BAB 4: PELUANG DAN DISTRIBUSI NORMAL.

Transkripsi

1 BAB 4: PELUANG DAN DISTRIBUSI NORMAL. PELUANG Peluag atau yag biasa juga disebut dega istilah keugkia, probablilitas, atau kas eujukka suatu tigkat keugkia terjadiya suatu kejadia yag diyataka dala betuk agka. Peerapa teori peluag ejadi suatu yag sagat petig pada hubugaya dega asalah ketidakpastia. TEORI PELUANG (KLASIK): Dala koteks ii berlaku aggapa bahwa seua keugkia kejadia dala suatu percobaa epuyai kesepata yag saa utuk terjadi. Ruus peluag klasik adalah: Diaa: P(E) peluag terjadiya kejadia E bayakya kejadia E bayakya seua keugkia CONTOH 1: Dari percobaa pelepara sebuah koi uag loga satu kali, berapa peluag uculya sisi gabar? Apabila: E uculya sisi gabar bayakya sisi gabar dari sebuah koi uag 1 Bayakya sisi dari sebuah koi uag 2 Maka : ½ 0.5 Jadi, peluag uculya sisi gabar dari pelepara sebuah koi uag satu kali adalah 0.5 CONTOH 2: Dari percobaa pelepara sebuah dadu satu kali, berapa peluag uculya sisi agka 6? arif_wibowo@uy.ac.id - 1

2 Apabila: E uculya sisi agka 6 bayakya sisi agka 6 dari sebuah dadu 1 Bayakya sisi dari sebuah dadu 6 Maka : 1/ Jadi, peluag uculya sisi agka dari pelepara sebuah dadu satu kali adalah CONTOH 3: Dari percobaa pegabila sebuah kartu dari set kartu rei (bridge), berapa peluag didapatkaaya kartu diaod? Apabila: E terabilya kartu diaod. bayakya kartu diaod dari satu set kartu rei 13 bayakya kartu dari satu set kartu rei 54 Maka : 13/ Jadi, peluag terabilya kartu diaod dari pegabila sebuah kartu dari satu set kartu rei adalah 0.25 CONTOH 4: Dari percobaa pelepara dua buah koi uag satu kali, berapa peluag bahwa kedua koi eujukka sisi gabar? Apabila: E uculya sisi Gabar-Gabar (GG) bayakya sisi GG dari dua koi uag 1 Bayakya kobiasi sisi yag ada dari dua koi uag 4 (GG; GA; AG; AA) Maka : 1/ Jadi, peluag uculya sisi GG dari pelepara dua koi uag adalah 0.25 arif_wibowo@uy.ac.id - 2

3 CONTOH 5: Dari percobaa pelepara dua buah dadu satu kali, berapa peluag bahwa kedua dadu eujukka sisi agka 6? Apabila: E uculya sisi agka 6 pada kedua dadu (6-6) bayakya sisi 6-6- dari dua buah dadu 1 Bayakya kobiasi ata dadu yag ada dari dua dadu 36 (1-1; 1-2; 1-3;... ; 6-6) Maka : 1/ Jadi, peluag uculya sisi agka 6-6 dari pelepara dua buah dadu adalah 0.03 Dari beberapa cotoh di atas, salah satu lagkah yag harus dicerati adalah eghitug besarya ilai (julah segala keugkia dari sebuah kejadia/percobaa). Dala teori peluag, ilai kita sebut dega julah ruag sapel. Tersedia beberapa cara utuk eghitug ruag sapel, yaitu: etode perkalia, perutasi, da kobiasi. 1. Metode Perkalia Utuk seuatu percobaa dega sejulah k kegiata, da asig-asig kegiata epuyai sejulah keugkia kejadia, aka ukura ruag sapelya adalah 1 x 2 x 3 x... x k Cotoh: Pak Joi igi ebeli tiga barag elektroik, asig-asig Televisi, Radio, da VCD Player. Tersedia 4 erk televisi, 3 erk Radio, da 2 erk VCD aka ada berapa cara keugia erk-erk elektroik yag dibeli Pak Joi. Peyelesaia: Dala kasus ii k 3; 1 4; 2 3; 3 2 Maka keseluruha cara yag ugki adalah 4 x 3 x 2 24 cara 2. Metode Perutasi Adalah etode perhituga julah segala keugkia dari kejadia gabuga, diaa dala perutasi letak susua obyek aka eberika arti yag berbeda. Dala hal ii susua AB tidak saa dega BA. Ruus perutasi: arif_wibowo@uy.ac.id - 3

4 Pr! / (-r)! Cotoh: Apabila dari sebuah kelopok belajar yag terdiri dari 5 orag, aka dipilih dua orag, sebagai ketua da wakil ketua kelopok. Dala berapa carakah ketua da wakil ketyua bisa disusu? Peyelesaia: Karea dala kasus ii AB BA, aka susua dua orag yag bisa dibetuk dari lia orag egikuti ruus perutasi: Pr! / (-r)! 5P 2 5! / (5-2)! (5x4x3x2x1) / 3x2x1 5 x Metode Kobiasi Adalah julah seua keugkia yag terjadi pada percobaa dega pegabia r obyek dari obyek diaa atar elee tidak dibedaka. Dala hal ii AB BA Ruus utuk kobiasi: Cr! / (r!(-r)!) Cotoh: Apabila dari 5 orag tersebut aka dipilih dua orag sebagai utusa kelopok, aka dala berapa carakah wakil tersebut dapat disusu? (NB: dala hal ii AB BA) Peyelesaia: Karea dala kasus ii AB BA, aka susua dua orag utusa yag bisa dibetuk dari lia orag egikuti ruus kobiasi: Cr! / (r!(-r)!) 5C2 5! / (2! x (5-2)!) 5! / (2! x 3!) (5x4x3x2x1) / 2x1 x 3x2x1 5x4 / 2x1 10 arif_wibowo@uy.ac.id - 4

5 BEBERAPA SIFAT PELUANG Apabila A adalah peluag utuk kejadia A, aka: 1. Peluag Terjadiya A adalah sebesar atara 0 sapai dega 1. 0 P(A) 1. Apabila Peluag terjadiya A edekati NOL, pada kejadia tersebut kecil keugkia utuk terjadi. Sedagka apabila peluagya edekati 1, berarti bahwa kejadia tersebut hapir pasti utuk terjadi. 2. Nilai Peluag koplee dari suatu kejadia adalah satu dikuragi peluag kejadia tersebut. P(Á) 1 P(A). Misal peluag uculya ata dadu satu pada pelepara sebuah dadu adalah 1/6, aka...peluag uculya ata dadu buka satu adalah 1 1/6 5/6. 3. Julah dari seua peluag yag ugki terjadi dari suatu peritiwa adalah P(A B) P(A) + P(B) P(A B) PELUANG DALAM DISTRIBUSI NORMAL Adalah betuk distribusi (persebara) ilai-ilai suatu variabel yag berbetuk oral. Suatu sebara data diaggap oral apabila eeuhi beberapa kriteria: 1. Distribusi data berbetuk loceg. 2. Rata-rata (ea) ada pada tegah da ebagi distribusi ilai ejadi dua bagia saa besar. 3. Terdapat 50% data di sebelah kaa ea da 50% di sebelah kiri ea Betuk uu dari distribusi oral adalah sebagai berikut: 50% 50% µ KAIDAH EMPIRIS arif_wibowo@uy.ac.id - 5

6 Para ahli statistik telah eyelidiki betuk distribusi oral dega epelajari fugsi tersebut, da didapatka sifat-sifat sebagai berikut: 1. Mea distribusi terletak di tegah dega luas bagia sebelah kiri saa dega luas bagia sebelah kaa, sehigga total luas daerah di sebelah kaa kurva total luas daerah di bawah kurva sebelah kaa 50% % dari ilai variabel terletak dala jarak µ ± 1σ % dari ilai variabel terletak dala jarak µ ± 2σ % dari ilai variabel terletak dala jarak µ ± 3σ -3δ -2δ -1δ µ 68 % 95 % +1δ +2δ +3δ 99 % Selai egguaka kaidah epiris di atas, eghitug probabilitas distribusi oral juga bisa dilakuka dega egguaka tabel distribusi oral, terlebih utuk eghitug ilaiilai X yag tidak tepat sebesar ± 1σ, ±2σ, atau ±3σ. Tabel distribusi oral: Berikut beberapa hal tetag distribusi oral: Tabel distribusi oral disusu utuk eghitug probabilitas ilai-ilai variabel oral stadar, yaitu distribusi oral dega ea ol (µ0) da stadar deviasi satu (σ 1). Karea distribusi oral stadar bersifat sietris, ak tabel distribusi oral stadar dibuat haya utuk eghitug bagiasebelah kaa ea dari distribusi tersebut. Utuk eghitug ilai di sebelah kiri ea, ilai z yag egatif diaggap saa dega z positif. Nilai-ilai probabilitas adalah ilai atara µ 0 da sebuah ilai z tertetu. (BUKAN ANTARA SEMBARANG DUA NILAI Z) Cotoh 1: arif_wibowo@uy.ac.id - 6

7 Suatu variabel berdistribusi oral dega µ 0 da σ 1. Hituglah probabilitas ilai z atara: a. 0 sapai dega 1 b. 0 sapai dega 1 c. 1 sapai dega 2 d. 1 sapai dega 2 a. Probabilitas ilai z atara µ 0 sapai dega X 1: Pertaa, kita cari ilai Z dega ruus: Z Z x-µ δ Z 1 Luas daerah di bawah kurva oral yag dibatas ilai ea oleh z 1 adalah (lihat di tabel kurva oral.) Jadi, probabiliotas ilai z atara 0 sapai dega 1 adalah µ 0 1 b. Probabilitas ilai z atara µ 0 sapai dega X -1: Nilai z atara ea sapai dega 1 adalah 1. Dala ebaca tabel distribusi oral, ilai z -1 kita baca sebagai z 1, sehigga probablitasya adalah Jadi, probabilitas ilai z atara 0 sapai dega -1 adalah µ 0 arif_wibowo@uy.ac.id - 7

8 c. Probabilitas ilai z atara X 1 sapai dega X 2: Karea ilai 1 da 2 buka ilai ea, aka utuk ecari probabilitas ii kita harus elakukaya elalui dua tahap. Pertaa, kita ecari probabilitas atara ea 0 sapai dega 1, da kedua kita cari probabilitas atara ea 0 sapai dega 2. Keudia hasilya dikuragka Dari tabel, ilai distribusi oral atara 0 sapai dega 1 adalah sedagka ilai distribusi oral atara 0 sapai dega 2 adalah Maka, probabilitas atara 1 da 2 adalah µ d. Probabilitas ilai z atara X -1 sapai dega X 2: coba saudara cari sediri. MENGHITUNG PROBABILITAS NILAI-NILAI DALAM DISTRIBUSI NORMAL NON-STANDAR Distribusi oral o-stadar adalah distribusi oral dega µ 0 da σ 1. Utuk ecari probabilitas dala distribusi oral o-stadar, ilai X harus kita koversi ke ilai Z dega ruus: x - µ Z σ Diaa: x variabel yag hedak kita cari probabilitasya; µ da σ asig-asig adalah rata-rata da stadar deviasi dari varaibel x. Cotoh 2: Diketahui suatu distribusi oral dega µ 10 da σ 3. Hituglah ilai-ilai: a. atara 10 sapai dega 13 b. Atara 8 sapai dega 15 c. Atara 6 sapai dega 9 arif_wibowo@uy.ac.id - 8

9 a. Atara 10 da 13. Karea 10 adalah ilai ea, aka kita cukup ecari ilai z utuk x 13. z (x-µ)/σ (13 10) / 3 1 Nilai z 1, probabilitasya adalah Maka, probabilitas ilai-ilai atara 10 sapai dega 13 adalah Perbadiga atara distribusi oral stadar dega distribusi oral o-stadar. σ µ X σ Z Dari gabar di atas, kita lihat bahwa: Jarak atara µ 10 sapai dega x 13, adalah saa dega 1 kali stadar deviasi. Agka 1 kali stadar deviasi ii ditujukka dega z 1. NB: utuk visual selajutya, kurva distribusi oral stadar diatas aka kita gabarka subu Z-ya saja da kita letakka di bawah subu X dari distribusi oral yag kita cari. b. Atara 8 sapai dega 15 Karea 8 da 15 buka ilai ea, aka harus kita selesaika dega tiga tahap: Pertaa, kita cari probabilitas atara µ 10 sapai dega x 8; kedua, kita cari probabilitas atara µ 10 sapai dega 15; ketiga probabilitas atara X 8 sapai dega x 15 adalah pejulaha dari kedua probabilitas tersebut. 1) atara µ 10 sapai dega x 8. z (x - µ) / σ (8 10) / Utuk z 0.67, probabilitasya adalah: ) atara µ 10 sapai dega x 15. arif_wibowo@uy.ac.id - 9

10 z (x - µ) / σ (15 10) / Utuk z 1.67, probabilitasya adalah: ) Maka ilai probabilitas atara x 8 sapai dega x 15 adalah X Z c. Atara 6 sapai dega 9 Karea 6 da 9 buka ilai ea, aka utuk ecri ilai ii juga harus dega tiga tahap 1) atara µ 10 sapai dega x 6. z (x - µ) / σ (6 10) / Utuk z 1.33, probabilitasya adalah: ) atara µ 10 sapai dega x 9. z (x - µ) / σ (9 10) / Utuk z 0.33, probabilitasya adalah: ) Maka ilai probabilitas atara x 6 sapai dega x 9 adalah X Z SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN: 1. PT Valetio Rossi eproduksi sepeda otor yag epuyai uur ekoois selaa 10 tahu dega stadar deviasi 1.5 tahu, da diasusika bahwa uur ekooi sepeda otor tersebut berdistribusi oral. Apabila saudara eutuska arif_wibowo@uy.ac.id - 10

11 utuk ebeli sepeda otor buata PT Valetio Rossi tersebut, aka berapa peluag saudara edapatka sepeda otor yag: a. uur ekooisya lebih dari 8 tahu b. uur ekooisya kurag dari 8 tahu. 2. Biro pusat statistik egadaka survey utuk egetahui tigkat belaja pedudukya. Meurut survey tersebut, belaja peduduk berdistribusi oral dega ea sebesar Rp ,- da stadar deviasi Rp ,- a. berapa probabilitas bahwa sebuah keluarga yag diabil secara acak aka epuyai pedapata lebih dari Rp ,- b. Berapakah perse keluarga yag tigkat belajaya kurag dari Rp ,- arif_wibowo@uy.ac.id - 11