ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG HILBERT

Transkripsi

1 ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG HILBERT C[a b] (STUDI KASUS : FUNGSI TRANSENDEN) (Skripsi) Oleh: Tika Kristi FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 6

2 ABSTRAK ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG HILBERT C[a b] (STUDI KASUS : FUNGSI TRANSENDEN) Oleh TIKA KRISTI Aproksiasi fugsi dala proses koputasi serig diguaka hapir di seua bidag aalisis uerik. Dua alasa utaa pegguaa aproksiasi fugsi adalah utuk eberika fugsi pedekata ag efektif da edekati suatu fugsi ag ruit dega fugsi ag lebih sederhaa. Diberika sebuah fugsi f baik secara utuh ataupu haa beberapa ilai di titik-titik tertetu saja kita igi eperoleh hapira (aproksiasi) utuk f ag epuai betuk tertetu (isala supaa lebih udah diaalisis) dega kesalaha ag dapat kita kotrol. Misala kita hedak eghitug e d kita hapiri itegraa dega polio (suku baak) berderajat (dega cukup besar). Masalah optiisasi khususa aproksasi fugsi terbaik ag tidak edapatka solusi terbaik (ralat ag besar) dala ruag fisis atau ag dikeal sebagai ruag real dapat dipecahka dega siste ateatis ag sederhaa dega ebawa asalah aproksiasi tersebut ke ruag abstrak (berisi aksioa-aksioa) atau ruag vektor khususa pada ruag Hilbert C[ab]. Masalah tersebut dikeal sebagai asalah iiu or dala ruag Hilbert C[ab]. Dega egguaka kosep iiu or aka diperoleh kesalaha optial (galat) ag iiu. Kata kuci: Aproksiasi iiu or ruag Hilbert C[ab] fugsi trasede deret Maclauri kesalaha optial.

3 ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG HILBERT C[a b] (STUDI KASUS : FUNGSI TRANSENDEN) Oleh TIKA KRISTI Skripsi Sebagai Salah Satu Sarat utuk Meperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusa Mateatika Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala Uiversitas Lapug FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 6

4

5

6

7 PERSEMBAHAN Kara kecil ii ku persebahka utuk Tuha Yag Maha Kuasa ag ejadi kekuata ketika putus asa. Utuk Maa tercita ag selalu egirigi lagkah ku dega ketulusa doa da kasih saag ag tiada hetia. Da utuk abag ku Asia da Roberto da juga Kak Hevi ag selalu ejadi otivasi serta utuk Sahabat-sahabat ag selalu eeai da eberika seagat tersediri da dose Pebibig da Peguji teriakasih atas bibiga da ajaraa.

8 MOTO: Tidak ada ag ustahil jika au berusaha da berdoa seuaa aka idah pada waktua Selalu bersukur dala hal da keadaa apapu karea rasa sukur aka ebuat erasa cukup dega segala ag diiliki atau ag telah diperoleh

9 SANWANCANA Puji da sukur peulis pajatka kehadirat Tuha Yag Maha Esa ag telah eberika kasih karuia augerah da Berkat-Na sehigga peulis dapat eelesaika peulisa skripsi dega baik. Skripsi ag berjudul Aalisis Aproksiasi Fugsi Dega Metode Miiu Nor Pada Ruag Hilbert C[a b] (Studi Kasus : Fugsi Trasede) adalah salah satu sarat utuk eperoleh gelar sarjaa Mateatika di Uiversitas Lapug. Dala kesepata ii peulis egucapka teria kasih kepada :. Bapak Aato S.Si. M.Si. selaku dose Pebibig Utaa ag selalu ebibig peulis dala peelesaia skripsi da selaku Pebibig Akadeik ag selalu ebibig peulis seasa kuliah sapai sekarag;. Ibu Dr. Asiati S.Si. M.Si. selaku Pebibig Kedua atas kesediaa eberika bibiga kritik da sara dala proses peelesaia skripsi ii; 3. Bapak Drs.Suharsoo S. M.Sc Ph.D. selaku dose Pebahas ag telah eguji peulis da eberika sara dala peelesaia skripsi; 4. Bapak Drs. Tiroo Rub M.Sc. Ph.D selaku Ketua Jurusa Mateatika FMIPA Uiversitas Lapug;

10 5. Bapak Prof. Warsito DEA. Ph.D. selaku Deka FMIPA Uiversitas Lapug; 6. Dose staf da karawa FMIPA Uiversitas Lapug ag telah eberika ilu pegetahua da batua kepada peulis; 7. Ibuku abag da kakakku tersaag ag selalu eberika seagat da doa dala eelesaika skripsi ii; 8. Shella Niaka Ira Nurdiaa Sri Agustia Tri Susilowati Gesti Nur Roffi da MATH ag selalu eberika dukuga serta cada tawa; 9. Seluruh pihak ag telah ebatu peulis ag tidak dapat disebutka satu persatu atas pera da dukugaa dala eusu skripsi ii. Peulis eadari bahwa skripsi ii asih baak jauh dari kesepuraa aka tetapi seoga skripsi ii dapat bergua da eberika afaat bagi kita seua. Ai. Badar Lapug 7 Oktober 6 Peulis Tika Kristi

11 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Purwodadi Sipag Lapug Selata pada taggal Jauari 994 da erupaka aak ketiga dari tiga bersaudara dari pasaga Bapak H. Sitaggag (al) da Ibu N. Sitorus. Peulis egawali pedidika Taa Kaak-kaak di TK Kartika Sukarae Badar lapug pada tahu Sekolah Dasar di SD Negeri Sukarae pada tahu keudia pedidika Sekolah Meegah Pertaa Negeri 4 Badar Lapug pada tahu 9 da pedidika Sekolah Meegah Atas Negeri Badar Lapug pada tahu. Pada tahu peulis elajutka pedidika Strata Satu (S) pada Jurusa Mateatika da Ilu Pegetahua Ala Uiversitas Lapug elalui jalur Ujia Masuk Lokal (UML). Peulis aktif dala beberapa orgaisasi aitu ejadi aggota Prauka da Paskibra di SMP N 4 Badar Lapug ejadi aggota OSIS Eglish Club da Juralis di SMA N Badar Lapug. Peulis juga perah ejabat sebagai aggota bidag kesekretariata (KESTARI) Hipua Mahasiswa Mateatika (HIMATIKA) pada tahu.

12 Peulis telah elaksaaka Kerja Praktek (KP) pada Juli 5 3 Juli 5 di Dias Peteraka da Kesehata Hewa Provisi Lapug da telah eelesaika ata kuliah wajib Kuliah Kerja Nata (KKN) ag dilaksaaka pada 8 Jauari 6 8 Maret 6 di Desa Kerbag Laggar Kecaata Pesisir Utara Kabupate Pesisir Barat. vi

13 DAFTAR ISI Halaa I. PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Tujua Peelitia Mafaat peelitia Batasa Peelitia... 4 II. TINJAUAN PUSTAKA. Pegertia Ruag Hilbert Aproksiasi Fugsi....3 Teorea Proeksi....4 Deret Maclauri Fugsi Trasede... 6 III. METODE PENELITIAN.6 Waktu da Tepat Peelitia Metode Peelitia... 8 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN.8 Masalah Aproksiasi Terbaik Fugsi Trasede Dega Metode Miiu Nor Pada Ruag Hilbert C[ab] Polioial Deret Maclauri V. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA

14 DAFTAR GAMBAR Halaa Gabar Ruag Diesi Tiga Ruag Diesi Dua...

15 I. PENDAHULUAN. Latar Belakag da Masalah Persoala-persoala di bidag ateatika dala kehidupa sehari-hari biasaa diataka ke dala betuk fugsi. Persoala-persoala ateatika tersebut biasaa tidak dapat dicari solusia dega haa perhituga biasa (eksak). Fugsi itu ugki diperoleh dari data uerik dega iterpolasi ataupu regresi. Misala persoala akar-akar persaaa siste persaaa liear pecocoka kurva itegrasi da persaaa diferesial biasa. Oleh karea itu perlu diguaka perhituga elalui aproksiasi utuk edapatka suatu ilai ag edekati ilai ag diigika. Aproksiasi adalah suatu pedekata utuk eperoleh ilai fugsi ag edekati dega ilai fugsi ag laia. Perlu diperhatika bahwa dala pedekata eperoleh ilai fugsi harus diabil ilai fugsi ag edekati dega ilai ag sebeara. Cara ecari aproksiasi fugsi tersebut adalah dega optiisasi. Optiisasi adalah suatu proses eaksiuka atau eiiuka suatu fugsi objektif ag eeuhi kedala tertetu. Suatu asalah optiisasi ag tidak edapatka solusi terbaik dala ruag fisis atau ruag real dapat dipecahka

16 dega suatu siste ateatis aitu dega ebawa asalah tersebut ke ruag abstrak (berisi aksioa-aksioa) atau ruag vektor (Krezig 978). Metode optiisasi dega etode ruag vektor pada dasara adalah ecari vektor dega ora iiu atau eiiuka ora suatu vektor (Lueberger 969). Utuk ebahas aproksiasi fugsi diguaka Teorea Proeksi [Adkiso () & Lueberger (969)]. Dala peecaha asalah ii lagkah petig ag harus dilakuka adalah peiliha basis ag bebas liear ag ebagu ruag fugsi ag aka diaproksiasi da peetua kesalaha optial atau ralat optial dari aproksiasi ag diabil. Basis ii tidak tuggal. Peiliha basis ag berbeda aka eghasilka aproksiasi fugsi ag saa da juga kesalaha optial ag saa pula. Masalah aproksiasi fugsi di atas dapat diselesaika pada ruag vektor aitu dega etode optiisasi ruag vektor. Ruag vektor ag diguaka adalah ruag Hilbert. Ruag Hilbert erupaka ruag abstrak ag di dalaa euat perpadua tiga kosep aitu Aljabar Aalisis da Geoetri. Kosep geoetri ag diguaka adalah egeai proeksi sebab ruag Hilbert dibagu oleh kosep ier product (Berberia 96). Peelitia tetag asalah tersebut diataraa adalah peelesaia asalah iiu or pada ruag Hilbert L [ab] (Aato dkk. 3). Selajuta peelitia ag saa juga dilakuka pada ruag Hilbert ag lai aitu ruag Hilbert C[ab] (Joko Waluo 3). Dala hal ii kosep ag diguaka adalah iiu or pada ruag Hilbert C[ab]. Fugsi ag aka dicari aproksiasia adalah fugsi-fugsi kotiu berilai real ag terdefiisi pada [ab]. Pada peelitia tersebut baru sapai pada

17 3 tahap ecari solusia belu pada tahap evaluasi atau aalisis hasil terkait dega galat ag dihasilkaa. Pada peelitia ii aka dibahas evaluasi atau aalisis hasil terkait dega galat pada peiliha basis pada aproksiasi fugsi dega etode iiu or pada ruag Hilbert C[ab] dega egabil kasus utuk fugsi-fugsi trasede.. Tujua Peelitia Tujua peelitia ii adalah egaalisis galat ag terjadi pada aproksiasi fugsi trasede dega etode optiisasi ruag vektor aitu iiu or pada ruag Hilbert C[ab] utuk edapatka aproksiasi fugsi trasede ag terbaik..3 Mafaat Peelitia Mafaat peelitia ii adalah :. Meberika peahaa kosep aalisis terhadap galat atas peiliha basis ag dilakuka pada aproksiasi fugsi dega etode iiu or pada ruag Hilbert C[ab] sehigga aka diperoleh aproksiasi fugsi trasede terbaik dega galat (kesalaha) ag palig kecil.. Meberika kotribusi bagi peelitia tetag etode iiu or pada ruag Hilbert C[ab].

18 4 3. Dapat eberika subaga peikira da eabah wawasa egeai etode iiu or pada ruag Hilbert C[ab]..4 Batasa Peelitia Pada peelitia ii ag ejadi batasa asalah adalah ebahas aalisis aproksiasi fugsi trasede dega etode iiu or pada ruag Hilbert C [ab].

19 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab II ii peulis aka egguaka pegertia-pegertia (defiisi) teorea da kosep ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegertia (defiisi) da teorea tersebut dituliska sebagai berikut.. Pegertia Ruag Hilbert Defiisi.. (a) Misalka X ruag liier. Fugsi dari X X dega ruus ( ) ag eeuhi : (I ) = utuk setiap X (I ) = utuk setiap X da skalar (I 3 ) = + utuk setiap z X (I 4 ) utuk setiap

20 6 = =.disebut perkalia dala (ier product). (b) Ruag liear X ag diperlegkapi dega suatu perkalia dala (ier product) disebut ruag perkalia dala (ier product space) atau ruag Pre- Hilbert (Atkiso ). Cotoh : Ruag vektor C [a b] didefiisika sebagai koleksi fugsi-fugsi dari iterval tertutup [ab] ke hipua bilaga riil ag kotiu da di dalaa didefiisika dua operasi : (i) Pejulaha (f + g) () = f() + g() a b (ii) (cf)() = cf() a b da kostata c Selajuta pada C[ab] didefiisika fugsi : C[ab] C[ab] dega b = a ( f g Ca b a b. f ) g( ) d Lea.. (Pertidaksaaa Cauch - Schwarzt) Utuk setiap dala ruag perkalia dala X berlaku. Bukti : (i) Jika = atau = aka diperoleh :

21 7 Utuk = aka : = = da =. = Jadi. (ii) Jika = utuk skalar diperoleh : α α α α α α Jadi. (iii) Jika utuk setiap. Utuk ebuktika ekuivale dega ebuktika : z Utuk setiap z X dega z z.

22 8 Utuk setiap skalar berlaku : αz -z-α αz α z α z αzαz z αα zz α z z z α z α z z α z α Khusus utuk = z aka berlaku : z Jadi z. Dega kata lai terbukti bahwa X. Teorea.. Pada ruag Pre-Hilbert X suatu fugsi utuk setiap X adalah or. Bukti : Utuk eujukka. fugsi or harus ditujukka. eeuhi aksioa (N ) (N 3 ) dala Defiisi...

23 9 (N ) X sebab (Aksioa I 4 Defiisi 3..) (Aksioa I 4 Defiisi 3..) (N ) Utuk suatu skalar diperoleh : (N 3 ) Utuk setiap X diperoleh : Re. Dega egguaka pertidaksaaa Cauch Schawarzt diperoleh :

24 Jadi berdasarka aksioa (N ) (N ) da (N 3 ) terbukti bahwa X fugsi or pada ruag Hilbert X... Aproksiasi Fugsi Suatu fugsi tidak eerluka peelesaia tetapi fugsi tersebut dapat dievaluasi apabila ilai variabela diberika. Suatu fugsi juga dapat dipresetasika dala deret pagkat tak higga. Suatu fugsi ag diekspasi dala deret tak higga C i i Z i tidak dapat diselesaika dega perhituga biasa utuk edapatka ilai eksaka. Oleh karea itu utuk ecari ilaia dapat dilakuka dega pegguaa suatu pedekata. Perhituga dega suatu aproksiasi eghasilka ilai pedekata (Muir 6)..3. Teorea Proeksi Teorea proeksi erupaka prisip dasar dala peelesaia asalah optiisasi. Sebelu ke Teorea proeksi terlebih dahulu aka diperkealka kosep ortogoalitas. Defiisi.3. (Lueberger 969) Dala suatu ruag pre-hilbert X vektor X dikataka ortogoal jika = diotasika dega. Suatu vektor dikataka ortogoal dega hipua S diotasika S jika s utuk setiap s S.

25 Lea berikut eujukka bahwa Teorea Phtagorea dala geoetri bidag erupaka akibat dari kosep ortogoalitas. Lea.3. Misalka X suatu ruag Hilbert da X. Jika aka Bukti : = =. Selajuta aka dibahas suatu asalah optiisasi ag berhubuga dega Teorea proeksi. Misalka X suatu ruag Pre-Hilbert diberika suatu vektor X da M ruag bagia dari X aka aka ditetuka vektor M ag terdekat ke aitu vektor ag eiialka. Jika berada di M aka peelesaiaa trivial aitu vektor sediri. Secara uu ada epat perataa petig dala peelesaia asalah tersebut aitu :. Adakah vektor M ag eiialka?. Apakah peelesaiaa tuggal? 3. Kodisi apa ag harus dipeuhi agar ada peelesaia optial? 4. Bagaiaa eetuka peelesaia optial? Perataa oor da 3 aka dijawab dega Teorea proeksi. Ada dua versi Teorea proeksi satu versi pada ruag Pre-Hilbert da satu versi ag lai

26 pada ruag Hilbert dega hipotesis da kesipula ag lebih kuat. Teorea.3. (Teorea Proeksi di Ruag pre-hilbert) Misalka X suatu ruag Pre-Hilbert M suatu ruag bagia dari X da sebarag vektor di X. Jika ada vektor M sedeikia higga o M aka tuggal. Sarat perlu da cukup M suatu vektor iial tuggal di M adalah vektor selisih ortogoal terhadap M (Berberia96). Bukti : Aka di tujukka jika adalah vektor iial aka ortogoal terhadap M. Adaika kodisi sebalika terdapat M ag tidak ortogoal terhadap. Tapa eguragi keuua bukti isalka da =. Didefiisika vektor M sebagai = + aka

27 3 Ii berarti dega = + sehigga ii berarti buka vektor iial. Jadi vektor iial aka ortogoal terhadap M atau ( ) M. Dega deikia jika tidak ortogoal terhadap M aka buka vektor iial. Selajuta aka ditujukka jika vektor ortogoal terhadap M diabil sebarag M berdasarka Teorea Phtagorea : sehigga utuk

28 4 Dala diesi tiga teorea proeksi ii dapat diataka sebagai berikut : Ruag bagia M adalah bidag ag elalui titik asal da di ruag diesi tiga X. Jika ada vektor iial M aka tuggal da vektor selisih tegak lurus terhadap bidag M seperti digabarka dala gabar dibawah ii : M ( ) M Gabar. Ruag Diesi Tiga Teorea di atas belu ejai keberadaa vektor iial tetapi jika ada vektor iial aka tuggal da vektor selisih ortogoal terhadap ruag bagia M. Dega hipotesis ag lebih kuat didapatka kesipula ag lebih kuat aitu terjaia keberadaa vektor iial. Hal ii diataka dala teorea berikut. Teorea.3.3 (Teorea Proeksi Klasik) Misalka H ruag Hilbert da M ruag bagia tertutup dari H aka utuk sebarag vektor H terdapat tuggal vektor M sedeikia higga o M. Sarat perlu da cukup M suatu vektor iial tuggal adalah vektor selisih ortogoal terhadap ruag bagia M (Berberia 96).

29 5 Bukti : Ketuggala da ortogoalitasa telah dibuktika pada Teorea.3. sehigga tiggal ebuktika keberadaa vektor iial. Jika M da = aka bukti selesai. Misalka M da didefiisika if aka ditetuka M dega M. Misalka { i } suatu barisa vektor dala M da i. Meurut huku jajara gejag (parallelogra) ( j ) ( i ) ( j ) ( i ) j i dega eusu kebali persaaa di atas didapatka : j i = j i - 4 i j utuk setiap i j. Da vektor i j berada di M. Karea M ruag bagia liier sehigga dari defiisi i j da didapatka : j i 4 j i

30 6 karea i i Maka j i i j. Dega deikia { i } adalah barisa Cauch da karea M ruag bagia tertutup dari ruag legkap aka barisa { i } epuai liit di dala M. Dega kekotiua or aka. Jadi dala peulisa ii Teorea proeksi klasik ejai keberadaa da ketuggala peelesaia optial serta kodisi ag harus dipeuhi agar keberadaa vektor iial ada peelesaia optiala peelesaia optiala sediri belu dapat ditetuka. Selajuta Teorea proeksi di atas aka ditetapka utuk ebagu sifat struktural tabaha dari suatu ruag Hilbert atara lai adalah dala sebarag ruag bagia tertutup dari ruag Hilbert sebarag vektor dapat ditulis sebagai julaha dua vektor satu vektor di ruag bagia tertutup da vektor ag lai ortogoal terhadapa.

31 7 Defiisi.3.3 (Lueberger 969) Misalka S suatu hipua bagia dari ruag Hilbert. Hipua seua vektor ag ortogoal terhadap S disebut koplee ortogoal dari S da diotasika dega S. Teorea.3.4 Misalka S da T hipua bagia dari ruag Hilbert da eataka koplee ortogoal dari S da T aka : S T berturut-turut. S adalah ruag bagia tertutup. S S 3. Jika ST aka T S 4. S = S Bukti :. Hipua S erupaka ruag bagia. Ruag jika { } suatu barisa koverge dari S tertutup karea S kataka ; Kekotiua perkalia dala eataka = < s> < s> utuk seua s S sehigga S.. Diabil S. Hal ii berarti utuk seua S. Sehigga diperoleh z. Utuk setiap z Jadi utuk S z S. S terasuk z =.

32 8 3. Abil T. Oleh karea itu aka utuk seua T. Karea S T aka z utuk setiap z S. Dega kata lai S. 4. ( S ) = S Harus dibuktika : (a) ( S ) S (b) S ( S ) Bukti : (a) Jika S S aka ( S ) S. (b ) Karea S S aka S ( S ). Defiisi.3.4 (Lueberger 969) Ruag vektor X dikataka julaha lagsug dari ruag bagia M da N jika setiap vektor X dapat ditulis secara tuggal dala betuk = + dega M da N diotasika dega X = M N. Teorea.3.5 Jika M ruag bagia liear tertutup dari suatu ruag Hilbert H aka H = M M da M = M

33 9 Bukti : Misalka H. Karea M ruag bagia tertutup aka eurut Teorea proeksi ada vektor tuggal M sedeikia higga utuk seua M da = M. Dega deikia = + dega M da M. Jadi erupaka julaha dari M da M. Utuk ebuktika ketuggalaa isalka = + dega M da M aka : = ( + ) ( + ) = + tetapi da ortogoal sehigga eurut teorea phtagorea. Hal ii eataka = da =. Jadi utuk setiap vektor di H dapat diataka dega tuggal sebagai julaha dari suatu vektor di M da suatu vektor di M. Dega kata lai H = M M. Utuk ebuktika M = M tiggal eujukka M M. Diabil M da aka ditujukka M. Meurut bagia teorea ii = + dega M da M karea M da M. Maka M aitu M. Tetapi M sehigga ag eataka = sehigga - M da M M. Terbukti M = M. Dala diesi dua bagia pertaa teorea di atas dapat diataka sebagai berikut. Jika H suatu bidag da suatu garis lurus ag elalui titik asal aka

34 utuk setiap H dapat diataka dega tuggal sebagai = + z dega M da z M. Hal ii dapat digabarka sebagai berikut. M M z Gabar. Ruag Diesi Dua Gabar di atas jika M ruag bagia tetutup dari H aka H = M M. Misalka M ruag bagia tertutup dari suatu ruag Hilbert H da vektor di H. Vektor M dega M disebut proeksi ortogoal pada M. Jadi sapai disii keberadaa da ketuggala peelesaia optial asalah optiisasi sudah terjawab au peelesaia optiala sediri belu ditetuka. Ada dua cara utuk eetuka peelesaia optial aitu dega eelesaika persaaa oral da dega prosedur ortogoalisasi Gra- Schidt bersaa deret Fourier. Pada peelitia ii aka dibicaraka dega eelesaika persaaa oral da atriks Gra.

35 Defiisi.3.5 (Lueberger 969) Misalka... basis dari M. Diberika sebarag vektor H da aka dicari vektor di M ag terdekat ke. Jika vektor diataka dala sukusuku dala vektor i sebagai : o = i i i Maka asalah tersebut ekuivale dega eeuka skalar i i =... ag eiialka.... Meurut teorea proeksi vektor iial tuggal adalah proeksi ortogoal pada M atau vektor selisih ortogoal terhadap setiap vektor i. Dega deikia :... utuk i =.... i Atau = = =

36 Atau Persaaa dala koefisie i sebaak kali ii dikeal sebagai persaaa oral utuk asalah iialisasi. Matriks ag berhubuga dega vektor... aitu :... G = G(... ) = disebut atriks Gra dari Matriks ii adalah trapose dari atriks koefisie oral. Teorea.3.6 Deteria Gra g = g(. ) jika da haa jika. bebas liear (Lueberger 969).

37 3 Bukti : Perataa tersebut ekuivale dega perataa vektor vektor. bergatug liear jika da haa jika g = g(. ) =. Misalka i bergatug liier berarti terdapat i ag tidak saa dega ol sedeikia sehigga i i i. Karea barisa-barisa pada deteria Gra bergatug pada i aka deteriaa ol. Misalka g = g(. ) =. Maka ada kebergatuga liier di atara barisa-barisaa sehigga terdapat kostata a i ag tidak seuaa ol sedeikia higga i i i j utuk seua j. Dega deikia i atau. Sehigga da vektor i i j i. bergatug liier. i i i i i Walaupu persaaa oral tidak eiliki peelesaia tuggal jika i bergatug liier tetapi selalu ada palig sedikit satu peelesaia. Jika g = aka selalu dihasilka peelesaia ag tidak tuggal buka peelesaia ag tidak kosiste. Teorea berikut eataka jarak iiu suatu vektor ke ruag bagia dapat dicari dega deteria atriks Gra.

38 4 Teorea.3.7 Misalka.. bebas liear da jarak iiu vektor ke ruag bagia M ag dibagu oleh i aitu :... i aka )... ( )... ( g g Bukti : Meurut defiisi Meurut teorea proeksi - ortogoal terhadap M sehigga secara khusus karea M aka : = sehigga i... atau... persaaa ii bersaa persaaa oral eberika + persaaa liier dala + variabel.... Dega atura Craer didapatka

39 5 )... ( )... ( g g.4. Deret Maclauri Kasus khusus pada deret Talor adalah bila fugsi diperluas sekitar = aka dereta diaaka deret Maclauri ag juga erupaka deret Talor baku sebagai berikut :... 3! '''! ''! ' 3 t t t t (Purcell 4). Cotoh.4. Carilah deret Maclauri utuk si pada. Jika () = si aka kita pua () = cos () = -si () = -cos () = si da seterusa.

40 6 Jadi dari ruus deret Maclauri di atas = si = = = da seterusa. Sehigga diperoleh deret Maclauri aitu: Si = si os +.5. Fugsi Trasede Fugsi trasede atau fugsi o aljabar adalah fugsi ag tidak dapat diataka dala sejulah berhigga operasi aljabar. Fugsi trasede ag bisa dijupai dala hal ii terdiri dari fugsi ekspoesial fugsi logaritik fugsi trigooetrik fugsi sikloetrik da fugsi hiperbolik. Dala pebahasa selajuta aka diuraika satu persatu ulai dari defiisi ivers sapai itegral dari asig-asig fugsi trasede tersebut. a. Fugsi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah fugsi ag variabel bebasa ejadi pagkat dari suatu bilaga. Fugi ekspoe diataka dala betuk uua= f() = a dega a da a R. Sebagai ilustrasi fugsi f()= g()= da sebagaia.

41 7 b. Fugsi Logaritik Fugsi logaritik dega bilaga dasar a adalah ivers dari fugsi ekspoe dari bilaga dasar a. Fugsi ekspoe = g() a dega a iversa adalah fugsi logaritika = f() = log. g() = log da sebagaia. c. Fugsi Trigooetrik Fugsi trigooetrik atara lai eliputi fugsi-fugsi = si = cos = ta da sebagaia. Dega eataka besar suatu sudut (radia atau derajat) da eataka ilai fugsi. d. Fugsi Sikloetrik Fugsi sikloetrik adalah ivers dari fugsi trigooetrik. Seperti = arc si = arc cos = arc ta da sebagaia. e. Fugsi Hiperbolik Fugsi hiperbolik ada keiripa dega fugsi trigooetri. Atara lai eliputi = cosh = sih = tah da sebagaia. Fugsi hiperbolik didefiisika sebagai berikut : sih = cosh = e e e e (Purcell 4).

42 8 III. METODOLOGI PENELITIAN 3. Tepat da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala pada jurusa Mateatika Uiversitas Lapug ag diulai pada seester Geap tahu ajara 5/6. 3. Metode Peelitia Peelitia ii egguaka etode ag bersifat studi pustaka aitu dega epelajari egaalisis asalah dega defiisi-defiisi da defiisi tersebut ejadi acua berfikir utuk egeukaka teori ag sesuai dega asalah ag bersagkuta da keudia ebuat kesipula. Suber literatur ag diguaka aitu dari Perpustakaa Uiversitas Lapug da suber-suber lai ag berhubuga dega asalah dala peelitia ii. Adapu lagkah-lagkah ag dilakuka dala peelitia ii adalah sebagai berikut :. Mebawa asalah aproksiasi fugsi ke ruag Hilbert C[ab] dega cara terlebih dahulu eetuka produk skalar terhadap ruag Hilbert C[ab] ag sesuai utuk diguaka.

43 9. Meetuka basis-basis ag aka diguaka. 3. Mecari peelesaia optial (aproksiasi fugsi terbaik) dega persaaa oral. 4. Meetuka kesalaha optial dari pegabila basis ag berbeda-beda pada lagkah () da elakuka aalisis serta evaluasi terhadap galat da fugsi ag dihasilka. 5. Melakuka lagkah () s.d. (4) utuk kasus fugsi ag lai. 6. Melakuka perbadiga da selajuta egabil kesipula atas hasil pada lagkah (5).

44 V. KESIMPULAN Masalah optiisasi khususa aproksiasi fugsi terbaik ag tidak edapatka solusi terbaik dala ruag fisis atau ag dikeal sebagai ruag real dapat dipecahka dega siste ateatis ag sederhaa dega asalah aproksiasi tersebut ke ruag abstrak (berisi aksioa-aksioa) atau ruag vektor khususa pada ruag Hilbert C[ab]. Masalah tersebut dikeal sebagai asalah iiu or dala ruag Hilbert C[ab] dega studi kasus fugsi trasede. Dega egguaka kosep iiu or aka diperoleh kesalaha optial (galat) ag iiu. Dala peelesaia asalah iiu or dega egguaka ruag Hilbert C[ab] aka fugsi aproksiasi tidak tergatug pada peiliha basis asalka basis ag dipilih ebagu ruag Hilbert C[a b]. Jika dibadigka dega aproksiasi fugsi dega deret Maclauri aka etode Maclauri kurag teliti karea aproksiasi dega deret Maclauri tergatug dega baaka suku ag diabil.

45 DAFTAR PUSTAKA Aato Suharsoo da Waluo J.3. Peelesaia Masalah Miiu Nor dala Ruag Hilbert L [ab]. Jural Mateatika Aplikasi da Pebelajaraa (JMAP) Vol hal Atkiso K. Ad Ha W.. Theoretical Nuerical Aalsis : A Fuctioal Aalsis Fraework. Spriger Verlag New York. Berberia SK. 96. Itroductio to Hilbert Space Acadeic Press Ic. New York. Joko Waluo 3. Peelesaia Masalah Miiu Nor Dala Ruag Hilbert C[ab]. Skripsi Jurusa Mateatika FMIPA Uila. Krezig Erwi Itroductor Fuctioal Aalsis with Applicatios. New York : Joh Wille. Lueberger D.G Optiizatio b Vector Space Methods Joh Wile ad Sos New York. Muir Rialdi. 6. Metode Nuerik. Badug: Iforatika Badug. Purcell Edwi J. 4. Kalkulus. Jilid Dua. Jakarta: Erlagga.