PENGGUNAAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN UNTUK MENENTUKAN MODEL GENOTIP KETURUNAN YANG TERTAUT KROMOSOM X

Transkripsi

1 Jural Maajee Ioratika da Tekik Koputer Volue, Noor, pril PENGGUNN NILI EIGEN DN VEKTOR EIGEN UNTUK MENENTUKN MODEL GENOTIP KETURUNN YNG TERTUT KROMOSOM X Havid Syawa *, Nurwati Jurusa Maajee Ioratika, ik Royal, Kisara e-ail: * havid_syawa@yahoo.co, urwati@yahoo.co bstrak Utuk eetuka geotip keturua yag tertaut krooso X dari suatu populasi akhluk hidup dapat dibetuk odelya. Dega egasusika bahwa keturua tersebut dikawika dega jeis geotip yag saa da dega peluag yag saa. Pada peelitia ii aka ditetuka geotip keturua yag tertaut krooso X dega egguaka MTLB 6. utuk ecari ilai eige da vektor eige. Jadi odel yag diguaka utuk eprediksika keugkia geotip keturua yag tertaut krooso X dapat diguaka. Kata kuci : distribusi geotip, ilai eige, vektor eige, diagoalisasi atriks. PENDHULUN Setiap akhluk hidup eiliki siat-siat seperti idukya. Siat-siat tersebut tidak saja egeai kejiwaa, tetapi juga egeai betuk da keapua yag berbeda-beda. Iilah siat-siat yag diiliki keturua yag dibawa dari idukya. Siat keturua tersebut terdapat di dala geotip yag erupaka betuk atau susua geetis suatu karakter yag dikadug suatu idividu. Pegedali aktor pebawa siat keturua pada akhluk hidup itu disebut dega ge yag terdapat dala krooso, sedagka pasaga ge itu aka ebetuk alel. Jika pasaga dua alel pada suatu idividu persis saa berarti sibolya persis saa disebut hoozigot, sedagka jika pasaga kedua alel pada suatu idividu tidak saa berarti sibolya berbeda disebut heterozigot. dakalaya pada dua atau lebih ge eepati krooso yag saa da tidak dapat eisahka diri secara bebas (harus eisah bersaa-saa). Peristiwa terbetukya ge ii disebut tauta atau likage. Istilah yag tertaut krooso X diguaka karea ge-ge seperti itu dijupai pada krooso X []. Ilu yag epelajari tetag siat-siat keturua dari suatu akhluk hidup itu disebut dega ilu geetika (dala bahasa Yuai ge artiya jadi). Seperti halya dega ilu-ilu laiya, geetika pada ulaya haya erupaka geetika epiris, yaitu geetika yag didasarka atas pegalaa sehari-hari atas observasi yag dilakuka oleh khalayak dega cara yag tidak sisteatis. Barulah pada tahu 866 geetika diselidiki secara sisteatis oleh seorag pedeta yag beraa Gregor Joha Medel (8-88) di kota Bru-ustria. Nau, hasil percobaa itu baru ucul lagi pada awal abad 9 []. Medel eeuka pertaa kali bahwa siat pada taaa egikuti sejulah perhituga ateatika yag sederhaa dikeal dega Huku Pewarisa Medel. Setelah itu barulah geetika berkebag ejadi geetika olekuler, geetika sel, da geetika kwatitati []. Oleh sebab itu, ateatika yag erupaka salah satu ilu yag sagat berkaita dega ilu geetika ii dapat eetuka jeis geotip keturua yag tertaut krooso X dega egguaka ilai eige da vektor eige yag erupaka bagia dari ateri aljabar liier [].. METODE PENELITIN. Matriks Betuk atriks bayak diguaka dala eyelesaika persoala pada aplikasi aljabar liier, terasuk dala eetuka odel geotip keturua elalui ilai eige da vektor eige, yaitu dega cara erubah hasil peasaga geotip keturua tersebut ke dala betuk atriks. Deiisi.. Matriks adalah sebuah susua segiepat sikusiku dari bilaga-bilaga. Bilaga-bilaga dala susua tersebut diaaka etri dala atriks. Ukura sebuah atriks ditetuka oleh bayakya baris da kolo. Utuk atriks M yag berukura r s dapat ditulis sebagai M dega r r s s rs ij rs i,,, r da j,,, s Elee atriks M diyataka dega huru kecil da diberi dua ideks. Elee yag terletak pada baris ke-i da kolo ke-j dari atriks M diyataka dega ij. Matriks yag epuyai satu baris saja disebut atriks baris da yag epuyai satu kolo saja disebut atriks kolo.

2 Havid Syawa, dkk., Pegguaa Nilai Eige Da Vektor Eige Utuk Meetuka Model Geotip Keturua Yag Tertaut Krooso X Matriks bujursagkar adalah atiks yag julah baris da koloya saa (r = s) da dikataka berukura r atau berukura s. Deiisi.. Suatu atriks bujursagkar yag seua etriya yag tidak terletak pada diagoal utaa adalah ol disebut atriks diagoal (diagoal atri). Suatu atriks diagoal uu D yag berukura, dapat ditulis sebagai : d D d d. Ruag Vektor da Subruag Vektor Deiisi.. Suatu subhipua W dari suatu ruag vektor V disebut subruag (subspace) dari V jika W itu sediri erupaka suatu ruag vektor di bawah pejulaha da perkalia skalar yag dideiisika pada V. Deiisi.. Jika W adalah suatu hipua yag terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruag vektor V, aka W adalah suatu subruag dari V, jika da haya jika syarat-syarat berikut terpeuhi : a. Jika u da v adalah vektor-vektor pada W, aka u + v berada pada W b. Jika k adalah skalar sebarag da u adalah vektor sebarag pada W, aka ku berada pada W. Deiisi.. Jika M adalah suatu siste liier hooge yag terdiri dari persaaa dega aktor yag tidak diketahui, aka hipua vektor solusi adalah subruag dari R.. Nilai Eige da Vektor Eige Dari peasaga geotip dapat ditetuka keugkia jeis geotip keturuaya dega erubah hasil peasaga geotip ke dala betuk atriks. Nilai eige da vektor eige adalah salah satu cara dala aljabar liier yag dapat diguaka utuk eetuka jeis geotip keturua utuk geerasi selajutya. Deiisi.. Jika M adalah sebuah atriks, aka sebuah vektor takol pada R disebut vektor eige (eigevector) dari M jika M adalah sebuah kelipata skalar dari, yaitu : M utuk skalar sebarag. Skalar disebut ilai eige (eigevalue) dari M, da disebut sebagai vektor eige dari M yag terkait dega. Deiisi.. Jika M adalah sebuah atriks da adalah sebuah bilaga riel, aka peryataa-peryataa berikut ii adalah ekuivale (a) adalah sebuah ilai eige dari M (b) Siste persaaa ( I M ) eiliki solusi taktrivial (c) Terdapat sebuah vektor takol pada R sedeikia rupa sehigga M (d) adalah sebuah solusi dari persaaa karakteristik det( I M ) Deisi.. Jika v, v,, v k adalah vektor eige dari atriks M yag terkait dega ilai-ilai eige yag berbeda,,, k, aka v, v, v k suatu hipua bebas liier... Diagoalisasi adalah Deiisi.. Sebuah atriks bujursagkar M dikataka dapat didiagoalisasi (diagoalizable) jika terdapat sebuah atriks P yag dapat dibalik sedeikia rupa sehigga P - MP adalah sebuah atriks diagoal. Matriks P dikataka ediagoalisasi (diagoalize) M. Deiisi.. Jika M adalah sebuah atriks, aka kedua peryataa berikut ii adalah ekuivale a. M dapat didiagoalisasi b. M eiliki vektor eige yag bebas liier. HSIL DN PEMBHSN. Meetuka Geotip sal [] Perasalaha yag dibatasi pada peelitia ii adalah pada keturua yag tertaut krooso X. Dala jeis keturua ii, jeis jata haya eiliki satu ge yaitu atau a da yag betia eiliki dua ge yaitu, a, ataupu aa. Peurua dari ge-ge tersebut adalah keturua jata eeria salah satu ge pebawa siat dari iduk betiaya dega keugkia yag saa, da keturua betia eeria ge pebawa siat satu-satuya dari iduk jataya da salah satu lagi di atara kedua ge pebawa siat iduk betiaya dega keugkia yag saa. ka dipelajari sebuah progra perkebagbiaka yag berkaita dega peurua yag tertaut krooso X ii. Pertaa, diulai dega satu iduk jata da satu iduk betia, dipilih dua dari keturuaya secara acak, satu utuk setiap jeis kelai, da kawika kedua keturua itu. Pilihlah dua dari keturua yag dihasilka da kawikalah kedua keturua ii kebali, da 6

3 Havid Syawa, dkk., Pegguaa Nilai Eige Da Vektor Eige Utuk Meetuka Model Geotip Keturua Yag Tertaut Krooso X deikia seterusya. Perkawia seperti ii biasaya dilakuka pada hewa.. Meetuka Keugkia Hasil Setiap Peasaga Geotip pabila geotip iduk jata adalah atau a dipasagka dega geotip iduk betia yaitu, a, atau aa yaitu : Iduk Jata Betia geotip atau a, a, atau aa Dari peasaga iduk jata da iduk betia tersebut, aka aka eghasilka keturua pertaaya sebagai. pabila geotip jata yag dilabagka dega geotip pertaa (geotip I) dipasagka dega geotip betia yag dilabagka dega geotip kedua (geotip II), aka diagra poho keugkia geotip hasilya adalah : (geotip I) Dari diagra poho di atas dapat dilihat bahwa keturuaya % epuyai geotip, yag artiya peluag keturua geotip jata adalah da peluag keturua geotip betia adalah.. pabila geotip jata yag dilabagka dega geotip pertaa (geotip I) dipasagka dega a geotip betia yag dilabagka dega geotip kedua (geotip II), aka diagra poho keugkia geotip hasilya adalah : (geotip I) (geotip II ) (geotip II ) (geotip II) a (geotip II) Dari diagra poho di atas dapat dilihat bahwa keturuaya % epuyai geotip da % lagi epuyai geotip a, yag artiya peluag keturua geotip jata adalah ½ da geotip jata a adalah ½, sedagka peluag keturua geotip betia adalah ½ da geotip a adalah ½. Da begitu seterusya sapai dega a geotip jata yag dilabagka dega geotip pertaa (geotip I) dipasagka dega aa geotip betia yag dilabagka dega geotip kedua (geotip II) Dari seua diagra poho tersebut dapat diketahui jeis keturua pertaa dari peasaga geotip asal da peluag jeis keturuaya. a Peasaga geotip keturua pertaa jata da betia dega geotip asal dapat dibuat dala betuk tabel dibawah ii Tabel. Peluag Geotip Keturua Pertaa Jata da Betia terhadap Geotip Iduk Peluag Keturua Dari Tabel, dapat diketahui pasaga geotip keturua pertaa jata da betia yag tertaut krooso X, yaitu : ), a),, ), a), Utuk eetuka peluag pasaga keturua yag tertaut krooso X ke-, aka aka dikawikaka asig-asig dari keea pasaga keturua pertaa yag tertaut krooso X tersebut dega jeis geotip yag saa, sehigga diperoleh :. Pasaga keturua pertaa yag tertaut krooso X jeis ) pabila geotip jata yag dilabagka dega geotip pertaa (geotip I) dipasagka dega geotip betia yag dilabagka dega geotip kedua (geotip II), aka diagra poho keugkia geotip hasilya adalah : Dari diagra poho di atas dapat dilihat bahwa keturuaya % epuyai geotip, yag artiya peluag keturua geotip jata adalah da peluag keturua geotip betia adalah. Maka pasaga keturua yag tertaut krooso X selajutya haya berjeis ). Da begitu seterusya utuk pasaga keturua yag berjeis laiya. Sehigga dari pejelasa tersebut, dapat dilihat peluag pasaga geotip keturua pertaaya terhadap geotip berikutya dala betuk tabel di bawah ii : Tabel. Peluag Pasaga Geotip Keturua Pertaa yag Tertaut Krooso X terhadap Geotip Keturua Berikutya Geo tip Ketur Jata Betia (geotip I) ) ) Geotip Keturua Pertaa a) Geotip Iduk (Jata,Betia) ) a) ) a) / / a / / / a / / aa / (geotip II ) (geotip II) ) a) / 7

4 Havid Syawa, dkk., Pegguaa Nilai Eige Da Vektor Eige Utuk Meetuka Model Geotip Keturua Yag Tertaut Krooso X / / a) / / ) / / a) / Julah Pasaga keturua yag tertaut krooso X dala tiap geerasi yag beruruta epuyai keugkia-keugkia tertetu utuk ejadi salah satu dari keea jeis geotip ii. Utuk eghitug keugkia tersebut, utuk =,,,..., aka dibuat : a = keugkia pasaga keturua yag tertaut krooso X yag dikawika dala geerasi ke- adalah jeis ) b = keugkia pasaga keturua yag tertaut krooso X yag dikawika dala geerasi ke- adalah jeis a) c = keugkia pasaga keturua yag tertaut krooso X yag dikawika dala geerasi ke- adalah jeis d = keugkia pasaga keturua yag tertaut krooso X yag dikawika dala geerasi ke- adalah jeis ) e = keugkia pasaga keturua yag tertaut krooso X yag dikawika dala geerasi ke- adalah jeis a) = keugkia pasaga keturua yag tertaut krooso X yag dikawika dala geerasi ke- adalah jeis Dari Tabel. dapat ditetuka distribusi geotip utuk tiap geerasi dari distribusi geotip pada geerasi sebeluya dega persaaapersaaa sebagai a = a - + ¼ b - b = ¼ b - + d - + ¼ e - c = ¼ e - =,,... (..) d = ¼ b - e = ¼ b - + c - + e - = ¼ e Persaaa (..) dapat ditulis dala betuk otasi atriks sebagai a a..(..) b b c c d d e e dega syarat : a b c d e, utuk =,,,... a, b, c, d, e, adalah geotip ke-. Meetuka Jeis Geotip yag Terjadi dega Megguaka Nilai Eige da Vektor Eige Seperti yag telah dijelaska dala pebatasa asalah, aka peulis aka eeliti peasaga geotip keturua utuk geerasi ke- dega elihat hasil perkawia keturua pertaa yag sejeis. Dari Tabel. peasaga geotip keturua pertaa yag tertaut krooso X dapat ditulis dala betuk persaaa () () M... (..) dapat ditulis dala betuk otasi atriks sebagai a a b b c c... (..) d d e e dega : a, b, c, d, e, adalah geotip asal pabila persaaa (..) dilajutka, aka diperoleh : () () () M M M () () () () M () MM M M () () () () () M ( ) ( ) () M, =,, (..) Jika dapat eetuka sebuah persaaa eksplisit utuk M (), aka dapat diguaka persaaa (..) utuk eperoleh sebuah persaaa eksplisit utuk (). Utuk eetuka persaaa eksplisit utuk M (), aka lagkah pertaa yag harus dilakuka adalah ediagoalisasi M. Dala hal ii, tetuka terlebih dahulu sebuah atriks P yag dapat dibalik, ivers dari atriks P,da sebuah atriks diagoal D sedeikia rupa sehigga: M = PDP - Dega diagoalisasi seaca ii, aka aka diperoleh : M () = PD () P -, utuk =,,......(..) di aa ( ) D 6 6 Utuk edapatka atriks P, aka dicari ilai eige da vektor eige dari atriks M. Karea ecari ilai eige ii cukup ruit utuk ukura atriks 6 6, aka diguaka progra MTLB 6. utuk eudahka edapatka () () 8

5 Havid Syawa, dkk., Pegguaa Nilai Eige Da Vektor Eige Utuk Meetuka Model Geotip Keturua Yag Tertaut Krooso X ilai eigeya, sehigga didapat ilai-ilai eige dari atriks M sebagai,, 89,,.., (..) ka ditetuka vektor eige dari asig-asig ilai eige yag diperoleh pada persaaa (..) yag erupaka vektor solusi dari ruag solusi...(..6) Utuk eudahka perhituga, aka bilaga pecaha diubah ejadi bilaga desial, sehigga diperoleh ruag solusi uu sebagai.... S (..7) Keudia dicari vektor eige utuk M dega cara esubstitusika asig-asig ilai eige,,. 89,.,.,, sehigga diperoleh: 6.9 P = Setelah diperoleh atriks P, aka aka ditetuka atriks P -. Dega batua progra MTLB 6., aka diperoleh atriks P - sebagai P da atriks D () dari ilai-ilai eige atriks M adalah : ( ).89 D...9 Dari uraia etri-etri atriks M () tersebut, aka barulah dapat dicari odel geotip keturua yag tertaut krooso X utuk geerasi ke- dega eyelesaika persaaa, yaitu : ( ) ( ) () M, =,,... dala betuk atriks dapat ditulis : a e e e e e e6 a b e e e e e e6 b c e e e e e e6 c... d e e e e e e6d e e e e e e e6 e e6 e6 e6 e6 e6 e66... (..8) atau dapat juga ditulis : a ea eb ec ed ee e6 b ea eb ec ed ee e6 c ea eb ec ed ee e6... d ea eb ec ed ee e6 e ea eb ec ed ee e6 e6a e6b e6c e6d e6e e66... (..9) Diperoleh betuk liier dari persaaa (..9), yaitu : a e a eb ec ed ee e6 a = a + [ (.89) -.(.) -.(-.) -.6(-.9) ] b +[. -.8(.89) +.(.) -.8(-.) +.8(-.9) ] c o +[ (.89) -.(.) +.8(-.) +.8(-.9) ] d + [. -.7(.89) +.(.) +.(-.) -.6(-.9) ] e b e a eb ec ed ee e6 b = [.6(.89) +.(.) +.(-.) +.8(-.9) ] b +[.7(.89) -.(.) +.98(-.) -.7(-.9) ] c +[.7(.89) +.(.) -.98(-.) -.7(-.9) ] d +[.6(.89) -.(.) -.(-.) +.8(-.9) ] e c e a eb ec ed ee e6 c = [.(.89) -.(.) +.6(-.) -.(-.9) ] b +[.8(.89) +.(.) + 9

6 Havid Syawa, dkk., Pegguaa Nilai Eige Da Vektor Eige Utuk Meetuka Model Geotip Keturua Yag Tertaut Krooso X.9(-.) +.6(-.9) ] c +[.8(.89) -.(.) -.9(-.) +.6(-.9) ] d +[.(.89) +.(.) -.6(-.) -.(-.9) ] e d e a eb ec ed ee e6 d = [.(.89) +.(.) -.6(-.) -.(-.9) ] b +[.8(.89) -.(.) -.9(-.) +.6(-.9) ] c +[.8(.89) +.(.) +.9(-.) +.6(-.9) ] d +[.(.89) -.(.) +.6(-.) -.(-.9) ] e e e a eb ec ed ee e6 e = [.6(.89) -.(.) -.(-.) +.8(-.9) ] b + [.7(.89) +.(.) -.98(-.) -.7(-.9) ] c +[.7(.89) -.(.) +.98(-.) -.7(-.9) ] d +[.6(.89) +.(.) +.(-.) +.8(-.9) ] e e 6a e6b e6c e6d e6e e66 = [. -.7(.89) +.(.) +.(-.) -.6(-.9) ] b + [ (.89) -.(.) +.8(-.) +.8(-.9) ] c + [. -.8(.89) +.(.) -.8(-.) +.8(-.9) ] d + [ (.89) -.(.) -.(-.) -.6(-.9) ] e +. KESIMPULN Dari peelitia ii dapat diabil kesipula sebagai. Utuk eetuka odel geotip keturua ke yag tertaut krooso X dapat dicari dega egetahui geotip keturua pertaa yag tertaut krooso X terlebih dahulu.. Model geotip keturua ke- yag tertaut krooso X dapat ditetuka dega egguaka ilai eige da vektor eige da dega batua MTLB 6. utuk eghitug ilaiya didapat ilai eigeya sbg :,,. 89,.,., 6. 9 da vektor eigeya : P = SRN Berdasarka hasil peelitia yag dilakuka, aka peulis eberika sara-sara sebagai. Utuk peelitia lebih lajut, utuk jeis geotip keturua ke pada kasus krooso uag lai. Utuk peelitia lebih lajut egguaka etode lai dala edapatka odel geotip keturua berikutya. 6. UCPN TERIM KSIH Peulis egucapka teria kasih kepada seua pihak aupu istasi yag sudah ebatu secara oril ataupu ateril erhadap peelitia ii, seoga peelitia ii beraaat bagi yag ebutuhkaya. 7. DFTR PUSTK to, H ljabar liear Eleeter. lih Bahasa : Patur Silaba, I Nyoa Susila. Erlagga, Jakarta. to, H. da Rorres, C.. ljabar liear Eleeter Versi plikasi jilid. lih Bahasa : Reia Idriasari, Irza harei. Erlagga, Jakarta. to, H. da Rorres, C.. ljabar liear Eleeter Versi plikasi jilid. lih Bahasa : Reia Idriasari, Irza harei. Erlagga, Jakarta. Dwidjoseputro, D Pegatar Geetika. Bhratara, Jakarta. Hasela, D. da Littleield, B.. Matlab bahasa Koputasi Tekis. lih Bahasa : Josep Edyato. di, Yogyakarta.