5. Aplikasi Turunan
5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi. Ada Tiga jenis asimtot ungsi, yakni (i Asimtot Tegak Garis = c disebut asimtot tegak dari y = ( jika (ii Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = ( jika (iii Asimtot Miring Garis y = a + b disebut asimtot miring jika c ( ( b ( a dan ( a b MA KALKULUS I
Asimtot tegak a a =a asimtot tegak Dalam kasus dan a a ( ( =a asimtot tegak Dalam kasus dan a a ( (
y= b Garis y = b asimtot datar karena ( Asimtot datar mungkin dipotong oleh graik ungsi untuk hingga Tapi, jika untuk menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh graik ungsi(tidak dipotong lagi b
y=( y a b Garis y = a + b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu ungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring 5
Contoh Tentukan semua asimtot dari Jawab : ( (i Asimtot tegak : =, karena dan (ii Asimtot datar : ( ( ( ( ( Maka asimtot datar tidak ada 6
7 a. ( ( ( ( ( (iii Asimtot miring ; y = a+b 0 ( a b ( Asimtot miring y =
Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari ungsi berikut :. (. (. ( 8
C. Kemonotonan Fungsi Deinisi 5. Fungsi ( dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk I,, ( ( I Fungsi ( monoton naik pada selang I 9
monoton turun pada interval I jika untuk, I, ( ( I Fungsi monoton turun pada selang I 0
Teorema 5. : Andaikan dierensiabel di selang I, maka Fungsi ( monoton naik pada I jika '( 0 Fungsi ( monoton turun pada I jika '( 0 I I Contoh: Tentukan selang kemonotonan dari Jawab : ( ( ( ( '( ( ( ( ( 6 ( ( monoton naik pada +++++++ ------------ --------- 0 (,0 dan (, ( monoton turun pada (0, dan (,. ++++++
D. Ekstrim Fungsi Deinisi 5. Misalkan ( kontinu pada selang I yang memuat c, (c disebut nilai maksimum min imum global dari pada I jika ( c ( c ( ( I (c disebut nilai maksimum min imum buka yang memuat c sehingga lokal dari pada I jika terdapat selang ( c ( c ( ( untuk setiap pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum ungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah deinisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim ungsi disebut titik kritis.
(a ma lokal (c ma global ( (e ma lokal (b min lokal (d min global ( min lokal a b c d e Nilai ekstrem ungsi pada selang I=[a, ]
Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner ( yaitu = c dimana '( c 0, secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,(c Titik singulir ( = c dimana '( c tidak ada, secara geometris: terjadi patahan pada graik di titik (c,(c MA KALKULUS I
Teorema 5. : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika '( '( ( c, c (c 0 0 ( c, c '( '( maksimum minimum pada dan pada Maka (c merupakan nilai 0 0 lokal c (c c (c nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik ( >0 dan disebelah kanan c monoton turun ( <0 (c nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun ( <0 dan disebelah kanan c monoton naik ( >0 5
Teorema 5. Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal ''( c 0 Misalkan '( c 0. Jika,maka (c merupakan maksimum ''( c 0 nilai lokal minimum Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari Jawab: ( '( ( ( +++++++ ------------ --------- ++++++ 0 Dengan menggunakan uji turunan pertama : di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di = tercapai minimum lokal dengan nilai ( 0 ( 6 6
7 Soal Latihan 6 0 5 ( 5 ( ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim ungsi berikut :...
E. Kecekungan Fungsi y y Graik ungsi cekung keatas Graik ungsi cekung kebawah Fungsi ( dikatakan cekung ke atas pada interval I bila '( naik pada interval I, dan ( dikatakan cekung kebawah pada interval I bila '( pada interval I. turun Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan. Jika "( 0, I, maka cekung ke atas pada I.. Jika, maka cekung ke bawah pada I. "( 0, I 8
contoh Tentukan selang kecekungan dari Jawab : '( ( ''( ( ( ( (( 8 8 ( ( ( ( ( ( 8 ( ( 8 ( Graik cekung keatas pada (, dan cekung kebawah pada selang (, 9
F. Titik belok Deinisi 5. Misal ( kontinu di = b. Maka (b,(b disebut titik belok dari kurva ( jika : terjadi perubahan kecekungan di = b, yaitu di sebelah kiri =b, ungsi cekung ke atas dan di sebelah kanan =b ungsi cekung ke bawah atau sebaliknya. 0
(c (c c c (c,(c titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,(c titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
(c c c (c,(c bukan titik belok karena disekitar c tidak terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan tapi tidak ada titik belok karena tidak terdeinisi di c
Tentukan titik belok (jika ada dari. ( '( 6, ''( -------------. ( 0 +++++++ Di = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan (0= - maka (0,- merupakan titik belok ''( +++++++ 0 +++++++ Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan
. ( ''( 8 ( -------------- +++++++ Walaupun di =, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena ungsi ( tidak terdeinisi di =
5 Soal Latihan 6 0 5 ( 5 ( ( Tentukan selang kecekungan dan titik belok ungsi berikut :...
Contoh: Diketahui ( a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim ungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan graik ( a. Fungsi ( monoton naik pada selang (,0, (, monoton turun pada selang (0, dan (,. di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai ( 0 di = tercapai minimum lokal dengan nilai ( b. Graik cekung keatas pada (, dan cekung kebawah pada selang (,, tidak ada titik belok c. Asimtot tegak =, asimtot miring y =, tidak ada asimtot datar 6 6
d. Graik ( ++++++ ----- ----- ++++++ ' --------------------- 0 +++++++++++ ' ' 6 y= - 7
8 ( ( ( ( Gambarkan graik ungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim ungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot Soal Latihan....
5. Menghitung it ungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it :. Aturan L Hôpital untuk bentuk 0 0 0 Andaikan ( = g( = 0. Jika 0,, 0., '( g' ( L,, atau Maka ( g ( ' ( g ' ( 9
Contoh: Hitung cos 0 bentuk (0/0 Jawab: cos sin cos 0 0 0 Ctt : aturan L hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi. Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan ( = g( =. Jika maka ( g ( ' ( g ' ( '( g'( L,, atau 0
Contoh: Hitung 5 Jawab: 5 (bentuk Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu it dapat dihitung dengan menggunakan dalil L Hopital Contoh: Hitung Jawab: ( ( ( ( (
Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setelah dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb: ( ( ( ( ( (
. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk 0 atau 0 Contoh : Hitung 0 csc Jawab : 0 csc 0 sin 0 cos 0
. Bentuk - Misalkan (= g( =. Untuk menghitung [ ( - g( ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ (- g( ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung csc cot 0 Jawab : cos cos csc cot sin sin 0 0 sin 0 sin 0 cos 0
Soal Latihan Hitung it berikut :. sin 0 cos... 5. 5 0 sin 5 0 0 5