Pelabelan Total Ss Ajab Pada Subkelas Pohon Hlda Rzky Nngtyas, Dr Daraj, SS, MT [] Jurusan Mateatka, Fakultas MIPA, Insttut Teknolog Sepuluh Nopeber (ITS Jl Aref Rahan Hak, Surabaya 60 E-al: daraj@ateatkatsacd [] Abstrak Graf G(V,E dkatakan eenuh pelabelan total ss ajab jka eleen-eleen graf yatu spul dan ss,,3,, V + E dpetakan dengan satu blangan asl dar { } Sehngga untuk asng-asng ss berlaku ( x + ( + ( = k, dengan x, y V ( G dan xy E(G Notas erupakan fungs bjektf yang eetakan ss dan spul graf ke blangan asl sehngga penjulahan label dar seua ss yang elekat pada spul tertentu dtabah dengan label spul tersebut epunya hasl yang saa Konstanta dsebut blangan ajab (agc su Pada Tugas Akhr n F, peroleh pelabelan total ss ajab pada graf kebang ap ( n dan graf pohon psang ( n B, dengan = dan n blangan asl Dar analss yang dlakukan dperoleh hasl bahwa graf kebang ap F, n dengan n blangan asl adalah graf edge agc total labelng dengan k = 4 n +, dan graf pohon psang B, n dengan n blangan asl adalah graf edge agc total labelng dengan k = 4 n + 0 Kata kunc : Graf, Pelabelan Total Ss Ajab, Graf Kebang Ap, Graf Pohon Psang I PENDAHULUAN EORI graf erupakan salah satu bagan pentng dala Tkehdupan anusa Beberapa contoh asalah dala kehdupan sehar-har yang dapat dabstrakskan sebaga asalah yang berkatan dengan teor graf, salnya rangkaan lstrk, enentukan jarak terpendek dar suatu lntasan dan desan kounkas dengan aplkas pelabelan graf Pelabelan pada suatu graf adalah peetaan sebarang atau fungs yang easangkan eleen-eleen graf yatu spul dan ss dengan satu blangan asl Peberan label pada eleen graf n dsebut weght Weght untuk setap ss (edge xy adalah Jka doan dar peetaan adalah spul, aka pelabelan dsebut pelabelan spul (vertex labelng Jka doannya adalah ss, aka dsebut pelabelan ss (edge labelng, dan jka doannya spul dan ss, aka dsebut pelabelan total (total labelng Sedláčk telah enerbtkan sebuah akalah tentang jens lan dar pelabelan graf Ia enyebut pelabelan ajab (agc labelng Defns pelabelan ajab ddorong oleh gagasan perseg ajab Pelabelan ajab (agc labelng adalah fungs dar hpunan ss graf G enjad blangan asl, sehngga julah dar label ss dsetap spul d G seua saa[] Kotzg dan Rosa ebuktkan beberapa pelabelan total ss ajab dantaranya pada graf cycle untuk n 3, graf lengkap K n jka dan hanya jka n = {,,3,4,5,6}, dan seua graf caterpllar[] Karena pelabelan total ss ajab (edge agc total labelng berkatan dengan pengkonstruksan fungs, aka dungknkan fungs yang dbuat seorang penelt akan berbeda dengan fungs yang dbuat penelt lan pada graf yang saa Pada Tugas Akhr n, dlakukan kajan pelabelan total ss ajab (edge agc total labelng pada subkelas dar pohon yatu graf kebang ap dan graf pohon psang dengan = dan sebarang blangan asl II PELABELAN TOTAL SISI AJAIB Pelabelan total ss ajab ( pada suatu graph (G dar V ( G E( G ke hpunan {,,3,, p + } dana p = V (G dan = E(G sehngga untuk asng-asng ss xy d G berlaku ( x + ( + ( = k, untuk k konstanta dan erupakan fungs bjektf yang eetakan ss dan spul graf ke blangan asl (N Konstanta k dsebut blangan ajab (agc su dengan kata lan, wt ( = k untuk setap ss (edge [3] Msalkan adalah pelabelan total ss ajab, jka x dan y adalah spul yang berdekatan, aka ss xy epunya label k ( x ( Jad ddapat ( ( + ( x + ( = k xy E Persaaan n terdr dar penjulahan label tap spul dan ss dan pelabelan spul yang epunya derajat tabahan d, sehngga k = f ( p + f ( + ( E d ( III PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF KEMBANG API DAN POHON PISANG A Blangan Ajab Graf Kebang Ap Graf kebang ap ddapatkan dengan enghubungkan satu spul antng dar graf bntang secara berurutan Lntasan
yang enghubungkan spul-spul daun dar barsan graf bntang tersebut dsebut backbone dar graf kebang ap Jka banyaknya spul antng saa aka graf tersebut erupakan graf kebang ap teratur Dnotaskan dengan dengan adalah julah spul backbone dan n adalah julah spul antng Sebuah graf kebang ap epunya spulspul dan ss-ss F = x, x c, c a, a, a (, n { } { } {, j} { a, a,, a ( F { x x } { x c x } V E n =,, c c a, ca, ca j { } { a, c a, c a } c, j Gabar adalah contoh graf kebang ap teratur Gabar Graf kebang ap Reguler Graf kebang ap epunya V ( G = p = n dan E ( G = = n + 3 Dar Persaaan ( Graf kebang ap dkatakan epunya pelabelan total ss ajab yang eenuh Lea : Lea Jka Graf adalah graf edge agc total, aka blangan ajabnya (agc su adalah k = + 8 + ( x + ( x + n ( c Dasuskan bahwa graf adalah graf total ss ajab, dengan dekan spul dan ss dlabelkan dar angka p + sehngga: sapa ( ( p + ( = + + + ( 4n + 7 E ( 4 n + 7( 4n + 8 ( = Persaaan ( dsubttuskan kedala persaaan ( sehngga ddapatkan nla k untuk graf kebang ap ( 4n + 7( 4n + 8 k = + ( x + ( x + n ( + 0 c k = + 8 + ( x + ( x + n( c + 0 Jad terbukt, dperoleh blangan ajab k untuk pelabelan total ss ajab pada Graf Kebang Ap Blangan ajab k dapat dteukan jka terdapat nla pada spul tersebut Blangan ajab tersebut ddapat dengan enukan dan eaksalkan nla pelabelannya[4] Sehngga ddapatkan rentang blangan ajab k untuk pelabelan total ss ajab pada graf F, n Teorea Jka Graf adalah graf edge agc total, aka blangan ajabnya (agc su teletak pada + 35 k ( 6n + 5n + 37 Blangan ajab akan bernla nu saat spul berderajat palng besar dlabel dengan label palng kecl[4] Persaaan Lea enjad: + 8 + ( x + ( x + n ( c k = = + 8 + 3n + 3 = + 35 Dan k akan bernla aksu saat spul berderajat palng besar dlabel dengan label palng besar[4] Persaaan Lea enjad: + 8 + n + 3 n + 5 ( 6n + 5 + 37 = n Jad terbukt jka adalah graf edge agc total dengan blangan ajb k terletak pada rentang + 35 k ( 6n + 5n + 37 B Pelabelan Total Ss Ajab Graf Kebang Ap Secara uu graf kebang ap F, n dengan =, dnotaskan dengan Mepunya spul dan ss: V ( F, n = { x, x} { c, c} { a, a, a { a, a, a E( F, n = { xx } { xc, xc} a, c a,, c a c a, c a, c a { } { } c j, j Julah spul dan ss asng asng adalah V F n = n dan E F n = ( n + ( (, + (, Teorea Jka adalah sebuah graf kebang ap dengan dua spul backbone { x x } dan buah antng, aka epunya pelabelan total ss ajab dengan k = 4 n + Msalkan graf kebang ap epunya, V ( F, n = { x, x, c, c, a, a j, a, a F = x x, x c, x c, c a, c a, c a, c a ( { } E, n j, j
3 Sehngga epunya ss V F n = { x + x x + x } { ( x + ( x c + ( (, ( ( ( c { ( x + ( xc + ( c { ( c + ( caj + ( aj Ddefnskan ( F E( F,,3, V, n, n ke hpunan {, p + } dana p = V (G dan = E(G dengan pola sebaga berkut: ( x = n + 6 ( x = ( c = ( = j a j ( x x = n ( x c = n + 5 ( x c = 4n 7 + ( c a j = 4n + 9 j karena asng-asng ss berlaku aka: x + x x + a { ( ( ( x = ( n + 6 + ( n + = 4 n + b { ( x + ( xc + ( c = ( n + 6 + ( n + 5 + ( = ( n + 6 + ( n + 5 + ( ( = 4 n + c { ( x + ( xc + ( c = ( + ( 4n + 7 + ( = ( + ( 4n + 7 + ( ( = 4 n + d { ( c + ( c a + ( a j j ( + ( 4n + 9 j + ( j = = 4 n + ( x + ( + ( = k, Jad terbukt bahwa graf kebang ap dengan blangan asl adalah graf yang epunya pelabelan total ss ajab dengan k = 4 n + Pelabelan Total ss ajab pada graf kebang ap dengan k = 8 dgabarkan sepert pada Gabar Gabar Graf Kebang Ap C Blangan Ajab Graf Pohon Psang Graf pohon psang B, n adalah sebuah graf yang dperoleh dengan enghubungkan satu spul antng dar setap buah salnan graf bntang ke sebuah spul baru yang dsebut spul akar Sebuah Graf Pohon Psang epunya: V B = c, c x, x a, a, a a, a, a ( { } { } { } { } { r}, n j, j ( B, { xr, xr} { xc, xc} { a, c a,, c a } { c a, c a, c a } E n = c j, j dan j n Untuk Gabar 3 adalah contoh graf pohon psang Gabar 3 Graf Banana Tree Reguler Graf pohon psang epunya V ( G = p = n + 3 dan E ( G = = n + Saa sepert graf kebang ap, graf pohon psang dkatakan pelabelan total ss ajab jka epunya blangan ajab sesua Persaaan ( Sehngga ddapat Lea, Lea Jka Jka graf adalah graf edge agc total, aka blangan ajabnya (agc su adalah k = + n + 5 + ( ( r + ( + ( ( x n c Dasuskan bahwa graf adalah graf yang epunya pelabelan total ss ajab, dengan spul dan ss dber label p + aka: dar angka sapa ( ( p + ( = + + + ( 4n + 5 E ( 4 n + 5( 4n + 6 (3 = Persaaan (3 dsubttuskan kedala persaaan ( sehngga ddapatkan nla k untuk graf pohon psang ( 4n + 5( 4n + 6 k = + ( ( r + + ( x + ( n ( c k = 8n + n + 5 + ( ( r + + ( x + ( n ( c k = + n + 5 + ( ( r + ( + ( ( x n c Jad terbukt, dperoleh blangan ajab k untuk pelabelan total ss ajab pada Graf Pohon Psang
4 Dar Lea ddapatkan nla blangan ajab untuk graf Blangan ajab k dapat dteukan jka nla pada spul tersebut ddapat dengan enukan dan eaksalkan nla pelabelannya[4] Sehngga ddapatkan rentang blangan ajab k untuk pelabelan total ss ajab pada graf Teorea 3 Jka graf adalah graf edge agc total, aka blangan ajabnya (agc su teletak pada rentang + k ( 6n + 9n untuk n < + 5n k ( 6n + untuk n Blangan ajab akan bernla nu saat spul berderajat palng besar dlabel dengan label palng kecl[8] Sehngga Lea 4 enjad batas bawah dar rentang nla k yatu: Untuk n < ; + n + 5 + ( + ( 5 + ( 9 9 + 3 + Untuk n ; + n + 5 + ( 3 3 + ( 3 + ( 9 + 5 Dan k akan bernla aksu saat spul berderajat palng besar dlabel dengan label palng besar Sehngga Lea 4 enjad batas atas dar rentang nla k yatu: Untuk n < ; + n + 5 + ( 4n + 5 + + 7 + 5 3 ( 6n + 9 Untuk n ; k = 8n + n + 5 + 8n n 9 n + 7 + 8n + 3 ( ( ( ( ( 6n + 33 + Jad jka adalah graf edge agc total dengan blangan ajab, aka k terletak pada rentang + k ( 6n + 9n untuk n < + 5n k ( 6n + untuk n D Pelabelan Total Ss Ajab Graf Pohon Psang Secara uu graf pohon psang B, n dengan =, dnotaskan dengan Mepunya spul dan ss V ( B, n = { c, c} { x, x} { a, a, a j} { a, a, a j} { r} E( B, n = { xr, xr} { xc, xc} { c a, ca,, ca { ca, ca, ca Untuk dan j n Julah spul dan ss asng asng adalah V ( B, n = n + 3 dan E( B, n = n + Teorea 4 Graf adalah sebuah graf pohon psang dengan salnan graf bntang dan buah antng, aka adalah graf yang epunya pelabelan total ss ajab dengan k = 4 n + 0 Msalkan graf Pohon psang epunya, V ( B, n E( B, n = { c, c, x, x, r, a, a, a j} { x r, xr, xc, xc, ca, ca, ca { c a, ca,, ca Sehngga epunya ss V ( B, n = { ( r + ( rx + ( x { ( x + ( xc + ( c { ( c + ( ca j + ( a j { ( c + ( ca j + ( a j Ddefnskan V ( B, n E( B, n ke hpunan {,,3,, p + } dana p = V (G dan = E(G dengan pola sebaga berkut: ( x = n + + ( x = ( rx = 3 n + 6 ( x c = 3 n 3 + 9 r = ( a j = + + j ( a j = n + + j + ( c a j = 4n + j + 5 ( ca j = 3n + j karena asng-asng ss berlaku ( x + ( + ( = k, aka: a { ( r + ( rx + ( x = ( + ( 3n + 6 + ( n + + = 4 n +0 b { ( x + ( xc + ( c = ( n + + + ( 3n 3 + 9 + ( = 4 n +0 c { ( + ( c a + ( a c j j = ( + ( 4n + j + 5 + ( + + j = n + j + 5 + + + j ( ( ( = 4 n +0
5 d { ( + ( c a + ( a c j j ( + ( 3n + j + ( n + + + ( + ( 3n + j + ( n + + + = j = j = 4 n +0 Jad terbukt bahwa graf pohon psang dengan blangan asl adalah graf yang epunya pelabelan total ss ajab dengan k = 4 n + 0 + 5n k ( 6n + untuk n Dan epunya blangan ajab k = 4 n + 0 dengan pola sebaga berkut: ( x = n + + ( x = ( rx = 3 n + 6 ( x c = 3 n 3 + 9 r = ( a j = + + j ( a j = n + + j + ( c a j = 4n + j + 5 c a = 3n + j ( j Gabar 4 Graf Pohon Psang Pelabelan Total ss ajab pada graf pohon psang dgabarkan sepert pada Gabar 4 dengan DAFTAR PUSTAKA [] J, Sedláčk (963 Theory of Graphs and Its Applcatons Proble 7, Proc Syposu Solence, June 963 63-67 [] Kotzg A, Rosa A (970 Magc valuatons of fnte graphs Canad Math Bull, 3 45-46 [3] Walls, WD (00 Magc Graphs Boston, Brkauser [4] Muthoharoh (007 Pelabelan edge agc dan super edge agc pada pohon bner Tess ITS IV SIMPULAN Graf adalah sebuah graf kebang ap dengan dua spul backbone { x x } dan buah antng, aka adalah graf yang epunya pelabelan total ss ajab dan epunya blangan ajab (agc su teletak teletak pada + 35 k ( 6n + 5n + 37 Dan epunya blangan ajab k = 4 n + dengan pola sebaga berkut: x = n ( + 6 ( x = ( c = ( = j a j ( x x = n ( x c = n + 5 ( x c = 4n 7 + ( c a j = 4n + 9 j Graf B, n adalah sebuah graf pohon psang dengan salnan graf bntang dan buah antng, aka B, n adalah graf yang epunya pelabelan total ss ajab aka blangan ajabnya (agc su teletak pada + k ( 6n + 9n untuk n <