RINGKASAN SKRIPSI MODUL PERKALIAN

RINGKASAN SKRIPSI MODUL PERKALIAN SAMSUL ARIFIN 04/177414/PA/09899 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM YOGYAKARTA 2008

HALAMAN PENGESAHAN Ringasan Sripsi MODUL PERKALIAN Telah dipersiapan dan disusun oleh Samsul Arifin 04/177414/PA/09899 Telah dipertahanan di depan Tim Penguji pada tanggal 31 Desember 2008 Indah Emilia W., Dr., M.Si. Pembimbing I Sutopo S.Si., M.Si. Pembimbing II 2

1. Latar Belaang Masalah Dalam teori modul dienal modul husus yang disebut modul peralian (multiplication module). Jia diberian R adalah ring omutatif dengan elemen satuan dan M adalah R-modul uniter, maa M disebut modul peralian jia untu setiap submodul N di R-modul M terdapat ideal presentasi I di ring R sehingga berlau N = IM. Ideal I di ring R disebut ideal prima jia ideal I adalah ideal sejati ( I R) dan untu setiap a, b R berlau jia ab I maa a I atau b I. Selanjutnya, dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul), maa peralian ab I dapat dipandang sebagai bentu peralian a R (R sebagai ring) dan b R (R sebagai modul), sehingga jia I ideal prima maa berlau a I atau b Ann ( R / I ). Hal ini memotivasi adanya definisi submodul prima pada R-modul M. Selanjutnya, N disebut submodul prima di R-modul M jia N merupaan submodul sejati ( N M ) untu setiap r R, m M berlau jia rm N maa m N R dan atau r Ann ( M / N ). Ring R disebut ring prima jia { 0 } adalah ideal prima di ring R. Dengan cara yang sama, yaitu dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul), maa hal ini juga memotivasi adanya definisi modul prima pada R-modul M, yaitu R- modul M disebut modul prima jia { 0 } adalah submodul prima di R-modul M. Dalam sripsi ini aan dipelajari modul peralian dan sifat-sifatnya, dan juga aitan antara sifat-sifat submodul prima dalam modul peralian. Aan dipelajari juga sifat-sifat dari ideal prima dan ring prima mana saja yang dapat dibawa e sifat-sifat submodul prima dan modul prima. R 3

2. Submodul Prima dan Modul Prima Sebelum memasui pembahasan mengenai modul peralian, aan diemuaan terlebih dahulu mengenai pembahasan submodul prima, bai itu pengertian maupun sifatsifatnya, emudian dilanjutan dengan pembahasan mengenai modul prima. Definisi 1 (Submodul Prima) Diberian M adalah R-modul dan N submodul di M. N disebut submodul prima jia N merupaan submodul sejati M dan untu setiap r R, m M berlau jia rm N maa m N atau r ( N : M ) beriut : dengan ( N : M ) { r R rm N} =. Definisi submodul prima tersebut dapat dinyataan juga dengan alimat sebagai Untu sebarang R-modul M dan N submodul di M, N disebut submodul prima jia N merupaan submodul sejati dan untu setiap r R, m M \ N berlau jia rm N maa r ( N : M ) Definisi 2 (Submodul Prima Lemah) Submodul sejati N di R-modul M disebut submodul prima lemah jia untu suatu r R, m M berlau jia 0 rm N maa berlau m N atau r ( N : M ) dengan { } ( N : M ) = r R rm N Jia M adalah R-modul maa untu N = { 0} diperoleh { } ( 0 : M ) { r R rm 0} = =. Perhatian bahwa submodul { 0 } di R-modul M selalu submodul prima lemah, arena untu setiap r R, m M \{ 0}, jia 0 ( ) rm maa r { 0 } : M. Aan tetapi { } 0 belum 4

tentu submodul prima pada R-modul M arena terdapat r R, m M \{ 0} ( ) rm = 0 tetapi r { 0 } : M. Jia N submodul prima maa N submodul prima lemah, arena : 1) Jia N = { 0} maa jelas bahwa N submodul prima lemah 2) Jia { 0}, dengan N maa untu suatu r R, m M jia 0 rm N berlau m N atau r ( N : M ). Dengan demiian, jelas bahwa setiap submodul prima merupaan submodul prima lemah, tetapi setiap submodul prima lemah belum tentu submodul prima. Definisi 3 (Modul Prima) Jia diberian M adalah R modul, maa M disebut R-modul prima jia { 0 } adalah submodul prima di R modul M. Di bawah ini merupaan sifat-sifat dari submodul prima dan modul prima. Teorema 4 Untu suatu R-modul M, submodul K di R-modul M, dan ideal annihilator ( K : M ) Ann ( M / K ) = di ring R, maa pernyataan beriut euivalen : (i) K submodul prima. R (ii) Setiap submodul ta nol di R-modul M \ ( K : M ). (iii) Untu setiap submodul V di M dan subring A di R, jia AV ( K : M ) A. K memilii annihilator yang sama, yaitu K maa V K atau 5

(iv) Untu setiap submodul K jia ( K : M ) B maa WB K. W di M, K W, dan ( K : M ) B, B subring di R, Kejadian husus dari Teorema 3.1.6 di atas adalah jia untu ondisi (iii) dan (iv), yaitu A dan B masing-masing adalah ideal di ring R maa eempat pernyataan tersebut masih tetap euivalen. Aibat 5 M disebut R-modul prima jia dan hanya jia setiap submodul ta nol di M memilii annihilator yang sama, yaitu AnnR ( M ). Sebagai ejadian husus dari Aibat 5 di atas, yaitu jia M aan diperoleh teorema di bawah ini. Teorema 6 Untu sebarang ideal L di ring R, maa pernyataan beriut euivalen : 1) Untu setiap a, b R, jia ab L maa a L atau b L. = R dan K = L maa 2) Untu setiap ideal A, B di ring R, jia AB L maa A L atau B L. 3) Untu sebarang L A di ring R, L A dan L B, jia L B maa AB L. Pernyataan-pernyataan pada Teorema 3.1.8 tersebut, sama halnya dengan mengataan bahwa L adalah ideal prima di ring R. Teorema 7 Misalan L ideal prima di ring R, dan P ideal di ring R dengan ( : ) berlau hal-hal sebagai beriut : 1) Jia a, b R sehingga ab L dan a L maa b P. 2) ( : ) { } L R c R cr L = L. P = L R L, maa 6

Teorema 8 Jia K adalah submodul prima di R-modul M dan ( K : M ) Ann ( M / K ) berlau hal-hal sebagai beriut : 1) Jia RM K K m M Rm K = K. maa { } 2) ( K : M ) adalah ideal prima. ( K : M : R) { c R cr ( K : M )} ( K : M ) 3) ( ) =. =, maa R 3. Modul Peralian Pada bagian ini aan dibahas mengenai pengertian dan sifat-sifat modul peralian. Pertama aan diberian definisi dari modul peralian yang emudian dilanjutan dengan sifat dan teorema yang beraitan dengan sub bahasan tersebut. Selanjutnya dibahas aitan sifat-sifat submodul prima pada modul peralian. Definisi 9 (Modul Peralian) Diberian M adalah R-modul. Modul M disebut modul peralian jia untu setiap submodul N di M terdapat ideal I di ring R sehingga berlau N = IM. Ideal I disebut ideal presentasi dari submodul N, atau secara singat disebut presentasi dari submodul N. Selanjutnya himpunan Pr( N) = { I R N = IM, N M } adalah himpunan dari semua ideal presentasi dari submodul N. Dari Definisi 9 di atas, jelas bahwa setiap submodul dari R-modul M memilii ideal presentasi jia dan hanya jia M adalah R-modul peralian. 7

Lemma 10 M adalah R-modul peralian jia dan hanya jia untu setiap m M, terdapat ideal I di ring R sehingga berlau Rm Lemma 11 = IM. Diberian M adalah R modul peralian. Jia N adalah submodul di R-modul M maa berlau N = ( N : M ) M. Definisi 12 (Hasil ali) Diberian M adalah R-modul. N dan K masing-masing merupaan submodul-submodul di modul peralian M dengan N = I1M dan K = I2M untu suatu ideal-ideal I 1 dan I 2 di ring R. Hasil ali dari submodul N dan submodul K ditulis NK dan didefinisian dengan NK = I I M. 1 2 Perlu dietahui bahwa definisi peralian pada modul peralian di atas berbeda dengan definisi peralian ideal biasa. Kemudian, jia diberian M adalah R-modul peralian, maa untu setiap a, b M, peralian ab didefinisian sebagai hasil ali antara ( Ra ) dan ( Rb ). Lebih jelasnya : Kemudian, arena ( Ra) ab = ( Ra)( Rb). = a dan ( Rb) = b masing-masing adalah submodul yang dibangun oleh setiap a, b M maa terdapat ideal I (ideal presentasi dari ( Ra ) ) dan ideal J (ideal presentasi dari ( Rb ) ) di ring R (arena M adalah R-modul peralian) sehingga berlau ( Ra) = IM dan ( Rb) = JM. 8

Berdasaran definisi hasil ali elemen-elemen a1, a2,..., a n di R-modul peralian tersebut, maa dari Definisi 3.2.5 di atas diperoleh : a a a = ( Ra )( Ra ) ( Ra ) 1 2... n 1 2... n = ( I1M )( I1 M )...( InM ) = ( I1I1... I n ) M = I ' M = N ' untu suatu ideal I1, I1,..., I n di ring R dan submodul N dengan ideal presentasinya adalah I ' = I1I1... I n, yang artinya peralian elemen-elemen di R-modul peralian M aan menghasilan suatu submodul. Selanjutnya, dalam R-modul M untu setiap r R, m M dan ideal I pada ring R terlebih dahulu didefinisian bentu-bentu peralian, yaitu sebagai beriut : 1) rm n = rmi mi M i= 1 n = r mi mi M i= 1 { r ( m1 m2... mn ) mi M } = + + + { rm' m' M} = 2) Rm n = rm i ri R i= 1 n = ri m ri R i= 1 {( r1 r2... rn ) m ri R} = + + + 9

{ r ' m r ' R} = 3) IM n = aimi ai I, mi M i= 1 n n = ai mi ai I, mi M i= 1 i= 1 {( a1 a2... an )( m1 m2... mn ) ai I, mi M} = + + + + + + { a ' m' a ' I, m ' M} = Misalnya R =, M = 2 sebagai modul, dan submodul N = K = 4 untu himpunan bilangan bulat. Hal ini berarti terdapat ideal I = J = 2 sehingga berlau N = IM = 22 = 4 dan K = JM = 22 = 4. Perhatianlah perbedaan antara edua definisi peralian tersebut di bawah ini. (i). NK = 44 = 16 (dengan menggunaan definisi peralian submodul biasa) (ii). NK = ( IJ ) M = ( 2 2 ) 2 = 8 (dengan menggunaan definisi modul peralian di atas) Ideal presentasi untu suatu submodul di dalam modul peralian tidalah tunggal. Sebagai contohnya adalah dalam -modul, 5 ideal presentasi dari submodul { 0 } adalah ( 5n) dengan n, yaitu 5, 10,, dan seterusnya. Karena itu peralian submodul-submodulnya dapat dinyataan dalam beberapa bentu peralian ideal-ideal 10

presentasi suatu submodul dengan modulnya. Misalnya N = I1M = I2M = I3M dan K = J1M = J 2M = J3M maa hasil ali NK tida bergantung dari ideal presentasinya dan dapat dinyataan sebagai NK = I1J1M = I2J 2M = I3J3M. Hal ini termuat dalam Teorema 13 di bawah ini. Teorema 13 Misalan N = IM dan K = JM masing-masing merupaan submodul di R modul peralian M, maa hasil ali antara N dan K independen dari ideal-ideal presentasi di N dan K. Teorema 14 Misalan M adalah R-modul peralian dan N, K,T masing-masing merupaan submodul- submodul di M, maa NK merupaan submodul di M, NK N K dan jia N K maa NT KT. Definisi 15 (Modul Setia) Diberian M adalah R-modul. R-modul M disebut modul setia (faithful) jia AnnR( M ) = { 0}. Definisi 16 (Modul Sederhana) Diberian M adalah R-modul setia. R-modul M disebut modul sederhana jia M { 0}, dan submodulnya hanya { 0 } dan R-modul M sendiri. Lemma 17 Jia M adalah R modul sederhana dan R adalah lapangan, maa R-modul M adalah R- modul peralian. 11

Teorema 18 Misalan M adalah R-modul peralian, maa M adalah R-modul sederhana jia dan hanya jia R adalah lapangan. Lemma 19 Diberian M adalah R modul peralian. Jia M adalah R-modul setia, maa M adalah R-modul bebas torsi. Teorema 20 Misalan M adalah R-modul ta nol dan M adalah R-modul setia, maa setiap submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima jia dan hanya jia ring R adalah lapangan. Aibat 21 Misalan M adalah R-modul peralian setia, maa M adalah R-modul sederhana jia dan hanya jia submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima. Proposisi 22 Misalan M adalah R modul peralian dan N1, N2, N3,..., N adalah submodulsubmodul di R-modul M. Misalan N adalah submodul prima di R-modul M, maa pernyataan-pernyataan di bawah ini euivalen : (i) N j N untu suatu j dengan 1 j. (ii) Ni N. i= 1 (iii) Ni N. i= 1 12

Teorema 23 Misalan P submodul sejati di R-modul peralian M, maa submodul P merupaan submodul prima jia dan hanya jia UV untu setiap submodul U dan V di modul M. Aibat 24 P U P atau V P Misalan P submodul sejati di R-modul peralian M, maa P adalah submodul prima jia dan hanya jia untu setiap m, m ' Proposisi 25 M. mm' P m P atau m ' P Jia M adalah R-modul peralian, maa pernyataan-pernyataan di bawah ini euivalen : 1) P adalah submodul prima. 2) Jia UV P maa U P atau V P untu suatu submodul-submodul U dan V di R-modul M. 3) Jia mm' P maa m P atau m ' P untu setiap m, m ' M. Selanjutnya, aan dibahas mengenai sifat tertutup pada peralian (multiplicatively closed) pada suatu R-modul peralian M. Definisi 26 Diberian M adalah R-modul peralian. Sebuah himpunan bagian ta osong S * di modul M diataan tertutup terhadap peralian (multiplicatively closed) jia berlau mn S* untu sebarang m, n S *. 13

Proposisi 27 Misalan M adalah R-modul peralian, maa submodul sejati N di R-modul M merupaan submodul prima jia dan hanya jia himpunan M \ peralian. Teorema 28 Misalan M adalah R modul peralian. Jia A submodul di M dan N tertutup terhadap * S adalah himpunan yang tertutup terhadap peralian di M sehingga berlau A S * =, maa terdapat submodul N di R-modul M yang masimal dengan sifat A N dan N * S =. Selanjutnya, N merupaan submodul prima di R-modul M. Seperti halnya pada gelanggang (ring), dalam modul peralian juga didefinisian elemen pembagi nol dan daerah integral, yaitu sebagai beriut. Definisi 29 Diberian M adalah R-modul peralian. Pembagi nol (zero divisor) di R-modul M adalah elemen 0 M a M dimana terdapat 0 M b M sehingga berlau ab = ( Ra)( Rb) = 0 M. Jia M tida memuat pembagi nol maa R-modul M disebut daerah integral. Teorema 30 Misalan M adalah R modul dan N adalah submodul sejati di M, maa N merupaan submodul prima jia dan hanya jia M / pembagi nol). N adalah daerah integral (tida memuat 14

Definisi 31 Diberian M adalah R-modul peralian dan N submodul di M. (i) N disebut nilpoten jia N = 0 untu suatu bilangan bulat positif, dimana N berarti hasil ali dari N sebanya ali. Dengan ata lain, definisi hasil ali N adalah : N = ( IM ) ( IM )( IM )...( IM ) = = I M ali dengan I adalah suatu ideal presentasi submodul N. (ii) Elemen m M disebut nilpoten jia m = 0 untu suatu bilangan bulat positif, dengan definisi m ( Rm)( Rm)...( Rm) = ali ( IM )( IM )...( IM ) = = I M ali m adalah sebagai beriut. dengan I adalah suatu ideal presentasi m M. Himpunan semua elemen nilpoten di M dinotasian dengan N M. Beriut adalah syarat perlu dan syarat cuup suatu submodul nilpoten pada R-modul peralian M. 15

Teorema 32 Diberian M adalah R-modul peralian. Submodul N di M adalah submodul nilpoten jia dan hanya jia untu setiap ideal presentasi I di submodul N berlau I Ann ( M ) + untu suatu. Aibat 33 Diberian M adalah R-modul peralian setia dan N adalah submodul di M. Submodul N nilpotent jia dan hanya jia setiap ideal presentasi dari submodul N adalah ideal nilpoten. Definisi 34 Diberian M adalah R-modul dan N adalah submodul di R-modul M. Radial dari submodul N dinotasian dengan M rad( N) atau r( N ) yang didefinisian sebagai irisan semua submodul prima di R-modul M yang memuat submodul N. Jia R-modul M tida memuat satupun sebarang submodul prima, maa M rad( N) = M. Teorema 35 Misalan N submodul dari M adalah R modul peralian, maa Aibat 36 { } M rad( N) = m M m N untu suatu > 0 R Diberian M adalah R-modul peralian. Himpunan semua elemen nilpoten, N M adalah irisan semua submodul prima di M r { } Teorema 37 ( ( 0 ) NM ) =. Diberian N adalah submodul prima lemah di R-modul peralian M. Jia ( N : M ) N { 0}, maa N adalah submodul prima di R-modul M. 16

Teorema 38 Diberian M adalah R-modul peralian dan N adalah submodul prima lemah di R-modul 2 M. Jia N buan submodul prima, maa berlau { 0} Aibat 39 N =. Jia M adalah R-modul peralian dan N adalah submodul prima lemah di modul M, ( ) ( ) maa berlau N r { 0} atau r { 0} N. 4. Kesimpulan Beberapa hasil penting atau sifat-sifat yang dapat dijadian sebuah esimpulan dari tulisan ini adalah sebagai beriut : Pada R-modul setia (faithful) M, jia M adalah R-modul sederhana maa M adalah R-modul peralian. Selanjutnya jia M adalah R-modul peralian setia maa pernyataanpernyataan di bawah ini euivalen : 1. M adalah R-modul sederhana. 2. Ring R adalah lapangan. 3. Setiap submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima. Ketiga pernyataan di atas tida euivalen jia M buan R-modul peralian. Untu suatu R-modul setia M (buan modul peralian), dua hal yang pasti euvalen adalah nomor 2 dan nomor 3 di atas, yaitu jia M adalah R-modul setia ta nol maa R adalah lapangan jia dan hanya jia setiap submodul sejati di M adalah submodul prima. Kaitan antara modul peralian dan submodul prima adalah sebagai beriut. Pada R- modul peralian M jia P adalah submodul sejati di M maa pernyataan-pernyataan di bawah ini euivalen : 17

1. Submodul P adalah submodul prima. 2. Untu setiap submodul U, V 3. Untu setiap m, m ' M berlau jia UV P maa U P atau V P. M berlau jia mm' P maa m P atau m ' P. Ketiga pernyataan di atas analog dengan pembahasan ideal prima pada ring R. Jia M buan R-modul peralian maa etiga hal di atas tida euivalen. Kaitan antara modul peralian, submodul prima dan daerah integral adalah sebagai beriut. Pada R-modul peralian M jia N adalah submodul sejati di M maa pernyataanpernyataan di bawah ini euivalen : 1. Submodul N adalah submodul prima. 2. R-modul peralian M \ 3. R-modul peralian ( M / ) N tertutup terhadap peralian (multiplicatively closed). N adalah daerah integral. Antara submodul prima, submodul prima lemah dan radial submodul pun memilii aitan satu sama lain. Pada R-modul peralian M dengan N adalah submodul di M maa jia N adalah submodul prima maa N adalah submodul prima lemah. Sebalinya, jia N adalah submodul prima lemah maa N adalah submodul prima jia ( N : M ) { 0}. Ingat embali bahwa submodul { 0 } di R-modul peralian M selalu submodul prima lemah. ( ) Kemudian, jia N adalah submodul prima lemah maa N r { 0} adalah irisan semua submodul prima di M. =, yang artinya N Itulah beberapa hal yang dapat dijadian esimpulan dari eseluruhan pembahasan tugas ahir ini. 18