Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak higga adalah kovergesi/divergesiya deret tersebut. defiisi: Barisa ( ) dikataka koverge jika limit ada da terbatas. defiisi: Jumlah suku yag pertama barisa tak higga ( ) disebut jumlah bagia, sehigga: S i i otasi R, yaitu: R u u. atau R, sedagka jumlah suku-suku sisaya diberi i berarti: u u.u u - u - S R defiisi: Barisa deret: S, S, S,.., S, S -,. Dikataka koverge jika limit S S ada terbatas. Karea ada pegertia jumlah bagia, da kita selalu memperhatika pegertia tersebut, maka deret tak higga kita sebut saja deret, karea itu sejak sekarag kalau kita sebut deret maksudya adalah deret tak higga, i yaitu: Defiisi : Jika deret koverge maka limit R 0 Cotoh:. deret aritmatika S ( a ) [ a ( ) b] Jika a 0 S b 0 ± deret tidak koverge( diverge)
. deret geometri S a. r r, r 0 da a 0 utuk a deret koverge. r, S m r r,limit S r, limit S ± deret koverge. tak tetu deretdiverge. Sifat-sifat deret tak higga. ). Jika deret S koverge maka 0 (awas: sebalikya tidak berlaku). ). Jika deret S, 0 maka deret diverge (akibat logis dari ()) ). Jika deret S, 0 da mempuyai batas atas maka deretya koverge. tuk meyelidiki kekovergesia suatu deret dapat diguaka uji badig, yaitu mebadigka deret tersebut yag telah diketahui kekovergesiaya. Ada tiga macam deret pembadig. ). Deret geometri : ar r, koverge r, diverge ). Deret hiperharmois: k, koverge k dibuktika dega kodesasi :. ( ) k, diverge ). Deret bertrad: ( l ) k, k koverge k diverge
. Prisip/cara pegguaa deret badig. ). V deret pembadig, deret yag diselidiki a). jika V koverge sedagka V, maka koverge. b). jika V diverge sedagka 0 V 0, maka ). Jika dipeuhi: (i). 0da V 0 (ii). limit L 0 V diverge maka da V kedua-duaya koverge atau kedua-duaya diverge. Cotoh.. Selidiki kovergesi deret:, suku umum Jawab: diguaka deret pembadig deret hiperharmois dega suku umum V V jadi: ( ) koverge. yag koverge (k ) 0. Selidiki kovergesi deret dega suku umum Jawab: deret pembadig suku umum V diverge tuk dipeuhi Berarti l 0 0 V Karea (V m ) diverge maka ( ) diverge l deret harmois yag. Selidiki kovergesi deret:
4 Jawab: dega membadig deret geometri V, r yag koverge V 4 9 4 dst. maka 0 karea 0 V ( V ) koverge maka ( ) koverge Kriteria Kovergesi tuk meyelidiki kovergesi suatu deret kecuali dega membadigka dega deret deret lai yag sudah jelas kovergesiya,, dapat juga dilakuka dega pegujia (test) terhadap diriya sediri yag disebut kriteria kovergesi atau test kovergesi. Ada bayak test kovergesi, diataraya : tes de Alembert, tes Cauchy, test Catala, tes Schlömilch, tes Raoble, tes gauss, tes Itegral. Di sii dibicaraka beberapa saja..4 Tes Rasio (uji badig dari de Alembert) Tes Rasio ii berlaku utuk deret dega suku-suku positif., yaitu membadigka suku ke () dega suku ke-, Teorema : Deret ( ), dega suku & tidak egatif Jika L, maka : a. L < deret koverge b. L > deret diverge c. L didekati dari atas deret diverge didekati dari bawah tak ada keputusa Cotoh :
. Selidiki kovergesi deret : ( ) > jadi deret diverge : ( ). Selidiki kovergesi deret : ( ) < jadi deret koverge. Selidiki kovergesi deret : it lim 8 8 limit didekati dari bawah, jadi tak ada keputusa! Selajutya diselidiki dega membadigka dega deret ( V ) V V (koverge, k > ) 0 Jadi karea (V ) koverge maka ( ) juga koverge Catata : dega sediriya dapat juga dega cara lai.. Tes Akar (oleh Cauchy)
6 Teorema : Deret ( ), dega suku-suku tidak egatif Jika L, maka : a. L < deret koverge b. L > deret diverge c. L didekati dari atas deret diverge didekati dari bawah tak ada keputusa Cotoh :. Selidiki kovergesi deret : ( cos π ) ( cos π) ( cos π) Hasil limitya berubah-ubah atara da, tidak mugki <, berarti deret diverge.. Selidiki kovergesi deret : 9 9 9 9 9 9 > jadi diverge. Selidiki kovergesi deret : Jawab: :... < jadi koververge. Tes Catala. Teorema : Deret ( ), dega suku-suku tidak egatif Jika l l L, maka : a. L > deret koverge
7 b. L < deret diverge c. L didekati dari atas deret diverge didekati dari bawah tak ada keputusa Cotoh : ( ). Selidiki lovergesi daerah : l limit l l limit l l. limitl l l l limit l l l l l l l l l l l l l l l jadi > deret koverge l l e. Selidiki kovergesi deret : l l l. l
8 l l l l. l l l l l l l l jadi l l l < deret diverge..6 Tes Schlömilch Teorema : Deret ( ), dega suku-suku tidak egatif Jika L, maka : a. L > deret koverge b. L < deret diverge Catata : Tes Schlömilch ii diguaka haya jika tes de Alembert gagal, yaitu bila da pedekata dari bawah. Cotoh :. Selidiki kovergesi deret : dega de Alembert gagal, karea didekati dari bawah dega Schlömilch : jadi. l. l. l. l. l l l > deret koverge
9. Selidiki kovergesi deret dega suku umum : 4 6... ( ) 7... ( ) 4 6... ( ) 7... ( ) Dega de Alembert : Didekati dari bawah gagal. dega Schlömilch :. l lim it. l l e. l l jadi. l <. l deret diverge..7 Tes Raobe Teorema : Deret ( ), dega suku-suku tidak egatif Jika. L, maka : a. L > deret koverge b. L < deret diverge c. L 0 didekati dari bawah deret diverge Cotoh :. Selidiki kovergesi deret : ( ) ( )
0 jadi. Selidiki kovergesi deret : > deret koverge Jawab:, limit. limit. limit. limit. 0 0 didekati dari bawah, deret diverge.8 Tes Itegral Pegertia sigkat. Prisip teori, membadigka deret varia dega deret fugsi. Itegral tertetu merupaka limit dari pedereta fugsi. f(x) x P xq xi xi x x x < < i i T R N M P Q luas asemua pias (a<x<b) b: x Luas pias : L PQMN < L PQMT < L PQRT f(x i ). x < f( x ). x < f(x ih ). x µ I < f( x ). x < v I µ i < f ( x ). x < v i
b : µ < < i f (x )dx x 0 a b µ < f (x )dx < v a dari kutub terakhir di atas, terdapat Teorema : jika deret, 0 da < f ( x ) utuk x N, f(x) kotiu v i mooto turu, maka deret N f (x ) dx Teorema : jika deret Cotoh : koverge. v > koverge apabila, v 0 da v > f(x) utuk x > N, f(x) kotiu mooto turu, maka deret N f (x ) dx diverge. v diverge apabila. Selidiki kovergesi deret : diambil, utuk x > da 0 x. l x dx x dx x x x berarti dx koverge x x jadi deret. Selidiki kovergesi deret : koverge.. l diambil fugsi x. l x, sehigga x. l x utuk x > da 0 dx d (l x ) l. l x x. l x l x berarti dx diverge. x. l x diverge