Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval

Jural Natur Idoesia 13(2), Februari 211: 94-99 94 ISSN 141-9379, Jural Natur Keputusa Idoesia Akreditasi 13(2): No 94-99 65a/DIKTI/Kep/28 Rudhito, et al Matriks atas Aljabar Max-Plus Iterval Marcellius Ady Rudhito 1*), Sri Wahyui 2), Ari Suparwato 2), da Fras Susilo 3) 1) Jurusa Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala, Fakultas Kegurua da Ilu Pedidika, Uiversitas Saata Dhara, Jala Paiga Maguwoharjo, Slea, Yogyakarta 55283 2) Jurusa Mateatika, Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala, Uiversitas Gadjah Mada, Jala Sekip Utara Bulak Suur 21, Yogyakarta 55281 3) Jurusa Mateatika, Fakultas Sais da Tekologi, Uiversitas Saata Dhara, Jala Paiga Maguwoharjo, Slea, Yogyakarta 55283 Diteria 23-4-21 Disetujui 23-11-21 ABSTRACT This paper ais to discuss the atrix algebra over iterval -plus algebra (iterval atrix) ad a ethod to siplify the coputatio of the operatio of the This atrix algebra is a extesio of atrix algebra over plus algebra ad ca be used to discuss the atrix algebra over fuzzy uber -plus algebra via its alpha-cut The fidig shows that the set of all iterval atrices together with the -plus scalar ultiplicatio operatio ad -plus additio is a seiodule The set of all square atrices over -plus algebra together with a iterval of -plus additio operatio ad -plus ultiplicatio operatio is a seirig idepotet As reasoig for the iterval atrix operatios ca be perfored through the correspodig atrix iterval, because that seiodule set of all iterval atrices is isoorphic with seiodule the set of correspodig iterval atrix, ad the seirig set of all square iterval atrices is isoorphic with seirig the set of the correspodig square iterval atrix Keywords: idepotet, iterval, atrix algebra, -plus algebra, seirig *Telp: +6285842842425 Eail: rudhito@staffusdacid PENDAHULUAN Peodela da aalisa suatu jariga dega pedekata aljabar -plus dapat eberika hasil aalitis da lebih udah pada koputasiya, Dala Bacelli et al, (21), Rudhito, (24); da Krivuli, (21) Dala asalah peodela da aalisa suatu jariga di aa waktu aktivitasya belu diketahui, isalka karea asih pada tahap peracaga, datadata egeai waktu aktivitas belu diketahui secara pasti aupu distribusiya Waktu aktivitas ii dapat diperkiraka berdasarka pegalaa aupu pedapat dari para ahli aupu operator jariga tersebut Utuk itu waktu aktifitas jariga diodelka dala suatu bilaga kabur (fuzzy uber) Akhir-akhir ii telah berkebag peodela jariga yag elibatka bilaga kabur Utuk asalah pejadwala yag elibatka bilaga kabur dapat dilihat pada Chaas da Zieliski, (21), sedagka utuk asalah odel jariga atria yag elibatka bilaga kabur dapat dilihat pada Luthi da Harig, (1997) Peodela da aalisa suatu siste jariga yag elibatka bilaga kabur, sejauh peulis ketahui, belu ada yag egguaka pedekata aljabar plus Operasi-operasi pada bilaga kabur dapat dilakuka egguaka potoga-potoga-ya yag didasarka pada Teorea Dekoposisi dala hipua kabur (Susilo, 26) Rudhito et al, (28), telah dibahas suatu aljabar dega elee-eleeya berupa iterval dega operasi iu da peju laha yag didefiisika di dalaya Peodela jariga dega pedekata aljabar plus, graf utuk jariga diyatak a dega egguaka atriks, dega usur-usurya eyataka waktu aktifitas atar titik pada jariga tersebut Dega deikia peodela jariga dega waktu aktifitasya yag berupa bilaga kabur, dega pedekata aljabar -plus, aka terkait dega atriks yag usur-usurya berupa bilaga kabur Utuk itu dala akalah ii aka dibahas atriks atas aljabar -plus iterval, di aa operasi-operasiya erupaka perluasa dari operasi-operasi pada aljabar -plus iterval Pada akalah ii aka dapat eperudah pegoperasiaya

D i b e r i k a R Matriks atas Aljabar Max-Plus Iterval 95 Aljabar Max-Plus da Matriks Atas Aljabar Max-Plus Dala bagia ii dibahas kosep dasar atriks atas aljabar -plus Pebahasa selegkapya dapat dilihat pada Baccelli et al, (1992) da Rudhito, (23) : R { } dega R adalah hipua seua bilaga real da : Pada R didefiisika operasi berikut (Baccelli et al, (1992): a,b R, a b : (a,b) da a b : a b Dapat ditujukka bahwa (R,, ) erupaka seirig idepote koutatif dega elee etral da elee satua e Lebih lajut (R,, ) erupaka seifield yaitu bahwa (R,, ) erupaka seirig koutatif di aa utuk setiap a R, terdapat a sehigga berlaku a (a) Keudia (R,, ) disebut dega aljabar -plus, yag selajutya cukup dituliska dega R Dala hal uruta pegoperasia (jika tada kurag tidak dituliska), operasi epuyai prioritas yag lebih tiggi dari pada operasi Karea ( R, ) erupaka seigrup koutatif idepote, aka relasi yag didefiisika pada R dega x y x y y erupaka uruta parsial pada R Lebih lajut relasi ii erupaka uruta total pada R Karea R erupaka seirig idepote, aka operasi da kosiste terhadap uruta, yaitu a, b, c R, jika a b, aka a c b c, da a c b c Aljabar -pus R tidak euat pebagi ol yaitu x, y R berlaku: jika x y aka x atau y Operasi da pada R di atas dapat diperluas utuk operasi-operasi atriks dala : {A ( A )A R, utuk i 1, 2,, da j 1, 2,, } Khususya utuk A, B R da R didefiisika ( A) A, (A B) A B da (A B) Aik Bkj 1 k Dapat ditujukka bahwa ( R, ) erupaka seigrup koutatif idepotet da ( R,, ) erupaka seirig idepote Relasi yag didefiisika pada R dega A B A B B erupaka uruta parsial Operasi da kosiste terhadap uruta dala R Operasi da perkalia skalar kosiste terhadap uruta dala seiodul atas R R Aljabar Max-Plus Iterval Dala bagia ii dibahas kosep dasar aljabar -plus iterval Pebahasa selegkapya dapat dilihat pada Rudhito et al, (28) Iterval (tertutup) dala R adalah suatu hipua bagia dari R yag berbetuk x [ x, x ] { x R x x x } Bilaga x R dapat diyataka sebagai iterval x [x, x] Didefiisika I(R) {x [ x, x ] x, x R, x x } {[, ]} Pada I(R) didefiisika operasi da dega (Litviov & Sobolevskii, 21): x y [ x y, x y ] da x y [ x y, x y ], x, y I(R) Misalya: [1, 1] [1, 3] [1, 3] da [1, 1] [1, 3] [, 4] Dapat ditujukka bahwa (I(R),, ) erupaka seirig idepote dega elee etral [, ] da elee satua [, ] Lebih lajut (I(R),, ) erupaka seirig idepote koutatif Selajutya (I(R),, ) disebut dega aljabar -plus iterval yag cukup dituliska dega I(R) Matriks atas Aljabar Max-Plus Iterval I(R) Bagia ii erupaka bagia utaa pebahasa akalah ii Operasi da pada I(R) di atas dapat diperluas utuk operasi-operasi atriks dala I(R) Defiisi 1 seperti dala defiisi berikut Didefiisika I(R) : {A (A )A I(R), utuk i 1, 2,,, j 1, 2,, } Matriks aggota I(R) Defiisi 2 disebut atriks iterval -plus Matriks A, B I(R) dikataka saa jika A B, yaitu jika A B da A B utuk setiap i da j Defiisi 3 i) Diketahui I(R), A, B I(R) Didefiisika operasi perkalia skalar dega A adalah atriks yag usur ke--ya: ( A) A, da operasi dega A B adalah atriks yag usur ke--ya : (A B) A B utuk i 1, 2,, da j 1, 2,, p ii) Diketahui A I(R ), B I(R ) p Didefiisika operasi dega A p B adalah atriks yag usur ke--ya: (A B) A ik Bkj utuk i 1, 2,, da j 1, 2,, Cotoh 1 Berikut diberika beberapa cotoh perhituga operasi-operasi dala atriks iterval i) [3, 4] [,] [ 1, 1] [,1] [4,6] [, ] [ 3, 2]

96 Jural Natur Idoesia 13(2): 94-99 Rudhito, et al [3,4] [,] [3,4] [ 1,1] [3,4] [,1] [3,4] [4,6] [3,4] [3,4] [, ] [2,5] [3,4] [ 3, 2] [3,5] [1,3] [2,3] [2,2] [ 5, 2] ii) [, ] [ 3,1] [1,4] [ 1,] [1,3] [2,2] [, ] [1,4] iii) [ 1,1] [, ] [2,3] [ 5, 2] [ 3,1] [ 1,] [,] [3,5] [, ] [2,6] [4,7] [, ] [5,11] [,1] [4,7] [5,11] [1,13] [6,7] [7,1] [, ] [,2] [2,3] [2,3] [1,4] [ 1,1 ] [, ] [1,4] [6,8] [2,2] [2,6] [,2] [ 2, 1] [4,5] [,5] [,2] [1,13] [, ] [3,7] [6,7] Sejala dega Teorea 2111 dala Rudhito (23) diperoleh diperluasaya utuk versi atriks iterval dala Teorea berikut Teorea 1 Peryataa-peryataa berikut berlaku utuk sebarag skalar iterval da, da sebarag atriks iterval A, B da C asalka operasi yag diaksud terdefiisi i) (A B) C A (B C) ii) A B B A iii) (A B) C A (B C) iv) A (B C) (A B ) (A C) v) (A B) C (A C ) (B C) vi) vii) A A ( A) ( ) A viii) (A B ) ( A ) B A ( B) ix) ( ) A ( A) ( A) x) (A B) ( A) ( B) xi) A A A Bukti: Sifat-sifat di atas egikuti defiisi operasi pada Defiisi 2 di atas da sifat-sifat operasi pada I(R) Didefiisika atriks E I(Rdega (E) :, jika i j Didefiisika pula atriks, jika i j I(R), dega () : utuk setiap i da j Cotoh 2 Perhatika bahwa I(R) tertutup terhadap operasi, hal ii akibat dari sifat ketertutupa operasi pada I(R) Selajutya dega eperhatika sifatsifat pada Teorea 1 di atas apak bahwa (I(R erupaka seigrup koutatif idepotet, sehigga relasi yag didefiisika pada I(R) dega A I B A B B erupaka uruta parsial Perhatika bahwa A B B A B I A B A B A B da B utuk setiap i da j Lebih lajut I(R) erupaka seiodul atas I(R), sedagka (I(R),, ) erupaka seirig idepote dega elee etral adalah atriks da elee satua adalah atriks E Perhatika bahwa ( I(R) koutatif, hal ii sebagai akibat dari R erupaka seirig koutatif Karea ( I(R) idepote, aka relasi,, ) buka seirig yag buka, ) erupaka seigrup I yag didefiisika pada I(R) kosiste terhadap operasi kosiste terhadap uruta dala I(R), yaitu jika A I B, aka A C (I(R) I I B C, A, B, C I(R) Karea,, ) erupaka seirig idepote, aka operasi kosiste terhadap uruta I dala I(R ), yaitu jika A I B, aka A C I B C, A, B, C I(R) Utuk A p p I(R), B I(R) da C I(R) p, berdasarka sifat distributif, yaitu sifat v) pada Teorea 1 diatas, berlaku bahwa: jika A I B aka A B B (A B) C B C (A C) (B C) B C A C I B C Pagkat k dari atriks A I(R), dala aljabar -plus iterval didefiisika dega: A E da A A A -1 utuk k 1, 2, Utuk eperudah dala egoperasika atriks iterval berikut dibahas kosep egeai iterval atriks dari suatu atriks iterval Defiisi 4 I Utuk setiap atriks iterval A I(R) didefiisika atriks A ( A ) R da A ( A ) R, yag berturut-turut disebut atriks batas bawah da atriks batas atas atriks iterval A

Matriks atas Aljabar Max-Plus Iterval 97 Cotoh 3 Diberika atriks iterval A aka A Defiisi 5 1 3 6 1 da 2 A [ 1,1] [,] [6,8] [, ] [3,5] [2,2], 5 8 2 Diberika atriks iterval A I(R), dega A da A berturut-turut adalah atriks batas bawah da atriks batas atasya Didefiisika iterval atriks dari A, yaitu [ A, A ] {A R A I( R ) b { [ A, A ] A I(R) Cotoh 4 Diberika atriks iterval A } [ 1,1] [, ] A} da [,] [3,5] [6,8] [2,2] Iterval atriks dari A adalah [ A, A ] 1 3 Defiisi 6 6 1 8, 2 5 2 Iterval atriks [ A, A ] da [ B, B ] I( R dikataka saa jika A B da A B ) b Berdasarka sifat kekosistea relasi uruta dala atriks, didefiisika operasi-operasi iterval atriks berikut i) Diketahui I(R), [ A, A ], [ B, B ] I( R ) b Didefiisika [ A, A ] [ A, A ] da [ A, A ] [B, B ] [ A B, A B ] p ii) Diketahui [ A, A ] I( p R ) b, [ B, B ] I( R ) b Didefiisika[ A, A ] [B, B ] [ A B, A B ] Teorea 2 Peryataa-peryataa berikut berlaku utuk sebarag skalar iterval da, da sebarag iterval atriks [ A, A ], [ B, B ] da [ C, C ], yag berturut-turut erupaka iterval atriks dari atriks iterval A, B da C, asalka operasi yag diaksud terdefiisi i) ([ A, A ] [B, B ]) [ C, C ] [ A, A ] ([ B, B ] [ C, C ]) ii) [ A, A ] [B, B ] [ B, B ] [ A, A ] iii) ([ A, A ] [B, B ]) [ C, C ] [ A, A ] ([ B, B ] [ C, C ]) iv) [ A, A ] ([ B, B ] [ C, C ]) ([ A, A ] [ B, B ]) ([ A, A ] [ C, C ]) v) ([ A, A ] [ B, B ]) [ C, C ] ([ A, A ] [ C, C ]) ([ B, B ] [ C, C ]) vi) [ A, A ] [ A, A ] vii) ( [ A, A ]) ( ) [ A, A ] viii) ([ A, A ] [B, B ]) ( [ A, A ]) [ B, B ] [ A, A ] ( [ B, B ]) ix) ( b ) [ A, A ] (a [ A, A ]) ( [ A, A ]) x) ([ A, A ] [ B, B ]) ( [ A, A ]) ( [B, B ]) xi) [ A, A ] [ A, A ] [ A, A ] Bukti: Sifat-sifat di atas egikuti defiisi operasi pada iterval atriks di atas da sifat-sifat operasi pada atriks atas aljabar -plus R Utuk setiap [ A, A ], [ B, B ] I( R ) b da a I(R) berlaku A A, da Karea operasi da operasi perkalia skalar pada seiodul R atas R kosiste terhadap uruta, aka berlaku A B A B da A A Jadi [ A ÅB, A B ] da [ A, A ] erupaka iterval-iterval atriks Jadi I( R ) b tertutup terhadap operasi da perkalia skalar seperti yag didefiisika di atas Selajutya sesuai dega defiisi operasi pada iterval atriks di atas da sifat-sifat pada Teorea 2 apak bahwa I( R seiodul atas I(R) ) b erupaka Utuk setiap [ A, A ], [ B, B ] I( R ) b berlaku A A da B B Karea operasi perkalia pada seirig kosiste terhadap uruta, aka A B Jadi [ A B, A B ] erupaka iterval atriks Jadi I( R ) b tertutup terhadap operasi perkalia seperti yag didefiisika di atas Selajutya eurut sifat-sifat pada Teorea 2 apak bahwa bahwa ( I( R ) b,, ) erupaka seirig idepote dega elee etral adalah iterval atriks [] da elee satua adalah iterval atriks [E, E] berlaku Teorea 3 Utuk setiap A da B I(R), i) A A da A A, ii) A B A B da A B A B Bukti: i) Karea ( A) [ α, α ] [ A, A ] [ α A, α A ], aka A α A da A j α A, utuk setiap i da j, sehigga A α A da A α A ii) Karea Karea (A B) A B [ A, A ] [ B, B ] [ A B, A B ], aka (A B) A B da (A B) A B, utuk setiap i da j, sehigga A B A B da berlaku A B A B Teorea 4 Utuk setiap A da B I(R) A B A B da A B A B,

98 Jural Natur Idoesia 13(2): 94-99 Rudhito, et al Bukti: Karea (A B) [ A ik, A ] ik [ B kj, B kj [ Aik kj B, ] Aik Bkj da (A B) setiap i da j, sehigga A B [ Aik ÄB kj, A ÄB ik kj ] A B ik kj ], aka (A B) A Ä B ik kj, utuk A B A B da A B A B Teorea 5 Seiodul I(R) atas I(R) isoorfis dega seiodul I( R ) b atas I(R) Bukti: Didefiisika peetaa f : I(R) I( R ) b, f (A) [ A, A ], A I(R) i) Abil sebarag A da B I(R), sedeikia higga A B Karea A B, aka B A B da utuk setiap i da j Hal ii berarti A B da A B, sehigga [ A, A ] [B, B ] Jadi f (A) f (B) yag berarti f erupaka peetaa ii) Abil sebarag[ A, A ] I( R A ) b, aka A, A R, sehigga [ A, A ] I(R), i da j Jadi terdapat A I(R), dega A [ A, A ], i da j Jadi utuk setiap [ A, A ] I( R ) b, terdapat A I(R) [ A, A ], yag berarti f surjektif sedeikia higga f (A) iii) Abil sebarag A da B I(R), sedeikia higga f(a) f(b), yaitu [ A, A ] [B, B ] Karea [ A, A ] [B, B ], aka A B da A B Hal ii berarti utuk setiap i da j berlaku i A B da A B, sehigga [ A, A ] [ B, B ] Jadi A B, yag berarti f ektif iv) Abil sebarag A da B I(R) da sebarag I(R), aka f ( A) [ A, A ] [ α A, α A ] [ α, α ] [ A, A ] f(a) da f (A B) [ (A B), A B ] [ A B, A B ] [ A, A ] [ B, B ] f (A) f (B) Karea seiodul I(R) isoorfis dega seiodul I( R ) b, aka dapat disipulka bahwa utuk setiap atriks iterval A I(R) selalu dapat ditetuka dega tuggal iterval atriks [ A, A ] I( R ) b, deikia juga sebalikya Dega deikiaa atriks iterval A I(R) dapat dipadag sebagai iterval atriks [ A, A ] I( R ) b Iterval atriks [ A, A ] I( R ) b disebut iterval atriks yag bersesuaia dega atriks iterval A I(R) da dilabagka dega A [ A, A ] Dapat disipulka juga bahwa A [ A, A ] da A B [ A B, A B ] Teorea 6 Seirig (I(R),, ) isoorfis dega seirig (I( R ) b,, ) Bukti: Didefiisika peetaa f : I(R) I( R ) b dega f ((A) [ A, A ], A I(R) Meurut pebuktia Teorea 5 di atas peetaa f erupaka peetaa bektif Abil sebarag A da B I(R), aka seperti pada pebuktia pada Teorea 5 di atas diperoleh f (A B) f (A) f (B) Selajutya f (A B) [ (A B), A B [ A B, A B ] [ A, A ] [B, B ] f (A) f (B) Jadi terbukti f erupaka suatu isoorfisa seirig Dega kata lai seirig I(R) isoorfis dega seirig I( R ) Karea seirig I(R) isoorfis dega seirig I( R ) b, aka dapat disipulka bahwa A B [ A B, A Utuk perkalia atriks p p iterval A I(R) da B I(R) juga berlaku A B [ A B, A Hal ii dapat delaska sebagai p berikut Matriks iterval A I(R) da B I(R) dapat diperbesar ukuraya dega eabahka sejulah usur e sedeikia higga ebetuk atriks iterval A # da B # I(R) kk, dega k (, p, ) Matriks A da B berturut-turut erupaka subatriks A # da B # yag letakya di sebelah kiri atas, yaitu A # A B ε A ε ε ε Karea seirig I(R) ε B ε, B ε # ε ε, sehigga A # B # kk I(R), di aa A B I(R) k k isoorfis dega seirig kk I( R ) b, aka A # B # # # # # [A B, A B ], yag berakibat bahwa A B [ A B, A I( R ) b

Matriks atas Aljabar Max-Plus Iterval 99 A Cotoh 3 [ 1,1] [, ] [,] [3,5] [, ] 1 8 B [2,6] 5 2 [ 2, 1] 6 1 [6,8] 1 6, A, [2,2] 3 2 A [1,4] [,2], B 2 [4,5] 2 1, B 4 4 2 4 1 7 13, A B, 5 5 6 A B 11 7 Perhatika bahwa A B [ A B, A 4 5 [4,7] [5,11] 1, 6 7 11 [1,13] [6,7] 13 7, sehigga A B KESIMPULAN Dari pebahasa di atas dapat disipulka bahwa hipua seua atriks iterval yag dilegkapi dega operasi perkalia skalar -plus da pejulaha -plus erupaka seiodul Hipua seua atriks persegi atas aljabar plus iterval yag dilegkapi dega operasi pejulaha -plus da perkalia -plus erupaka seirig idepote Seiodul hipua seua atriks iterval isoorfis dega seiodul hipua iterval atriks yag bersesuaia Seirig hipua seua atriks iterval persegi isoorfis dega seirig hipua iterval atriks persegi yag bersesuaia Sebagai akibatya, operasi-operasi pada atriks iterval dapat dilakuka elalui iterval atriksya UCAPAN TERIMAKASIH Peulis egucapka teria kasih kepada Yayasa Saata Dhara Yogyakarta yag telah ebiayai studi da peelitia ii di Progra S3 Mateatika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada, Yogyakarta dega Noor Kotrak K-126/Y-15/3-15/ IX/27 DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F et al 21 Sychroizatio ad Liearity New York: Joh Wiley da Sos Chaas, S & Zieliski, P 21 Critical path aalysis i the etwork with fuzzy activity ties Fuzzy Sets ad Systes 122: 195-24 Krivuli, NK 21 Evaluatio of Bouds o Service Cycle Ties i Acyclic Fork-Joi Queueig Networks Iteratioal Joural of Coputig Aticipatory Systes 9: 94-19 Litviov, GL & Sobolevskii, AN 21 Idepotet Iterval Aaysis ad Optiizatio Probles Reliab Coput 7: 353-377 Lüthi, J & Harig, G 1997 Fuzzy Queueig Network Models of Coputig Systes Proceedigs of the 13th UK Perforace Egieerig Workshop, Ilkley, UK, Ediburgh Uiversity Press, July 1997 Rudhito, A 23 Siste Liear Max-Plus Waktu-Ivariat Tesis: Progra Pascasarjaa, Yogyakarta: UGM Rudhito, A Wahyui, S Suparwato, A & Susilo, F 28 Aljabar Max-Plus Iterval Prosidig Seiar Nasioal Mateatika S3 UGM Yogyakarta 31 Mei 28 Susilo, F 26 Hipua da Logika Kabur serta Aplikasiya Edisi kedua Yogyakarta: Graha Ilu