MATRIKS ATASALJABAR MAX-MIN INTERVAL

Transkripsi

1 MATIKS ATASALJABA MAX-MIN INTEVAL M. Ady udhito Program Studi Pedidika Matematika FKIP Uiversitas Saata Dharma Kampus III USD Paiga Maguwoharjo Yogyakarta ABSTAK Makalah ii membahas aljabar matriks atas aljabar max-mi iterval (matriks iterval) da suatu cara utuk mempermudah pegoperasia matriks iterval melalui iterval matriksya. Aljabar matriks ii merupaka perluasa aljabar matriks atas aljabar max-mi da dapat mejadi dasar pembahasa aljabar matriks max-mi bilaga kabur. Dapat ditujukka bahwa himpua semua matriks iterval yag dilegkapi dega operasi perkalia skalar max-mi da pejumlaha max-mi merupaka semimodul. Himpua semua matriks persegi atas aljabar max-mi iterval yag dilegkapi dega operasi pejumlaha max-mi da perkalia max-mi merupaka semirig idempote. Sebagai jamia dapat dilakuka pegoperasia matriks iterval melalui iterval matriksya ditujukka bahwa semimodul himpua semua matriks iterval isomorfis dega semimodul himpua iterval matriks yag bersesuaia da semirig himpua semua matriks iterval persegi isomorfis dega semirig himpua iterval matriks persegi yag bersesuaia. Kata-kata kuci:aljabar matriks aljabar max-mi itervalsemirig semimodul. PENDAHULUAN Aljabar max-mi yaitu himpua semua bilaga real dilegkapi dega operasi max (maksimum) da mi (miimum) telah dapat diguaka dega baik utuk memodelka da megaalisis masalah litasa kapasitas maksimum ([2]). Dalam masalah pemodela da aalisa suatu jariga kadag-kadag kapasitasya belum diketahui misalka karea masih pada tahap peracaga data-data megeai kapasitas belum diketahui secara pasti maupu distribusiya. Kapasitas-kapasitas ii dapat diperkiraka berdasarka pegalama maupu pedapat dari para ahli maupu operator jariga tersebut. Dalam hal ii kapasitas jariga dapat dimodelka dega suatu iterval bilaga real yag selajutya disebut dega iterval. Pemodela da aalisa pada masalah litasa kapasitas maksimum dega kapasitas yag berupa iterval sejauh peeliti ketahui belum ada yag membahas terlebih dega megguaka pedekata aljabar max-mi seperti halya yag telah dilakuka utuk model determiistik da probabilistik. Seperti telah diketahui pedekata peyelesaia masalah jariga dega megguaka aljabar max-mi dapat memberika hasil aalitis da lebih mempermudah dalam komputasiya. Pedekata aljabar max-mi utuk meyelesaika masalah litasa kapasitas maksimum juga megguaka kosep-kosep dasar dalam aljabar max-mi seperti matriks atas aljabar max-mi da sistem persamaa liear max-mi seperti yag telah dibahas dalam [1] da [2]. Dega demikia utuk meyelesaika masalah litasa kapasitas iterval maksimum dega pedekata aljabar max-mi terlebih dahulu matriks atas aljabar max-mi perlu digeeralisasi ke dalam matriks atas aljabar max-mi iterval. Utuk itu dalam makalah ii aka dibahas geeralisasi matriks atas aljabar max-mi perlu digeeralisasi ke dalam matriks atas aljabar max-mi iterval. BAHAN DAN METODE Peelitia ii merupaka peelitia yag didasarka pada studi literatur yag meliputi kajia-kajia secara teoritis. Terlebih dahulu diperhatika kembali hasil-hasil dalam aljabar max-mi [2] da aljabar max-mi iterval [5]. Dega memperhatika da membadigka 149

2 pembahasa matriks atas aljabar max-mi [2] matriks atas aljabar max-plus [1] [4] da matriks atas aljabar max-plus iterval [4] aka dikostruksika da dibahas sifat-sifat da tekis perhituga matriks atas aljabar maxplus iterval. Hasil-hasil pembahasa aka disajika dalam defiisi teorema da cotoh. HASIL DAN DISKUSI Terlebih dahulu aka ditijau beberapa kosep dasar dalam semirig da semimodul [5] [6] aljabar max-mi da aljabar max-mi iterval yag selegkapya dapat dilihat dalam [5]. Suatusemirig (S ) adalah suatu himpua takkosog Syag dilegkapi dega dua operasi bier da yag memeuhi aksioma berikut i) (S ) adalah semigrup komutatif dega eleme etral0yaituberlaku (a b) c = a (b c) a b = b a a 0 = a utuk setiap a b c S. ii) (S ) adalahsemigrup dega eleme satua1 yaituberlaku (a b) c = a (b c) a 1 = 1 a = autuk setiap a b c S. iii) Eleme etral0merupaka eleme peyerap terhadap operasi yaituberlaku a 0 = 0 a = 0utuk setiap a S. iv) Operasi distributif terhadap yaituberlaku(a b) c = (a c) (b c) a ( b c ) = (a b) (a c) utuk setiap a b c S. Semirig (S ) dikatakaidempotejika operasi bersifat idempote yaitu berlaku a a = a utuk setiap a S da dikatakakomutatif jika operasi bersifat komutatif. Dapat ditujukka bahwa jika (S ) merupaka semigrup komutatif idempote maka relasi p yag didefiisikapadasdegax p y x y = ymerupaka uruta parsial padas. Operasi da dikataka kosiste terhadap uruta p dalam S bila da haya bila jika x p y maka x z p y z da x z p y z utuk setiapx y z S. Dalam semirig idempote (S ) operasi da kosiste terhadap uruta p dalam S. Semirig (S ) dega eleme etral 0dikataka tidak memuat pembagi ol bila da haya bila jika x y = 0maka x = 0atau y = 0 utuk setiap x y S. Diberika S da T adalah semirig. Fugsi f : S T disebut homomorfisma semirig jika berlaku f (a b) = f (a) f (b) da f (a b) = f (a) f (b) utuk setiap a b S. Jika homomorfisma semirig f bersifat bektif maka f disebut isomorfisma semirig da dikataka bahwa semirig S isomorfis dega semirig T. Diberika semirig komutatif (S ) dega eleme etral0da elemeidetitas1. SemimodulMatasSadalah semigrup komutatif (M ) yag dilegkapi operasi perkalia skalar :S M M yag dituliska (α x) a α x sedemikia higga memeuhi aksioma berikut: i) α (x y) = α x α y ii) (α β) x = α x β x iii) α (β x) = (α β) x iv) 1 x = x v) 0 x = 0. utuk setiap α β Sda utuk setiap xy M.Eleme-eleme dalam semimodul disebut vektor. Diberika semimodul M atas semirig S dega operasi pejumlaha da perkalia skalar. Dapat ditujukka bahwa jika (M ) merupaka semigrup komutatif idempote maka operasi da kosiste terhadap uruta p m dalam semimodul M yaitu utuk setiap xyz M da utuk setiap α S jika x p m y maka x zpm y z da α x p m α y. Diberika M da N adalah semimodul atas semirig komutatif S. Fugsi f : M N disebut homomorfisma semimodul jika f (α x) = α f (x) daf (x y) = f (x) f (y) utuk setiap x y M da utuk setiap α S. Jika homomorfisma semimodul f bersifat bektif maka f disebut isomorfisma semimodul da dikataka bahwa semimodul M isomorfis dega semimodul N. Diberika := {} dega adalah himpua semua bilaga real oegatip da : =. Pada didefiisika operasi 150

3 ab := max(a b) daa b : = mi(a b) ab.dapat ditujukka ( ) merupaka semirig idempote komutatif dega eleme etral 0 = 0 da eleme satua =. Kemudia ( ) disebut dega aljabar max-mi yag selajutya cukup dituliska dega. Operasi da pada utuk operasi-operasi matriks dalam dapat diperluas : = {A = (A ) A utuk i = m da j = }. Utuk α da A B didefiisika α A dega (α A) = α A da AB dega (AB) = A B utuk i = m da j = Utuk A B didefiisika A B m p dega (A B) = p p A ik k=1.matriks A B dikataka samajikaa = B utuk setiapidaj. Iterval dalam berbetuk x= [ x x ] = { x x p m x pm x }. Didefiisika I( ) = {x= [ x x ] x x p m x p m x } {[ ]}. Pada I( ) didefiisika operasi da : x y= [ x y x y ] da x y= [ x y x y ] utuk setiap x y I( ). Dapat ditujukka bahwa (I( ) ) merupaka semirig idempote komutatif. Selajutya (I( ) ) disebut aljabar max-mi iterval da cukup dituliska I( ). Selajutya operasi da pada I( ).di atas dapat diperluas utuk operasi-operasi matriks dalam I( ) seperti dalam defiisi berikut. Defiisi 1 DidefiisikaI( ) : = {A= (A ) A I( ).utuki = m j = }. Matriks aggotai( ) disebutmatriks iterval maxmi. Defiisi 2 Matriks A B I( ) = B. Defiisi 3 i) Diketahuiα I( ) dikataka samajikaa A B I( ). Didefiisika operasi perkalia skalar degaα A adalah matriks yag usur ke--ya: (α A) = α A da operasi dega A Badalah matriks yag usur ke--ya: (A B) = A B utuki = mdaj = m p p ii) Diketahui A I( ) B I( ). Didefiisika operasi degaa Badalah matriks yag usur ke--ya:(a B) = p A.... ik B kj utuki = mda j =1 2 Didefiisika matriks E I( ) (E) : = 0 matriks I( ) dega jika i = j. Didefiisika pula jika i j setiap i da j. Cotoh 1 Perhatika bahwa I( ) dega: () := utuk tertutup terhadap operasi hal ii akibat dari sifat ketertutupa operasi pada I( ). Selajutya dapat ditujukka(i( ) ) merupaka semigrup idempotet komutatif sehigga relasi p yag didefiisika pada Im 151

4 I( ) dega A p Im B A B = Bmerupaka urutaparsial. Perhatika bahwa A B = B A B = B A pim B A pm B da A pm B utuk setiap i da j. Lebih lajut I( ) merupaka semimodul atas I( ). sedagka I( ) ) merupaka semirig idempote dega eleme etral adalah matriks da eleme satua adalah matriks E. Perhatika bahwa (I( ) ) buka semirig komutatif hal ii sebagai akibat dari yag buka merupaka semirig komutatif. Megigat (I( ) ) merupaka semigrup idempote maka operasi kosiste terhadap uruta p Im dalam I( ) yaitu jika Ap Im B makaa Cp Im B Cutuk setiap A B C I( ). Megigat (I( ) ) merupaka semirig idempote maka operasi kosiste terhadap uruta p Im dalam I( ) yaitu jikaa p Im B maka A Cp Im B Cutuk setiap A B C I( ). Utuk A m p p B I( ) da C I( ) berdasarka sifat distributif berlaku: jika A Im B maka A B = B (A B) C = B C (A C) (B C) = B C A C p Im B C. Pagkat k darimatriks A I( ) dalam aljabar max-mi iterval didefiisika dega: 0 A k = E da A = A A k 1 utuk Utuk mempermudah dalam melakuka operasi matriks iterval berikut dibahas kosep megeai iterval matriks dari suatu matriks iterval. Defiisi 4 p Utuk setiap matriks itervala I( ). didefiisika matriks A = ( A ) da A = ( A ) berturut-turut disebut matriks batas bawah da matriks batas atas matriks itervala. Cotoh 2. Diberika matriks iterval [12] [00] [69] A = maka [ ] [03] [22] A = da A = Defiisi 5 Diberika matriks itervala I( ) dega A da A berturut-turut adalah matriks batas bawah da matriks batas atasya. Didefiisika iterval matriks daria yaitu[ A A ] = {A A p m A pm A } dai( ) b = { [ A A ] A I( ) }. Cotoh 3 Diberika matriks iterval [12] [00] [69] A =. [ ] [03] [22] Iterval matriks dari A adalah [ A A ] = Defiisi 6 Iterval [ A A ][ B B ] I( max samajika A = B da A = B. ) b dikataka. matriks Berdasarka sifat kekosistea relasi uruta p m dalam matriks didefiisika operasioperasi iterval matriks berikut. i) Diketahuiα I( ) [ A A ] [ B B ] I( ) b.didefiisika α [ A A ] := [ α A α A ]da [A A ] [ B B ]:= [ A B A B ] 152

5 ii) Diketahui[ A A ] I( ) b [ B B ] m p p I( ) b.didefiisika [ A A ] [ B B ]:= [ A B A B ]. Utuk setiap [ A A ] [ B B ] I( ) b da α I( ) berlaku A p m A B p m B da p m α α. Megigat operasi da operasi perkalia skalar pada semimodul atas kosiste terhadap uruta p m maka berlaku A B p m A B da α A p m α A. Jadi [ A B A B ] da [ α A α A ] merupaka iterval-iterval matriks. Dega demikiai( ) b tertutup max terhadap operasi da perkalia skalar seperti yag didefiisika di atas. Selajutya sesuai dega defiisi operasi pada iterval matriks di atasdapat ditujukkai( merupaka semimodul atas I( ). Utuk setiap [ A A ] [ B B ] I( ) b berlaku A p m A da B p m B. Megigat operasi perkalia pada semirig kosiste terhadap uruta p m maka A B p m A B. Jadi [ A B A B ] merupaka iterval matriks. Jadi I( ) b tertutup terhadap operasi perkalia seperti yag didefiisika di atas. Dapat ditujukka bahwa (I( ) b ) merupaka semirig idempotedega eleme etral adalah iterval matriks [ ] da eleme satua adalah iterval matriks [E E]. Berikut diberika Lemma 1 yag aka diguaka utuk membuktika Teorema 3. Lemma 1 Utuk setiapa da B I( ) berlaku i) α A = α A da α A = α A ii) A B = A B da A B = A B. Bukti: ) b i) Karea (α A) = [ α α ] [ A A ] = [ α A α A ] maka α A = α A da α A = α A utuk setiap i da j sehigga α A = α A da α A = α A. ii) Karea (A B) = A B = [ A A ] [ B B ] = [ A B A B ] maka (A B) = A B da A B utuk setiap i da j sehigga = A B da A B= A B. (A B) = A B Berikut diberika Lemma 2 yag aka diguaka utuk membuktika Teorema 4. Lemma 2 Utuk setiapa da B I( ) berlaku A B = A B da A B = A B. Bukti: Megigat (A B) = A B = [ A ik A ik ] [ B kj B kj ] = [ kj B ] = [ ] maka (A B) = da B) (A = utuk setiap i da j sehigga A B = A B da A B = A B. Teorema 3 SemimodulI( ) atasi() max isomorfis dega semimoduli( ) b atasi( ). Bukti: Didefiisika pemetaa f : I( ) I( ) b f (A) = [ A A ] utuk setiap A ( ).Dari defiisi pemetaa 153

6 tersebut jelas bahwa f merupaka pemetaa bektif. Ambil sembaraga da B I( ) da semba-rag α I( ). maka meurut Lemma 1. diperoleh f (α A) = [ α A α A ] = [ α A α A ] = [ α α ] [ A A ] = α f(a) da diperoleh f(a B) = [ (A B) A B ] = [ A B A B ] = [ A A ] [ B B ] = f (A) f (B). Dari Teorema 3 di atasdapat disimpulka utuk setiap matriks iterval A I( ) selalu dapat ditetuka dega tuggal iterval matriks [A A ] I( ) b da sebalikya. Jadi matriks iterval A I( ) dapat dipadag sebagai iterval matriks [ A A ] I( ) b. Matriks iterval A I( ) bersesuaia dega iterval matriks [ A A ] I( ) b da dituliska A [ A A ].Dapat disimpulka α A [ α A α A ] da A B [ A B A B ]. Teorema 4 Semirig (I( ) ) isomorfis dega semirig (I( ) b ). Bukti: Didefiisika pemetaa f : I( ) I( ) b dega f (A) = [ A A ] utuk setiap A I( ). Jelas bahwa pemetaa f merupaka pemetaa bektif. Ambil semba-rag A da B I( ) maka seperti pada pembuktia pada Teorema 3 di atas diperoleh f(a B) = f (A) f (B). Selajutya meurut Lemma 2diperoleh bahwa f(a B) = [ (A B) A B = [ A B A B ] = [ A A ] [ B B ] = f (A) f (B). Jadi terbukti f merupaka suatu isomorfisma semirig. Jadi semirig I( ) isomorfis dega semirig I( ) b. Dari Teorema 4 di atasdapat disimpulka utuk A B I( ) berlaku A B [ A B A B]. Utuk matriks iterval m p p A I( ) dab I( ) juga berlaku A B [ A B A B]. Hal ii dapat delaska sebagai berikut. Matriks iterval m p p A I( ) dab I( ) dapat diperbesar ukuraya dega meambahka sejumlah usur sedemikia higga membetuk matriks iterval A # da B # k k I( ) dega k = max(m p ). Matriks A da B berturut-turut merupaka submatriks A # da B # yag letakya di sebelah kiri atas yaitu A B A # = B # = A B A # B # = I( ) k k sehigga di maa A B I( ).Kareasemirig k k k k I( ) isomorfis dega I( ) b maka A # B # # # # # [A B A B ] yag berakibat bahwa A B [ A B A B] I( Cotoh 4 Diberika matriks iterval [12] [00] [69] A = da [ ] [03] [22] [ ] B = [26] [12] 1 A = B = 2 1 [14] [02] maka [45] ) b A = da B =

7 1 4 5 A B = A B = 2. 4 Perhatika bahwa A B [ A B A B] = [12] sehiggaa B = [ ] [45] [24]. KESIMPULAN Dari pembahasa di atas dapat disimpulka bahwa operasi-operasi pada matriks iterval dapat dilakuka melalui matriks-matriks batas bawah da batas bawahya. Selajutya dapat diperoleh iterval matriks yag bersesuaia dega matriks iterval hasil pegoperasia. Hasil pembahasa di atas selajutya dapat diguaka utuk membahas sistem persamaa liear max-mi iterval. Di sampig itu hasilhasil di atas juga dapat digeeralisir ke dalam matriks atas aljabar max-mi bilaga kabur (fuzzy) dega terlebih dulu meggeeralisir aljabar max-mi iterval ke dalam aljabar maxmi bilaga kabur. DAFTA PUSTAKA [1] Baccelli F. Cohe G. Olsder G.J. ad Quadrat J.P Sychroizatio ad Liearity. New York: Joh Wiley & Sos. [2] Godra M ad Mioux M Graph Dioids ad Semirigs. New York: Spriger. [3] Litviov G.L. Sobolevskii A.N Idempotet Iterval Aaysis ad Optimizatio Problems.eliab.Comput ; arxiv: math.sc/ [4]udhito Ady Aljabar Max-Plus Bilaga Kabur da Peerapaya pada Masalah Pejadwala da Jariga Atria Kabur. Disertasi: Program Pascasarjaa Uiversitas Gadjah Mada. Yogyakarta. [5]udhito Ady Aljabar Max-Mi Iterval. Prosidig Semiar Nasioal Peelitia Pedidika da Peerapa MIPA taggal 18 Mei 2013 FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta. [6] Schutter B. De Max-Algebraic System Theory for Discrete Evet Systems PhD thesis Departemet of Electrical Egierig Katholieke Uiversiteit Leuve Leuve 155

8 Nama Peaya : Pausua Tampubolo Istasi : UNIMED Pertayaa : A= A = A = 1. Jika tapa aljabar max mi apakah haya utuk meetuka batas atas da bawah saja? 2. Apa maksudya Semirig idepote? Jawaba : 1. Makalah ii membahas jamia matematis operasi matriks iterval melalui iterval matriks yag bersesuaia 2. Semirig : seperti rig tapi dega aksioma yag lebih lemh seperti grup mejadi semigrup Idepote : a a = a 156