SIFAT-SIFAT FUNGSI YANG TERINTEGRAL MCSHANE DALAM RUANG EUCLIDE BERDIMENSI N UNTUK FUNGSI-FUNGSI BERNILAI BANACH

Transkripsi

1 βeta p-issn: / e-issn: Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012, Hal βeta 2012 SIFAT-SIFAT FUNGSI YANG TRINTGRAL MCSHAN DALAM RUANG UCLID BRDIMNSI N UNTUK FUNGSI-FUNGSI BRNILAI BANACH Kristayulita 1 Abstract: This paper cotai McShae itegral baach values fuctio the uclidea space. We study soe properties of McShae itegrable fuctios fro the uclidea space ito Baach space. Key Words: McShae itegral; uclidea space ; Baach space A. PNDAHULUAN Teori itegral telah bayak egalai perkebaga sejak pertaa kali diperkealka oleh Newto ( ) iluwa asal Iggris, terlebih lagi setelah diperkealka itegral Riea pada tahu Teori itegral Riea ii keudia eicu perkebaga teori itegral. Karea keterbatasa itegral Riea, aka ebuat seorag peakai ateatika yaitu Kurzweil (Cekoslowakia), eberika perluasa itegral Riea utuk keperlua peelitiaya. Keudia pada akhir tahu 1959, Hestock (Iggris) eberika studi yag sisteatis tetag teori itegral tersebut pada garis lurus. Hestock elakuka peelitia dega jala egebagka kostata positif di dala itegral Riea ejadi fugsi, keudia diberi aa dega itegral Hestock-Kurzweil yag dikeal dega itegral Riea diperluas atau itegral Riea kotiu legkap atau itegral Hestock. Itegral Hestock teryata edapat sabuta da erhatia yag sagat besar dari peeliti utuk eggali sifat-sifat da peakaiya serta egebagka atau ecari keugkia lai utuk egebagka 1 IAIN Matara, Matara, Idoesia, kristayulita@gail.co

2 teori itegral tersebut sehigga ruag ligkup atau jagkauaya lebih luas. Seirig dega perluasaya itegral Riea ejadi Itegral Hestock diperoleh itegral McShae fugsi-fugsi yag berilai real yag erupaka peruua itegral Riea. Lee (1989) ebuktika bahwa fugsi oegatif yag teritegral Hestock juga teritegral McShae. Pada ruag uclide, Gordo (1990) ebicaraka defiisidefiisi da sifat-sifat itegral McShae utuk fugsi-fugsi dari selag di dala ke ruag Baach. Pfeffer (1993) eyusu teori itegral McShae fugsi-fugsi berilai real pada ruag uclide dega egguaka persekitara yag berupa balok da egguaka fugsi volue yag bersifat aditif da o aditif. Budiyoo (2004) telah ebahas itegral McShae fugsi berilai Baach pada ruag uclide. Hipua seua bilaga real diotasika dega. Utuk bilaga asli, eyataka seua pasaga atas bilaga real yaitu = x x x x x ( faktor) x, x,..., 2 x ; x, 1 i Utuk setiap 1 x y, da i. Jika A hipua bagia tak kosog di dala, diaeter hipua A didefiisika dia A x y : x, y A sup. Utuk x x, persekitara B,, (Neighborhood) titik dega radius r > 0 diotasika x r didefiisika B x, r y : x y r. B. PMBAHASAN Partisi Perro -fie Partisi sagat petig dala edefiisika itegral terasuk dala pedefiisia itegral Mcshae dari ruag uclide ke ruag Baach. Partisi pada sel adalah koleksi berhigga sel tidak salig tupag tidih P = {D 1, D 2, D 3,..., D k} dega p P D =. Defiisi 1.1 Diberika sel. 22 βeta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012

3 a. Suatu koleksi higga sel-sel tak salig tupag tidih P = {D 1, D 2, D 3,..., D k} disebut partisi parsial sel atau partisi di dala (i) sel jika i=1. i. Koleksi higga pasaga-pasaga sel titik P = {(, x i)} = {(D 1, x 1), (D 2, x 2),, (D k, x k)} ditulis sigkat dega P = {(D, x )} disebut partisi -fie McShae (McShae -fie partitio) (Lebesgue) di dala (i). ii. Jika terdapat fugsi positif pada, P = {(, x i)} partisi Lebesgue di dala (i) sehigga B(x i, (x i)) da x i utuk setiap i aka P disebut partisi perro -fie di dala (i). b. Suatu koleksi higga sel-sel tak salig tupag tidih P = {D 1, D 2, D 3,..., D k} disebut partisi pada (o) sel jika i=1 =. i. Koleksi higga pasaga-pasaga sel titik P = {(, x i)} = {(D 1, x 1), (D 2, x 2),, (D k, x k)} ditulis sigkat dega P = {(D, x )} disebut partisi -fie McShae (McShae -fie partitio) (Lebesgue) pada (o) sel. ii. Jika terdapat fugsi positif pada, P = {(, x i)} partisi Lebesgue pada (o) sel sehigga B(x i, (x i)) da x i utuk setiap i aka P disebut partisi perro -fie pada (o). Selajutya titik x dega (D, x ) P diaaka titik terkait partisi -fie. Jika syarat x i diabaika, partisiya dikeal sebagai partisi McShae -fie atau partisi McShae. Keberadaa partisi -fie pada sel dijai oleh Lea Cousi yag diyataka dala teorea 1.2. perlu diperhatika bahwa jika P 1 da P 2 berturut-turut partisi 1-fie pada sel 1 da partisi 2-fie pada sel 2 dega o 1 o 2 = aka P = P 1 P 2 erupaka partisi -fie pada sel 1 2. Teorea 1.2. (Lea Cousi) (Idrati, 2002) Utuk setiap fugsi positif pada sel terdapat partisi -fie pada sel. Teorea 1.3 (Pfeffer, 1993) Jika 1 da 2 fugsi-fugsi positif pada sel dega 1 (x ) 2 (x ) utuk setiap x, aka setiap partisi 1-fie pada sel erupaka partisi 2-fie pada sel. βeta: Vol. 2 No. 1 (Mei)

4 Volue- Pegertia volue- pada sel dapat didefiisika sebagai berikut. Defisi 1.4 (Pfeffer, 1993) Diberika I( ) koleksi seua selag di dala. fugsi : I( ) disebut volue pada jika erupaka fugsi o egatif yaitu (A) 0 utuk setiap A I( ) da erupaka fugsi aditif yaitu (A B) = (A) + (B) utuk setiap A, B I( ) da A B =. Selajutya utuk I( ) bilaga () disebut volue- selag. Dari sediisi di atas diperoleh akibat sebagai berikut. Akibat 1.5. Diberika volue- di dala aka berlaku i) Jika A da B sel-sel di dala da A B aka (A) (B) ii) Jika D selag degeerate aka (D) = 0. Fugsi Sederhaa- Defiisi 1.6. Diberika sel da fugsi positif pada sel. dikataka fugsi sederhaa- pada sel, jika D, x,1 i p partisi McShae -fie pada sel utuk setiap ci, c2,..., c p X berlaku c i D. i 24 βeta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012 i Ruag Baach Sebelu ebicaraka ruag Baach, terlebih dahulu didefiisika ruag berora (Nora Space) atas field. Ruag liear adalah ruag vektor atas field. Defiisi: 1.7 Diberika X ruag liear i) Nora pada X adalah fugsi dari X ke hipua real yag ilai fugsiya diotasika dega yag bersifat N 1 0 utuk setiap x X x = 0 jika da haya jika x = 0 N 2 x = x utuk setiap x X da skalar N 3 x + y x + y utuk setiap x, y X. ii) Ruag liear X yag dilegkapi dega ora diaaka ruag berora da ditulis dega (X, ). i p i 1

5 Teroea 1.8 Setiap ruag berora (X, ) erupaka ruag etrik (X, d) terhadap etrik d: d(x, y ) = x y, utuk setiap x, y X. Defiisi 1.9 Setiap ruag berora yag legkap disebut ruag Baach. Defiisi 1.10 Diberika ruag-ruag berora X da Y. Fugsi f : X Y dikataka kotiu di x X jika utuk setiap bilaga > 0 terdapat bilaga > 0 sehigga jika y Y da d (x, y ) = x y < δ berakibat f(x ) f(y ) < ε. Sifat-Sifat Itegral McShae dala Ruag uclide berdiesi ( ) utuk Fugsi-Fugsi Berilai Baach. Defisi 2.1 Diberika sel, volue- pada da fugsi f: X dega X ruag Baach. Fugsi f dikataka teritegral McShae pada sel terhadap volue- ditulis f M(,X, ), jika vektor u X sehigga utuk setiap > 0 yag diberika terdapat fugsi positif pada sel da utuk setiap partisi McShae -fie P = {(D, x )} pada sel berlaku P f(x )α(d) u < ε Teorea 2.2 Jika fugsi f M(,X, ) aka vektor u di dala defiisi 2.1 tuggal Bukti Jika vektor u, v X. Aka ditujukka bahwa u = v. Meurut defiisi jika diberika bilaga > 0 sebarag aka dapat diteuka fugsi-fugsi positif 1 da 2 pada sel, sehigga utuk setiap partisi McShae 1-fie P 1 = {(D, x )} da partisi Mcshae 2-fie P 2 = {(D, x )} berlaku P 1 f(x )α(d) u < ε 3 da P 2 f(x )α(d) v < ε 3 Akibatya; 0 u v P 1 f(x )α(d) u + P 2 f(x )α(d) v ε 3 + ε 3 < ε. βeta: Vol. 2 No. 1 (Mei)

6 Dega kata lai terbukti u = v adalah tuggal. Berdasarka Defiisi 2.1 da Teorea 2.2, vektor u X disebut ilai itegral McShae fugsi f pada sel terhadap volue- da ditulis dega u = f dα. Teorea 2.3 Diberika sel da volue- di dala. i) Jika f, g M(,X, ) aka f + g M(,X, ) da (f + g) dα f dα + (M) g dα. ii) Jika f M(,X, ) da c aka cf M(,X, ) da Bukti; (cf) dα = c f dα. i) Jika vektor u, v X sedeikia higga u = f dα = da v = g dα. Meurut defiisi jika diberika bilaga > 0 sebarag aka dapat diteuka fugsi-fugsi positif 1 da 2 pada sel, sehigga utuk setiap partisi McShae 1-fie P 1 = {(D, x )} da partisi Mcshae 2-fie P 2 = {(D, x )} berlaku P 1 f(x )α(d) u < ε 3 da P 2 g(x )α(d) v < ε 3 Diabil fugsi positif pada sel dega ruus δ(x ) = i{δ 1 (x ), δ 2 (x )} utuk setiap x. Jika P = {(D, x )} sebarag partisi McShae -fie pada sel, P = {(D, x )} erupaka partisi McShae i-fie (i=1,2) pada sel eeuhi: P f(x )α(d) u < ε 3 da P g(x )α(d) v < ε 3. Utuk setiap partisi McShae -fie pada sel diperoleh: P (f + 9)(x )α(d) (u + v ) P f(x )α(d) u + P g(x )α(d) v < ε 3 + å 3 < å. Terbukti bahwa f + g M(,X, ) da f dá + g dá (f + g) dá = ii) Jika vektor u X sedeikia higga u = f dá aka utuk sebarag bilaga > 0 yag diberika terdapat fugsi positif pada 26 βeta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012

7 sel, sehigga utuk setiap partisi McShae -fie P = {(D, x )} berlaku ; P f(x )á(d) u < 2( c +1) Diperoleh: P (cf)(x )á(d) (c u ) = c P f(x )á(d) c u = c P f(x )á(d) u ε c < ε 2( c +1) c Jadi terbukti bahwa cf M(,X, ) da (cf) dá f dá. Teorea 2.4. Diberika volue- pada sel da f: X. Jika f(x ) = 0 hapir di aa-aa pada sel aka f M(,X, ) da ε = f dá = 0. Bukti: Karea f(x ) = 0 hapir di aa-aa pada sel aka terdapat hipua A dega (A) = 0 da f(x ) 0 utuk x A. Utuk sebarag bilaga > 0 yag diberika, diabil fugsi-fugsi positif pada sel dega ruus 1, utuk x A ä(x ) = { å2 i+1, utuk x A f(x ) + 1 Utuk setiap partisi McShae -fie {(D 1, x 1), (D 2, x 2),, (D k, x k)} pada sel berlaku: k f(x i) á( ) 0 = f(x i) á( ) < f(x i) á( ) k k < f(x i) å2 i+1 f(x ) + 1 = å k Dega kata lai terbukti bahwa f M(,X, ) da f dá = 0. Akibat 2.5 Diberika volue- pada sel da f: X. Jika f M(,X, ) da f = g hapir di aa-aa pada sel aka g M(,X, ) da g dá = Bukti f dá. βeta: Vol. 2 No. 1 (Mei)

8 Perhatika bahwa g f = 0 hapir di aa-aa pada sel. Akibatya eurut Teorea 2.4 Teorea 2.3 diperoleh: 0 = (g f )dá g dá Diperoleh g dá (g f )dá = 0. Berdasarka = g dá + (M) ( f )dá f dá = f dá Dega kata lai terbukti g M(,X, ) da g dá = (M) f dá Teorea 2.6 Diberika volue- pada sel da f: X da D = {D 1, D 2, D 3,, D } divisi pada sel. Jika f M(,X, ) utuk setiap i = 1, 2, 3,..., aka f M(,X, ) da f dá = (M) i=1 f dá. Bukti Diberika bilaga > 0 sebarag aka dapat diteuka fugsifugsi positif i pada sel, sehigga jika D = {(A i, x i): i = 1,2,3,, } partishae i McShae i-fie pada berlaku D f(x i) á(a i ) f dá < å utuk setiap i = 1, 2, 3,..., Dibetuk fugsi positif dega ruus: ä(x ) = { ä i(x ); jika x it( )utuk i = 1,2,3,, i{ä i (x ); x (x ) utuk beberapa x } Diperoleh fugsi ä(x ) erupaka fugsi positif pada sel da ä(x ) ä i (x ) utuk setiap x, i = 1, 2, 3,...,. Diabil sebarag partisi McShae -fie pada, utuk i = 1, 2, 3,...,. Diabil partisi McShae -fie P = {(B i, x i), i = 1,2,3,, j} pada sel. Jika C = D {B 1, B 2,, B j } segetasi aka diperoleh = {(C i, x i), x i D, C C da C D B i } Oleh karea erupaka partisi McShae i-fie pada utuk setiap i = 1, 2, 3,..., diperoleh P f(x )á(d) f dá f(x )á(d) f dá = 28 βeta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012

9 i=1 f(x )á(d) f dá < = å. Dega kata lai terbukti bahwa aka f M(,X, ) da i=1 f dá = f dá. Teorea 2.7 Setiap fugsi sederhaa- pada sel teritegral McShae da p i=1 f dá = c i ( ) å C. KSIMPULAN Berdasarka uraia di atas, itegral McShae bersifat tuggal da liear. Itegral McShae juga teritegral pada f(x ) = 0 hapir di aaaa pada sel sehigga f M(,X, ) da f dá = 0. Berakibat pula, fugsi f = g hapir di aa-aa pada sel aka g M(,X, ) da g dá = (M) f dá. Selai itu, itegral McShae teritegral pada gabuga sel-sel dari sel. DAFTAR PUSTAKA Gordo, R.A, 1994, The Itegral of Lebesgue, Dejoy, Perro ad Hestock. Aerica Matheatical Society, USA. Idrati, Ch. R Itegral Hestock-Kurzweil pada Ruag uclide R berdiesi-, Disertasi, uiversitas Gajah ada, Idoesia. Lee, P.Y, 1989, Lozhou Lecture o hestock Itegratio, World Scietific, Sigapore. Pfeffer, W.F, 1993, The Riea Approach after Kurzweil ad Hestock, Cabridge Uiversity Press. βeta: Vol. 2 No. 1 (Mei)