ) 2r+ K(r) K (r) ( X j X i j= j ) (2r) (Xi ) f,i = ( ) 2r+ K(2r) ( X j X i ) j i Badwidt yag memiimalka fugsi ii adala: ucv = argmiucv(, r) UCV(, r) = R(K(r) ) 2r+ + ( ) r 3. Biased Cross Validatio (BCV) ( ) 2r+ (K(r) K (r) 2K (2r) ) ( X j X i j= ) (3.3) j Meurut Guidoum (205:), metode ii dikembagka ole Scott, George, Joes da Kappema. Metode ii baik diguaka ketika jumla sampel besar. Metode ii ampir sama dega metode Rule of Tumb, didasarka pada formula yag memiimalka Asymptotic Mea Itegrated Square Error (AMISE). Pada persamaa AMISE, fugsi objektif BCV diperole dega 60

22 meggati R(f (r+2) ) yag tidak diketaui ilaiya dega estimator sebagai berikut: ( )r+2 R (f (r+2) ) = ( ) 2r+5 K(r+2) K (r+2) ( X j X i j= ) (3.32) j Maka didapatka persamaa sebagai berikut, BCV(, r) = R(K(r) ) + μ 2(K) 2 4 ( ) r+2 ( ) 2r+ K(r+2) K (r+2) ( X j X i ) j= (3.33) j 4. Complete Cross Validatio (CCV) Meurut Guidoum (205:3), metode ii dikembagka ole Joes da Kappema. Metode ii didasarka pada estimasi turua Itegrated Square Desity Derivative. Berikut metode CCV yag memiimalka : CCV(, r) = R(f (r) ĥ ) θ r() + μ 2 2(K) 2 θ r+() + (μ 24 2(K) 2 δ(k)) 4 θ r+2 () (3.34) dega, adala ilai badwidt r adala order derivative μ 2 (K) = x 2 K(x)dx R(K (r) ) = K r (x) 2 dx δ(k) = x 4 K(x)dx (r) R(K (r) ) R(f ĥ ) = 2r+ + ( ) r ( ) 2r+ K(r) K (r) ( X j X i ) j= j 6

23 ( ) r θ r() = ( ) 2r+ K(2r) ( X j X i ) j= j I. Deskripsi Data Dalam studi kasus ii, data bersumber dari ttp://fiace.yaoo.com. Data istoris diambil dari data arga saam Jakarta Islamic Idex. Data yag diperluka dalam permodela ii adala data arga saam Jakarta Islamic Idex. Data yag diguaka data istoris aria dalam retag waktu jauari 206 sampai dega 30 april 206 dega jumla data 82. Selama retag waktu tersebut, bawa arga saam JII berada pada kisara 58,78 683,2. Nilai JII tereda tersebut terjadi pada taggal 2 jauari 206 da ilai JII tertiggi pada taggal 22 april 206. Data terdiri dalam dua variabel yaitu variabel Jakarta Islamic Idex da variabel waktu (dalam aria). J. Uji Liearitas da Uji Normalitas Dega megguaka data tersebut da megguaka software SPSS versi 20 yag dapat diliat pada lampira 3 bagia da 2, terlebi daulu aka dilakuka aalisis data awal. Aalisis regresi arus memeui asumsi liearitas da ormalitas. Uji liearitas dilakuka dega membuat plot data, plot data tersebut diguaka utuk meliat apaka ada ubuga liear atara variabel X da Y, selai itu dapat diguaka utuk meduga betuk fugsi data yag medekati da meliat bagaimaa perubaa pola perilaku kurva. Bayak djumpai betuk fugsi yag dapat meggambarka ubuga atara peuba seigga dalam megaalisis suatu asil peelitia arusla ditetuka terlebi daulu betuk kurva yag sesuai utuk 62

24 merepresetasika data. Gambar (3.) berikut meujukka pola ubuga atara arga saam JII da waktu (dalam aria): Hargasaam.JII Waktu.Haria. Gambar 3. Plot Harga Saam Jakarta Islamic Ideks (JII) Plot tersebut meujukka bawa variabel waktu da variabel arga saam JII tidak berubuga secara liear. Dari plot dapat diketaui bawa pada waktu aria pertama, arga saam JII aik secara sigifika seirig dega waktu demi waktu dega keaika ilai arga saam. Dari output diperole ilai p-value sebesar 0,000 maka H 0 ditolak. Jadi, dapat disimpulka bawa tidak terdapat ubuga liear atara waktu (aria) da arga saam JII. Selajutya perlu dilakuka uji iferesi ormalitas agar diperole asil yag pasti apaka asumsi keormala terpeui atau tidak. Aka dilakuka uji ipotesis asumsi ormalitas teradap data variabel respo (arga saam JII). Jumla sampel yag diaalisis sebayak 82 arga saam JII, maka uji ormalitas dilakuka dega megguaka uji Kolmogorov-Smirov. Dari statistik uji p-value, diperole ilai p-value adala 0,00. Nilai ii lebi kecil dibadigka dega ilai 63

25 alpa sebesar 0,05. Ole karea itu H 0 ditolak, jadi dapat disimpulka bawa data arga saam JII tidak berdistribusi ormal. K. Deskripsi Regresi Kerel Setela diketaui bawa variabel respo tidak memeui asumsi liearitas, da tidak berdistribusi ormal, maka dapat diguaka solusi alteratif yaitu regresi oparametrik dega fugsi peduga kerel. Dalam kasus ii, fugsi kerel yag diguaka adala kerel Gaussia. Estimator yag diguaka adala estimator Nadaraya-Watso. Order derivatif yag diguaka adala order ol. L. Pemilia Badwidt Pada Data Harga Saam Jakarta Islamic Ideks Dalam suatu Regresi Kerel, al yag palig petig terletak pada besarya ilai parameter badwidt-ya. Ole sebab itu, dalam pembaasa berikut ii aka diitug ilai parameter badwidt utuk masig-masig metode. Metode yag diguaka dalam meetuka besaya ilai parameter badwidt pada kasus ii adala badwidt Rule of Tumb, Ubiased (Least Square) Cross Validatio, Biased Cross Validatio da Complete Cross Validatio. Fugsi kerel yag diguaka utuk mecari badwidt adala fugsi kerel Gaussia. Badwidt utuk Data Harga Saam Jakarta Islamic Ideks sebagai berikut: Dega megguaka batua software R da utuk asil output pada lampira 3 bagia 3, diasilka ilai parameter badwidt utuk data arga saam JII dega metode badwidt Rule of Tumb sebesar 22,506, metode Ubiased (Least Square) Cross Validatio sebesar,79575, metode Biased Cross Validatio sebesar 5,23938, sedagka utuk perituga metode Complete Cross Validatio diasilka badwidt sebesar 4, Nilai-ilai parameter 64

26 smootig yag tela diasilka, maka dapat diragkum dalam sebua tabel berikut ii : Tabel 3.3 Nilai parameter Badwidt utuk Data Harga Saam JII Metode Badwidt Badwidt Rule of Tumb 22,506 Ubiassed Cross Validatio,79575 Biassed Cross Validatio 5,23938 Complete Cross Validatio 4,77098 Besarya ilai parameter badwidt tersebut, selajutya diguaka pada metode kerel yag aka diguaka dega cara mesubtitusika ilai badwidt tersebut pada estimator Nadaraya-Watso. Selajutya aka dicari model estimasi arga saam Jakarta Islamic Ideks megguaka estimator Nadaraya Watso dega tipe Kerel Gaussia da parameter badwidt yag tela diasilka pada tabel 3.3. M. Estimator Nadaraya-Watso Dalam pembaasa ii, aka dilakuka perituga ilai estimasi arga saam JII megguaka software R Setela dilakuka ruig program, maka diasilka ilai estimasi yag tercatum pada lampira 3 bagia 5. Berikut perbadiga kurva atar metode pemilia badwidt (metode Rule of Tumb, metode Ubiased (Least Square) Cross Validatio, metode Biased Cross Validatio da metode Complete Cross Validatio) dega megguaka estimator Nadaraya-Watso utuk data arga saam Jakarta Islamic Ideks : 65

27 HargaSaam Time(Waktu) Gambar 3.2 Kurva Hasil Estimasi Harga Saam Jakarta Islamic Ideks (JII) Keteraga: Rule of Tumb = Berwara Biru Ubiassed Cross Validatio = Berwara Mera Biassed Cross Validatio Complete Cross Validatio = Berwara Hijau = Berwara Kuig Dari gambar 3.2 dapat diliat bawa kurva estimator Nadaraya-Watso dega metode pemilia badwidt yaitu badwidt Rule of Tumb megasilka kurva yag cukup mulus. Berbeda dega metode-metode yag lai, yaitu metode Ubiased (Least Square) Cross Validatio, Biased Cross Validatio maupu Complete Cross Validatio meujukka bawa kurva regresi tidak cukup mulus. Aka tetapi, dega badwidt Complete Cross Validatio yag palig medekati asil estimasi dega titik data actual. 66

28 N. Perbadiga MSE Pada pembaasa ii, aka dibaas perbadiga metode yag diguaka teradap data arga saam Jakarta Islamic Ideks. Dega perbadiga ii, maka aka diketaui metode pemilia badwidt yag lebi akurat dalam megestimasi data arga saam Jakarta Islamic Ideks. Dega perbadiga ii, aka diliat plot grafik metode (gambar 3.2) teradap data arga saam JII yag ada da megguaka tigkat besarya error. Dikareaka megguaka plot grafik aka cukup meyulitka disaat terdapat plot yag berimpit, maka diguaka cara meliat besarya error yag diasilka dari estimator tersebut. Metode yag megasilka besarya error yag palig kecil meadaka bawa metode tersebut adala metode yag lebi baik utuk megestimasi data arga saam Jakarta Islamic Ideks. Dega estimator Nadaraya-Watso da berbagai metode pemilia badwidt, maka diasilka ilai MSE sebagai berikut : Tabel 3.4 Nilai MSE Metode Jakarta Islamic Ideks Rule of Tumb 95,36849 Ubiassed Cross Validatio 57,42625 Biassed Cross Validatio 7,5225 Complete Cross Validatio 9,36044 Dari tabel 3.4 dapat diliat bawa pemilia badwidt dega metode Rule of Tumb memiliki ilai MSE yag palig kecil utuk data arga saam JII. Nilai 67

29 MSE data estimasi arga saam JII yaitu sebesar 9, Ole karea itu dapat dikataka bawa metode pemilia badwidt Complete Cross validatio merupaka metode pemilia badwidt yag palig tepat diguaka utuk megestimasi arga saam Jakarta Islamic Ideks. O. Hasil Estimasi Harga Saam Jakarta Islamic Ideks Berikut asil estimasi arga saam Jakarta Islamic Ideks (JII) megguaka metode pemilia badwidt Complete Cross Validatio : Tabel 3.5 Hasil estimasi arga saam JII Waktu (dalam Harga Saam aria) JII 598, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

30 24 623, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,479 69

31 65 659, , , , , , , , , , , , , , , , , ,2938 Dari tabel 3.5 dapat diliat bawa arga saam Jakarta Islamic Ideks dega waktu ke 36 ari yaitu 626,6908. Harga saam JII aka terus megalami keaika sesuai dega rutu waktu pada arga saam. Higga waktu ke 82 ari, arga saam berada pada kisara 658,2938. Dega asil estimasi JII megguaka badwidt Complete Cross Validatio. Harga saam JII pada setiap waktuya yag berbeda dari asil estimasi badwidt ubiased cross validatio, biased cross validatio, Rule of Tumb. 70