PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA LBB I nk

Transkripsi

1 Jural Mateatia, Vol. 10 No. 3, Deseber 007, ISSN PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA LBB I Bayu Surarso Jurusa Mateetia FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, SH Tebalag Searag 5075 Abstract. I the preset paper we study the proble of the cut eliiatio i logics LBB I, i.e. logics obtaied fro LBB I by addig a rule called ( ) rule. It is ow that the cut eliiatio theore for LBB I ad its stadard extesios ca be proved usig soe odificatios of the ethod used by Getze i 1935 to prove the cut eliiatio theore for Ituitioistic Logic. We exted the odificatios to show that LBB I ejoy the cut eliiatio theore whe =1. O the other side, we give a couter exaple sequet to show that the cut eliiatio theore does ot wor for LBB I whe >1. Keywords: Teorea eliiasi cut, LBB I, atura ( ). 1. PENDAHULUAN Pada tahu 1994 Koori epereala siste Getze LBB I, lihat [3]. Sequet Kalulus LBB I tersebut diturua dari logia ipliasioal BB I yag erupaa pegebaga dari logia yag palig sipel yaitu logia BI. LBB I egadug suatu operasi yag biasaya disebut dega guarded erge yag cuup oples, diaa dua forula digabuga ejadi satu, tetapi harus tetap epertahaa uruta dari eucula forula pada edua forula tersebut. Kodisi lai dari operasi tersebut adalah pada o Γ, forula yag ucul palig aa haruslah forula yag yag ucul palig aa di Γ. Mesipu forulasiya cuup oples, pada [1] peulis berhasil eberia buti bahwa teorea eliiasi cut berlau pada LBB IK, LBB IW da LBB IKW, logia-logia tersebut berturut-turut adalah logia yag diperoleh dega eabah atura weaeig, cotrasi da edua atura strutural tersebut sealigus. Dapat dice bahwa erea asig-asig euivale dega logia ipliasioal BB IK, BB IW da BB IKW. Pada [] Hori, Oo da Schellix epereala suatu atura iferesi yag eudia diotasia sebagai atura ( ) yag diforulasia sebagai beriut: , B 13..., B Sebagai catata, disii > 0 da. Atura ( ) adalah erupaa atura weaeig etia = 0 da = 1 serta erupaa atura otrasi etia =1 da =. Sedaga etia < atura tersebut erupaa suatu betu terbatas dari atura weaeig da etia > erupaa suatu betu terbatas dari atura otrasi. Tulisa ii erupaa elajuta da pegebaga dari [1], diaa aa dipelajari asalah eliiasi cut pada logia-logia LBB I yag diperoleh dega eabaha atura ( ) pada logia LBB I. Pada tulisa ii diaggap pebaca sudah failiar dega [1]. Notasi-otasi da teriologi-teriologi dala tulisa ii egiuti yag disapaia pada [1].. TEOREMA ELIMINASI CUT UNTUK LBB I 1. Beriut ii aa dibutia bahwa teorea eliiasi cut berlau utu LBB I bila =1. 86

2 Jural Mateatia Vol. 10, No.3, Deseber 007:86-90 Teorea.1. Teorea eliiasi cut berlau utu LBB I 1. Buti. Utu ebutia teorea ii aa dipereala suatu atura yag disebut ulti-cut*. Defiisi.1. Atura ulti-cut* adalah sebuah atura iferesi sebagai beriut: Γ A A, ( ulti cut *) Γ}, diaa harus osog etia Γ osog. Disii isala Γ A 1,A,...,A da 1,,...,. Maa o { Γ} adalah suatu dereta forula dala betu 1,A 1,,A,...,,A. Forula A disebut forula ulti-cut* dari atura ulticut* diatas. Mudah dilihat bahwa atura cut adalah betu husus dari atura ulti-cut*. Sebaliya setiap apliasi dari ulti-cut* dapat digatia dega ali pegulaga dari apliasi atura cut. Oleh area itu, sebuah buti tapa atura ulticut* pada LBB I 1 dega ulti-cut* erupaa buti tapa atura cut pada LBB I 1 da sebaliya. Sehigga, dega argue yag saa dega [1] utu ebutia Teorea.1 tersebut cuup dibutia lea beriut : Lea.1. Jia P adalah buti ( pada LBB I 1 ) dari sebuah sequet S yag egadug sebuah atura ulti-cut* yag ucul sebagai atura iferesi palig bawah pada P, aa S dapat dibutia tapa apliasi atura ulti-cut*. Lea di atas dibutia dega etode yag saa dega etode pada [1] sebagai beriut. Misala P adalah buti dari sequet S yag euat ulti-cut* sebagai atura iferesi palig bawah sebagai beriut: M M S1 S ( ulti cut* ) S Selajutya lea.3 dibutia degadobel idusi atas grade da ra dari P yag didefiisia sebagai beriut : grade dari P adalah bayaya sibol logia dari forula ulti-cut*. ra dari P adalah bayaya sequet yag ucul di atas sequet bawah dari atura ulti-cut*. Pebutia dibagi ejadi 4 asus sebagai beriut. Kasus 1. S 1 atau S adalah iisial sequet. Trivial. Kasus. S 1 atau S adalah sequet bawah dari atura ( 1). Sub-asus.1 S 1 adalah sequet bawah dari atura ( 1). Bagia ahir dari buti P aa berbetu:, C, Γ A ( 1) A, Σ B, C, Γ A ( ulti (, C, Γ )}, Σ B diaa harus osog jia Γ 1 da Γ osog. Buti P tersebut dapat ditrasforasia e suatu buti dega baia ahir sebagai beriut:, C, Γ A A, ( ulti (, C, Γ )}, ali apliasi dari atura ( 1) (, C, Γ )}, diaa grade dari buti tersebut saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari pada ra P. Maa dega hipotesis idusi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi. Catata. Jia Γ 1 da Γ osog, Bagia ahir dari buti P aa berbetu: 87

3 Bayu Surarso (Proble Eliiasi Cut pada Logia ) C A ( 1) C A A, ( ulti ( C), Buti P tersebut dapat ditrasforasia ejadi: C A A, ( ulti { ( C )}, ali apliasi dari atura ( 1) ( C), Grade dari buti tersebut saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari ra P. Maa dega hipotesis idusi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi. Sub-asus. S adalah sequet bawah dari atura ( 1). Bagia ahir dari buti P aa berbetu: A, ( 1) Γ A ( ulti o diaa harus osog, etia Γ osog. Misala julah dari forula yag teradug di dala Γ adalah, aa buti P tersebut dapat ditrasforasia ejadi: Γ A A, ( ulti Γ}, ali apliasi dari atura ( 1) o grade-ya saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari pada ra P. Maa dega hipotesis idusi, atura ulti-cut* dapat dieliiasi. Catata. Misala Γ osog aa bagia terahir dari P aa berbetu : A, ( 1) A ( ulti aa buti P tersebut dapat ditrasforasia ejadi: A A, ( ulti grade dari buti tersebut saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari pada ra P. Maa dega hipotesis idusi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi. Kasus 3. S 1 da S adalah sequet bawah dari atura ipliasi sedeiia higga prisipal forula dari edua atura tersebut adalah forula ulti-cut*. Dala asus ii S 1 adalah sequet bawah dari ( ) da S adalah sequet bawah dari ( ). Misala A A1 A, Γ C 1,C,...,C, 1 Σ D1, D,..., Dl ',( A1 A),..., Dl, 0,,..., l ',( A1 A),..., l. Bagia ahir dari P adalah betu: A1 A P1 Γ A ( ulti ) Γ}, Σ A Diaa P 1 = o A A o Σ, Λ B 1 0 D1 D l ' Dl ' da 1,,,,...,, l ' + 1, Dl ' + 1,..., l, Dl. Dala hal ii Σ tida boleh osog, sedaga 0,,..., l ' harus osog jia Γ osog. Buti P tersebut dapat ditrasforasia ejadi: Γ A Σ ( a) 3 o ( 1Γ), 4 Q1 ( b) 3 ( 1 + 1) Γ}, 4 A Q ( d) ( + + 1) Γ}, 5 Diaa Q 1 = Γ A da Q = Γ A A ( c) 5 ( ) Γ}, 6, A 3 D1, D,..., Dl ', 4 Dl ' + 1,..., Dl, 5 0,,..., l ', da 6 l ' + 1,...,. l grade dari (a) da (c) saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari Ra P. Grade dari (b) da (d) lebih ecil dari grade P. Maa dega hipotesis 6 88

4 Jural Mateatia Vol. 10, No.3, Deseber 007:86-90 idusi, ita dapat egeliiasi atura ulti-cut* (a), (b), (c) da (d). Kasus 4. S 1 atau S adalah sequet bawah dari atura ipliasi ecuali asus 3. Subasus 4.1 S 1 adalah sequet bawah dari atura ipliasi ecuali asus 3. Jia S 1 adalah sequet bawah dari ( ). Bagia ahir dari P adalah betu: Γ A1 Λ B ( ) o( A1 A) oγλ, B Σ1, B, Σ C ( ulti cut *) Σ1( o( A1 A) oγλ, )}, Σ C diaa Γ tida boleh osog. Buti P tersebut dapat ditrasforasia ejadi: Λ B Σ, B, Σ C ( ulti cut *) Γ A Σ A Λ Σ C ( ) Σ A A ΓΛ Σ C (,, )}, 1 ( o 1 o, }, grade-ya saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari pada ra P. Sehigga dega hipotesis idusi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi. Sub-asus 4. S adalah sequet bawah dari atura ipliasi ecuali asus 3. Pada tulisa ii aa diberia buti utu bagia ahir dari P berbetu:, B, A Γ B, B, A (*) Γ}, A diaa (*) adalah apliasi atura ulticut* da 1 harus osog jia Γ osog. Buti P tersebut dapat ditrasforasia ejadi: Γ B, B, A (*) Γ}, A Γ}, A diaa (*) adalah apliasi atura ulticut* da 1 harus osog jia Γ osog. grade-ya saa dega grade P, sedaga ra-ya lebih ecil dari pada ra P. Sehigga dega hipotesis idusi, atura ulti-cut* dapat dieliiasi. 3. MASALAH ELIMINASI CUT PADA LBB I UNTUK > 1. Sebeluya telah dibutia bahwa teorea eliiasi cut berlau utu LBB I 1. Beriut, berbalia dega hasil tersebut aa dibutia teorea beriut ii : Teorea 3.1. Teorea Eliiasi Cut tida berlau utu LBB I etia > 1 Buti. Diberia sequet S(p,q) beriut ii, diaa p da q adalah variabel proposisi : S(p,q) = p p q p ( q p) 1,,,, q p. Dega batua atura cut, S(p,q) udah dibutia sebagai beriut: q q ali ( ) ali ( ) q p p p ( ) ( ) ) q p p p ( cut) ( q, p), q p Selajutya aa ditujua bahwa S(p,q) tida dapat dibutia dala LBB I tapa atura cut, etia > 1. Jia = 0, aa S(p,q) berbetu ( 1) p, pq,, pq,, p,..., q, pq, p. Jelas bahwa tapa apliasi atura cut, sequet tersebut tida dapat dibutia. Utu > 1, isal terdapat buti P tapa atura cut dari S(p,q). Kita aa ce P dari bawah e atas (secara botto up). Perlu diperhatia bahwa atecedet dari S(p,q) euat forula q p, aa P harus euat apliasi dari ( ), dega prisipal forula q i p, diaa i = 1,,. Apliasi dari ( ) tersebut harus terbetu dala alur yag saa. Diberia alur T, da diberia S i (p,q) sebagai sequet bawah dari ( ) dala alur T yag prisipal forulaya adalah q i p. Maa udah dice bahwa S (p,q) harus euat sebaya ali eucula forula q. (Disii eucula dari q 89

5 Bayu Surarso (Proble Eliiasi Cut pada Logia ) sebagai subforula sejati dari sebuah forula tida diperhatia). Selajutya bisa dice pula bahwa jia S i (p,q) euat sebaya ali eucula forula q, aa S i-1 (p,q) harus euat tepat sebaya -1 ali eucula forula q. Dari sii diperoleh: - utu asus <, S i (p,q) harus euat -(-1) forula q. Maa S i (p,q) bua sequet yag bisa dibutia. Kotradisi dega peryataa bahwa P adalah buti dari S(p,q). - utu asus >, S - (p,q) tida boleh euat forula q. Maa S - (p,q) bua sequet bawah dari ( ) yag prisipal forulaya q p. Kotradisi dega defiisi dari S - (p,q). Dega adaya edua otradisi di atas, diperoleh esipula bahwa S(p,q) tida dapat dibutia tapa atura cut. Sebagai catata, sequet S(p,q) terbuti dala LBB I tapa atura cut etia = 1, seperti ditujua dala buti dari S(p,q) beriut ii : p p p p ali ( ) p p q q p p ( 1) ali ( ) q p ( 1) 1 1 ( q, p) q p 4. PENUTUP Seperti pada LBB I, LBB IK, LBB W da LBB KW, teorea eliiasi cut berlau juga pada LBB I etia =1. Tetapi hasil tersebut tida dapat diperluas pada LBB I apabila >1. Pada eyataaya teorea eliiasi cut tida berlau pada LBB I etia > 1. Pada baya asus berlauya teorea eliiasi cut pada suatu siste sequet beripliasi pada berlauya teorea iterpolasi pada siste tersebut. Dega terbutiya teorea eliiasi cut pada LBB I 1, selajutya eari utu dipelajari lebih lajut asalah iterpolasi pada siste-siste tersebut. 5. DAFTAR PUSTAKA [1] Bayu Surarso. (004), Getze-type systes for Logic BB I ad Its No- Coutative Stadard Eextesios, Jural Mateatia, 10(), [] Hori, R., Oo, H., Schellix. (1994), Extedig Ituitioistic Liier Logic with Kotted Structural Rules, Notre Dae Joural of Foral Logic 35, [3] Koori, Y (1994), Sytactical Ivestigatios i BI Logic ad BB I Logic, Studia Logica 53,