CATATAN KULIAH Pertemuan VIII: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Satu Variabel)

Transkripsi

1 CATATAN KULIAH Pertemuan VIII: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Satu Variabel) A. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem Ekuilibrium Tujuan vs. Ekuilibrium Non-Tujuan:. Ekuilibrium Non-Tujuan: Terjadi akibat keseimbangan impersonal antara kekuatan yang berlawanan dan tidak membutuhkan usaha siapun untuk mencapai keadaan ini.. Ekuilibrium Tujuan: Posisi optimum bagi unit ekonomi tertentu (contohnya pegawai atau perusahaan), di mana unit ekonomi tersebut akan berusaha keras mencapai keadaan ini Optimasi Selanjutnya dalam proses Optimasi, perlu diidentiikasikan Fungsi Objekti yang akan dioptimumkan. Dalam objekti tersebut, variabel tak-bebas nya akan menjadi sasaran proses maksimasi atau minimasi Contoh: memaksimumkan Laba π R() - C(), di sini kuantitas menjadi satu-satunya variabel bebas. Sehingga persoalan optimasinya adalah pemilihan tingkat yang akan memaksimumkan π B. Maksimum dan Minimum Relati : Uji Derivati Pertama Misal Fungsi Tujuan dalam bentuk umum: y() Nilai kritis dari di 0 adalah jika ( 0 ) Dan nilai stasioner dari y adalah ( 0 ) Titik stasioner adalah titik dengan koordinat 0 dan ( 0 ) Titik stasioner ini sebagai calon untuk titik ekstrem. Uji pertama untuk ekstrem relati adalah '() dan nilai dari () adalah:. Maksimum relati jika '() berubah tanda dari positi menjadi negati dari sebelah kiri ke sebelah kanannya.

2 y A '(). Minimum relati jika '() berubah tanda dari negati menjadi positi dari sebelah kiri ke sebelah kanannya y B '()0. Bukan maksimum relati atau minimum relati jika '() mempunyai tanda yang sama baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan titik. (titik ini dikenal sebagai titik belok (inlection point) y D '()

3 Contoh: Carilah titik ekstrem dari: y ( ) '( ) '( ) ( 8 + ) ( )( 6) ; 6 ke titik titik ekstrem kiri (.5) 8.75 '(.5) 6.75 y ( ) i () 40 '() kanan (.5) 8.65 '(.5) 5.5 ma ( +, ) (5.5) 9.75 '(5.5) 5.5 (6) 8 '(6) (6.5) 9.65 '(6.5) 6.75 min (, + ) Graik y Graik Derivati ke- nya: '( ) 4 + 6

4 C. Derivati Kedua dan Derivati yang lebih tinggi Misal Fungsi Tujuan dalam bentuk umum: y() Derivati ke- '() atau dyd merupakan. Selanjutnya jika ini kontinu dan mulus (smooth ) maka ia akan dapat didierensiasi lebih lanjut. Hasil dari dierensiasi ini disebut sebagai ke- dari ungsi dan dinotasikan sebagai ''() atau d yd. Derivati ke- ini dapat didierensiasi lebih lanjut terhadap untuk menghasilkan ke-, yaitu '''() dan seterusnya dengan proses ini didapat ke-n: (n) () atau d n yd n Contoh : Carilah Derivati ke- dari R 00 R 00 dr d d 00 4 dr d R d R d R 4 asal ke - ke - ke - Contoh : Carilah Derivati ke-5 dari 4 ( ) ( ) 4 ' ( ) 6 "( ) 48 () (4) (5) awal ke ke ( ) 96 6 ke ( ) 96 ke 4 ( ) 0 ke 5 '() mengukur kecepatan perubahan dari () yang berarti kemiringan garis singgung (slope) baik meningkat (increasing) atau menurun (decreasing). ''() mengukur kecepatan perubahan dari '() yang berarti kecekungan dari kurvanya. maka ( ) Jika < 0, adalah maksimum relati

5 maka ( ) Jika > 0, adalah minimum relati Berdasar criteria di atas maka dalam contoh ekstremnya dapat dicari sbb: R 00, titik R 00 dr d dr d R "() < 0 4 asal ke titik ekstrem ke maimum D. Uji Derivati Kedua Uji kedua untuk ekstrem relati adalah '() dan nilai dari () adalah:. Maksimum relati jika nilai ''()<0. Minimum relati jika nilai ''()>0. Tidak dapat disimpulkan jika nilai ''()0 Cembung Murni: jika diambil sembarang sepasang titik M dan N pada kurvanya dan hubungkan keduanya dengan garis lurus, maka segmen garis MN harus terletak dibawah kurva kecuali pada titik MN. Uji: jika "() bernilai negati untuk semua, maka () cembung murni.

6 Contoh: Fungsi Laba π R() - C(), R 00 C π R-C 00 maka dπ d π π () ( ) π (6.5) 00.5 pendapatan biaya ke - ke - laba ( ) > 0 min π ( ) < 0 ma uji ke - π π titik ekstrem Graik laba π dπ Graik ke- dari laba :

7 Contoh: Kompetisi Tidak Sempurna AR R AR ( ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( )() ( ) + ( ) + ( ) ( ) (0.76) ) > 0 min. "( "(9.79).94 ) < 0 ma. average rev.unction total revenue unction m arginal rev unction ke product rule ke titik ekstrem ke uji kecembungan total revenue unction ke ke ke Latihan :. Carilah maksimum dan minimum relati dengan uji kedua : ( )