Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min

Transkripsi

1 Teori Peraia 22 Peelitia Operasioal II Defiisi 23 : Jika ax i E(X,Y) = z y i y ax E(X,Y) =E(x 0, y 0 ), aka (x 0, y 0 ) didefiisika z sebagai strategi uri dari peraia itu dega x 0 sebagai strategi optiu bagi peaia P da y 0 sebagai strategi optiu bagi peai P2 da E(x 0, y 0 ) adalah ilai peraiaya Cotoh 25 : Diberika atriks pebayara di bawah ii : Peai P2 i 2 Peai P Misalka P eilih strategi capura X = (x, x 2,x 3 ) da P2 eilih strategi capura Y =(y,y 2 y 3 ) E(X,Y) = XAY 6 y = (x, x 2,x 3 ) 2 7 y2 3 8 y = (x + 2x 2 3x 3 6x -7x 2 +8x 3 ) y2 = y (x + 2x 2 3x 3 ) + y 2 (6x -7x 2 +8x 3 ) Misalka X = (/3, /6, ½) da Y = (/4, ¾ ) E(X,Y) = ¼ (/3 +2/6 3/2) + ¾ (2-7/6 + 4) = 83/24 ii berarti secara rata-rata peai P eperoleh keeaga sebesar 83/24 Defiisi 24 : Jika X * = (x *, x * 2,, x * ) erupaka strategi capura optiu bagi P Y * = (y *, y * 2,, y * ) erupaka strategi capura optiu bagi P2 Maka V * = E(X *, Y * ) = X * A Y * adalah ilai harapa optiuya 223 Atura Doiasi Sebelu eyelesaika suatu peraia, perlu dipertibagka apakah ada baris atau kolo dala atriks pebayara yag tidak efektif pegaruhya didala peetua strategi optiu da ilai peraia Bila ada, baris/kolo tersebut bisa dihapus, hal ii berarti probabilitas utuk eilih strategi ii = ol Atura ii diaaaka atura doiasi Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

2 Peelitia Operasioal II Teori Peraia 23 () Atura Doiasi bagi P Bila terdapat suatu baris dega seua elee dari baris tersebut adalah saa (sekolo) atau lebih kecil dari baris yag lai aka baris tersebut dikataka didoiasi da dapat dihapuska (2) Atura Doiasi bagi P2 Bila terdapat suatu kolo dega seua elee dari baris kolo tersebut adalah saa atau lebih besar dari elee dala posisi yag saa (sebaris) dari kolo yag lai aka kolo tersebut dikataka didoiasi da dapat dihapuska Atura doiasi ii dapat diulag lagi ika asih ada baris atau kolo yag didoiasi oleh baris/kolo yag lai Tetapi tidak seua peraia yag epuyai titik pelaa dapat diselesaika dega atura doiasi yag berulag-ulag tersebut Cotoh 26: Diberika atriks pebayara di bawah ii : Peai P2 Peai P i Terlihat bahwa a < a 4 da a 2 < a 4 ii berarti bahwa P(a ) = P(a 2 ) = 0 Peai P Peai P2 i Terlihat bahwa a i2 > a i4, a i3 > a i4 da a i5 > a i4 ii berarti P(a i2 ) = P(a i3 ) = P(a i5 )= 0 Peai P2 Peai i 4 P Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

3 Teori Peraia 24 Peelitia Operasioal II 23 Metode Peyelesaia (Dari peraia berulah ol utuk 2 orag dega strategi capura) 23 Metode Alabar Dapat diguaka utuk edapatka peyelesaia dari suatu peraia berulah ol dari dua orag dega asig-asig peai eiliki 2 strategi Perhatika : Peai P2 i Y -Y i 2 Peai x a a 2 P -x 2 a 2 a 22 Peai P : Total keeaga harapa P ketika P2 eaika strategi I = total keeaga harapa P ketika P2 eaika strategi 2 x a + (-x) a 2 = x a 2 + (-x) a 22 x(a + a 22 a 2 a 2 ) = a 22 a 2 x * a22 a2 = x = a + a22 a2 a * x 2 = - x * ; X * = (x *, x * 2 ) Peai P2 : Kekalaha ketika P eaika baris I = kekalaha ketika P eaika baris II 2 y a + (-y) a 2 = y a 2 + (-y) a 22 y * a22 a = y = a + a a a y * 2 = -y * ; Y * = (y *, y * 2 ) Nilai peraia eurut padaga P V * = y * [ x * a + x * 2 a 2 ] + y * 2 [ x * a 2 + x * 2 a 22 ] Nilai peraia eurut padaga P2 V * = x * [ y * a + y * 2 a 2 ] + x * 2 [ y * a 2 + y * 2 a 22 ] 2 Cotoh 27 P2 i \ 2 P Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

4 Peelitia Operasioal II Teori Peraia Metode Grafik Haya dapat diguaka ika peraia berukura 2x2, 2x atau x2 Peai yag haya puya 2 strategi harus ecari strategi yag optiu lebih dahulu Perhituga dapat dilakuka dega egguaka atura dualitas, pada progra liear Peraia berukura 2x P2 y y 2 y i \ 2 N P x a a 2 a -x 2 a 2 a 22 a 2 2 x i = y i = x i 0 ; y 0 i, Pebayara harapa berdasarka strategi uri P2 : Strategi Pebayara Harapa Bagi P Muri P2 a x + a 2 ( x ) = (a a 2 ) x + a 2 2 a 2 x + a 22 ( x ) = (a 2 a 22 ) x + a 22 3 a 3 x + a 23 ( x ) = (a 3 a 23 ) x + a 23 a x + a 2 ( x ) = (a a 2 ) x + a 2 Pebayara harapa bagi P bervariasi secara liear terhadap x Berdasarka kriteria iiax utuk peraia dega strategi capura, P harus eilih ilai x yag aka eaksialka pebayara harapa iiuya Metode Grafik : - Subu Vertikal erupaka pebayara harapa - Subu Horizotal erupaka variasi x, 0 x - Cari titik ai Cotoh 28 P2 i \ Y y2 y3 P x - 3 -x Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

5 Teori Peraia 26 Peelitia Operasioal II Pebayara harapa bagi P bedasarka strategi uri P2 : Strategi Pebayara Harapa Bagi P Muri P2 - x + 5 ( x ) = -6 x + 5 () 2 X + 3 ( x ) = -2 x + 3 (2) 3 3 x - 3 ( x ) = 6 x 3 (3) V * = = x 5 () 5 4 (2) titik ai x * =2/ (3) ax { i (-6 x + 5, -2 x +3, 6x 3) } ax x {i (-6 x + 5, 6x 3) } -6 x + 5 = 6x 3-2 x = -8 x * = 8/2 = 2/3 = x * x 2 = 2/3 = /3 V * = -6 2/3 + 5 = Strategi optiu peai P2 V * = = a i x * i y * V * = y * (-6 x * +5) + y * 2 (-2 x * +3) + y * 3 (6x * -3) = y * (-6 (2/3)+5) + y * 2 (-2 (2/3) +3) + y * 3 (6 (2/3) -3) = y * * * + 5/3 y 2 + y 3 dega = y * * * + y 2 + y 3 Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa seua garis a x i i yag tidak elewati titik ai berkorespodesi dega y * = 0 (supaya tidak eaikka ilai dari * pebayara harapa), karea utuk setiap x pada garis tersebut aka eghasilka pebayara harapa yag lebih tiggi dari ilai aksiu pebayara harapa Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

6 Peelitia Operasioal II Teori Peraia 27 Lihat : garis dega persaaa -2 x + 3 tidak elewati titik ai Cek : -2 (2/3) + 3 = 5/3 > V * Berarti y 2 * = 0 da y * + y 3 * = Strategi kedua dari P2 tidak diaika sehigga atriks pebayara eadi : P2 i \ y -y P x - 3 -x 5-3 Pebayara harapa bagi P2 bedasarka strategi uri P : Strategi Pebayara Harapa Bagi P2 Muri P - y + 3 ( y ) = 3-4 y 2 5 y - 3 ( y ) = 8 y - 3 Peyelesaia : 3-4 y = 8y y = 6 y * = /2, y * 2 = /2 adi : P X * = (2/3, /3) P2 Y * = (/2, 0, ½) V * = Peraia berukura (x2) P2 y y 2 2 x a a 2 P x 2 a 2 a 22 x 3 a 3 a 32 x a a 2 Dala peraia ii diasusika peraia tidak eiliki titik pelaa Pebayara harapa yag berkaita dega strategi uri peai P2 adalah : Strategi Pebayara Harapa Muri P2 Bagi P (a a 2 ) y + a 2 2 (a 2 a 22 ) y + a 22 3 (a 3 a 32 ) y + a 32 M (a a 2 ) y + a 2 Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

7 Teori Peraia 28 Peelitia Operasioal II Di sii peai p2 seharusya eilih y yag dapat eiiuka pebayara harapa aksiuya (prisip iiaks) Cotoh 29 P2 y -y 2 P x 4-3 x 2-3 x 3 2 Strategi Pebayara Muri P Harapa Bagi P2 7 3 y y 3 y iiax Titik Potog (iiax) 2 4y = y + -5y = -2 y * = 2/5, y 2 * = 3/5 v * = 2/5 + = 7/5 Nilai optiu x * bagi peai P dapat diperoleh dari pebayara harapa peria, dega esubstitusika ilai y * pada persaaa v *, yaitu V * = x * (7y * - 3) + x 2 * (3-4y * ) + x 3 * (y * +) dega x * + x 2 * + x 3 * = Karea garis (7 y -3) tidak elewati titik iiax, berarti x * = 0 sehigga diperoleh persaaa x 2 * + x 3 * = Peai P2 y y 2 Strategi P2 Pebayara Harapa P x x 2 x x 2 + Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

8 Peelitia Operasioal II Teori Peraia 29 Peyelesaia : 2 3 x 2 = 2 x x 2 = x 2 = /5 x 3 = 4/5 Jadi : X * = (0, /5, 4/5) Y * = (2/5, 3/5) V * = 7/5 Cara lai utuk eghitug strategi optiu bagi peai yag epuyai lebih dari 2 piliha strategi, adalah dega egguaka teori dualitas pada progra liear dega egaggap persaaa utuk peai dega 2 strategi sebagai prialya Peai P2 y y 2 y i \ 2 x a a 2 a V P x 2 2 a 2 a 22 a 2 V x 3 3 a 3 a 32 a 3 V x a a 2 a V V V Prisip Peai P Maaksiuka V sedeikia higga : Dega a i x i V V ; =,2,, da V : ilai peraia x i = x i 0 I ai ) V = i ( ai, ai2,, Prisip Peai P2 Meiiuka V sedeikia higga : = a i y V ; i =,2,, da V : ilai peraia Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

9 Teori Peraia 30 Peelitia Operasioal II Dega : = y y 0 = a y ) = = = V = i ( a y, a2 y,, Cotoh 20 y y 2 y 3 y x x Dega egguaka etode grafik, strategi optial peai P adalah X * = (2/3, /3) Aka diguaka teori dualitas utuk eghitug P2 0 > y 0 > y 2 0 > y 3 0 = y 4 0 < 2/3 =x = 2/3 0 < /3 =x = 2/3 = 2/3 = 2/3 = 2/3 > 2/3 Dualitas : 2 y + y 2 = 2/3-2y +2y 3 = 2/ y y 3 = 4/3 y 2 = 4/3 2 y 3 abil y 3 = λ > 0 y 2 = 4/3 2 λ Berarti : 2 y = 2/3 y 2 y = λ - /3 y * = λ - /3; y 2 * = 4/3-2λ; y 3 * = λ; y 4 * = 0 da λ > 0 Y * = (λ - /3, 4/3-2λ, λ, 0) Misalka λ = 2/3 aka aka didapat Y * = (/3, 0, 2/3, 0) λ =/3 aka aka didapat Y * =(0, 2/3, /3,0) Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

10 Peelitia Operasioal II Teori Peraia Metode Progra Liear Setiap peraia berulah ol dari 2 orag (yag berhigga) dapat diubah ke dala betuk progra liear da sebalikya Suatu peraia dega atriks pebayara berukura x, tidak eiliki titik pelaa serta etode doiasi tidak dapat diguaka utuk ereduksi ukura atriks dapat diselesaika dega etode progra liear Diketahui atriks pebayara : Peai Pertaa (P) Peai Kedua (P2) i y y 2 y 3 y x a a 2 a 3 a x 2 a 2 a 22 a 23 a 2 x a a 2 a 3 a x i = Probabilitas P eilih strategi ke-i y = Probabilitas P2 eilih strategi ke- a i = Nilai pebayara yag bersesuaia dega strategi ke-i P, da ke- P2, dega I =,, da =,, Utuk Peai P P eilih x i, (x i 0, x i i ai ) = ) yag aka eaksiuka : ax {i (, ai2,, a } Dega kedala : x i = x i 0 i =,2,, Betuk Progra Liear : ai ) V = i ( ai, ai2,, Max Z = V Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

11 Teori Peraia 32 Peelitia Operasioal II Kedala : () ai x x i i V (2) = =,2,, x i 0 i =,2,, ; V = ilai peraia Peyederhaaa () ( ) ai ; =,2,, V (2 ) = V v x i 0 i =,2,, Perhatika Jika V > 0 tidak ada asalah tetapi ika V = 0 pebagia tidak berlaku V < 0 ubah eadi V > 0 dega eabahka a i +k i, da * k a i da a * i adalah elee terkecil dari atriks pebayara Peyederhaaa (2) x Notasi : X i = i, i =,2,, v X i = v (2 ) ai ) karea ax V = i = i ( v ai, ai2,, aka di dapat : Mi Z = X + X X ( = ) v Kedala : a X i i =,2,, X i i =,2,, Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

12 Peelitia Operasioal II Teori Peraia 33 Peyelesaia : - Guaka Metode Siplex - Utuk P2 guaka dualitas dari P Utuk Peai P2 (Dual dari P) Max W = Y + Y Y ( = v ) Kedala : = a i Y i =,2,, Y =,2,, Cotoh 2: Peai Pertaa (P) y y 2 y 3 X X X Peraia di atas : Tidak eiliki titik pelaa Atura doiasi tidak berlaku Nilai ai = -2 berarti ada keugkia ilai peraiaya V 0, tabahka ilai k 3, abil k = 4 Matriks pebayara berubah eadi : Peai kedua P2 y y 2 Y 3 X 6 3 X Peai Pertaa P X Metode siplex utuk P2 : Max W = Y + Y 2 + Y 3 ( = /v) Kedala: 6 Y + 3Y 2 + Y 3 2 Y + 4Y 2 + 5Y 3 4 Y + Y 2 + 6Y 3 Y, Y 2, Y 3 0 Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

13 Teori Peraia 34 Peelitia Operasioal II Tabel Siplex C i C Y i \ Y Y Y 2 Y 3 P Q R V i R i 0 P /6 0 Q ½ 0 R /4 Z Z -C Y ½ /6 /6 0 0 /6 0 Q 0 3 4/3 -/3 0 2/3 /7 0 R 0-6/3-2/3 0 /3 /6 Z ½ /6 /6 0 0 Z -C 0 -/2-5/6 /6 0 0 Y 7/32 0 3/6 0 -/32 5/32 5/7 0 Q 0 3/8 0 ¼ -7/8 3/8 3/3 Y 3 0-3/6 -/8 0 3/6 /6 - Z /32 /6 0 5/32 Z -C 0-2/32 0 /6 0 5/3 Y 0 0 9/24 -/24 /24 3/24 Y /3 8/3-7/3 3/3 Y /62 3/62 9/62 5/62 Z 3/24 2/24 /24 Z -C /24 2/24 /24 35/24 W = 35/ 24 Y = (3/24, 3/3, 5/62) Y = y /v v = /W y = Y /W, =,2,3 y = 3/35, y 2 = 2/35, y 3 = 0/35 v * = /W k = 24/3-4 = -6/35 Bagi Peai P2 Peai kedua P2 0 > 0 > 0> Peai y =3/24 y 2 =3/3 y 3 =5/62 Pertaa 0<X 6 3 = P 0<X = 0<X = = = = Masalah dual : 6 X + 2 X X 3 = 3 X + 4 X 2 + X 3 = X + 5 X X 3 = Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

14 Peelitia Operasioal II Teori Peraia 35 Dapat diselesaika dega alabar liear, didapat : X = 3/ 24; X 2 = 2/24; X 3 = /24 Z = /v = X + X 2 + X 3 = 35/24 X i = x i /v, Z = /v, x i = X i /Z x = 3/35; x 2 = 2/35; x 3 = /35 X * = (3/35, 2/35, /35) 24 Peraia Berulah Nol dari Orag 24 Pedahulua Asusi yag diguaka : () Setiap peai dala peraia ii dapat berkouikasi da berudig dega peai yag lai utuk ebuat suatu peraia yag egikat serta ebetuk koalisi (2) Para peai dapat ebuat pebayara sapiga yaitu suatu peidaha pebayara di atara peai (3) Peai-peai di dala peraia orag ii dapat dibagi eadi 2 koalisi yag salig bersaig, berarti peraia orag dapat diperlakuka sebagai peraia utuk 2 orag yaitu koalisi I Vs koalisi II 242 Betuk Koalisi Secara uu di dala peraia berulah ol orag terdapat 2 - cara yag ugki utuk egelopokka orag itu ke dala 2 kelopok yag salig bersaig Cotoh Peraia yag berulah ol dari 4 orag (A,B,C,D) Pada peraia ii ada 8 koalisi yag berbeda, yaitu : Grup I Grup II ABCD φ (*) 2 ABC D 3 ABD C 4 ACD B 5 BCD A 6 AB CD 7 AC BD 8 AD BC (*) tidak diguaka (koalisi φ tidak epuyai lagkah, pegaruh da keutuga / kerugia Cotoh 22 Diberika peraia berulah ol dari 3 orag (A,B,C) dega asig-asig peai epuyai 2 piliha strategi Misalya : - Peai A epuyai 2 strategi : X, X 2 Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

15 Teori Peraia 36 Peelitia Operasioal II - Peai B epuyai 2 strategi : Y, Y 2 - Peai C epuyai 2 strategi : Z, Z Ada 3 koalisi yag ugki, yaitu : Grup I Grup II A BC B AC C AB Dega atriks pebayara di bawah ii : Strategi Strategi A B C A B C X Y Z - 0 X Y Z2-3 2 X Y2 Z X Y2 Z X2 Y Z X2 Y Z2 0 - X2 Y2 Z X2 Y2 Z2 2-3 Dega Metode pada Subbab 23 di dapat : A Vs BC - Strategi optiu utuk A : X * = (/2,/2) - Strategi optiu utuk BC : Y * =(3/4, ¼, 0,0) - Nilai peraia V(A) = -3/2 B Vs AC - Strategi optiu utuk B : X * = (3/4,/4) - Strategi optiu utuk AC : Y * =(0, 0, /2, /2) - Nilai peraia V(B) = -/2 C Vs AB - Strategi optiu utuk C : X * = (2/7,5/7) - Strategi optiu utuk AB : Y * =(0, 6/7, 0, /7) - Nilai peraia V(C) = -9/7 243 Iputasi Iputasi adalah suatu distribusi (pebagia) yag ugki dari pebayara yag tersedia yag diyataka sebagai vektor pebayara utuk suatu peraia yag eeuhi kriteria () Pi = 0 P i adalah suatu besara pebayara yag diteria oleh i I peai ke i I = {,2,,} (2) P i V({i}) i I, diaa V({i}) adalah ilai peraia utuk peai ke-i Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra

16 Peelitia Operasioal II Teori Peraia 37 Cotoh 23: Dari Cotoh 22 di dapat V(A) = - 5 V(BC) = 5 V(B) = -05 V(AC) = 05 V(C) = -286 V(AB) = 286 Iputasi : (PA, PB, PC) - (-5; 05; ) - (05;-025;025) - (075; 025; -) dsb Buka iputasi : - (02; - 07; 05) karea 07 < 05 - (-2; 5; 05) karea 2 < 5 Terlihat ada bayak keugkia iputasi Maa yag harus dipilih?! Kriteria Doiasi : Misal diberika 2 iputasi berbeda P, P 2 Iputasi P dikataka edoiasi iputasi P 2 utuk suatu koalisi ika : " Pebayara-pebayara utuk seua aggota koalisi itu lebih besar utuk P daripada utuk P 2 " Total pebayara utuk koalisi itu cukup besar utuk eyediaka pebayara secara idividu yag diberika oleh P Cotoh 24 : Dari cotoh 23 : Misal P = (-5; 05; ) P 2 = (05;-025;025) Disii P edoiasi P 2 utuk koalisi (BC) karea (-5; 05; ) > (05;-025;025) > > Tetapi P 2 tidak edoiasi P utuk koalisi BC karea (05;-025;025) < (-5; 05; ) < < Siaa Hali Tekik Idustri UK Petra