DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA"

Yanti Lesmono
6 tahun lalu
Tontonan:

1 (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007

3 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f (x) f (c) untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal. Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.

4 Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c

5 Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah puncak di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah lembah di atas titik c.

6 Jika f (c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar.

7 Contoh 1 Daftar Isi Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai { x + 2, x < 1, f (x) = x, x 1. Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di 1, namun f ( 1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.

8 Teorema 2 Daftar Isi Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f (c) = 0,

9 Bukti. Menurut definisi turunan, f (x) f (c) x c f (c) untuk x c. Misalkan f (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f (x) f (c) x c > 0 (1) untuk x (c δ, c + δ), x c. Sekarang misalkan x (c, c + δ) sembarang. Maka, x c > 0 dan (1) memberikan f (x) f (c) > 0 atau f (x) > f (c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x (c δ, c) sembarang. Maka, x c < 0 dan (1) memberikan f (x) f (c) < 0 atau f (x) < f (c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

10 Hal serupa terjadi ketika f (c) < 0. Jadi, jika f (c) 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

11 Soal Latihan 1 Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada ( 2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f (1) bukan merupakan nilai maksimum f pada ( 2, 2). 2 Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

12 Titik c dengan f (c) = 0 disebut titik stasioner f. Sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f (x) = x 3, maka f (x) = 3x 2, sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f. Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f.

13 Gambar 10.2 Grafik fungsi f (x) = x 3

14 Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi f (x) = x 2 sin 1 x untuk x 0 dan f (0) = 0 mempunyai turunan f (0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

15 Teorema 3 (Teorema Rolle) Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f (a) = f (b), maka untuk suatu c (a, b). f (c) = 0

16 Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c 1 [a, b] dan juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c 2 [a, b]. Misalkan c 1 dan c 2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f (a) = f (b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f (c) = 0 untuk setiap c (a, b). Misalkan c 1 bukan titik ujung [a, b]. Maka c 1 (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c 1. Menurut Teorema 2, f (c 1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila c 2 bukan titik ujung [a, b].

17 Soal Latihan 1 Diketahui f (x) = x x, x R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0. 2 Misalkan f : R R mempunyai turunan di setiap titik dan f (x) = x 2 untuk setiap x R. Buktikan bahwa f (x) = 1 3 x 3 + C, dengan C suatu konstanta.

18 Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata) Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka f f (b) f (a) (c) = b a untuk suatu c (a, b). f (b) f (a) Catatan. Nilai b a disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)). Kesimpulan Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f (x) terdapat suatu titik (c, f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b].

19 Bukti. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x) = f (x) hx dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni f (b) f (a) h =. b a Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Namun sehingga teorema pun terbukti. F (c) = f (c) h = 0,

20 Soal Latihan 1 Diketahui f (x) = x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c (0, 4) sedemikian sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut. 2 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f (x) = 0 untuk setiap x (a, b), maka f konstan pada [a, b].

dokumen-dokumen yang mirip

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)