Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A B yag artiya f memetaka A ke B. A disebut daerah asal (domai) dari f da B disebut daerah hasil (codomai) dari f. Nama lai utuk fugsi adalah pemetaa atau trasformasi. Kita meuliska f(a) = b jika eleme a di dalam A dihubugka dega eleme b di dalam B. 47
Jika f(a) = b, maka b diamaka bayaga (image) dari a da a diamaka pra-bayaga (pre-image) dari b. Himpua yag berisi semua ilai pemetaa f disebut jelajah (rage) dari f. Perhatika bahwa jelajah dari f adalah himpua bagia (mugki proper subset) dari B. A B f a b 48
Fugsi adalah relasi yag khusus: 1. Tiap eleme di dalam himpua A harus diguaka oleh prosedur atau kaidah yag medefiisika f. 2. Frasa dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B berarti bahwa jika (a, b) f da (a, c) f, maka b = c. 49
Fugsi dapat dispesifikasika dalam berbagai betuk, diataraya: 1. Himpua pasaga terurut. Seperti pada relasi. 2. Formula pegisia ilai (assigmet). Cotoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x 2, da f(x) = 1/x. 3. Kata-kata Cotoh: f adalah fugsi yag memetaka jumlah bit 1 di dalam suatu strig bier. 4. Kode program (source code) Cotoh: Fugsi meghitug x fuctio abs(x:iteger):iteger; begi if x < 0 the abs:=-x else abs:=x; ed; 50
Cotoh 26. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi dari A ke B. Di sii f(1) = u, f(2) = v, da f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A da daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yag dalam hal ii sama dega himpua B. Cotoh 27. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi dari A ke B, meskipu u merupaka bayaga dari dua eleme A. Daerah asal fugsi adalah A, daerah hasilya adalah B, da jelajah fugsi adalah {u, v}. 51
Cotoh 28. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} buka fugsi, karea tidak semua eleme A dipetaka ke B. Cotoh 29. Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} buka fugsi, karea 1 dipetaka ke dua buah eleme B, yaitu u da v. Cotoh 30. Misalka f : Z Z didefiisika oleh f(x) = x 2. Daerah asal da daerah hasil dari f adalah himpua bilaga bulat, da jelajah dari f adalah himpua bilaga bulat tidak-egatif. 52
Fugsi f dikataka satu-ke-satu (oe-to-oe) atau ijektif (ijective) jika tidak ada dua eleme himpua A yag memiliki bayaga sama. A B a 1 b 2 c 3 d 4 5 53
Cotoh 31. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fugsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} buka fugsi satu-ke-satu, karea f(1) = f(2) = u. 54
Cotoh 32. Misalka f : Z Z. Tetuka apakah f(x) = x 2 + 1 da f(x) = x 1 merupaka fugsi satu-ke-satu? Peyelesaia: (i) f(x) = x 2 + 1 buka fugsi satu-ke-satu, karea utuk dua x yag berilai mutlak sama tetapi tadaya berbeda ilai fugsiya sama, misalya f(2) = f(-2) = 5 padahal 2 2. (ii) f(x) = x 1 adalah fugsi satu-ke-satu karea utuk a b, a 1 b 1. Misalya utuk x = 2, f(2) = 1 da utuk x = -2, f(-2) = -3. 55
Fugsi f dikataka dipetaka pada (oto) atau surjektif (surjective) jika setiap eleme himpua B merupaka bayaga dari satu atau lebih eleme himpua A. Dega kata lai seluruh eleme B merupaka jelajah dari f. Fugsi f disebut fugsi pada himpua B. A B a 1 b 2 c 3 d 56
Cotoh 33. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} buka fugsi pada/oto karea w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupaka fugsi pada/oto karea semua aggota B merupaka jelajah dari f. 57
Cotoh 34. Misalka f : Z Z. Tetuka apakah f(x) = x 2 + 1 da f(x) = x 1 merupaka fugsi pada? Peyelesaia: (i) f(x) = x 2 + 1 buka fugsi pada, karea tidak semua ilai bilaga bulat merupaka jelajah dari f. (ii) f(x) = x 1 adalah fugsi pada karea utuk setiap bilaga bulat y, selalu ada ilai x yag memeuhi, yaitu y = x 1 aka dipeuhi utuk x = y + 1. 58
Fugsi f dikataka berkorespode satu-ke-satu atau bijeksi (bijectio) jika ia fugsi satu-ke-satu da juga fugsi pada. Cotoh 35. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, karea f adalah fugsi satu-ke-satu maupu fugsi pada. 59
Cotoh 36. Fugsi f(x) = x 1 merupaka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, karea f adalah fugsi satu-ke-satu maupu fugsi pada. Fugsi satu-ke-satu, buka pada Fugsi pada, buka satu-ke-satu A B A B a b c 1 2 3 4 a b c d c 1 2 3 Buka fugsi satu-ke-satu maupu pada Buka fugsi A B A B a 1 b c d c 4 2 3 a 1 b c d c 4 2 3 60
Jika f adalah fugsi berkorespode satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat meemuka balika (ivers) dari f. Balika fugsi dilambagka dega f 1. Misalka a adalah aggota himpua A da b adalah aggota himpua B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b. Fugsi yag berkorespode satu-ke-satu serig diamaka juga fugsi yag ivertible (dapat dibalikka), karea kita dapat medefiisika fugsi balikaya. Sebuah fugsi dikataka ot ivertible (tidak dapat dibalikka) jika ia buka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, karea fugsi balikaya tidak ada. 61
Cotoh 37. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fugsi yag berkorespode satu-ke-satu. Balika fugsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fugsi ivertible. Cotoh 38. Tetuka balika fugsi f(x) = x 1. Peyelesaia: Fugsi f(x) = x 1 adalah fugsi yag berkorespode satu-kesatu, jadi balika fugsi tersebut ada. Misalka f(x) = y, sehigga y = x 1, maka x = y + 1. Jadi, balika fugsi balikaya adalah f -1 (y) = y +1. 62
Cotoh 39. Tetuka balika fugsi f(x) = x 2 + 1. Peyelesaia: Dari Cotoh 3.41 da 3.44 kita sudah meyimpulka bahwa f(x) = x 2 + 1 buka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu, sehigga fugsi balikaya tidak ada. Jadi, f(x) = x 2 + 1 adalah fusgi yag ot ivertible. 63
Komposisi dari dua buah fugsi. Misalka g adalah fugsi dari himpua A ke himpua B, da f adalah fugsi dari himpua B ke himpua C. Komposisi f da g, diotasika dega f g, adalah fugsi dari A ke C yag didefiisika oleh (f g)(a) = f(g(a)) 64
Cotoh 40. Diberika fugsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yag memetaka A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, da fugsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yag memetaka B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fugsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, y), (2, y), (3, x) } Cotoh 41. Diberika fugsi f(x) = x 1 da g(x) = x 2 + 1. Tetuka f g da g f. Peyelesaia: (i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = x 2 + 1 1 = x 2. (ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 1) = (x 1) 2 + 1 = x 2-2x + 2. 65
Latiha! 66
Beberapa Fugsi Khusus 1. Fugsi Floor da Ceilig Misalka x adalah bilaga riil, berarti x berada di atara dua bilaga bulat. Fugsi floor dari x: x meyataka ilai bilaga bulat terbesar yag lebih kecil atau sama dega x Fugsi ceilig dari x: x meyataka bilaga bulat terkecil yag lebih besar atau sama dega x Dega kata lai, fugsi floor membulatka x ke bawah, sedagka fugsi ceilig membulatka x ke atas. 67
Cotoh 42. Beberapa cotoh ilai fugsi floor da ceilig: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = 4 4.8 = 5 0.5 = 1 0.5 = 0 3.5 = 4 3.5 = 3 68
2. Fugsi modulo Misalka a adalah sembarag bilaga bulat da m adalah bilaga bulat positif. a mod m memberika sisa pembagia bilaga bulat bila a dibagi dega m a mod m = r sedemikia sehigga a = mq + r, dega 0 r < m. Cotoh 43. Beberapa cotoh fugsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 5 25 mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 ( 4) + 3 ) 69
70 3. Fugsi Faktorial 0, 1) (. 2 1 0, 1! 4. Fugsi Ekspoesial 0, 0, 1 a a a a Utuk kasus perpagkata egatif, a a 1 5. Fugsi Logaritmik Fugsi logaritmik berbetuk x y a log x = a y
Fugsi Rekursif Fugsi f dikataka fugsi rekursif jika defiisi fugsiya megacu pada diriya sediri. Cotoh:! = 1 2 ( 1) = ( 1)!. 1! ( 1)!,, 0 0 Fugsi rekursif disusu oleh dua bagia: (a) Basis Bagia yag berisi ilai awal yag tidak megacu pada diriya sediri. Bagia ii juga sekaligus meghetika defiisi rekursif. (b) Rekures Bagia ii medefiisika argume fugsi dalam termiologi diriya sediri. Setiap kali fugsi megacu pada diriya sediri, argume dari fugsi harus lebih dekat ke ilai awal (basis). 71
Cotoh defiisi rekursif dari faktorial: (a) basis:! = 1, jika = 0 (b) rekures:! = ( -1)!, jika > 0 5! dihitug dega lagkah berikut: (1) 5! = 5 4! (rekures) (2) 4! = 4 3! (3) 3! = 3 2! (4) 2! = 2 1! (5) 1! = 1 0! (6) 0! = 1 (6 ) 0! = 1 (5 ) 1! = 1 0! = 1 1 = 1 (4 ) 2! = 2 1! = 2 1 = 2 (3 ) 3! = 3 2! = 3 2 = 6 (2 ) 4! = 4 3! = 4 6 = 24 (1 ) 5! = 5 4! = 5 24 = 120 Jadi, 5! = 120. 72
73 Cotoh 44. Di bawah ii adalah cotoh-cotoh fugsi rekursif laiya: 1. 0, 1) ( 2 0, 0 ) ( 2 x x x F x x F 2. Fugsi Chebysev 1, ) 2, ( ) 1, ( 2 1, 0, 1 ), ( x T x xt x x T 3. Fugsi fiboacci: 1, 2) ( 1) ( 1, 1 0, 0 ) ( f f f
Relasi Kesetaraa DEFINISI. Relasi R pada himpua A disebut relasi kesetaraa (equivalece relatio) jika ia refleksif, setagkup da meghatar. 74
Secara ituitif, di dalam relasi kesetaraa, dua beda berhubuga jika keduaya memiliki beberapa sifat yag sama atau memeuhi beberapa persyarata yag sama. Dua eleme yag dihubugka dega relasi kesetaraa diamaka setara (equivalet). 75
Cotoh: A = himpua mahasiswa, R relasi pada A: (a, b) R jika a satu agkata dega b. R refleksif: setiap mahasiswa seagkata dega diriya sediri R setagkup: jika a seagkata dega b, maka b pasti seagkata dega a. R meghatar: jika a seagkata dega b da b seagkata dega c, maka pastilah a seagkata dega c. Dega demikia, R adalah relasi kesetaraa. 76
Terima kasih 77