Representasi Deret ke dalam Bentuk Integral Lipat Dua

Transkripsi

1 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : Represetasi Deret ke dala Betuk Itegral Lipat Dua Siti Julaeha, a) 2, b) da Arii Soesatyo Putri Jurusa Mateatika Fakultas Sais da Tekologi UIN SGD Badug 2 Jurusa Mateatika Fakultas Sais da Tekologi UIN SGD Badug a) eail: [email protected] b) eail: [email protected] Abstrak Represetasi suatu deret ke dala betuk lai erupaka salah satu kaia yag terdapat di dala ilu ateatika. Salah satu represetasi yag palig uu diguakdalah represetasi deret ke dala betuk itegral, yag eugkika deret tersebut (khususya deret tak terhigga) dapat ditetuka ilai atau ulahya. Bayak cara utuk erepresetasika deret ke dala betuk itegral, diataraya dega eafaatka ekspasi deret Maclauri, fugsi khusus itegral (fugsi gaa da beta), serta teorea-teorea yag telah ada sebeluya. Athoy Sofo [9] dala kaiaya telah eeuka betuk deret S(a, b,, k,, t), yag keudika dikai bagaiaa betuk itegral lipat dua dari deret tersebut di dala paper ii besertalisis kekovergeaya. Kata kuci: Deret Maclauri, Itegral Lipat Dua, Itegral Euler, Idetitas Kobiatorial. Pedahulua Masalah utaa dala kaia deret terutaa deret tak higgdalah utuk ecari status kovergesi da eetuka ilai atau ulah dari deret tersebut yag tidak dapat dikalkulasika dega cara biasa. Hal iilah yag eadi ladasa dilakukaya represetasi suatu deret. Salah satu represetasi yag diguaka ialah represetasi deret ke dala betuk itegral. Masalah ii sudah dikai dega baik dala kaiteatika diskrit da kalkulus. Di dala paper ii, kitka egkai betuk itegral dari deret S(a, b,, k,, t) = t ( + ) = (a++) k+ ( a+ b ) Da status kovergesiya. Kita egaalisis beberapa hasil yag telah dipublikasika oleh Athoy Sofo [9] da peulis laiya. Teori Defiisi.. [] Fugsi Gaa dikeal uga sebagai itegral Euler kedua, didefiisika oleh itegral tak waar Γ(p) = x p e x. Itegral tersebut koverge secara utlak utuk x. Atau dapat uga didefiisika sebagai fugsi faktorial Γ(p) = (p )!. 3

2 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : Defiisi.2. [] Fugsi Beta dikeal sebagai itegral Euler pertaa, didefiisika sebagai B(p, q) = x p ( x) q, utuk p > da q >. Hubuga fugsi gaa da fugsi beta didefiisika oleh B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) Defiisi.3. [3] Deret Maclauri erupaka deret Taylor dari suatu fugsi di tiitk yag didefiisika dega f() + f ()(x) + f ''( ) 2! x 2 + f '''( ) x ! Defiisi.. [6] Deret Hipergeoetri didefiisika oleh deret pagkat F q p (a, a 2,, a p ; b, b 2,, b q ; t) = (a ) (a 2 ) (a p ) t = (b ) (b 2 ) (b q )! Diaa (a) = a(a + )(a + 2)(a + 3) (a + ) erupaka sibol Pochhaer. Hasil da Diskusi Lea berikut ii erupaka represetasi itegral dari (k+a), yag aa betuk idetitas tersebut aka ebatu kita utuk eeuka represetasi itegral dari suatu deret tertetu. Lea.5. [9[ Misalka k + a, k, a R da, aka (k + a) = { ( )! y e y(k+a) dy, utuk, utuk = Bukti. Utuk, dega egguaka itegral parsial kita peroleh ( )! y e y(k+a) dy Utuk =, aka didapat = [ ( )! = ( )( 2)( 3) (2)() k+a e y(k+a) y 2 dy] [ e y(k+a) dy] = ( )!(k+a) (k+a) =. (k+a). Teorea selautyka ebahas egeai represetasi deret S(a,, k,, t), yag aa deret tersebut eadi ladasa utuk erepresetasika deret S(a, b,, k,, t) yag telah didefiisika sebeluya. Teorea.6. [9] Misalk erupaka bilaga bulat positif sebarag, t,, k, da, aka S(a,, k,, t) = t ( + ) = (a++) k+ ( a+ ) = { (k )! ( x) y k e y(+) ( tx a e ay ) ( x) ( tx a ) dy, utuk k, utuk k = ()

3 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : Bukti. Utuk k, t ( + ) = = (a++) k+ ( a+ ) t ( + )!(a)! =. (a++) k (a++)! Berdasarka defiisi fugsi gaa da beta, selautya kita peroleh t ( + )Γ(+)Γ(a+) = = = k B(a +, + ) = = (k )! (a++) k Γ(a++2) t ( ++ ) t ( + ) (a++) = y k e y(a++) dy x a ( x) t ( + ) = x a ( x) (a++) k Dega egguaka Lea.5 dsusi dapat egubah uruta peulaha dega itegral, aka (k )! ( x) y k e y(+) [ = = ( ++ )(te ya x a ) ] Selautya perhatika betuk deret ( + )(te ya x a ), dega egguaka fugsi pebagkit deret tersebut eiliki betuk tertutup ( te ya x a ). Dari persaaa (2) dapat dituliska eadi Utuk k =, (k )! ( x) y k e y(+) + + [ ( ) (te ya x a ) ] = (k )! ( x) y k e y(+) ( te ya x a ) t ( + ) S(a,,,, t) = = = (a++)( a+ ) = (2) dy. (3) t ( + )Γ(+)Γ(a+) = Γ(a++2) = t + ( ) x a ( x) = = ( x) + ( ) = ( tx a ) = ( x). t ( + ) Selautyka ditetuka iterval diaa deret S(a,, k,, t) = = koverge euu suatu ilai. Perhatika bahwa egguaka ui rasio utlak kita peroleh li u + u t+ + ( + ) (a+) (a+a+) t ( + = li t ( + ) (a+) (a++) k+ ( a+ ) t ( + ) (a++) k+ ( a+ t ( + ) ) (a+)( a = t( + ) ) (a+) t(a+)(+) (a+a+)(+) ) = li Sehigga deret = aka koverge utuk t <, egakibatka ugka koverge utuk t <. Dega terbuktiya Teorea.6, sehigga elahirkkibat sebagai berikut = t <. =. Dega t ( + ) (a++) k+ ( a+ ) 5

4 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : Akibat.7. [9] Misalka kodisi pada Teorea.6 terpeuhi, aka t ( + ) = (a++) k+ ( a+ = at ) k! Bukti. Berdasarka Teorea.6 t ( + ) = (a++) k+ ( a+ ) = = at k! = t ( + )Γ(+)aΓ(a) = (a++) k+ (a+)! ( x) x a y k e y(a++) ( tx a e ay ) + ( x) x a y k e y(a++) ( tx a e ay ) + t ( + )!(a)! = (a++) k+ (a+)! = a t ( + ) x a ( x) = (a++) k+ dy. dy, for k () Teorea.8. [9] Misalk da b bilaga bulat positif sebarag dia b,, k, t R da. Utuk tbb (a b) a b, aka: S(a, b,, k,, t) = t ( + ) = (a++) k+ ( a+ b ) (k )! ( x) y k e y(+) ( tx = { b ( x) a b e ay ) dy, for k ( x), for k = ( tx b ( x) a b ) (5) Bukti. Utuk k, t ( + ) = = = = (a++) k+ ( a+ b ) (k )! = ( x) y k e y(+) (k )! ( x) y k e y(+) dy. Utuk k = ( (tx b ( x) a b e ay ) S(a, b,,,, t) = = = t ( + )B(b+,(a b)++) (a++) k t ( + ) (a++)( a+ b ) + = ( ) (tx b ( x) a b e ay ) dy = t ( + )Γ(b+)Γ(a+ b+) Γ(a++2) = t + = ( ) B(b +, (a b) + + ) = ( x) ( + = = ( x) ( tx b ( x) a b ) ). (tx b ( x) a b ). Selautyka ditetuka iterval diaa deret S(a, b,, k,, t) koverge euu suatu ilai. Perhatika bahwa li u + u = li t ( + ) (a++) k+ ( a+ b ) t + ( + + ) (a+a+)( a+a b+b ) t ( + ) (a+)( a b (a+)( a b ) t ( + ) ), Dega egguaka ui rasio utlak, kita dapat 6

5 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : = li = t li t(+)!(b+b)!(a+a b b)!(a+)(a)!!( )! (a+a+)(+)!( )!(a+a)!(b)!(a b)!(+ )! (a+)!(b+b)!(a+a b b)! (a+a+)!(b)!(a b)! Sehigga deret t ( + ) t ( + ) (a+)( a b ) = t bb (a b) (a b) <. = aka koverge ketika t < = ugka koverge utuk t < (a++) k+ ( a+ b ) b b (a b) b b (a b) (a b). (a b), egakibatka deret Cotoh.9. Utuk kasus a = 2, b =, =, k =, = 5, kita peroleh betuk deret ( tx( x)) = +! t ( + ) S(2,,,,5, t) = = = (2+)( 2 ) (+) (tx( x)) + (tx( x)) ! Dega egitegrasika kedua ruas didapat ( tx( x)) = +! (tx( x)) Jika pegitegrala di ruas kaa diselesaikka ( tx( x)) = + 6 t + (+) 6 + (+) 2! t 2 + (+)(+2) t Lebih laut, degipulasi alabar aka didapat ( tx( x)) +5 ( ) = (2+)( 2 ) = + t ( 3 + (+) t 2 2 ) ( 3 + (+)(+2) t 3 2 )(3 2 +) 6 ( )(3 2 +)(3 2 +2) 6 ( tx( x)) 5 (tx( x)) = +. ( 3 2 ) (t ) + (+)(+) ( 3 2 )(3 2 +)2! ( t )2 + (+)(+2)(+)(+2) ( 3 2 )(3 2 +)(3 2 +2)3! ( t )3 + () () = ( t = ) = F 2 (, ; 3 ; t ) (Berdasarka Defiisi 2.) 2 = ( 3 2 )! ( x( x))5 = F 2 (, 5; 3 2 ; 6 ).2. Karea deret S (2,,,,5, ) epuyai represetasi dala betuk itegral, aka ulah dari deret tersebut uga dapat diiterpretasika sebagai luas di bawah kurva y = da x =. Adapu iterpretasi dari S (2,,,,5, ) = ( x( x))5 ( x( x))5 dega batas x = dala grafik adalah Gabar. Iterpretasi deret S(2,,,,5, ) dala bidag-xy 7

6 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : Kesipula Sipula dari kaia paper ii adalah sebagai berikut:. Kaia disii haya dikhususka utuk deret yag didefiisika sebagai berikut: S(a, b,, k,, t) = Deret tersebut eiliki betuk represetasi itegral t ( + ) = (a++) k+ ( a+ b ) t ( + ) = (a++) k+ ( a+ b ) (k )! ( x) y k e y(+) ( tx = { b ( x) a b e ay ) dy, utuk k. ( x), utuk k = ( tx b ( x) a b ) 2. Aalisis kekovergea betuk deret S(a, b,, k,, t) aka koverge pada selag t < b b (a b) (a b). Selautya berdasarka dari hasil studi kasus, ika disubstitusika ilai a = 2, b =, =, k =, = 5, da t =, yaki diperoleh deret S(2,,,,5, ) = ( ) ( + ) = (2+)( 2 ) Karea t = < 2 2 (2 ) (2 ) =, aka S(2,,,,5, ) erupaka deret yag koverge da dapat ditetuka ulahya yaitu +5 ( ) = (2+)( 2 ) = ( x( x))5 = F 2 (, 5; 3 2 ; 6 ).2. Ucapa Teria Kasih Peulis egucapka teriakasih kepada pihak-pihak yag edukug dala peulisa serta pegkaia paper ii, yaitu utuk. Staf pegaar di Jurusa Mateatika yag telah eyapaika iluya kepada peulis sebagai ladasa bagi paper yag dikai. 2. Kerabat dekat yag secara tidak lagsug turut berkotribusi, serta pihak-pihak yag tidak dapat peulis sebutka satu-satu. Referesi [] Arti. E. The Gaa Fuctio. Holt, Riehart, da Wisto, New York, 96. [2] Bartle. R.G, Sherbert. D.R. Itroductio to Real Aalysis: Third editio. Joh Wiley & Sos, USA, 2. [3] Edwi. J, Purcell. Kalkulus da Geoetri Aalitis: Edisi 5 Jilid 2. Erlagga, Jakarta, 998. [] Goddard. B, Rose. Keeth H. Eleetary Nuber Theory ad Its Applicatios, Pearso Addiso- Wesley, Bosto, 25. [5] Kerai. D, Sitaggag. C. Kaus Mateatika. Balai Pustaka, Jakarta, 23. 8

7 Jural Kubik, Volue 2 No. (27) ISSN : [6] Kohl. Kare T, H. Moll. Victor. Hypergeoetric Fuctio. Joural of Matheatical Scieces, 2: 3-5, Chile, 2. [7] Kratz. S.C. The Gad Beta Fuctio; Chapter. Vieweg, Brauschweig, Jera, 998. [8] Muir. Rialdi. Mateatika Diskrit. Iforatika, Badug, 25. [9] Sofo. A. Double Itegral Represetatio of Sus, Joural of Aalysis, Vol. 8, 29. [] Sofo, A. Geeral Properties Ivolvig Reciprocals of Bioial Coefficiets, Joural of Iteger Sequeces, Vol. 9, 26. [] Varberg. D, Purcell. Kalkulus: Edisi 9 Jilid. Erlagga, Jakarta, 2. 9