Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval 2 M. Ady Rudhito, Sri Wahyui, 3 Ari Suparwato, ad 4 F. Susilo Mahasiswa S3 Mateatia FMIPA UGM da Staff Pegajar FKIP Uiversitas Saata Dhara Paiga Maguwoharjo Yogyaarta 2,3 Jurusa Mateatia FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Seip Utara Yogyaarta 4 Jurusa Mateatia FST, Uiversitas Saata Dhara Paiga Maguwoharjo Yogyaarta 2 3 4 e-ail : rudhito@staff.usd.ac.id, swahyui@ug.ac.id, ari_suparwato@yahoo.co, fsusilo@staff.usd.ac.id Abstra. Maalah ii ebahas esistesi da etuggala ilai eige da vetor eige atris atas aljabar -plus iterval. Hasil pebahasa eujua bahwa setiap atris atas aljabar -plus iterval epuyai ilai eige, yaitu ilai eige iterval -plus asiu, da vetor eige iterval -plus yag bersesuaia dega ilai eige tersebut. Batas bawah da batas atas ilai eige iterval -plus asiu tersebut berturut-turut adalah ilai eige -plus asiu atris batas bawah da ilai eige -plus iu atris batas atas dari atris itervalya. Jia atris atas aljabar -plus iterval tersebut irredusibel aa ilai eigeya tuggal. Kata-ata uci: aljabar -plus, iterval, ilai eige da vetor eige.. Pedahulua Dala asalah peodela da aalisa suatu jariga, adag-adag watu atifitasya belu dietahui. Hal ii isala area jariga asih pada tahap peracaga, data-data egeai watu atifitas belu dietahui secara pasti aupu distribusiya. Watu atifitas ii dapat diperiraa berdasara pegalaa aupu pedapat dari para ahli aupu operator jariga tersebut. Utu itu watu atifitas jariga diodela dala suatu bilaga abur (fuzzy uber). Ahir-ahir ii telah berebag peodela jariga yag elibata bilaga abur. Utu asalah pejadwala yag elibata bilaga abur dapat dilihat pada Chaas, S., Zielisi, P. (200). Sedaga utu asalah odel jariga atria yag elibata bilaga abur dapat dilihat pada Lüthi, J., Harig, G. (997). Peodela da aalisa sifat periodi siste jariga yag elibata bilaga abur, sejauh peulis etahui, belu ada yag egguaa pedeata aljabar plus. Dala peodela suatu siste jariga dega pedeata aljabar -plus, graf utu jariga tersebut diyataa dega egguaa atris, dega usurusurya eyataa watu atifitas atar titi pada jariga tersebut. Selajutya sifat Seas Mateatia da Pedidia Mateatia 2008-8
Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval periodi siste dapat diaalisis elalui ilai eige da vetor eige atris atas aljabar -plus (selajutya cuup disebut ilai eige da vetor eige -plus) seperti dala Baccelli et.al (992), Rudhito A (2003). Peodela watu atifitas jariga dega egguaa bilaga abur dega pedeata aljabar -plus aa terait dega atris yag usur-usurya berupa bilaga abur. Dega egiuti pola peodela da aalisa jariga dega egguaa aljabar -plus, aa osep dasar yag aa terait dega aalisa sifat periodi siste adalah ilai eige da vetor eige atris atas aljabar -plus bilaga abur dari atris dala odel tersebut. Operasi-operasi pada bilaga abur dapat dilaua egguaa Teorea Deoposisi, yaitu elalui potogapotoga-α-ya yag berupa iterval-iterval (Susilo, F. 2006). Dega deiia peetua ilai eige da vetor eige atris atas aljabar -plus bilaga abur elalui Teorea Deoposisi aa eerlua hasil-hasil pebahasa ilai eige da vetor eige atris atas aljabar -plus iterval. Utu itu dala aalah ii aa dibahas tetag ilai eige da vetor eige atris atas aljabar -plus iterval (selajutya cuup disebut ilai eige da vetor eige -plus iterval). Sebelu dibahas hasil utaa aalah ii pada bagia 4, terlebih dahulu pada bagia 2 da 3 aa ditijau beberapa osep dasar da hasil-hasil yag eduug pebahasa. 2. Aljabar Max-Plus, Nilai Eige da Vetor Eige Max-Plus Dala bagia ii dibahas osep dasar aljabar -plus da aitaya dega teori graf, serta esistesi da etuggala ilai eige da vetor eige -plus. Pebahasa selegapya dapat dilihat pada Baccelli et.al (992), Rudhito A (2003). Diberia R ε := R {ε } dega R adalah hipua seua bilaga real da ε : =. Pada R ε didefiisia operasi beriut: a,b R ε, a b := (a, b) da a b : = a + b. Dapat ditujua bahwa (R ε,, ) erupaa seirig outatif idepote dega elee etral ε = da elee satua e = 0. Lebih lajut (R ε,, ) erupaa seifield, yaitu bahwa (R ε,, ) erupaa seirig outatif di aa utu setiap a R terdapat a sehigga berlau a ( a) = 0. Keudia dega aljabar -plus, yag selajutya cuup ditulisa dega R. (R ε,, ) disebut - 9
Aljabar -pus R tida euat pebagi ol yaitu x, y Rε berlau: jia x y = ε aa x = ε atau y = ε. Relasi yag didefiisia pada R dega x y x y = y erupaa uruta parsial pada R. Lebih lajut relasi ii erupaa uruta total pada R. Dala R, operasi da osiste terhadap uruta, yaitu a, b, c R, jia a b, aa a c b c, da a c b c. Pagat dari elee x R dilabaga dega didefiisia sebagai beriut: x := 0 x da := x x, da didefiisia pula ε : = 0 da ε : = ε, utu =, 2,.... x 0 0 Operasi da pada R dapat diperluas utu operasi-operasi atris dala R : = {A = (Aij) A ij R, utu i =, 2,..., da j =, 2,..., }. Utu α R da A, B R didefiisia α A, dega (α A) ij = α A ij da A B, dega (A p B) ij = A ij BBij utu i =, 2,..., da j =, 2,...,. Utu A, B didefiisia A B, dega (A B) ij = A i B j. Didefiisia atris E R, (E ), jia i = j ε, jia i j p = 0 ij := da atris ε R, (ε ) ditujua bahwa ( R R, p R ij := ε utu setiap i da j. Dapat,, ) erupaa seirig idepote dega elee etral atris ε da elee satua atris E. Sedaga R erupaa seiodul atas R. Pagat dari atris A x R A = E da = A A utu =, 2,.... Relasi 0 A dala aljabar -plus didefiisia dega: yag didefiisia pada R dega A B A B = B erupaa uruta parsial pada. Perhatia bahwa A B A B = B A ij B ij B = BBij A ij B ij B utu R setiap i da j. Dala (,, ), operasi da osiste terhadap uruta, R yaitu A, B, C R, jia A B, aa A C B C, da A C B C. Didefiisia R := { x = [ x, x 2,..., x ] T x i R, i =, 2,..., }. Perhatia bahwa dapat dipadag sebagai R, sehigga erupaa seiodul atas R R. Usur-usur dala R disebur vetor atas R. R Seas Mateatia da Pedidia Mateatia 2008-0
Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval Suatu graf berarah G didefiisia sebagai suatu pasaga G = (V, A) dega V adalah suatu hipua berhigga ta osog yag aggotaya disebut titi da A adalah suatu hipua pasaga terurut titi-titi. Aggota A disebut busur. Suatu litasa dala graf berarah G adalah suatu barisa berhigga busur (i, i 2), (i 2, i3),..., (i, i l l) dega (i, i + ) A utu suatu l N (= hipua seua bilaga asli), da =, 2,..., l. Suatu litasa disebut siruit jia titi awal da titi ahirya saa. Siruit eleeter adalah siruit yag titi-titiya ucul tida lebih dari seali, ecuali titi awal yag ucul tepat dua ali. Suatu graf berarah G = (V, A) dega V = {, 2,,..., } diataa terhubug uat jia utu setiap i, j V, i j, terdapat suatu litasa dari i e j. Diberia graf berarah G = (V, A) dega V = {, 2,..., p}. Graf berarah G diataa berbobot jia setiap busur (j, i) A diawaa dega suatu bilaga real A ij. Bilaga real A ij disebut bobot busur (j, i), dilabaga dega w(j, i). Graf presede dari atris A R adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, A) dega V = {, 2,..., }, A = {(j, i) w(i, j) = Aij ε }. Bobot suatu litasa didefiisia sebagai julaha bobot busur-busur yag eyusu tersebut. Suatu ruus bobot rata-rata asiu siruit eleeter dala G(A), dilabaga dega λ (A)), adalah λ = ( (A) = (A ) ii ). i= Suatu atris A R diataa sei-defiit jia seua siruit dala G(A) epuyai bobot tapositif da diataa defiit jia seua siruit dala G(A) epuyai bobot egatif. Diberia A R. Dapat ditujua bahwa jia A seidefiit, aa p, p A E A... A. Diberia atris sei-defiit A R A +. Didefiisia A : = E A... A.... Suatu atris A R diataa irredusibel jia graf presedeya terhubug uat. Dapat ditujua bahwa atris A R irredusibel jia da haya jia (A A... A ) ij ε, utu setiap i, j dega i j. Diberia A R 2. Salar λ R disebut ilai eige -plus atris A jia terdapat suatu vetor v dega v ε sehigga A v = λ v. Vetor v R -
tersebut disebut vetor eige -plus atris A yag bersesuaia dega λ. Diberia A R. Dapat ditujua bahwa salar λ(a), yaitu bobot rata-rata asiu siruit eleeter dala G(A), erupaa suatu ilai eige -plus atris A. Lebih lajut utu B = λ (A) A, jia + B ii = 0, aa olo e-i atris erupaa vetor eige yag bersesuaia dega ilai eige λ (A). Kolo-olo ei atris B di atas, yag erupaa vetor eige yag bersesuaia dega ilai eige λ (A), disebut vetor-vetor eige fudaetal yag bersesuaia dega ilai eige λ (A). Dapat ditujua bahwa obiasi liear -plus vetor-vetor eige fudaetal atris A juga erupaa vetor eige yag berseuaia dega λ (A). Jia salar λ R, erupaa ilai eige -plus atris A, aa λ erupaa bobot rata-rata suatu siruit dala G(A), sehigga λ (A) erupaa ilai eige plus asiu atris A. Dapat ditujua bahwa jia atris irredusibel A epuyai ilai eige -plus λ dega x sebagai vetor eige -plus yag bersesuaia dega λ, aa xi ε utu setiap i {, 2,..., }. Dapat ditujua B R bahwa jia atris A irredusibel, aa A epuyai ilai eige -plus tuggal, yaitu λ(a). R 3. Aljabar Max-Plus Iterval da Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval Bagia ii ebahas osep dasar da tei pegoperasia atris atas aljabar -plus iterval. Pebahasa lebih legap dapat dilihat pada Rudhito, A. d (2008a, 2008b). Iterval (tertutup) x dala R adalah suatu hipua bagia dari R yag berbetu x = [ x, x] = {x R x x x }. Iterval x dala R di atas disebut iterval -plus, yag selajutya aa cuup disebut iterval. Suatu bilaga x R dapat diyataa sebagai iterval [x, x ]. Didefiisia I(R) ε := { x = [ x, x] x, x R, ε x x} { ε }, dega ε := [ε, ε ]. Pada I(R) ε didefiisia operasi da dega: x y = [ x y, x y ] da x y = [ x y, x y], x, y I(R ε ). Dapat ditujua bahwa (I(R) ε,, ) erupaa seirig idepote outatif dega elee etral ε = [ε, ε] da elee Seas Mateatia da Pedidia Mateatia 2008-2
Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval satua 0 = [0, 0]. Seirig idepote outatif (I(R),, ) selajutya disebut dega aljabar -plus iterval yag dilabaga dega I(R). Didefiisia I(R) := {A = (Aij) A ij I(R ), utu i =, 2,..., da j =, 2,..., }. Matris aggota I(R) disebut atris iterval -plus. Selajutya atris iterval -plus cuup disebut dega atris iterval. Utu α I(R) A, B I(R), didefiisia α A, dega (α A) ij = α A ij da A B, dega (A B) ij = A ij B ij utu i =, 2,..., da j =, 2,...,. Utu A I(R), B ε p, p I(R), didefiisia A B dega (A B) ij = Ai Bj p = utu i =, 2,..., da j =, 2,...,. (I(R),, ) erupaa seirig idepote dega elee etral atris ε dega (ε ) ij := ε utu setiap i, j da elee satua adalah 0, jia i = j atris E, dega (E ) ij : =. Sedaga I(R) erupaa seiodul ε, jia i j atas I(R), Utu A I(R) didefiisia atris A = ( A ij) R da A= (A ij ) R yag berturut-turut disebut atris batas bawah da atris batas atas dari atris iterval A. Diberia atris iterval A I(R), dega A da A berturutturut adalah atris batas bawah da atris batas atasya. Didefiisia iterval atris dari A, yaitu [ A, A ] = { A R A A A } da I( ) = { [ A, A ] A I(R) }. Utu α I(R), [ A, A ], [ B, B] I( R ), didefiisia R α [ A, A] = [α A, α A] da [ A, A] [ B, B] = [A B, A B ]. Utu p p [ A, A] I( R ), [ B, B] I( R ), didefiisia [ A, A] [ B, B]= [A B, A B ]. (I( x ),, R ) erupaa seirig idepote dega elee etral adalah iterval atris [ε, ε] da elee satua adalah iterval atris [E, E]. Sedaga I( R ) erupaa seiodul atas I(R). Seirig (I(R),, ) isoorfis dega seirig (I( x ),, ), R x dega peetaa f : I(R) I( ), f (A) = [ A, A], A I(R). Sedaga R - 3
seiodul I(R) atas I(R) isoorfis dega seiodul I( R ) atas I(R) Dega deia utu setiap atris iterval A selalu dapat ditetua iterval x atris [ A, A ] da sebaliya utu setiap iterval atris [ A, A] I( R ), aa x A, A, sehigga dapat ditetua atris iterval A I(R), di aa [ A R A ij ] I(R), i da j. Dega deiia atris iterval A I(R) dapat dipadag sebagai iterval atris [ A, A] I( R ). Iterval atris [ A, A] ij, I( R x ) disebut iterval atris yag bersesuaia dega atris iterval A I(R) da dilabaga dega A [ A, A ]. Aibat isoorfisa di atas, aa berlau α [ A B, A B]. A [α A, α A ], A B [A B, A B ] da A B Didefiisia I(R) := {x = [x, x 2,..., x ] T x i I(R), i =, 2,..., }. Hipua I(R) dapat dipadag sebagai I(R). Usur-usur dala I(R) disebut vetor iterval atas I(R). Vetor iterval x bersesuaia dega iterval vetor [ x, x ], yaitu x [ x, x ]. 4. Nilai Eige da Vetor Eige Max-Plus Iterval Defiisi 4. Diberia A I(R). Salar iterval λ I(R) disebut ilai eige -plus iterval atris iterval A jia terdapat suatu vetor iterval v I(R) dega v ε sehigga A v = λ v. Vetor v tersebut disebut vetor eige -plus iterval atris iterval A yag bersesuaia dega λ. Beriut diberia suatu teorea yag eberia esistesi ilai eige iterval -plus suatu atris iterval. Teorea 4. Diberia A I(R), dega A [A, A]. Salar iterval λ (A) = [λ ( A λ ( A ), )], erupaa suatu ilai eige -plus iterval atris iterval A. Vetor Seas Mateatia da Pedidia Mateatia 2008-4
Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval iterval v [ v, v ], di aa v da v berturut-turut adalah vetor eige -plus yag bersesuaia dega ilai eige λ ( A ) da λ ( A ), sedeia higga v erupaa vetor eige -plus iterval atris A yag bersesuaia dega λ I v, (A). Buti: Utu setiap atris A [A, A ], berlau A A ij A. Karea sifat eosistea operasi da pada atris terhadap uruta A = Jadi [λ A, aa berlau A (A ) = ii, utu =, 2,..., sehigga berlau ( ) = ( (A ) ii ) (A ) ii ( ), atau λ ( A ) λ (A) λ ( A i= i= ( A ), λ ( A )] adalah suatu iterval. i= ). Abil λ (A) = [λ ( A ), λ ( A )]. Meurut hasil pada bagia 2 di atas, utu B = + λ ( A ) A, jia = 0, aa olo e-i atris B erupaa vetor eige yag B ii bersesuaia dega ilai eige λ ( A ), deiia juga aalog utu B. Abil v da v, di aa berturut-turut adalah vetor eige yag bersesuaia dega ilai eige λ ( A ) da λ ( A ), sedeia higga v v, jia diperlua dapat dibetu obiasi liear vetor-vetor eige fudaetal yag terait, sehigga diperoleh v v. Abil vetor iterval v [v, v ], aa [ A, A] [ v, v ] = [λ ( A ), λ ( A)] [ v, v ], yag berarti juga bahwa A v = λ v. Jadi salar iterval λ(a) = [λ ( A ), λ ( A )], erupaa suatu ilai eige -plus iterval atris iterval A. Beriut diberia suatu teorea yag eberia etuggala ilai eige iterval -plus suatu atris iterval. Sebeluya aa diberia defiisi da syarat cuup da perlu irredusibilitas suatu atris iterval. Defiisi 4.2 Suatu atris iterval A I(R), dega A [A, A ], diataa irredusibel jia setiap atris A [ A, A ] irredusibel. - 5
irredusibel. Teorea beriut eberia syarat perlu da cuup suatu atris iterval Teorea 4.2 Suatu atris iterval A I(R), dega A [A, A ], irredusibel jia da haya jia A R irredusibel. Buti: ( ): Jelas berlau eurut Defiisi 4.2 di atas. ( ): Utu setiap atris A [A, A ], berlau A A A. Karea sifat eosistea operasi da pada atris terhadap uruta, aa berlau A 2 A ( A... ) (A A... A ) 2 ( A A 2... A ( A 2 A A... ) (A A 2... A ij ) ij ), yag berarti berlau juga ( A A 2... A ) ij utu setiap i da j. Karea A irredusibel, aa eurut hasil pada bagia 2 di atas, ( A A 2... ) ij ε utu setiap i, j dega i j. Dega deia utu A setiap atris A [A, A ] juga berlau bahwa (A A... A ) ij ε utu setiap i, j dega i j, sehigga eurut eurut hasil pada bagia 2 di atas A irredusibel. Jadi terbuti bahwa atris iterval A I(R) irredusibel. 2 Aibat 4.3 Diberia A I(R), dega A [A, A]. Jia atris iterval A irredusibel, aa λ(a) = [λ ( A ), λ ( A )] erupaa ilai eige iterval -plus tuggal atris iterval A. Buti: Seas Mateatia da Pedidia Mateatia 2008-6
Nilai Eige da Vetor Eige Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval Jia atris iterval A iredusibel, aa A [A, A] irredusibel, sehigga eurut hasil pada bagia 2, λ (A) erupaa ilai eige -plus tuggal atris A. Dega cara yag aalog dega pebutia Teorea 4. di atas dapat disipula bahwa λ(a) = [λ ( A ), λ ( A)], erupaa ilai eige -plus iterval tuggal atris iterval A. Cotoh 4. Aa ditetua ilai eige da vetor eige -plus iterval dari atris [ 2, ] [3, 4] [, 2] 2 3 A= [, 2] [,] [ ε, ε ]. Perhatia bahwa A = ε da A = [ ε, ε ] [2, 4] [,] ε 2 2 ε 4 4 2 ε. Utu A diperoleh bahwa λ ( A ) = 2 dega vetor-vetor eige fudaetalya adalah [0,, ] T T da [, 0, 0]. Utu A diperoleh bahwa λ ( A) = 3 dega vetor-vetor eige fudaetalya adalah [0,, 0] T da [, 0, ] T. Vetor iterval v = [[0, 0], [,], [,0]] T, erupaa vetor eige iterval plus atris iterval A yag bersesuaia dega λ (A) = [2, 3] T. Perhatia bahwa A irredusibel sehigga vetor eige iterval -plus yag diperoleh adalah tuggal. 5. Kesipula Dapat disipila bahwa setiap atris iterval persegi, yaitu atris persegi dega usur-usurya berupa iterval, epuyai ilai eige iterval -plus, yaitu ilai eige iterval -plus asiu, da vetor eige iterval -plus. Batas bawah da batas atas ilai eige iterval -plus asiu tersebut berturut-turut adalah ilai eige -plus atris batas bawah da ilai eige -plus atris batas atas dari atris itervalya. Jia atris tersebut irredusibel aa ilai eige iterval tersebut tuggal. Kepustaaa Bacelli, F., et al. 200. Sychroizatio ad Liearity. New Yor: Joh Wiley & Sos. - 7
Chaas, S., Zielisi, P. 200. Critical path aalysis i the etwor with fuzzy activity ties. Fuzzy Sets ad Systes. 22 (200) 95 204. Lüthi, J., Harig, G. 997. Fuzzy Queueig Networ Models of Coputig Systes. Proceedigs of the 3th UK Perforace Egieerig Worshop, Illey, UK, Ediburgh Uiversity Press, July 997. Rudhito, Ady. 2003. Siste Liear Max-Plus Watu-Ivariat. Tesis: Progra Pascasarjaa Uiversitas Gadjah Mada. Yogyaarta. Rudhito, Ady, d. 2008a. Aljabar Max-Plus Iterval. Prosidig Seiar Nasioal Mateatia S3 UGM. Yogyaarta. 3 Mei 2008. Rudhito, Ady, d. 2008b. Matris atas Aljabar Max-Plus Iterval. Prosidig Seiar Nasioal Mateatia S3 UGM. Yogyaarta. 3 Mei 2008. Susilo, F. 2006. Hipua da Logia Kabur serta Apliasiya edisi edua. Graha Ilu, Yogyaarta. Seas Mateatia da Pedidia Mateatia 2008-8