PELABELAN CORDIAL DAN GRACEFUL PADA ARBITRARY SUPERSUBDIVISION GRAF PATH DAN STAR Kornela Paskatra Cahayan, R. Her Soelstyo U 2, Solchn Zak 3,2,3 Program Stud Matematka FSM Unverstas Dponegoro Jl. Pro. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang cornelacahayan@yahoo.com ABSTRACT. Let G=V,E) be a path graph and star graph wth smple, nte, connected, and undrected graph wth p vertces and q edges. A graph H s sad to be a supersubdvson o G H s obtaned rom G by replacng every edge e o G by complete bpartte graph or some m, n such a way that the ends e are merged wth the two vertces o the 2-vertces part o ater removng the edge e rom G. A supersubdvson H o G s sad to be an arbtrary supersubdvson o G every edge o G s replaced by an arbtrary where m may vary or each edge arbtrarly. A arbtrary supersubdvson o path and star s sad cordal admts cordal labelng. A arbtrary supersubdvson o path and star s sad graceul njecton rom the vertces o : V G),,2,..., q such that label o every edge are dstnct. Key words: cordal labelng, graceul labelng, supersubdvson o graphs, arbtrary supersubdvson o graphs, path, and star. I. PENDAHULUAN Pelabelan gra adalah suatu pemberan nla dengan blangan bulat post) pada ttk atau ss dar gra atau keduanya sehngga memenuh konds tertentu. Pelabelan gra pertama kal dperkenalkan oleh Sadlàčk 964), kemudan Stewart 966), Kotzg dan Rosa 97). Ada banyak jens pelabelan yang telah dkembangkan, dantaranya adalah pelabelan graceul. Dalam pengembangan pelabelan graceul, dkenal pula pelabelan cordal. Gra arbtrary supersubdvson dapat dlabel dengan pelabelan cordal dan graceul. II. HASIL DAN PEMBAHASAN Dens 2.. [] Gra H dengan hmpunan ttk v, v2, v3,..., v n dan hmpunan ss e, e2, e3,..., e n dsebut supersubdvson pada G jka H adalah gra yang
dperoleh dar G dengan menggant setap ss e pada G menjad gra bpartt lengkap untuk beberapa m dmana sedemkan sehngga ttk - ttk ujung e dgabung dengan 2 ttk dar ttk setelah menghapus ss e pada gra G. Contoh e v v 2 Gambar d atas dtunjukan sebuah Path dengan ttk dan ss. Ss pada Path untuk m 2, akan dgant menjad gra bpartt lengkap. Sedemkan sehngga akan menjad gra supersubdvson sebaga berkut. v v 2 Dens 2.2 [] Supersubdvson H pada gra G dkatakan arbtrary supersubdvson pada G jka setap ss G dgant dengan gra bpartt lengkap dmana blangan bulat post dan boleh berbeda untuk setap ss dar G. Contoh e e2 e3 e4 e5 v v2 v3 v4 v5 v6 Pada gambar d atas dtunjukan sebuah Path dengan ttk, dan ss. Bla ss pada path dgant dengan
sebarang msalkan m, m, m 4, m 6, m 2. Maka dperoleh 5 2 3 4 5 gra arbtrary supersubdvson sebaga berkut. v v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Dens 2.3 [] Msal G = VG),EG)) merupakan suatu gra. Pemetaan dsebut dengan pelabelan ttk bner pada G dan dsebut label ttk v pada G. Untuk ss, pelabelan ss nduced adalah pemetaan *: E G), yang ddenskan dengan * e) u) v). Contoh V5 V4 V6 V3 V V2 Dens 2.4 [] Pelabelan ttk bner pada gra G dsebut pelabelan cordal jka memenuh v ) v ) dan e ) e ). Gra G dsebut cordal jka memenuh pelabelan cordal. Banyaknya ttk pada G yang berlabel dan dnotaskan berturut-turut dengan dan. Banyaknya ss pada G yang berlabel dan dnotaskan berturut-turut dengan dan. Contoh V5 V4 V6 V3 V V2
Teorema 2.5[] Arbtrary supersubdvson pada gra adalah cordal. Bukt. Msal path dengan hmpunan ttk dan merupakan ss yang menghubungkan ttk dengan dmana. Gra G adalah arbtrary supersubdvson pada gra yang dperoleh dengan menggant ss pada path dengan gra bpartt lengkap ; dmana adalah blangan bulat post. Hmpunan ttk - ttk bpartt lengkap dnotaskan dengan ;,. Pelabelan ttk : VG) {,} dbag menjad 2 kasus yatu sebaga berkut. Kasus, n genap Pelabelan ttk pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga berkut. untuk ganjl v ) n untuk genap Pelabelan ttk, dlakukan secara berselangselng dan dmula dar. Banyaknya ttk untuk n genap ddenskan sebaga berkut. n m m m m... 2 3 m n Dar rumusan banyaknya ttk yang dperoleh, dbag menjad 2 kasus sebaga berkut. Subkasus, genap Banyaknya ttk pada arbtrary supersubdvson gra yang berlabel dan adalah v ) v n n ) 2 2 2 Subkasus 2, ganjl Banyaknya ttk pada gra arbtrary supersubdvson yang berlabel dan adalah v ) v n n ) 2 2 2
Karena pelabelan v berselang selng antara dan demkan juga pelabelan juga berselang selng antara dan, dan karena pelabelan ss e = uv, ddenskan dengan e) u) v), maka hal n berakbat e ) e ). Sehngga, e ) ). Kasus 2, n ganjl Pelabelan ttk berkut. e pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga untuk ganjl v ) n untuk genap Pelabelan ttk adalah sebaga berkut. Pelabelan ttk, Banyaknya ttk dlakukan secara berselang - selng dan dmula dar. untuk n genap ddenskan sebaga berkut. n m Dar rumusan banyaknya ttk berkut.. Subkasus, genap m m m... 2 3 m n yang dperoleh, dbag menjad 2 kasus sebaga Banyaknya ttk pada gra arbtrary supersubdvson yang berlabel dan adalah v Subkasus 2, ganjl ) v n n ) 2 2 2 Banyaknya ttk pada gra arbtrary supersubdvson yang berlabel dan adalah v ) v n n ) 2 2 2 Karena pelabelan v berselang selng antara dan demkan juga pelabelan juga berselang selng antara dan, dan karena pelabelan ss e = uv, ddenskan dengan e) u) v), maka hal n berakbat e ) e ). Sehngga, e ) ). e
Dar kedua kasus d atas dapat drangkum konds ttk dan ss arbtrary supersubdvson pada gra. n α Syarat Ttk Syarat Ss genap ganjl genap v ) v ) e ) e ) ganjl v ) v ) e ) e ) genap v ) v ) e ) e ) ganjl v ) v ) e ) e ) Contoh e e2 e3 e4 e5 v v2 v3 v4 v5 v6 Path Tap ss akan dgant dengan gra bpartt lengkap K 2,m, =2,3,4,5,6. Sehngga gra berubah menjad gra arbtrary supersubdvson berkut. v v 2 v 3 v 4 v 5 v 22 v 32 v 33 v v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 42 v 43 v 44 v 52 v 53 v 54 v 55 v 2 v 23 v 34 v 45 v 56 Setelah melalu proses pelabelan ttk dan ttk kemudan dlanjutkan dengan pelabelan ss, maka dperoleh pelabelan arbtrary supersubdvson pada gra adalah sebaga berkut.
Pada pelabelan ttk dan ss d atas, dperoleh. dan Teorema 2.6 [] Arbtrary supersubdvson pada gra adalah cordal. Bukt: Msal merupakan hmpunan ttk pada, adalah ttk puncak dan merupakan ss yang menghubungkan ttk dengan dmana. Gra G adalah gra arbtrary supersubdvson dar yang dperoleh dengan menggant ss pada dengan gra bpartt lengkap dmana adalah blangan bulat post. Hmpunan ttk - ttk bpartt lengkap dnotaskan dengan ;. Pelabelan ttk pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga berkut., Pelabelan ttk dlakukan dengan member label pada n ttk pertama dan ssanya dlanjutkan pemberan label secara berselang - selng dan dmula dar. Banyaknya ttk pada arbtrary supersubdvson gra ddenskan sebaga berkut. n m m m2 m3... m n Dar rumusan banyaknya ttk yang dperoleh, banyaknya label ttk dan ss dbag menjad 2 kasus sebaga berkut. Kasus, genap Banyaknya ttk pada arbtrary supersubdvson gra yang berlabel dan ddenskan sebaga berkut. Untuk genap maka dperoleh
v ) v n 2 ) 2 ganjl maka dperoleh v ) v ) n 2 Karena banyaknya ttk pada v dan yang berlabel dan sama, dan karena pelabelan ss e = uv, ddenskan dengan e) u) v), maka hal n berakbat e ) e ). Sehngga, e ) ). e Kasus 2, ganjl Banyaknya ttk pada arbtrary supersubdvson gra yang berlabel dan ddenskan sebaga berkut. Untuk genap maka dperoleh n 2 ganjl maka dperoleh n 2 2. Karena banyaknya ttk pada v dan yang berlabel dan sama, dan karena pelabelan ss e = uv, ddenskan dengan e) u) v), maka hal n berakbat e ) e ). Sehngga, e ) ). e Dar kedua kasus d atas dapat drangkum konds ttk dan ss arbtrary supersubdvson pada gra. n α Syarat Ttk Syarat Ss genap ganjl genap v ) v ) e ) e ) ganjl v ) v ) e ) e ) genap v ) v ) e ) e ) ganjl v ) v ) e ) e )
Contoh v Setelah melalu proses pelabelan ttk dan ttk e kemudan dlanjutkan dengan e 3 v e 2 pelabelan ss, maka dperoleh pelabelan arbtrary supersubdvson v 3 v 2 pada gra adalah sebaga berkut. Tap ss Gra bpartt lengkap Sehngga gra akan dgant dengan gra K 2,m, =2,3,4. berubah menjad gra arbtrary supersubdvson berkut. v Pada pelabelan ttk dan ss datas, dperoleh,, dan v v 3 v 2 Dens 2.7 [4] Pelabelan graceul pada gra G adalah pemetaan njekt : V G),,2,..., q sedemkan sehngga jka label ss e = uv ddenskan dengan e) u) v), maka label setap ss akan berbeda. Dengan demkan, pelabelan graceul merupakan salah satu bentuk pelabelan pada ttk sedangkan label ssnya menjad akbat dar adanya label ttk. Teorema 2.8 [] Arbtrary supersubdvson pada gra adalah graceul.
Bukt: Msal gra dengan hmpunan ttk dan merupakan ss yang menghubungkan ttk dengan dmana. Gra G adalah gra arbtrary supersubdvson dar path yang dperoleh dengan menggant ss pada path dengan gra bpartt lengkap ; dmana adalah blangan bulat post. Hmpunan ttk - ttk bpartt lengkap dnotaskan dengan ;, dan merupakan banyaknya ss pada arbtrary supersubdvson gra. Banyaknya ttk pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga berkut. n m m m m... 2 3 m n Banyaknya ss pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga berkut. Pelabelan dlakukan pada setap gra supersubdvson dar secara berurutan untuk masng - masng dmana yang dtunjukan pada gambar berkut n. N N-2 N-4 - N-2m-2) N-2m-) Label ttk pada gra supersubdvson d atas ddenskan sebaga berkut.
Label ttk pada masng masng adalah berbeda untuk dan memenuh pemetaan njekt sedemkan sehngga untuk setap ss mempunya label ss yang semuanya berbeda juga. Contoh e e2 e3 e4 v v2 v3 v4 v5 Path Tap ss akan dgant dengan gra bpartt lengkap, = 3,2,5,4. Sehngga gra berubah menjad gra arbtrary supersubdvson berkut. v v 4 v 6 v v 7 v 2 v 8 v v2 v3 v4 v 3 v5 v 9 v 2 v 3 v 5 v v 4 Setelah melalu proses pelabelan ttk dan ttk kemudan dlanjutkan dengan pelabelan ss, maka dperoleh pelabelan graceul arbtrary supersubdvson pada gra adalah sebaga berkut. 28 23 2 8 8 7 28 27 22 2 8 7 6 5 9 26 26 25 4 6 3 6 5 2 2 4 3 4 3 7 4 24 23 2 9 9 2 24 2 2 5 Label ttk arbtrary supersubdvson pada gra memenuh pemetaan njekt sedemkan sehngga untuk setap ss mempunya label ss yang semuanya berbeda juga. Teorema 2.9 [6] Arbtrary supersubdvson pada gra adalah graceul. Bukt: Msal merupakan hmpunan ttk pada, adalah ttk puncak dan merupakan ss yang menghubungkan ttk dengan
dmana. Gra G adalah arbtrary supersubdvson dar gra yang dperoleh dengan menggant ss pada dengan gra bpartt lengkap dmana adalah blangan bulat post. Msalkan merupakan ttk dan Banyaknya ttk berkut.. pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga n m = Banyaknya ttk pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga berkut. Banyaknya ss pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga berkut Pelabelan graceul ttk sebaga berkut. pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan Pelabelan ttk berkut. pada gra arbtrary supersubdvson ddenskan sebaga Llabel ttk dan ttk adalah berbeda untuk, dan memenuh pemetaan njekt sedemkan sehngga untuk setap ss mempunya label ss yang semuanya berbeda juga.
Contoh v Setelah melalu proses v7 v2 pelabelan ttk dan ttk, maka v6 e7 e6 v e e2 e3 v3 dperoleh pelabelan graceul arbtrary supersubdvson pada gra adalah sebaga berkut. e5 e4 v5 v4 Gra Tap ss-ss akan dgant dengan gra bpartt lengkap, =2,3,3,4,4,5,5. 5 44 46 42 4 38 52 5 48 43 2 4 6 8 33 2 4 23 v7 v 26 v 25 v 24 v 23 v 22 v v v 2 v 3 v 4 v2 v 5 36 34 32 3 28 26 24 22 2 7 6 8 v6 v 2 v 9 v 8 v 7 v 2 v v 6 v 7 v 8 v3 Label ttk pada arbtrary supersubdvson gra memenuh pemetaan njekt v 6 v 5 v v v 9 sedemkan sehngga v5 v 4 v 3 v 2 v4 untuk setap ss mempunya label ss yang semuanya berbeda juga. III. KESIMPULAN Dar pembahasan yang telah durakan, dapat dambl kesmpulan bahwa Arbtrary supersubdvson pada gra path dan star dapat dlabel dengan pelabelan cordal dan graceul.
IV. UCAPAN TERIMA KASIH Banyak phak yang telah membantu dalam penyelesaan Tugas Akhr n. Oleh karena tu, rasa hormat dan terma kash penuls ngn sampakan kepada :. R. Her Soelstyo Utomo, S.S, M.S selaku dosen pembmbng I yang telah memberkan bmbngan, arahan, dan nasehat-nasehatnya selama n, 2. Solchn Zak, M.Kom selaku dosen pembmbng II yang juga telah membmbng dan mengarahkan penuls hngga selesanya Tugas Akhr n, 3. Semua phak yang telah membantu hngga selesanya tugas akhr n, yang tdak dapat penuls sebutkan satu persatu. Semoga Allah membalas segala kebakan yang telah Anda berkan kepada penuls, Amn. V. DAFTAR PUSTAKA [] Abdussakr, 3 November 28, Graph Labellng, Abdussakr s Blog. http://abdussakr.wordpress.com dakses pada tanggal 26 Februar 23) [2] Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2. Introducton to Real Analyss Thrd Edton. New York : John Wlley and Sons. [3] Chartrand, G. dan Lesnak, L. 996. Graphs & Dgraphs, 3 ed, Chapman & Hll. London. [4] Gayathr, B dan Vantha, V, Drected Edge-Graceul Labellng o Cycle and Star Related Graph, Internatonal Journal o Mathematcs and Sot Computng, Vol., No. 2), 89 4. [5] Howard Anton dan Chrs Rorres. 988. Penerapan Aljabar Lnear. Erlangga. Jakarta. [6] Kathresan K M dan Amutha S, Arbtrary Supersubdvson o Stars are Graceul, Indan J.Pure Appl. Math., Vol: 35 24) No:, Hal: 8-84. [7] Lstyana, Erly, Suslo Haryanto dan Luca Ratnasar. 28. Langkah Langkah Penentuan Suatu Barsan sebaga Suatu Grak dengan Dasar Teorema Havel Hakm : Jurnal Matematka. Vol 28), No 2, Hal: 6-64.
[8] Munr, Rnald. 27. Matematka Dskrt. Bandung: Inormatka Bandung. [9] Rosen, Kenneth H. 27. Dscrete Mathematcs and Its Applcatons Sxth Edton. New York : McGRAW-HILL BOOK COMPANY. [] Sethuraman, G dan Selvaraju P, Graceulness o Arbtrary Supersubdvson o Graphs, Indan J. Pure Appl. Math., Vol: 322), No: 7, Hal: 59--64. [] Vadya, S K dan Kanan K, Some New Results on Cordal Labelng n the Context o Arbtrary Supersubdvson o Graph, Appled Mathematcal Scences, Vol. 4 2) No. 47, 2323 2329. [2] Wlson, J. Robn dan John J. Watskn. 99. Graphs An Introductory Approach. New York : Unversty Course Graphs, Network, and Desgn.