Pelabelan Total Super (a,d) - Sisi Antimagic Pada Graf Crown String (Super (a,d)-edge Antimagic Total Labeling of Crown String Graph )

Transkripsi

1 1 Pelabelan Total Super (a,d) - Sisi Antiagic Pada Graf Crown String (Super (a,d)-edge Antiagic Total Labeling of Crown String Graph ) Enin Lutfi Sundari, Dafik, Slain Pendidikan Mateatika, Fakultas Keguruan dan Ilu Pendidikan, Universitas Jeber (UNEJ) Jln. Kaliantan 37, Jeber 6811 e-ail: d.dafik@gail.co Abstrak Pelabelan total super sebuah graf G = (V,E) dengan julah titik p dan julah sisi q adalah pelabelan titik terhadap hipunan {1,, 3,...p} dan pelabelan sisi terhadap hipunan {p+1, p+,...p+q}. Sehingga barisan yang dibentuk oleh w (uv)= f (u)+ f (v)+ f (uv),uv E (G) ebentuk sebuah barisan aritatika dengan suku awal atau a>0 dan d>0 dengan f(u) adalah label titik u, f(v) erupakan label titik v, dan f(uv) erupakan label sisi uv. Dala penilitian ini akan dibahas engenai pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic dari graf Crown String konektif atau tunggal. Graf ini disibolkan dengan Cs,n.. Hasil penelitian enunjukkan bahwa ada pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic dari graf Crown String konektif atau tunggal dari d = 0, 1,. Berdasarkan hasil tersebut dapat disipulkan bahwa graf Crown String konektif atau tunggal eiliki pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic untuk seua nilai d yang eenuhi. Kata Kunci: Pelabelan total super (a,d), graf Crown String Abstract Super edge-antiagic total labeling of a graph G = (V,E) with order p and size q, is a vertex labeling {1,, 3,...p} and an edge labeling {p+1, p+,...p+q} such that the edge-weights w (uv)= f (u)+ f (v)+ f (uv),uv E (G) for an arithetic sequence and for a > 0 and d 0, where f(u) is a label of vertex u, f(v) is a label of vertex v and f(uv) is a label of edge (uv). In this paper we discuss about super edge-antiagic total labelings properties of connected Crown String graph, denoted by Cs,n. The result shows that a connected Crown String graph adit a super (a, d)-edge antiagic total labeling for d = 0, 1,. It can be concluded that the result has covered all the feasible d. Keywords: Super (a, d)-edge-antiagic total labeling, Crown String graph Pendahuluan Teori graf adalah salah salah kajian dala ateatika diskrit. Teori graf banyak digunakan sebagai alat bantu untuk enggabarkan atau enyatakan suatu persoalan agar lebih udah diegerti dan diselesaikan. Pelabelan graf erupakan salah satu topik dala teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara uu direpresentasikan oleh titik dan sisi serta hipunan bagian bilangan cacah yang disebut label.[1] Definisi 1. Sebuah graf G erupakan pasangan hipunan (V(G),E(G)), diana V(G) adalah hipunan berhingga tak kosong dari eleen yang disebut titik,dan E(G) adalah sebuah hipunan (ungkin kosong) dari pasangan tak terurut u,v dari titik-titik u,v V(G) yang disebut sisi. V(G) disebut hipunan titik dari G dan E(G) disebut hipunan sisi dari G. [5] Terdapat berbagai jenis tipe pelabelan dala graf, salah satunya adalah pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic. Pelabelan graf adalah suatu peetaan satu-satu dan onto (fungsi bijektif) yang eetakan hipunan dari eleeneleen graf (titik dan sisi) ke hipunan bilangan bulat positif.[3] Pelabelan erupakan suatu peetaan yang disebut juga fungsi. Fungsi yang digunakan dala pelabelan total super (a,d) adalah fungsi bijektif. Suatu graf dikatakan eiliki pelabelan total (a,d)-sisi antiagic jika terdapat sebuah peetaan satu-satu dari suatu V(G)ƲE(G) ke bilangan bulat {1,,3,...,p+q} sehingga hipunan bobot sisinya w(uv)=f(u)+f(v)+f(uv) pada seua sisi G adalah {a,a+d,...,a+(q-1)d} untuk a>0 dan d>0 keduanya bilangan bulat. Sebuah pelabelan total (a,d)- sisi antiagic disebut pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic jika f(v)={1,,3,...,p} dan f(e)={p+1,p+,p+3,...p+q}. Berdasarkan penjelasan sebelunya dapat juga diartikan bahwa pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic pada sebuah graf G=(V,E) adalah pelabelan titik dengan bilangan bulat {1,,3,...,p} dan pelabelan sisi dengan bilangan bulat f(e)={p+1,p+,p+3,...p+q} dari sebuah graf G diana p adalah banyaknya titik dan q adalah banyaknya sisi pada graf G. Untuk encari batas atas nilai beda d pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic dapat ditentukan dengan lea 1 []: Lea 1. Jika sebuah graf (p,q) adalah pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic aka: d p+q 5 M isalkan graf-(p,q) adalah pelabelan total super (a,d) sisi antiagic dengan f :V (G) E(G) { p+1, p+,..., p+q} ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA, 015, II (1): 1-6

2 .Nilai iniu yang ungkin dari bobot sisi terkecil f (u)+ f (uv)+ f (v )=1+( p+1)+= p+4. Dapat ditulis : p+4 a Sedangkan pada sisi yang lain, nilai aksiu yang ungkin dari bobot sisi terbesar yaitu dengan enjulahkan dua label titik terbesar (p - 1) dan p dengan satu label sisi terbesar (p + q), sehingga diperoleh: ( p 1)+( p+q)+p=3p+. Akibatnya: a+()d 3p+ p+ ( p+4) d d p+q 5 Graf khusus yang belu pernah diketahui pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic nya adalah graf Crown String.[4] Graf Crown String erupakan faili dari graf Buku Segitiga. Graf Crown String adalah salah satu graf yang dikebangkan dari graf buku segitiga dengan enabahkan sisi berupa lintasan. Graf Crown String terasuk graf sederhana. Graf Crown String dinotasikan dengan Cs,n diana adalah banyaknya perluasan graf ke saping dan n banyaknya perluasan puncak graf ke atas. Sedangkan hipunan V dan E dari graf Crown String adalah sebagai berikut. V = xi; yj ; yj;k; 1 i ; 1 j ; 1 k n dan hipunan E E={ +1 ;1 j 1} {,k ;1 j, } {x i ;1 i,1 j } {x i,k ;1 i, 1 j, } { 1,1 ;3 j 1} Adapun anfaat yang diharapkan dala penelitian ini adalah untuk eberikan konstribusi terhadap berkebang-nya pengetahuan baru dala bidang teori graf, khusunya dala ruang lingkup pelabelan graf dengan enunjukkan eksistensi pelabelan total super (a,d) pada graf ini. Penelitian ini dapat eberikan otivasi pada peneliti lain untuk elakukan penelitian tentang pelabelan jarak tidak teratur pada jenis-jenis graf yang berbeda. Selain itu, hasil penelitian ini diharapkan dapat dijadikan pengebangan atau perluasan ilu serta aplikasi dala asalah pelabelan jarak tidak teratur di progra studi Pendidikan Mateatika FKIP Universitas Jeber. Metode Penelitian Metode yang digunakan dala penelitian ini adalah deduktif aksioatik yaitu dengan enerapkan lea yang telah ada yakni Lea 1. Lea tersebut digunakan untuk enentukan nilai batas atas dari graf Crown String. Apabila hasil investigasi pada pelabelan ini terbukti dapat digunakan dan berpola, aka dapat dicari pola dan peruusan pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic dengan enggunakan etode pendeteksian pola (pattern recognition). Adapun teknik penelitian tersebut tersaji pada diagra alur penelitian berikut: Gabar 1. Prosedur Penelitian Pebahasan Pada bab ini akan dijelaskan engenai pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic pada graf Crown String. Penelitian ini diawali dengan enentukan batas atas d dari graf Crown String, enentukan EAVL dan bobot sisi EAV, enentukan SEATL dan enentukan bobot total SEATL pada graf Crown String. Penelitian tersebut dilakukan untuk ebuktikan bahwa graf Crown String tunggal eiliki pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic atau SEATL. Hasil penelitian pada pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic pada graf Crown String tunggal berupa 1 lea dan teorea. Penyajian pada penelitian ini, dengan enuliskan lea ataupun teorea terlebih dahulu, dilanjutkan dengan disertai bukti engenai lea dan teorea tersebut. Batas Atas d Graf Crown String. Diketahui julah titik pada graf Crown String adalah n + 3 dan julah sisi n + 3. Dengan deikian batas atas nilai beda d tersebut adalah: d p+q 5 d (n+3)+(4n+6 3) 5 (4n+6 3) 1 d 4n+6+4n n+6 4 ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA, 015, II (1): 1-6

3 3 d 8n+1 8 4n+6 4 d Karena SEATL selalu enggunakan bilangan bulat positif, aka nilai d adalah bilangan bulat, sehingga d = 0, 1,. Selanjutnya penentuan fungsi bijektif pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic akan disesuaikan dengan nilai d yang telah ditetapkan. Lea 1. Ada pelabelan titik (3,1)-sisi antiagic pada graf Crown String Cs,n jika 1 dan n 1. Bukti. Labeli titik graf Crown String Cs,n dengan sebuah fungsi definisikan pelabelan f1 dapat dituliskan sebagai berikut: )=(n+3) j+1 n+,untuk ; )=(n+3) j,untuk ; 1 j, 1 j, ( )=(n+3) j+1 n k 1,untuk ; 1 j, ( )=(n+3) j k,untuk ; 1 j, )=(n+3)i n 1,untuk ; 1 i, Pelabelan titik f1 erupakan fungsi bijektif yang eetakan V (Cs,n) ke hipunan bilangan bulat. Jika wf1 didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan titik f1 yang diperoleh dari penjulahan buah label titik yang bersisian, aka fungsi bijektif wf1 dapat ditentukan elalui pengaatan pola dan penggunaan konsep barisan aritatika sebagai berikut: )=(n+3) j+( ( 1) j 1 )n k ; 1 j )=(4n+6)i+(( 1) j )(n+1); 1 i,1 j )=(4n+6)i+( ( 1) j 3 (n+1)) k ; 1 i,1 j +1 )=(n+3) j+1; 1 j 1, 1,1 )=(n+3)( j 1); 3 j 1, +1, n )=(n+3) j+ ; j, Berdasarkan bobot sisi EAV ini, bobot sisi terkecil terletak pada wf1(yjyj,k) yaitu (n + 3)j, n =k untuk j = 1 dan k = n. Sedangkan bobot sisi terbesar terletak pada wf1(yjyj,k) yaitu (n + 3)j, j = dan k = 1. Sehingga, dapat disipulkan bahwa f1 adalah suatu pelabelan titik (3; 1). Gabar. Label titik Cs3, Berdasarkan Lea 1 aka diperoleh pelabelan titik (3, 1)-sisi antiagic. Keudian dapat ditentukan pelabelan total super sisi antiagic dengan nilai awal a dan nilai beda d = 0 atau dapat dituliskan dengan pelabelan total super (a, 0)- sisi antiagic. Pelabelan tersebut ditentukan berdasarkan label sisi dari pelabelan titik yang telah diteukan. Letak label sisi ditentukan berdasarkan letak bobot sisi EAVL w dengan urutan yang berkebalikan. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terbesar dan sisi dengan w terbesar dilabeli dengan label sisi terkecil. Melalui pengaatan pola dan penggunaan konsep barisan aritatika, aka dapat ditentukan fungsi bijektifnya. Dari uraian di atas dapat diturunkan teorea 1. Teorea 1. Ada pelabelan total super ((6n+9),0), dan ((n+3)+4,)-sisi antiagic pada graf Crown String Cs,n jika ³ 1,dan n ³ 1. Bukti. Gunakan pelabelan titik f1 untuk elabeli titik graf Crown String Cs,n, keudian definisikan label sisi f sehingga label sisi f untuk pelabelan total super (a, 0)-sisi antiagic pada graf Cs,n, dapat diruuskan sebagai berikut.(lihat gabar 3 sebagai ilustrasi cara elabeli sisi d=0) f (n+3) j+( 1 ( 1) j )(n); 1 j f (4n +6)i+( ( 1) j )(n+1); 1 i,1 j f (4n+6)i+( 3 ( 1) j (n+1))+k ; 1 i,1 j f +1 (n+3) j 1; 1 j 1, f 1,1 (n+3)( j 1); 3 j 1, ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA, 015, II (1): 1-6

4 4 f +1,n (n+3) j ; j, Gabar 3. Label sisi d=0 Jika Wf didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan total graf Crown String berdasarkan penjulahan bobot sisi dengan label sisinya aka Wf dapat diperoleh dengan eruuskan julah bobot sisi EAVL wf1 dan ruus label sisi f dengan syarat batas i, j dan k yang bersesuaian, sehingga dapat diruuskan sebagai berikut: w f )=(6n+9) w f w f w f +1 w f 1,1 w f +1, n Berdasarkan hasil diatas, dapat dilihat bahwa setiap bobot sisi nilainya (6n+9). Sehingga dapat disipulkan bahwa graf Crown String epunyai pelabelan total super(a, d)-sisi antiagic dengan a = (6n + 9) dan d = 0, dengan kata lain graf Crown String epunyai pelabelan total super ((6n+9), 0)-sisi antiagic. Untuk encari pelabelan sisi untuk d = enggunakan hasil pelabelan sisi dari d = 0 dan enggunakan julah sisi dan julah titik. (lihat gabar 4 sebagai ilustrasi cara elabeli sisi d=) Gabar 4. Label sisi d= )=(n+3)(+ j)+( ( 1) j 1 )(n) k ; 1 j )=(n+3)+(4n+6)i+(( 1) j 1)(n+1) n 3; 1 i,1 j )=(n+3)+(4n+6)i+( ( 1) j 1 (n+1)) n k 3 ; 1 i,1 j +1 )=(n+3)+(n+3) j 1; 1 j 1, 1,1 )=(n+3)+(n+3)( j 1) ; 3 j 1, +1, n )=(n+3)+(n+3) j ; j, Untuk encari bobot total d = dengan enjulahkan bobot sisi dan fungsi label sisi d = atau dituliskan sebagai Wf3. )=(n+3) j+(4n+6) j+(( 1) j 1)n k ; 1 j )=(n+3)+(4n+6)i+(( 1) j )(n+1) n 4 ; 1 i,1 j )=(n+3)+(4n+6)i+(( 1) j (n+1)) k n 4 ; 1 i,1 j +1 )=(n+3)+(4n+6) j ; 1 j 1, 1,1 )=(n+3)+(4n+6)( j 1) ; 3 j 1, +1, n )=(n+3)+(4n+6) j+ ; j, Teorea. Ada pelabelan total super ((4n+6)+, 1)-sisi antiagic pada graf Crown String Cs,n jika,n 1 dan genap. Bukti. elabelan total super (a,1)-sisi antiagic pada graf (Cs,n ) dapat diruuskan sebagai berikut: +1 )=(4n+6)+(n+3) j ; 1 j 1, +1 )=(n+3) j+1; j 1, +1,n )=(4n+6)+(n+3) j 1 ; j, ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA, 015, II (1): 1-6

5 5 +1,n )=(n+3) j+; j,,k )=(4n+6)+(n+3) j ( ( 1) j 1 )n k 3; 1 j,k )=(n+3) j ( ( 1) j 1 )n k ; +1 j )=(4n+6)(+i)+(( 1) j )n+( 1) j 5 1 i, 1 j )=(4n+6)i+(( 1) j )(n+1); +1 i,,k )=(4n+6)(+i)+( ( 1) j 3 +1 j 1 i, )n+ ( 1) j 9 k ; 1 j,,k )=(4n+6)i+( ( 1) j 3 )(n+1) k ; +1 i, +1 j, 1,1 )=(4n+6)+(n+3) j n 6; 3 j +1, 1,1 )=(n+3) j n 3 ; +3 j, Jika W didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan total, berdasarkan pelabelan aka dapat d W iperoleh dengan enjulahkan ruus bobot sisi EAVL da W n ruus label sisi dengan syarat batas i dan j yang bersesuaian dan dapat diruuskan sebagai berikut: +1 )=(4n+6)(+ j)±1 ; 1 j 1, +1 )=(4n+6) j+; j 1, +1,n )=(4n+6)(+ j)+1; j, +1,n )=(4n+6) j+4 ; j, )=(4n+6)(+ j)+( ( 1) j 1 )n k 3 ; 1 j )=(4n+6) j ( ( 1) j 1 )n k ; +1 j )=(4n+6)(+i)+(( 1) j 4)n+( 1) j 7 ; 1 i, 1 j )=(4n+6)i+(( 1) j 4)(n+1); +1 i, +1 j 1 i, 1 j, )=(4n+6)i+( ( 1) j 1 )(n+1) k ; +1 i, +1 j, 1,1 )=(4n+6)(+ j) 4n 9; 3 j +1, 1,1 )=(4n+6)(+ j) 1 ; +3 j, Dengan kata lain graf Crown String (Cs,n ) epunyai pelabelan total super ((4n+6)+, 1)-sisi antiagic. ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA, 015, II (1): 1-6

6 6 Kesipulan Kesipulan dan Saran Graf Crown String konektif (Cs,n ) eiliki pelabelan total super (a,d)-sisi antiagic untuk d=0,1,. Hasil penelitiannya telah dibuktikan bahwa ada pelabelan titik (3,1)-sisi antiagic pada graf Crown String (Cs,n ) jika, n 1. Ada pelabelan total super ((6n+9),0), dan ((n+3)+4,)-sisi antiagic pada graf Crown String (Cs,n ) jika,n 1. Serta ada pelabelan total super ((4n+6)+, 1)-sisi antiagic pada graf Crown String (Cs,n ) dan genap. Saran Dari hasil penelitian yang telah diteukan, aka peneliti eberikan saran pebaca dapat elakukan penelitian pada pelabelan total super (a,d) -sisi antiagic pada konektif graf Crown String (Cs,n ), dengan ganjil untuk d=1. Daftar Pustaka [1] Chartrand, G Introdutory Graph Theory. United Stated of Aerica: Dover Publication inc. [] Dafik, dkk On Super (a,d)-edge anti agic Total Labeling of Disconnected graphs. Jurnal discrete atheatics jilid 309 (009): [3] Dafik., Fajriatin,Alfin., dan Miladiyah,Kunti. 01. Super Antiagicness of a Well-defined Graph. Saintifika. Vol. 14 No.1 (01): [4] Gallian,Joseph A Dynaic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Cobinatorics 18 (011) [5] Slain Pendekatan Teori Graf. Jeber: Universitas Jeber. ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA, 015, II (1): 1-6