ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR (Fuzzy Number Max-Plus Algebra) INTISARI ABSTRACT

Transkripsi

1 M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR (Fuzz Nuber Max-Plus Algebra) M. And Rudhito, Sri Wahuni 2, Ari Suparwanto 2 dan F. Susilo 3 Jurusan Pendidikan Mateatika dan IPA, Universitas Sanata Dhara, Yogakarta rudhito@staff.usd.ac.id 2 Jurusan Mateatika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogakarta swahuni@ug.ac.id, ari_arwanto@ahoo.co 3 Jurusan Mateatika, Universitas Sanata Dhara,Yogakarta fsusilo@staff.usd.ac.id INTISARI Makalah ini ebahas suatu aljabar hipunan seua bilangan kabur (fuzz nuber) ang dilengkapi dengan operasi axiu dan penjulahan. Aljabar ini erupakan perluasan aljabar ax-plus elalui aljabar ax-plus interval dan Teorea Dekoposisi dala hipunan kabur. Dapat ditunjukkan operasi axiu dan penjulahan ang didefinisikan elalui potongan-alfa tertutup dala hipunan seua bilangan kabur tersebut. Selanjutna hipunan seua bilangan kabur ang dilengkapi dengan operasi axiu dan penjulahan tersebut erupakan seiring idepoten koutatif. Kata-kata kunci: seiring, idepoten, aljabar ax-plus, bilangan kabur. ABSTRACT This paper discussed an algebra of the set of all fuzz nuber that copleted b axiu and addition operation. This algebra is an extension of ax-plus algebra through interval ax-plus algebra and Decoposition Theore in fuzz set. The finding show that axiu and addition operation through alpha-cut is closed in this set of all fuzz nuber. Furtherore, the set of all fuzz nuber that copleted b axiu and addition operation is a coutative idepotent seiring. Kewords : seiring, idepotent, ax-plus algebra, fuzz nuber 53

2 Berkala MIPA, 8(2), Mei LATAR BELAKANG Aljabar ax-plus (hipunan R {}, dengan R adalah hipunan seua bilangan real, ang dilengkapi dengan operasi axiu dan penjulahan) telah digunakan untuk eodelkan dan enganalisis jaringan untuk waktu aktifitas deterinistik. Dala asalah peodelan dan analisa suatu jaringan di ana waktu aktifitasna belu diketahui dengan pasti, waktu aktifitas jaringan diodelkan dala suatu bilangan kabur (fuzz nuber). Akhir-akhir ini telah berkebang peodelan jaringan ang elibatkan bilangan kabur. Peodelan dan analisa suatu siste jaringan ang elibatkan bilangan kabur, sejauh penulis ketahui, belu ada ang enggunakan pendekatan aljabar ax-plus. Dengan pendekatan ini aka akan diperlukan pebahasan engenai suatu aljabar dengan eleeneleenna berupa bilangan kabur dengan operasi axiu dan penjulahan ang didefinisikan di dalana. Aljabar ini diharapkan dapat eberikan landasan analisa jaringan dengan waktu aktifitas kabur elalui pendekatan aljabar ax-plus. Konsep-konsep dasar aljabar ax-plus secara lengkap telah dibahas dala Bacelli, et al. (200), di ana aljabar ax-plus erupakan seifield aitu seiring koutatif ang setiap eleen taknolna epunai invers terhadap operasi perkalian. Operasi-operasi aritatika seperti +,,, /, ax dan in pada bilangan kabur pada uuna didefinisikan dengan enggunakan Prinsip Perluasan (Extension Principle) dan dengan enggunakan potongan- (-cut) ang didasarkan pada Teorea Dekoposisi. Hal ini dapat dilihat dala Zieran, H.J. (99) Lee, K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006). Dala Susilo, F. (2006) ditegaskan bahwa setiap bilangan kabur dapat dinatakan secara tunggal dengan enggunakan potongan--na. Karena potongan- suatu bilangan kabur berupa interval tertutup aka operasi-operasi aritatika pada bilangan kabur dapat dinatakan enggunakan operasi-operasi aritatika interval tertutup. Ditegaskan juga dala Susilo, F. (2006) bahwa operasi bilangan kabur dengan enggunakan Prinsip Perluasan dan dengan enggunakan potongan- adalah ekivalen. Pebahasan engenai seiring telah dikebangkan ke dala Analisis Interval Idepoten oleh Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (200). Analisis Interval Idepoten ini ebahas seiring dengan eleen-eleenna berupa interval tertutup. Dala literatur di atas dikatakan bahwa hipunan seua interval tertutup dala suatu seiring idepoten juga erupakan seiring idepoten dengan operasi ang bersesuaian. Ditunjukkan juga bahwa sifatsifat ang diiliki seiring juga diiliki oleh seiring hipunan seua interval tertutup tersebut. Dengan eperhatikan hasil-hasil di atas, aljabar ax-plus dapat diperluas ke dala aljabar ax-plus interval, di ana eleen-eleenna berupa interval tertutup dala aljabar ax-plus tersebut. Selanjutna dengan engabil pengoperasian axiu dan penjulahan bilangan kabur elalui potongan--na, akan dapat dikebangkan struktur aljabar ax-plus bilangan kabur. Terlebih dahulu akan ditinjau beberapa konsep dasar dan hasil dala aljabar ax-plus, hipunan kabur dan bilangan kabur ang enjadi landasan pebahasan aljabar ax-plus bilangan kabur. 2. TINJAUAN TEORI 2. Aljabar Max-Plus Dala bagian ini ditinjau konsep dasar aljabar ax-plus. Pebahasan selengkapna dapat dilihat pada Baccelli et.al (200), Rudhito A (2003) dan Schutter (996). Suatu seiring (S,, ) adalah suatu hipunan tak kosong S ang dilengkapi 54

3 M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dengan dua operasi biner dan, ang eenuhi aksioa berikut: i) (S, ) adalah seigrup koutatif dengan eleen netral 0, aitu a, b, c S, (a b) c = a (b c), a b = b a, a 0 = a. ii) (S, ) adalah seigrup dengan eleen satuan, aitu a, b, c S, (a b) c = a (b c), a = a = a, iii) Eleen netral 0 erupakan eleen penerap terhadap operasi, aitu a S, a 0 = 0 a = 0. iv) Operasi distributif terhadap, aitu a, b, c S, (a b) c = (a c) (b c), a (b c) = (a b) (a c). Seiring (S,, ) dikatakan idepoten jika operasi bersifat idepoten, aitu a S : a a =a, dan dikatakan koutatif jika operasi bersifat koutatif. Suatu seiring koutatif (S,, ) disebut seifield jika setiap eleen tak netralna epunai invers terhadap operasi. Jika (S, + ) erupakan seigrup koutatif idepoten aka relasi ang didefinisikan pada S dengan x x + = erupakan urutan parsial pada S. Operasi dan dikatakan konsisten terhadap urutan dala S bhb jika x, aka x + z + z dan x z z, x,, z S. Dapat ditunjukkan bahwa dala seiring idepoten (S, +, ) operasi + dan konsisten terhadap urutan dala S. Seiring (S,, ) dengan eleen netral 0 dikatakan tidak euat pebagi nol bhb jika x = 0 aka x = 0 atau = 0, x, S. Diberikan R := R { } dengan R adalah hipunan seua bilangan real dan : =. Pada R didefinisikan operasi berikut: a,b R, a b := ax(a, b) dan a b : = a b. Dapat ditunjukkan bahwa (R,, ) erupakan seiring idepoten koutatif dengan eleen netral = dan eleen satuan e = 0. Lebih lanjut (R,, ) erupakan seifield, aitu bahwa 55 (R,, ) erupakan seiring koutatif di ana untuk setiap a R terdapat a sehingga berlaku a (a) = 0. Keudian (R,, ) disebut dengan aljabar axplus, ang selanjutna cukup dituliskan dengan R ax. Karena (R ax, ) erupakan seigrup koutatif idepoten, aka relasi ang didefinisikan pada R ax dengan x x = erupakan urutan parsial pada R ax. Lebih lanjut relasi ini erupakan urutan total pada R ax. Karena R ax erupakan seiring idepoten, aka operasi dan konsisten terhadap urutan, aitu a, b, c R ax, jika a aka a c b c, dan a c b c. Aljabar ax-plus R ax tidak euat pebagi nol aitu x, R berlaku: jika x = aka x = atau =. 2.2 Hipunan dan Bilangan Kabur Berikut ditinjau pengertian dan konsep dasar hipunan dan bilangan kabur. Uraian lebih lengkap dapat dilihat dala Zierann, H.J., (99), Lee, K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006). Suatu hipunan A dala seesta X dapat dinatakan dengan fungsi karakteristik A : X {0, } ang didefinisikan dengan aturan, jika x A A (x) = untuk setiap x X. 0, jika x A Hipunan kabur K ~ dala seesta X dinatakan sebagai hipunan pasangan terurut K ~ = {(x, K ~ (x)) x X }, di ana K ~ adalah fungsi keanggotaan hipunan kabur K ~, ang erupakan suatu peetaan dari seesta X ke interval tertutup [0, ]. Pendukung (port) suatu hipunan kabur K ~, dilabangkan dengan pend( K ~ ) adalah hipunan tegas (crisp) ang euat seua anggota seesta ang epunai derajat keanggotaan taknol dala K ~, aitu pend( K ~ ) = {xx K ~ (x) 0}. Tinggi

4 Berkala MIPA, 8(2), Mei 2008 (height) suatu hipunan kabur K ~, dilabang-kan dengan tinggi( K ~ ), didefinisikan sebagai tinggi( K ~ ) = { ~ K (x)}. Suatu hipunan kabur K ~ xx dikatakan noral jika tinggi( K ~ ) =. Gabungan dua buah hipunan kabur K ~ dan L ~ adalah hipunan kabur K ~ L ~ dengan fungsi keanggotaan (x) = ax{ ~ (x), K L ~ (x)} untuk K ~ L ~ setiap x X. Sedangkan irisan dua buah hipunan kabur K ~ dan L ~ adalah hipunan kabur K ~ L ~ dengan fungsi keanggotaan K ~ L ~ (x) = in{ ~ (x), K L ~ (x)}, untuk ~ setiap x X. Jika K,..., K ~ n adalah hipunan-hipunan kabur berturut-turut dala seesta X,..., X n, aka hasilkali ~ Cartesius K... K ~ n adalah hipunan kabur dala X... X n dengan fungsi keanggotaan ~ ~ (x,..., x n ) = K in{ ~ (x),..., K... K n K ~ n (x)}. Untuk suatu bilangan [0, ], potongan- suatu hipunan kabur K ~, ang dilabangkan dengan pot ( K ~ ) = K, adalah hipunan crisp (tegas) ang euat seua eleen seesta dengan derajat keanggotaan dala K ~ lebih besar atau saa dengan, ang didefinisikan sebagai K = {xx K ~ (x) }. Salah satu sifat potongan- suatu hipunan kabur K ~ 2 adalah jika 2 aka K K,ang disebut dengan sifat tersarang (nested). Suatu hipunan kabur K ~ dikatakan konveks jika K konveks [0, ]. Teorea (Teorea Dekoposisi) Jika K adalah potongan- hipunan kabur K ~ dala seesta X dan K ~ adalah hipunan kabur dala X dengan fungsi keanggotaan K ~ K (x) = K (x), di ana adalah fungsi karakteristik hipunan K, aka K ~ = [0,] K ~ Bukti: Susilo, F. (2006, pp ). Teorea 2 (Teorea Representasi) Jika { K }, [0, ] adalah keluarga hipunan dala seesta X ang eenuhi sifat tersarang (nested), aitu jika aka berlaku K K,, [0, ], aka terdapat dengan tunggal hipunan kabur L ~ dala seesta X sedeikian hingga L = K, [0, ]. Bukti: Didefinisikan hipunan kabur L ~ dala seesta X ang fungsi keanggotaanna ang didefinisikan dengan (x) =. Abil sebarang [0, L ~ xk ]. Abil sebarang x L akan ditunjukkan bahwa x K. Karena x L, aka L ~ (x) =. Karena sifat tersarang aka xk K K = K, dengan = xk =, aka x K = xk K dan. Karena K, sehingga x K. Jadi L K untuk setiap [0, ]. Abil sebarang [0, ]. Abil sebarang x K akan ditunjukkan bahwa x L. Karena x K dan sifat tersarang, aka. Menurut xk definisi L ~ diperoleh L ~ (x), sehingga terbukti x L. Jadi K L, untuk setiap [0, ]. Dengan deikan terbukti bahwa K = L. Andaikan terdapat hipunan kabur M ~ dala seesta X sedeikian hingga M = K, [0, ]. Karena K = L, [0, ], aka 56

5 M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur berakibat M = L, [0, ], sehingga = M ~, ang berarti M~ = L ~. Jadi L ~ terbukti terdapat dengan tunggal hipunan kabur L ~ dala seesta X sedeikian hingga L = K, [0, ]. Berikut ditinjau engenai Prinsip Perluasan dala hipunan kabur. Misalkan f adalah fungsi dari X... X n ke Y, dan K ~,..., K ~ n adalah hipunan-hipunan kabur berturut-turut dala seesta X,..., X n. Fungsi f dapat diperluas enjadi fungsi bernilai kabur ~ f : F(X... X n ) F(Y), di ana F(X... X n ) dan F(Y) berturutturut adalah hipunan kuasa kabur dari seesta X... X n dan Y, dengan aturan sebagai berikut. Untuk setiap hipunan kabur K ~... K ~ n F(X... X n ), ~ f ( K ~... K ~ n ) adalah hipunan kabur dala F(Y) dengan fungsi keanggotaan ~ () = f ( K ~... K ~ n ) in{ ( ),..., ( )} K ~ x K ~ xn n f ( x,..., xn ) jika ( x,..., xn) X... X n, f ( x,..., xn). 0 jika( x,..., xn) X... X n, f ( x,..., xn) Bilangan kabur a ~ didefinisikan sebagai hipunan kabur dala seesta R ang eenuhi sifat berikut: i) noral, aitu a ii) (0, ], a adalah interval tertutup 57 dala R, aitu a, a a R dengan a sedeikian sehingga a = [ a, a ] = {x R a x a }. iii) pend( a ~ ) terbatas. Untuk = 0, didefinisikan bahwa a 0 = [inf(pend( a ~ )), (pend( a ~ ))]. Karena setiap interval tertutup dala R adalah konveks aka a konveks [0, ], sehingga a ~ konveks. Suatu bilangan kabur titik a ~ adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan a ~ (x) =, jika x a. 0, lainna Salah satu tipe bilangan kabur ang sederhana adalah bilangan kabur segitiga. Bilangan kabur segitiga a ~, ang dilabangkan dengan BKS(a, a, a 2 ), adalah suatu bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan x a, a x a a a a ~ (x) = a2 x, a x a2 a2 a 0, lainna di ana a a atau a a 2. Napak bahwa potongan- a ~ di atas adalah a = [(a a ) + a, (a 2 a) + a 2 ] dan pend( a ~ ) = (a, a 2 ). Dua bilangan kabur a ~ dan b ~ dikatakan saa jika a ~ = b ~. Karena a ~ = b ~ aka berlaku a = b, [0, ]. Sebalikna enurut Teorea Dekoposisi jika a = b, [0, ], aka a ~ b ~ deikan dapat dikatakan bahwa a ~ =b ~ jika dan hana jika a = b, [0, ]. Operasi-operasi aritatika bilangan kabur dapat didefinisikan dengan enggunakan prinsip perluasan atau dengan enggunakan potongan-. Dengan enggunakan prinsip perluasan didefinisikan operasi-operasi bilangan kabur berikut. Misalkan a ~ dan b ~ adalah bilangan-bilangan kabur. i) Maksiu a ~ dan b ~, aitu a ~ ~ b ~ adalah hipunan kabur dengan fungsi keanggotaan: ~ b ~ (z) = z x in{ a ~ (x), b ~ ( )}. ii) Penjulahan a ~ dan b ~, aitu a ~ ~ b ~ adalah hipunan kabur dengan fungsi a ~

6 Berkala MIPA, 8(2), Mei 2008 keanggotaan: a ~ ~ b ~ (z) = ) z x in{ a ~ (x), b ~ ( )}. Sedangkan dengan enggunakan potongan- didefinisikan operasi-operasi bilangan kabur berikut. Misalkan a ~ dan b ~ adalah bilangan-bilangan kabur. dengan a = [ a, a ]dan b = [ b, b ], di ana a dan a berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas interval a, sedangkan untuk b dan b analog, i') Maksiu a ~ dan b ~, aitu a ~ ~ b ~ adalah hipunan kabur dengan potongan--na adalah interval [ a a b ], untuk setiap [0, ]. ii') Penjulahan a ~ dan b ~, aitu a ~ ~ b ~ adalah hipunan kabur dengan potongan--na adalah interval [ a setiap [0, ]. 3. CARA PENELITIAN a b ], untuk Penelitian ini erupakan penelitian ang didasarkan pada studi literatur ang eliputi kajian-kajian secara teoritis. Terlebih dahulu akan dikaji aljabar axplus interval, ang erupakan perluasan aljabar ax-plus, di ana eleeneleena berupa interval-interval. Hasil pebahasan ini akan digunakan sebagai dasar pebahasan aljabar ax-plus bilangan kabur elalui potongan--na ang berupa interval. Selanjutna dengan eperhatikan struktur aljabar ax-plus interval, akan dikonstruksikan dan diselidiki aljabar ax-plus bilangan kabur. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Pebahasan aljabar ax-plus ini didasarkan pada analisis idepoten interval dala Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (200) Definisi Misalkan S adalah hipunan terurut parsial dengan relasi. Suatu interval (tertutup) dala S adalah hipunan bagian S ang berbentuk x = [ x, x ] = {xs x x x } dengan x dan x S berturut-turut disebut batas bawah dan batas atas interval [ x, x ]. Misalkan x dan adalah interval dala S. Perhatikan bahwa interval x jika dan hana jika x x. Secara khusus x = jika dan hana jika x = dan x =. Sebuah interval dengan x dengan x = x erepresentasi suatu eleen dala S. Contoh Telah diketahui bahwa R ax erupakan hipunan terurut parsial dengan relasi. Interval dala R ax berbentuk x = [ x, x ] = { x R ax x x x }. Bilangan x R ax dapat dinatakan dengan enggunakan interval x = [x, x]. Interval dala R ax isalna [2, 3], [4, ], [0, 0] = 0, [, ] = dan sebagaina. Diberikan (S, +, ) adalah suatu seiring idepoten dan tidak euat pebagi nol, dengan eleen netral 0. Didefinisikan I(S) = { x = [ x, x ] x, x S, 0 x x } {[0, 0]}. Pada I(S) didefinisikan operasi dan dengan x = [ x +, x + ] dan x = [ x, x ], x, I(S). Dapat ditunjukkan bahwa operasi ang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik (well defined), aitu eenuhi sarat tertutup dan bernilai tunggal. Teorea 3 Diberikan (S, +, ) adalah suatu seiring idepoten dan tidak euat pebagi nol, dengan eleen netral 58

7 M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur 0. (I(S),, ) erupakan seiring idepoten dengan eleen netral 0 I = [0, 0] dan eleen satuan I = [, ]. Bukti: Bahwa I(S) tertutup terhadap operasi dan sudah dijelaskan pada penjelasan setelah pendefinisian operasi interval di atas. Selanjutna karena operasioperasi dan pada (I(S),) didefinisikan koponen dei koponen dari S, aka sifat-sifat pada (I(S),, ) engikuti seluruh sifat-sifat pada (S, +,) ang erupakan seiring idepoten, dengan eleen netral 0 dan eleen satuan. Dengan deikian terbukti bahwa (I(S),, ) erupakan seiring idepoten koutatif dengan eleen netral 0 I = [0, 0] dan eleen satuan I = [, ]. Contoh 2 Telah diketahui (R,, ) erupakan seiring idepoten dan tidak euat pebagi nol, dengan eleen netral. Didefinisikan I(R) = {x = [ x, x ] x, x R, x x }{[, ]}. Pada I(R) didefinisikan operasi dan aitu x = [ x, x ] dan x = [ x, x ], x, I(R). Misalna [, ] [, 3] = [, 3] dan [, ] [, 3] = [0, 4]. Menurut Teorea 3 di atas (I(R),, ) erupakan seiring idepoten dengan eleen netral = [, ] dan eleen satuan 0 = [0, 0]. Lebih lanjut karena (R,, ) erupakan seiring idepoten koutatif, aka (I(R),, ) erupakan seiring idepoten koutatif. Selanjutna (I(R),, ) disebut dengan aljabar axplus interval ang cukup dituliskan dengan I(R) ax. Teorea 4 x, I(R) ax berlaku bahwa i. [ x, x ] = x dan ii. [ x, x ] = x, di ana x = {t R ax t = x, x x, } dan x = {t R ax t = x, x x, }. Bukti: i) Abil sebarang t x dan isalkan x x dan sedeikian hingga t = x. Karena x dan adalah interval, aka x x x dan. Karena operasi konsisten terhadap urutan, aka x x x, sehingga x [ x, x ]. Jadi x [ x, x ]. Abil sebarang t [ x, x ], aka x t x. Andaikan t x, aka x x dan berlaku t x, karena urutan dala R ax erupakan urutan total, berarti bahwa t x atau t x. Karena x x dan aka t x atau t x, sehingga terjadi kontradiksi. Jadi t x, ang berarti [ x, x ] x. Dengan deikan terbukti [ x, x ] = x. ii) Analog dengan pebuktian i) di atas. Berikut diberikan teorea ang enunjuk-kan bahwa operasi axiu bilangan kabur dengan enggunakan prinsip perluasan dan dengan enggunakan potongan- adalah ekivalen. Teorea 5 Diberikan dua buah bilangan kabur a ~ dan b ~ dengan potongan--na berturut-turut adalah a = [ a, a ] dan b = [ b ]. Maxiu a ~ dan b ~, aitu a ~ ~ b ~ adalah hipunan kabur dengan 59

8 Berkala MIPA, 8(2), Mei 2008 fungsi z x keanggotaan (z) = a ~ ~ b ~ in{ a ~ (x), ()} jika dan hana jika (a b) = [ a b, b ~ a b ]. Bukti: () Abil sebarang bilangan real z (a b), aka (z) ( a ~ ~ b ~ ). Andaikan z [ a a b ], aka untuk setiap x dan dengan x = z berlaku x [ a, a ] atau [ b, b ]. Hal ini berarti a ~ (x) atau b ~ () ang berakibat ~ (z) = a ~ b ~ z x in{ a ~ (x), b ~ ( )}, sehingga terjadi kontradiksi. Jadi z [ a (a b) [ a a b ], ang berarti a b ]. Abil sebarang bilangan real z [ a a b ]. Karena enurut Teorea 4, [ a a b ] = a b = {z R ax z = x, x a, b } aka terdapat x [ a, a ] dan [ b, b ] sedeikian sehingga x + = z. Hal ini berarti bahwa a ~ (x) dan b ~ ( ). Jadi (z) = a ~ ~ b ~ z x in{ a ~ (x), b ~ ( )}, aitu bahwa z (a b), ang berarti [ a a b ] (a b). Dengan deikian terbukti bahwa (a b) = [ a a b ]. () Andaikan (a b) = [ a b ]. Menurut Teorea, [ b ] = a a a a b = {zr ax z = x, x a, b }. Perhatikan bahwa a dan b dapat dipandang sebagai hipunan kabur dengan fungsi keanggotaanna berturutturut adalah fungsi karakteristik a dan b. Keudian enurut prinsip perluasan diperoleh (z) = a b in{ a (x), b ()}. Misalkan a ~ ~ z x b ~ = c ~, aka (a b) = c. Selanjutna enurut Teorea Dekoposisi diperoleh c ~ (z) = c ~ (z) = ax x[ 0, ] c ~ (z) [ 0, ] dengan c ~, adalah hipunan kabur dala R dengan fungsi keanggotaan c ~ (z) = (z). Karena (a b) = a b, ( a b) aka (z) = in{ a ~ (x), ()}(z) = c ~ zx zx in{ a ~ (x), ~ b ()}(z) = b ~ in zx { a ~ (x), ~ b ()}. Sehingga c ~ (z) = ax x[ 0, ] in { a ~ (x), ~ b ()} = zx in{ ax zx zx x[ 0, ] a ~ in{ diperoleh zx a ~ [ 0, ] (x), bahwa in{ a ~ (x), (x), b ~ ax x[ 0, ] ~ b ()} = ~ b ()}. Jadi [0,] (z) = a ~ ~ b ~ ( )}. Teorea di atas juga berlaku untuk operasi penjulahan, dengan bukti ang analog. Dala pebahasan selanjutna, operasi axiu dan penjulahan bilangan kabur akan didefinisikan elalui potongan--na. Teorea 6 Untuk bilangan kabur a ~ dan b ~ berlaku pend( a ~ ~ b ~ ) = pend( a ~ ) pend( b ~ ) di ana pend( a ~ ) pend( b ~ ) = {x x pend( a ~ ) dan pend( b ~ )}. Bukti: Abil sebarang bilangan real z pend( a ~ ~ b ~ ), aka ~ b ~ (z) 0. Andaikan z pend( a ~ ) pend( b ~ ), aka untuk setiap x dan dengan x = z berlaku x pend( a ~ ) atau pend( b ~ ). Hal ini berarti a ~ (x) 0 atau b ~ ( ) 0 a ~ ang berakibat a ~ ~ b ~ (z) = ) 60

9 M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur in{ a ~ (x), b ~ ( )} 0, sehingga zx terjadi kontradiksi. Jadi z pend( a ~ ) pend( b ~ ), ang berarti pend( a ~ ~ b ~ ) pend( a ~ ) pend( b ~ ). Abil sebarang bilangan real z pend( a ~ ) end( b ~ ), aka terdapat x pend( a ~ ) dan pend( b ~ ) sedeikian sehingga x + = z. Hal ini berarti bahwa (x) 0 dan b ~ ( ) 0. Akibatna a ~ (z) = ~ ~ a ~ b ) z x in{ a ~ (x), b ~ ()} 0, aitu bahwa z pend( a ~ ) pend( b ~ ). Jadi pend( a ~ ) pend( b ~ ) pend( a ~ ~ b ~ ). Dengan deikian terbukti bahwa pend( a ~ ~ b ~ ) = pend( a ~ ) pend( b ~ ). Teorea di atas juga berlaku untuk operasi aksiu, dengan bukti ang analog. Selanjutna diperoleh bahwa (a b) 0 = [inf(pend ( a ~ ~ b ~ )), (pend ( a ~ ~ b ~ ))] = [inf (pend( a ~ ) pend(b ~ )), (pend( a ~ ) pend(b ~ ))] = [inf(pend( a ~ )) inf(pend(b ~ ), (pend( a ~ ))(pend(b ~ ))] = [inf(pend( a ~ )), (pend( a ~ ))] [inf(pend(b ~ )),(pend( b ~ ))]= a 0 b 0. Dengan cara ang analog dapat juga diperoleh bahwa (a b) 0 = a 0 b 0. Suatu keluarga interval [a (), a 2 ()] dikatakan tersarang (nested) jika untuk aka berlaku [a (), a 2 ()] [a (), a 2 ()],, [0, ]. Berikut diberikan suatu hasil ang eberikan sarat bahwa suatu keluarga interval erupakan potongan- suatu bilangan kabur. Akibat 7 Jika keluarga interval {[a (), a 2 ()]} [0, ] eenuhi sifat i) [a (), a 2 ()], ii) [a (), a 2 ()] tersarang dan iii) [a (0), a 2 (0)] terbatas, 6 aka terdapat dengan tunggal bilangan kabur a ~ sedeikian hingga [a (), a 2 ()] = a, [0, ]. Bukti: Dari sifat ii) di atas, enurut Teorea 2 jelas bahwa terdapat dengan tunggal hipunan kabur a ~ sedeikian hingga [a (), a 2 ()] = a, [0, ]. Selanjutna dari sifat i) dan iii) di atas, enurut definisi bilangan kabur, jelas bahwa a ~ erupakan bilangan kabur. Untuk eperoleh fungsi keanggotaan hasil operasi pada bilangan kabur seperti di atas, dapat dengan enggunakan Teorea Dekoposisi. Potongan-potongan- ang didefinisikan pada operasi di atas eenuhi sarat sebagai keluarga potongan- dari suatu bilangan kabur, aitu i) Potongan-potongan- hasil operasi di atas berupa interval dala I(R) ax. Hal ini dipenuhi, karena a a dan b aka enurut sifat kekonsistenan urutan terhadap operasi dan dapat disipulkan ( a b ) b ) ( a b ) dan ( a ( a b ). ii) Karena a ~ dan b ~ adalah bilangan kabur, aka [ a, a ] dan [ b, b ] sehingga [ a b, a b ]. iii) Potongan-potongan- hasil operasi di atas berupa keluarga interval tersarang dala I(R) ax. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut. Karena a ~ dan b ~ erupakan bilangan kabur, aka berlaku: jika aka a a dan b b, aitu a b a b a b a dan b. Karena dala R ax operasi dan konsisten terhadap urutan,

10 Berkala MIPA, 8(2), Mei 2008 aka a b a b a a b b dan a b a b a b a, [0, ]. iv) Karena a ~ dan b ~ adalah bilangan 0 0 kabur, aka aka [ a, a ] dan 0 0 [ b ] asing-asing terbatas, sehingga 0 [ a b 0, 0 a b 0 ] juga terbatas. Selanjutna dengan enggunakan Teorea Dekoposisi diperoleh bahwa a ~ ~ b ~ = c ~ = c, di ana c ~ adalah hipunan [0,] kabur dala R dengan fungsi keanggotaan c ~ (x) = (x) ( a b), di ana adalah fungsi karakteristik ( ab) hipunan (a b). Deikian juga untuk operasi ~ dapat dilakukan dengan cara ang analog. Contoh 3 Diberikan dua buah bilangan kabur segitiga a ~ = BKS(a, a, a 2 ) dan b ~ =BKS(b, b, b 2 ), aka a = [ a, a ] = [(aa ) + a, (a 2 a) +a 2 ] dan b = [ b, b ] = [(bb ) + b, (b 2 b) + b 2 ]. Keudian potongan- dari a ~ ~ b ~ dan a ~ ~ b ~ berturut-turut adalah [((aa ) + a ) ((bb ) + b ), ((a 2 a) +a 2 ) ((b 2 b) + b 2 )] dan [((aa ) + a ) ((bb ) + b ), ((a 2 a) + a 2 ) ((b 2 b) + b 2 )]. Perhatikan bahwa untuk potongan- dari a ~ ~ b ~ berlaku [((aa ) + a ) ((bb ) + b ), ((a 2 a) + a 2 ) ((b 2 b) + b 2 )] = [(a+b) (a +b ) + (a +b ), ((a 2 +b 2 ) (a+b) + (a 2 +b 2 )], sehingga a ~ ~ b ~ = BKS((a +b ), (a+b), (a 2 + b 2 )). Sedangkan untuk (a ~ b)), jika a b dan a aka (a ~ b)) = b, aitu a ~ ~ b ~ = b ~. Salah satu keungkinan ang lain dari relasi antara a, a, b diberikan dala Contoh 4 berikut. Contoh 4 Misalkan a ~ = BKS(2,3, 4) dan b ~ = BKS(,4,5), aka a = [(32) + 2, (43) + 4] = [+2, +4] dan b = [(4) +, (54) + 5] = [3+, + 5]. Dengan enggunakan progra MATLAB berikut diberikan grafik fungsi keanggotaan dari a ~, b ~ (Gabar bagian atas) dan batas-batas potongan- dari a ~ ~ b ~ dan a ~ ~ b ~ untuk = 0, 0., 0.2,..., (Gabar bagian bawah). Gabar. Grafik Fungsi Keanggotaan Hasil Operasi BKS(2, 3, 4) dan BKS(, 4, 5). Keterangan Gabar : : a ~,. : b ~, a ~ ~ b ~. + : a ~ ~ b ~, * : Dengan eperhatikan gabar di atas dan bahwa titik potong a ~ (x) = x2 dan b ~ (x) = x adalah (2.5, 0.5), aka diperoleh 3 62

11 M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur a ~ ~ b ~ (x) = 0 x 2 x 3 5 x 0, x 2, 2 x 2, 5, 2, 5 x 4., 4 x 5, x 5 Seentara itu a ~ ~ b ~ = BKS(3, 7, 9). Dari Contoh 4 di atas napak bahwa hasil operasi axiu dua buah bilangan kabur segitiga tidak selalu erupakan bilangan kabur segitiga. Diberikan F(R) ~ := F(R) { ~ } dengan F(R) adalah hipunan seua bilangan kabur dan ~ := {}, dengan = [,], [0, ]. Pada (F(R)) ~ didefinisikan operasi aksiu ~ dan penjulahan ~, seperti pada bagian 2.2. di atas. Teorea 8 Struktur aljabar (F(R) ~, ~, ~ ) adalah seiring idepoten koutatif. Bukti: Operasi ang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik, aitu eenuhi sarat tertutup dan bernilai tunggal. Akan ditunjukkan untuk operasi ~, sedangkan untuk operasi ~ dapat dilakukan dengan cara ang analog. Untuk sarat ketertutupan dijelaskan sebagai berikut. Abil sebarang bilangan kabur a ~ dan b ~ F(R) ~. i) Karena a ~ dan b ~ erupakan bilangan kabur, aka a ~ dan b ~ noral, aitu bahwa a dan b. Hal ini berarti x a, x b R sedeikian hingga berlaku a x a a dan b x b b. Karena sifat kekonsistenan urutan terhadap operasi aka berlaku ( a b ) (x a x b ) ( a b ). Jadi [ a. Jadi a ~ ~ b ~ noral. a b ] = (a b) ii) Karena a ~ dan b ~ erupakan bilangan kabur, aka (0, ], a, b erupakan interval tertutup dala R. Menurut sifat ketertutupan operasi pada interval, [ a a b ] erupakan interval tertutup dala R, (0, ]. iii) Karena a ~ dan b ~ erupakan bilangan kabur, aka pend( a ~ ) dan pend( b ~ ) terbatas, sehingga berlaku pend( a ~ ) a 0 = [inf(pend( a ~ )), (pend( a ~ ))] dan pend( b ~ ) b 0 = [inf(pend(b ~ )), (pend( b ~ ))]. Dengan deikian enurut penjelasan pada bagian 2.2 di atas, pend( a ~ ~ b ~ ) = pend( a ~ ) pend(b ~ ) a 0 b 0 = (a b) 0 = [inf(pend( a ~ )) inf(pend( b ~ ), (pend( a ~ )) (pend(b ~ ))]. Jadi terbukti bahwa pend( a ~ ~ b ~ ) terbatas. Berdasarkan i), ii) dan iii) di atas dapat disipulkan bahwa operasi ~ ang didefinisikan di atas tertutup dala F(R). Ketunggalan hasil operasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut. Akan ditunjukkan ketunggalan untuk operasi ~, sedangkan untuk operasi ~ analog. Abil sebarang bilangan kabur a ~, b ~, c ~ dan d ~ F(R) sedeikian hingga a ~ = c ~ dan b ~ = d ~. Karena a ~ = c ~ dan b ~ = d ~, aka a = c dan b = d, [0, ] ang berarti [ a, a ] = [ c, c ] dan [ b, b ] = [ d, d d, a b = ] atau b = a = c, a = c, b = d. Hal ini berakibat bahwa c d dan c d aitu bahwa [ a = [ c d, c d a a b = b ] ], [0, ]. Jadi 63

12 Berkala MIPA, 8(2), Mei 2008 a ~ ~ b ~ = c ~ ~ d ~, ang berarti hasil operasi tersebut tunggal. Selanjutna karena potongan- suatu bilangan kabur berupa interval dala I(R ), dan enurut Contoh 2, (I(R ),, ) erupakan seiring idepoten koutatif, aka (F(R) ~, ~, ~ ) erupakan seiring idepoten koutatif, dengan eleen netral ~ = {} dan eleen satuan e ~ = {0}, dengan e = [0, 0], [0, ]). Seiring idepoten koutatif F(R) ax := (F(R), ~, ~ ) di atas disebut aljabar ax-plus bilangan kabur, atau secara singkat cukup dituliskan dengan F(R) ax. 5. KESIMPULAN DAN SARAN Dari pebahasan di atas dapat disipulkan bahwa operasi axiu dan penjulahan ang didefinisikan elalui potongan- tertutup dala hipunan seua bilangan kabur tersebut. Selanjutna hipunan seua bilangan kabur ang dilengkapi dengan operasi axiu dan penjulahan tersebut erupakan seiring idepoten koutatif. Untuk penelitian selanjutna dapat dilakukan pebahasan perluasan operasioperasi di atas ke dala operasi axiu dan penjulahan untuk atriks atas bilangan kabur beserta struktur-struktur aljabar ang enertaina. DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F., et al Snchronization and Linearit. John Wile & Sons. New York. Lee, K.H First Course on Fuzz Theor and Applications. Spinger- Verlag. Berlin. Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N Idepotent Interval Anasis and Optiization Probles. Reliab. Coput., 7, (200); arxiv: ath.sc/ Rudhito, And Siste Linear Max- Plus Waktu-Invariant. Tesis: Progra Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogakarta. Schutter, B. De., 996, Max-Algebraic Sste Theor for Discrete Event Sstes, PhD thesis Departeent of Electrical Enginering Katholieke Universiteit Leuven, Leuven. Susilo, F Hipunan dan Logika Kabur serta Aplikasina. Edisi kedua. Graha Ilu. Yogakarta. Zierann, H.J., 99. Fuzz Set Theor and Its Applications. Kluwer Acadeic Publishers. Boston. 64