UNNES Journal of Mathematics

Transkripsi

1 UJM 6() (7) UNNES Joural of Mathematics NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS Kholipah Tuisa, Kristia Wijayati, Rahayu Budhiati Veroica Jurusa Matematika, FMIPA, Uiversitas Negeri Semarag, Idoesia Gedug D7 latai Kampus Sekara, Guugpati, Semarag, 59 Ifo Artikel Sejarah Artikel: Diterima Jui 6 Disetujui Jui 6 Dipublikasika Nopember 7 Keywords: Eigevalue, eigevector, irreducible matrice, max-plus algebra Abstrak Peelitia ii membahas megeai meetuka ilai eige, vektor eige dari matriks tak tereduksi atas aljabar max-plus da sifat -sifatya Metode yag diguaka adalah studi pustaka Pada peelitia ii disimpulka: ) Nilai eige da vektor eige dari matriks tak tereduksi atas aljabar max-plus dapat ditetuka dega lagkah-lagkah berikut (i) Meghitug A pagkat k, utuk k dari sampai, dega ordo matriks persegi (ii) Meghitug ilai eige dega yaitu maksimum seper k dikali trace dari A pagkat k pada lagkah (i) (iii) Memilih sirkuit (c,c) yag merupaka sirkuit kritis di G(A) (iv) Meghitug matriks B da B bitag (v) Memilih vektor eige dari A yag merupaka kolom ke-c dari matriks B bitag ) Sifat-sifat dari ilai eige da vektor eige dari matriks tak tereduksi atas aljabar max-plus sebagai berikut Vektor eige dari matriks tak tereduksi tidak tuggal, Nilai eige da vektor eige dari matriks tak tereduksi adalah berhigga Nilai eige dari matriks tak tereduksi tuggal Nilai eige dari matriks traspose sama dega ilai eige dari matriks asalya Nilai eige dari A pagkat k sama dega ilai eige dari A dipagkatka k Abstract This study discusses the determiig eigevalues, eigevectors of a irreducible matrice o maxplus algebra ad its properties The method used is literature I this study cocluded: ) The eigevalues ad eigevectors of a irreducible matrix o max-plus algebra ca be determied with the followig steps (I) Calculate A rak k, for k from to, with order square matrix (Ii) Calculate the eigevalues are maximum divided by k times trace of A rak k i step (i) (Iii) Select circuit (c, c) which is a critical circuit i G (A) (Iv) Calculate the matrix B ad B star (V) Selectig a eigevector of A which is a colum c of the matrice B ) The properties of eigevalues ad eigevectors of a irreducible matrice o max-plus algebra as follows Eigevectors of a irreducible matrice is ot sigular, eigevalues ad eigevectors of a irreducible matrice is fiite Eigevalues of a irreducible matrice uique The eigevalues of matrice traspose the same as the eigevalues of origi Eigevalues of A rak k equal to the eigevalues of A raised to k How to Cite Tuisa K, Wijayati K, & Veroica RB (7) Nilai Eige da Vektor Eige Matriks Atas Aljabar Max-Plus Ues Joural of Mathematics 6(): Alamat korespodesi: kholipahtuisa@yahoocom 7 Uiversitas Negeri Semarag p-issn e-issn

2 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 PENDAHULUAN Matematika dikeal sebagai ratuya ilmu, yaitu ilmu yag medasari semua disipli ilmu Salah satu cabag matematika adalah aljabar Aljabar memegag peraa petig dalam perkembaga disipli ilmuilmu lai Aljabar max-plus merupaka salah satu topik dalam aljabar Seperti pada aljabar liear, pada aljabar max-plus juga dikeal kosep ilai eige da vektor eige Nilai eige da vektor eige merupaka salah satu topik pada aljabar yag dimiliki matriks persegi, begitu pula pada matriks persegi atas aljabar max-plus Masalah ilai eige da vektor eige matriks atas aljabar max-plus, dapat di aplikasika pada kehidupa sehari seperti utuk memaksimalka pedapata pegemudi taksi dega memaksimalka jarak tempuh pada Dorteus () da dapat pula utuk meyusu pejadwala trasportasi Subioo (5) da Farlow (9) telah meujukka bagaimaa cara meetuka ilai eige da vektor eige dalam aljabar max-plus Oleh karea itu peulis tertarik utuk membahas kembali atara lai metode meetuka ilai eige da vektor eige pada matriks atas aljabar max-plus disertai sifat-sifat ilai eige da vektor Berdasarka latar belakag diatas peulis merumuska beberapa permasalaha Bagaimaa meetuka ilai eige da vektor eige matriks atas aljabar maks-plus? Apa saja sifat-sifat ilai eige da vektor eige tersebut Matriks yag dibahas disii adalah matriks tak tereduksi atas aljabar max-plus Adapu tujua peulisa ii adalah utuk megetahui cara meetuka ilai eige da vektor eige matriks atas aljabar maks-plus da megetahui sifat-sifat yag berkaita Himpua R = R {dega R himpua semua bilaga real yag dilegkapi dega dua operasi bier yag didefiisika x, y R berlaku: (i) x y = max(x, y), (ii) x y = x + y Selajutya (R,, ) disebut aljabar max-plus diotasika dega R max da diotasika dega Aljabar max-plus memeuhi struktur semifield idempote Vektor pada R max, yaitu R max didefiisika sebagai: R max = {(a, a,, a ) a i R max, i =,,, } dega operasi pejumlaha da perkalia skalar pada R max merupaka semimodul atas R max Eleme a R max disebut vektor pada aljabar max-plus Vektor ol di R max diotasika dega = (ɛ, ɛ,, ɛ) Matriks atas aljabar max-plus adalah matriks yag elemeya di R max Dalam aljabar max-plus suatu matriks khususya matriks persegi dapat direpresetasika dalam betuk graf yag diamaka graf precedece da diotasika dega G(A) Defiisi Suatu graf G didefiisika sebagai pasaga himpua (V,E) dimaa V adalah himpua tak kosog simpul (titik) da E adalah himpua busur (sisi) yag meghubugka sepasag simpul yag tidak harus berbeda (West,) Defiisi Jika matriks A berukura dega (A) ij R max maka graf precedece dari matriks A yag diotasika dega G(A) adalah graf berarah terboboti yag memiliki: (i) simpul sebayak (ii) busur (j,i), jika (A) ij (iii) bobot busur bilaga real (A) ij utuk busur(j,i) atau dapat diotasika (A) ij = w(j, i) Himpua simpul da himpua busur pada G(A) berturut-turut diotasika dega V(A) da E(A) (Bacelli, F, G Cohe, GJ Olsder, da JP Quadrat, ) Defiisi Padag suatu graf berarah G (V,E) Suatu litasa (path) p dari i ke j dalam graf berarah G adalah barisa berhigga dari simpul-simpul (i, i,, i s+ ) dega i = i, i s+ = j da setiap (i k, i k+ ) adalah busur dari graf berarah G(V,E) (Bacelli, F, G Cohe, GJ Olsder, da JP Quadrat, ) Dari Defiisi, di dapat sirkuit adalah sebuah litasa dega simpul akhir da simpul awalya sama, sirkuit elemeter merupaka sirkuit yag haya melewati suatu busur tepat satu kali Defiisi 4 xm Suatu matriks A R max disebut irreducible atau tak tereduksi jika graf G(A) dari matriks tersebut merupaka graf yag terhubug kuat (Farlow, 9) Defiisi 5 A R max, E matriks idetitas di R max A + = A A A A = E A + 9

3 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 Dari Defiisi 5 diperoleh A + = A A + (Rudhito, 6) Bilaga (A k ) ij merupaka bobot maksimum semua litasa pada graf G(A) dega pajag k dari simpul j ke simpul i Bilaga (A + ) ij merupaka bobot maksimum semua litasa dalam graf G(A) dari simpul j ke simpul i Jika tidak ada litasa dari simpul j ke i maka (A + ) ij = Bilaga trace (A k ) yaitu k= (A k ) ii merupaka maksimum dari bobot maksimum dari semua sirkuit dega pajag k Rumus utuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elemeter di G(A) yaitu λ max (A) = k= ( k trace (A k )) METODE PENELITIAN Metode yag diguaka yaitu studi pustaka, dega megumpulka sumber pustaka berupa buku, makalah, da jural yag berkaita dega masalah ilai eige da vektor eige matriks atas aljabar max-plus Kemudia setelah sumber terkumpul dilajutka dega perumusa masalah, setelah diperoleh rumusa masalah kemudia dari sumber pustaka yag telah terkumpul kemudia dipilih yag releva utuk diolah dalam pembahasa sehigga dapat ditarik kesimpula HASIL DAN PEMBAHASAN Nilai Eige da Vektor Eige Teorema Misal A R max, G(A) graf precedece A sehigga setiap sirkuit di G(A) mempuyai bobot sirkuit rata-rata kurag dari atau sama dega, maka A + = i= A i = A A A (Subioo,5) Diketahui A + = i= A i = A A A (A + ) ij =maks {(A k ) ij, k } maks {(A k ) ij, k } () Karea A matriks berordo, maka utuk seluruh litasa di G(A) dari simpul i ke simpul j yag mempuyai pajag lebih dari atau sama dega aka terjadi palig sedikit satu pegulaga simpul Sehigga terbetuk setidakya satu sirkuit yag pajagya tidak lebih dari Karea setiap sirkuit di G(A) mempuyai bobot rata-rata sirkuit kurag dari atau sama dega, maka maksimum bobot rata-rata sirkuit sama dega Oleh karea itu bobot litasa tidak aka bertambah setiap terjadi pegulaga simpul, sehigga A A A A A A (A + ) ij =maks {(A k ) ij, k } maks {(A k ) ij, k } () Dari persamaa () da () diperoleh maks {(A k )ij, k } = maks {(A k )ij, k } (A + )ij = maks {(A k )ij, k } A + = i= A (Terbukti) Pada teorema diatas telah dibahas megeai A + utuk G(A) yag setiap sirkuitya mempuyai bobot sirkuit rata-rata kurag atau sama dega Kemudia dijelaska pula megeai A utuk G(A) yag setiap sirkuitya mempuyai bobot sirkuit ratarata kurag atau sama dega Sesuai Teorema didapat 4 A A A A A A E A A A ( ) Pada Defiisi 5 telah diketahui bahwa * A E A sehigga diperoleh * A A A A Defiisi 6 Suatu sirkuit dalam graf G disebut sirkuit kritis jika bobot rata-rataya sama dega bobot rata-rata maksimum sirkuit elemeter dalam G (Novrida, ) Defiisi 7 Suatu graf yag terdiri dari semua sirkuit kritis dari graf G, disebut graf kritis diotasika G C (Novrida, ) Selajutya dibahas defiisi da teorema tetag ilai eige da vektor eige dalam aljabar max-plus Defiisi 8 Misalka A R x max, suatu vektor v R max dega v disebut vektor eige dari A jika memeuhi A v = λ v skalar λ R max disebut ilai eige dari A da v disebut vektor eige dari A yag bersesuaia dega λ (Bacelli, F, G Cohe, GJ Olsder, da JP Quadrat, ) Selajutya dibahas teorema tetag ilai eige da vektor eige yag berhubuga dega bobot rata-rata 9

4 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 Teorema Misalka A R x max, skalar λ max (A) yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elemeter dalam G(A), merupaka suatu ilai eige aljabar max-plus matriks A (Rudito, 6) Misal B = λ max (A) A (B k ) ss = eleme kolom ke s da baris ke s dari matriks B k (B + ) s = eleme kolom ke s matriksb + λ max (B) = k= ( trace k (B k ) = k= ( k trace ( λ max(a) A) k = k= ( k trace (( λ max(a) k ) A k )) = k= ( k ( λ max(a) k ) k trace ( A k )) = k= ( λ max (A) λ max (A)) = k= Karea λ max (B) = da B + = k= B k da B = E B B Karea λ max (B) = maka k N, utuk k da suatu s {,,, } sehigga (B k ) ss = Karea (B k ) ss = maka sirkuit elemeter dega pajag k di G(B) dega simpul awal s da simpul akhir s merupaka sirkuit kritis (E ) ss = Kemudia dari Defiisi 5 B + = B B da B = E B +, (B ) ij = (E B + ) ij = ( B ) is ( B ) is : i s, ( B ) is : i s sehigga (B + ) s = (B ) s B (B ) s = (B ) s λ max (A) A (B ) s = (B ) s A (B ) s = λ max (A) (B ) s Jadi diperoleh λ max (A) yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elemeter dalam G(A), merupaka suatu ilai eige aljabar max-plus matriks A da (B ) s yaitu eleme kolom ke s matriks B (B = λ max (A) A) Dari Teorema dapat dirumuska lagkah-lagkah utuk meetuka ilai eige λ dari matriks tak tereduksi A R max da vektor eige yag bersesuaia dapat ditetuka melalui lagkah-lagkah berikut (i) (ii) (iii) (iv) Meghitug A k, k Hitug ilai eige λ = k= ( k trace (A k )) Perhatikasirkuit (c,c) utuk suatu c yag merupaka sirkuit kritis di G(A) Hitug matriks B = λ A da B (v) Vektor eige dari A adalah kolom kec dari matriks B Cotoh Diberika matriks A R max, 5 5 A = [ ], carilah ilai eige da vektor 6 6 eige aljabar max-plus dari matrik A Jawab 5 5 A = [ ], 6 6 maka A = [ ], da A = [ 4 4] Jadi λ max (A) = λ = k= ( k trace(a k )) = max {(5),, 6} = Mecari vektor eige Betuk matriks B = λ max (A) A, Diperoleh 5 5 B = [ ] = [ 5 ] Jadi B = [ 5 ] * B E B B = 5 [ ] Karea sirkuit kritisya adalah sirkuit (,) da (,) maka vektor eige matriks A yag bersesuaia dega λ(a) = adalah da 5 9

5 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 Sifat-Sifat Nilai Eige da Vektor Eige Defiisi 9 Sebuah vektor v R max diamaka kombiasi liear dari vektor-vektor v, v, v R max apabila v dapat diyataka dalam betuk v = k v k v k v (Subioo,5) Cotoh Perhatika vektor eige matriks A pada Cotoh Vektor v = liear dari v = Karea v = 5 merupaka kombiasi = 5 = v Teorema Jika A R max, A tak tereduksi maka A memiliki vektor eige tidak tuggal (Subioo, 5) Misal λ ilai eige dari A, v R max adalah vektor eige dari A yag bersesuaia dega λ A v = λ v Ambil a R sembarag a A v = a λ v A a v = λ a v A (a v ) = λ (a v ) Jadi (a v ) R max juga merupaka vektor eige dari matriks A yag bersesuaia dega ilai eige λ Jadi vektor eige dari matriks tak tereduksi tidak tuggal Cotoh matriks tak tereduksi dega vektor eige lebih dari satu dapat dilihat pada cotoh Setelah dibahas megeai vektor eige matriks atas aljabar max-plus yag tidak tuggal selajutya teorema dibawah ii membahas megeai karakteristik matriks dega ilai eige Teorema 4 Jika merupaka suatu ilai eige dari matriks x A R max maka ada kolom di A yag semua elemeya berilai (Farlow, 9) Misal λ = ilai eige matriks A, v = vektor eige dari A, (A v ) i = eleme baris ke i matriks (A v ), da a ij = eleme kolom ke j da baris ke i matriks A Aka ditujukka jika ilai eige dari A R x max, maka ada kolom di A yag semua elemeya x Dipuyai A R max, λ = A v = λ v A v = v (A v ) i = ( v ) i (A v ) i = v i (A v ) i = Karea v maka v memuat palig sedikit satu eleme di R max yag, Adaika v c, c Padag (A v ) i = j= (a ij v j ) = maks j (a ij v j ) = maks j (a i v,, a ic v c,, v ) Karea v c da v i = utuk i c, sehigga haruslah a ic = Karea a ic merupaka eleme baris ke i da kolom ke c matriks A utuk i=,,,, Maka a ic merupaka eleme kolom ke c matriks A yag seluruh elemeya Jadi ada kolom di matriks A yag semua elemeya Utuk arah sebalikya teorema diatas tidak berlakuhal ii dibuktika dega cotoh dibawah ii Cotoh Diberika matriks A = A =, da

6 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 A = diperoleh B = 7 [ 4 5 ] Jadi λ(a) = k= ( trace k (A k )) 9 = max {(),, } = 9 Dari cotoh diatas meujuka bahwa ada kolom di matriks A yag semua elemeya, tetapi ilai eige dari A, λ(a) = 9 Setelah membahas megeai ilai eige matriks tak tereduksi yag berhigga, selajutya aka dibahas megeai vektor eige dari matriks tereduksi yag berhigga Teorema 5 Jika A R max matriks tak tereduksi, da λ merupaka ilai eige A serta vektor v R max merupaka vektor eige yag bersesuaia dega ilai eige vektor λ maka v i utuk setiap i {,,, } (Novrida, ) Meurut Teorema, utuk medapatka vektor eige dari matriks taktereduksi A terlebih dahulu dihitug B = λ(a) A Selajutya dilakuka perhituga matriks B = E B B Karea matriks A tak tereduksi maka graf precedece dari A yaitu G(A) adalah graf terhubug kuat, sehigga utuk setiap dua simpul yag berbeda di A selalu terdapat litasa (salig terhubug) Jadi ada b ij B k sehigga b ij utuk setiap i {,,, }, j {,,, } da utuk suatu k Jadi B = E B B, setiap elemeya Karea B c adalah vektor eige dari A utuk setiap (c,c) sirkuit kritis di A, maka v i v i v vektor eige di A Cotoh 4 Misal yaitu λ = A Betuk matriks B = λ(a) A,, ilai eige dari A = B = da B = Jadi B = [ [ [ ] 6 6 B E B B * 9 ] 9 ] Karea sirkuit kritisya adalah sirkuit (,) da (,,) maka vektor eige dari A adalah da, 6 94

7 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 v i i {,,,4} Pada teorema selajutya dibahas megeai ilai eige dari matriks tak tereduksi yag tuggal Teorema 6 Jika A R max matriks tak tereduksi, maka A mempuyai ilai eige tuggal (Subioo, 5) Misal λ R max adalah ilai eige A dega v R max adalah vektor eige yag bersesuaia dega λ Karea A matriks tak tereduksi maka eleme v i i (,,, ) da λ Ambil sebarag sirkuit elemeter di G(A) misal c = ((i, i ), (i, i ),, (i l, i )) dega c = l Diperoleh a ik i k+ utuk k = {,,, l} A v = λ v (A) i i v i λ v i (A) ik i k+ v ik+ λ v ik utuk k = {,,, l} Berdasarka Teorema diperoleh ilai eige λ = λ max (A),berarti λ lebih besar atau sama dega bobot rata-rata sirkuit elemeter di G(A) Jadi λ tuggal Cotoh 5 Diberika matriks A = [ ] 4 5 Hitug ilai eige λ dari matriks A da vektor eige v yag bersesuaia dega λ Graf precedece dari A diberika pada Gambar Jawab 5 Gambar Graf precedece dari A Dari Gambar dapat dilihat bahwa A bukalah graf terhubug kuat Jadi A buka 4 matriks tak tereduksi, melaika matriks tereduksi 5 A = [ 6 ], 9 8 A = [ 9 ] 4 5 Jadi λ = k= ( trace k (A k )) = max {(5), = 5 Sirkuit kritisya adalah (,), selajutya meetuka vektor eige B = λ A 4 B = 5 [ ] = [ ] B = [ 4 ] Jadi B = [ ] Karea sirkuit kritisya (,) maka vektor eige yag bersesuai dega λ = 5 adalah [ ] Dari Gambar terdapat dua sirkuit selai sirkuit kritis Sirkuit (,) dega bobot rata-rata sirkuit yag juga merupaka ilai eige matriks A dega vektor eige adalah kolom ke- dari B Hal ii dapat diselidiki dega A v = [ ] [ ] = [ ] = λ v 4 5 Jadi didapat ilai eige dari matriks tereduksi tidak tuggal Teorema selajutya dibahas megeai ilai eige dari matriks pagkat Teorema 7 Jika A R max matriks tak tereduksi, da λ R max adalah ilai eige A dega v R max adalah vektor eige A yag bersesuaia dega ilai eige λ, maka A k v = λ k v utuk semua k (Subioo, 5) dega iduksi matematika pada k (i) Utuk k = A v = λ v A v = λ v (Bear) (ii) Asumsika bear utuk k = Jadi A v = λ v Aka ditujukka bear utuk k = + A (λ v ) = (A λ ) v A (A v ) = ( λ A) v 95

8 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 A A v = λ (A v ) (A A ) v = λ λ v A + v = λ + v Jadi utuk k = + maka A k v = λ k+ v (bear) Dari (i) da (ii) terbukti Jadi jika λ R max adalah ilai eige A matriks tak tereduksi maka ilai eige dari A k adalah λ k semua k Cotoh 6 Dari Cotoh 5 5 A = [ ] ilai eigeya A = [ 4 4 ], kemudia aka dicari ilai eige utuk A = D D = [ ],da D = [ ] Jadi λ(d) = k= ( trace k (D k )) = max {6,, 5 } = Diperoleh λ(d) = = = λ(a) Teorema berikutya mejuka bahwa ilai eige dari matriks trapose yag sama dega matriks asalya Teorema 8 Jika λ merupaka ilai eige dari matriks tak tereduksi A R max, maka λ juga merupaka ilai eige dari matriks B = A T (Musthofa da Bitari, ) Misal λ A = ilai eige matriks A λ B = ilai eige matriks B Karea B = A T maka (A) ii = (B) ii (A k ) ii = (B k ) ii trace A k = trace B k λ A = k= ( trace k A k ) = k= ( trace k B k ) = λ B Jadi λ A = λ B jika B = A T, A R max matriks tak tereduksi Cotoh 6 Diberika matriks A seperti pada cotoh A = [ ] da B = A T = [ 6] Dari Cotoh telah diketahui ilai eige A adalah λ(a) = Kemudia aka dicari ilai eige dari A T (A T ) = [ 6] [ 6] = [ 9 9 ] (A T ) = [ 6 7] λ(a T ) = k= ( trace k (AT k )) = max {(5), = Jadi λ(a) = λ(a T ), 6} SIMPULAN Berdasarka hasil da pembahasa dapat disimpulka sebagai berikut Nilai eige λ dari matriks tak tereduksi A R max da vektor eige yag bersesuaia dapat ditetuka melalui lagkah-lagkah berikut (i) (ii) Meghitug A k, utuk k Meghitug ilai eige λ dega rumus λ = k= ( trace k (A k )) (iii) Memilih sirkuit (c,c) utuk suatu c yag merupaka sirkuit kritis di G(A) (iv) Meghitug matriks B = λ A da B (v) Memilih vektor eige dari A yag merupaka kolom ke-c dari matriks B Sifat-sifat dari ilai eige da vektor eige dari matriks tak tereduksi dalam aljabar max-plus meliputi: Vektor eige dari matriks tak tereduksi tidak tuggal da berhigga, ilai eige dari matriks tak tereduksi atau berhigga da tuggal, da ilai eige dari matriks A T = ilai eige dari matriks A, serta Jika λ R max adalah ilai eige A matriks tak tereduksi maka ilai eige dari A k adalah λ k semua k DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F, Cohe, G, Olsder, GJ & Quadrat, JP Sycroizatio ad Liearity: a algebra for discrete evet system New York : Wiley-Itersciece 96

9 K Tuisa et al/ UNNES Joural of Mathematics 4() 6 Budayasa, K 7 Teori Graph da Aplikasiya, Surabaya: Uesa Uiversity Press Farlow, KG 9 Max-Plus Algebra Master s Thesis Polytechic Istitute ad State Uiversity Virgiia: Polytechic Istitute ad State Uiversity Musthofa 7 Bitari, N Sifat Sifat Nilai Eige da Vektor Eige atas Aljabar MaxPlus Jural Sais Dasar (): 5- Novrida, R Nilai Eige da Vektor Eige dalam Aljabar Max-Plus Tesis Program Pasca Sarjaa UI Depok : UI Rahakbauw, DL Aplikasi Aljabar Maks-Plus pada Jalur Taksi utuk Memaksimumka Pedapata Pegemudi Taksi Jural Barekag, 5(): 9- Rudhito, MA 6 Aljabar Max-Plus da Peerapaya (versi 8) Yogyakarta: Uiversitas Saata Dharma Subioo 5 Aljabar Mi-Max Plus da Terapaya (versi ) Surabaya: ITS West, DB Itroductio to Graph Theory Illiois: Uiversity of Illiois 97