BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT)
BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga riil {a} dega a adalah suku ke-. Betuk peulisa dari barisa :. betuk eksplisit suku ke-. ditulis barisaya sejumlah berhigga suku awalya. 3. betuk rekursi a Cotoh: a = a, a,,,,... a 3 4 [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
3 KEKONVERGENAN BARISAN Defiisi: Barisa {a} dikataka koverge meuju L atau berlimit L da ditulis sebagai lim a L Jika utuk tiap bilaga positif, ada bilaga positif N sehigga utuk N a L Sebalikya, barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga L yag terhigga diamaka diverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
4 CATATAN Aka kita jumpai bayak persoala kovergesi barisa. Kita aka megguaka fakta berikut. Jika lim f ( x ) L, maka x lim f ( ) L Fakta ii memudahka karea kita dapat memakai kaidah I Hospital utuk soal peubah kotiu. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
5 SIFAT LIMIT BARISAN Sifat dari limit barisa, jika barisa {a} koverge ke L da barisa {b} koverge ke M, maka. lim a b lim a lim b L M. lim a.b lim a. lim b L.M a 3. lim b a L lim, utuk M 0 lim b M Barisa {a} dikataka a. Mooto aik bila a+ a b. Mooto turu bila a+ a [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
CONTOH Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii:. a Jawab: Ambil : f ( x ) x x Dalam hal ii, meurut kaidah I Hospital, x lim f (x ) lim x x x Jadi, lim artiya barisa a koverge meuju ½. 6-Mar-5 [MUGB3] KALKULUS II 6
. a CONTOH Jawab: x Ambil f ( x ) x Dalam hal ii, meurut kaidah I Hospital, l x x x lim lim exp.l exp lim x.l exp lim x x x x x x x x Jadi, x. exp lim x x x x x exp lim e e x x lim e artiya barisa a koverge meuju e. 6-Mar-5 [MUGB3] KALKULUS II 7
8 Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii: 4. a 3 7. 3. a 8. 3. 4. 5. 6. [MUGB3] KALKULUS II a a 9. 4 l( ) a a+ = + 0. a, a= LATIHAN 3 4,,,... 3 4 5 3 4 5,,,,... 3 5 7 9,,,... 3 3 4 4 3...,,, 3 4 5 5 4 3 6-Mar-5
9 DERET TAK HINGGA Betuk deret tak higga diotasika dega otasi sigma, sebagai berikut: a a a a3... a... dega a adalah suku ke-. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
0 BARISAN JUMLAH PARSIAL Misalka S meyataka jumlah parsial ke- suku deret a, maka S =a i i S = a + a... S = a + a + a3 + a4 + + a = a i i Barisa {S}, diamaka barisa jumlah parsial deret Dari jumlah parsial ii di dapat bahwa S S- = a. [MUGB3] KALKULUS II a i i 6-Mar-5
KEKONVERGENAN DERET TAK HINGGA Deret tak higga a koverge da mempuyai jumlah S i i jika barisa jumlah-jumlah parsialya {S} koverge ke S. Sebalikya, apabila {S} diverge maka deret diverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
DERET GEOMETRI Betuk umum deret geometri adalah ar = a +ar +a r +... + a r- +... dega a 0. Jumlah parsial deret ii adalah S = ar i i = a +ar +a r +... + a r- a r da dapat ditulis sebagai S =, r. r [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
3 SIFAT DERET GEOMETRI. Jika r < maka barisa {r} koverge ke 0 karea lim r = 0, maka deretya koverge ke a r. Jika r > maka barisa {r} diverge karea lim r =, maka deretya juga diverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
4.... 4 8 6 3 CONTOH [] (SELIDIKI KEKONVERGENANNYA) Jawab: Kalau kita perhatika S = S3 = =- 7 = 4 8 8 S = 4 = 3 4 = ( ) = ( )3 Sehigga kita peroleh jumlah parsial ke--ya da S = ( ) ) )= Jadi karea barisa jumlah-jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge. [MUGB3] KALKULUS II lim S = lim ( ( 6-Mar-5
5. CONTOH [] (Deret Kolaps) i i (i ) Jawab: Kalau kita perhatika = i(i ) i - i Dari sii kita peroleh bahwa jumlah parsial ke--ya S =... = Da 3 3 4 lim S = lim = Jadi karea barisa jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
6 3. (Deret Harmoik) i i CONTOH [3] Jawab: Dari sii kita dapatka S = + S = + + =+... 3 4 5 6 7 8... 3 4 5 6 7 8... 4 4 8 8 8 8... Sehigga aka kita dapatka limit utuk S utuk meuju tak higga hargaya adalah tak higga juga. Jadi deret harmoik di atas adalah deret diverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKU KE-N Apabila a koverge, maka ekivale lim a 0, lim a 0 maka deret diverge. Catata: Jika lim a 0, maka belum tetu a deret koverge (bisa koverge atau diverge) sehigga perlu pegujia deret positif. 6-Mar-5 [MUGB3] KALKULUS II 7
UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKU KE-N Cotoh: Buktika bahwa 3 Bukti : lim 3 3 4 = 3 4 3 4 3 lim Jadi terbukti bahwa 3 6-Mar-5 diverge. = [MUGB3] KALKULUS II 3 4 3 (Tidak Nol) diverge. 8
9 MASALAH BARU Dalam bayak kasus bahwa lim a = 0, tetapi dari sii kita sagat sulit meetuka apakah deret tersebut koverge atau diverge. Sebagai cotoh deret harmoik, = + Jelas bahwa... +... 3 4 5 6 7 8 lim a = 0, tetapi deret harmoik adalah deret yag diverge. Oleh karea itu, perlu dilakuka uji-uji utuk deret positif. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
UJI DERET POSITIF. Tes Itegral Misalka fugsi f kotiu mooto turu da f(x) > 0 pada selag [, ) a. Jika itegral tak wajar f ( ) f (x) dx koverge, maka deret koverge. b. Jika itegral tak wajar f ( x ) dx diverge, maka deret f () diverge. 6-Mar-5 [MUGB3] KALKULUS II 0
. Selidiki kekovergea dari e Jawab: Kita ambil xe x f (x) x e dx = lim b x, sehigga xe x b x = lim e b Jadi karea [MUGB3] KALKULUS II CONTOH xe x b x e d(x ) dx = lim b b = = lim e b e b e dx koverge, maka e juga koverge. 6-Mar-5
. Selidiki kekovergea dari CONTOH l Jawab: Kita ambil f ( x), sehigga x l x b dx dx lim lim x l x b x l x b b d (l x ) l x lim l l x lim l l b l l b Jadi karea [MUGB3] KALKULUS II b dx x l x diverge, maka juga diverge. l 6-Mar-5
3 LATIHAN Selidiki kekovergea deret berikut:. 3. 3. [MUGB3] KALKULUS II 4. l 5. 4 4 3 3 6-Mar-5
UJI DERET POSITIF. Uji Deret - P Deret-p atau deret hiperharmoik mempuyai betuk umum p i i Dega megguaka tes itegral, kita dapatka dx lim p t x t t x p t p dx lim lim p t x p t p Kalau kita perhatika, utuk. p = diperoleh deret harmoik, sehigga utuk p = deret diverge.. p > maka 6-Mar-5 lim t p t = 0, sehigga diperoleh deret yag koverge. [MUGB3] KALKULUS II 4
UJI DERET POSITIF 3. p < maka lim t p t =, sehigga diperoleh deret yag diverge. 4. p < 0, suku ke- deret i i P, yaitu, tidak meuju 0. P Jadi deret diverge meurut Uji Suku ke- Sehigga dapat kita simpulka utuk uji deret-p, yaitu:. Deret-p koverge apabila p >. Deret-p diverge apabila 0 p 6-Mar-5 [MUGB3] KALKULUS II 5
6 CONTOH Apakah deret berikut koverge atau diverge?., 00 Berdasarka uji deret-p, deret, 00 koverge karea p =,00 >. Berdasarka uji deret-p, deret [MUGB3] KALKULUS II diverge karea p = ½ < 6-Mar-5
UJI DERET POSITIF 3. Tes Perbadiga dega deret lai Adaika. Jika b a ` da b ` a a koverge ` diverge, maka b diverge ` ` 6-Mar-5 koverge, maka `. Jika deret positif, jika a b maka [MUGB3] KALKULUS II 7
8 CONTOH Selidiki Kekovergea deret berikut:. 3 5 Jawab: Aka kita badigka deret ii dega a =, da b 5 adalah deret harmoik da, sehigga karea deret diverge, maka 5 kita tahu bahwa [MUGB3] KALKULUS II 5 deret yag diverge. 6-Mar-5
9 CONTOH. 5 Jawab: Aka kita badigka deret ii dega b= kita tahu bahwa p = > da da a= 5 adalah deret hiperharmoik dega, Sehigga karea deret 5 deret yag koverge. koverge, maka 5 [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
30 LATIHAN Selidiki kekovergea deret berikut.. 3 3. [MUGB3] KALKULUS II 5 5 4. 3 5. 6-Mar-5
3 UJI DERET POSITIF 4. Tes Badig limit Adaika a da b deret positif da a. Jika 0 < L < maka ` da a =L b lim b sama-sama ` koverge atau diverge. Jika L = 0 da b ` [MUGB3] KALKULUS II koverge maka a koverge. ` 6-Mar-5
3 CONTOH Selidiki kekovergea dari deret berikut :. 3 3 5 7 Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b= sehigga a lim lim b 3 3 5 7 lim 3 = 3 5 7 3 Jadi karea L = da [MUGB3] KALKULUS II 3 koverge, maka deret 3 koverge. 5 7 6-Mar-5
33 CONTOH Selidiki kekovergea dari deret berikut :. 4 Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b= sehigga a lim = b lim 4 lim = = 4 diverge, maka deret Jadi karea L= da [MUGB3] KALKULUS II 4 diverge. 6-Mar-5
34 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret berikut:. 3. 3. [MUGB3] KALKULUS II 3 3 4 4. 5. l 3 6-Mar-5
35 UJI DERET POSITIF 5. Tes Hasil Bagi Diketahui ak merupaka suatu deret dega suku-suku yag positif. k a k k a k Misalka lim. Jika. Jika < maka deret ak k koverge > maka deret ak diverge k 3. Jika [MUGB3] KALKULUS II = maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 6-Mar-5
36 Selidiki kekovergea deret berikut: CONTOH 3.! Jawab: 3, maka suku ke-+ Misalka suku ke- adalah a =! 3 adalah a+= sehigga! a lim a 3 lim! 3! 3! 3 lim 0 lim 3! 3 Karea ilai limit r = 0 ( < ), maka deret koverge! [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
37 CONTOH 3. Jawab: 3 Misalka suku ke- adalah a =, maka suku ke-+ adalah a+= 3 sehigga a lim lim a 3 3 lim 3 3 lim 3 3 3 Karea ilai limit r = 3 (> ), maka deret diverge [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
38 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret berikut: 4. 5! 5. 3!.!.! 3. 4! [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
UJI DERET POSITIF 6. Tes Akar Diketahui ak merupaka suatu deret dega k suku-suku yag positif, misalka lim k ak a. Jika a< maka deret ak k k koverge. Jika a > maka deret a k diverge k 3. Jika a = maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 6-Mar-5 [MUGB3] KALKULUS II 39
40 CONTOH Selidiki kekovergea deret. Jawab: Misalka suku ke- adalah a = maka ilai limitya adalah lim a lim diverge Karea ilai limit r = (> ), maka deret [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
4. CONTOH Jawab: Misalka suku ke- adalah a = maka ilai limitya adalah lim a lim Karea ilai limit r = ½ (< ), maka deret koverge [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
4 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret berikut:. l. [MUGB3] KALKULUS II 3 3. 4. 3 6-Mar-5
43 DERET GANTI TANDA DAN KEKONVERGENAN MUTLAK Deret Gati Tada Deret ii mempuyai betuk sebagai berikut a a a a 3 a 4... dega a > 0, utuk semua. Cotoh petig adalah deret harmoik bergati tada, yaitu [MUGB3] KALKULUS II... 3 4 6-Mar-5
44 UJI DERET GANTI TANDA Adaika deret gati tada, deret tersebut dikataka koverge jika. a+< a. lim a 0 Cotoh Tetuka kekovergea deret gati tada berikut... 3 4....! 3! 4!. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
45 CONTOH. Jawab (uji gati tada), da a = Dari soal diatas kita puya a=, deret + tersebut koverge jika a a >a+ a. a b. 0 lim a lim Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
46 CONTOH. Jawab (uji gati tada), da a+ = Dari soal diatas kita puya a=!! deret tersebut koverge jika a. b. a a! ( )! a >a+ 0! lim a lim Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
47 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret gati tada berikut:. 3 3 3.. [MUGB3] KALKULUS II 4. 3 ( ) 6-Mar-5
48 KONVERGEN MUTLAK DAN KONVERGEN BERSYARAT Suatu deret dikataka koverge mutlak bila harga mutlak deret tersebut koverge. Atau dega kata lai : b dikataka koverge mutlak jika b Da dikataka koverge bersyarat jika tetapi b koverge. koverge. b diverge, [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
49 PENGUJIAN KEKONVERGENAN MUTLAK Misalka a dega a 0 da lim a r a Maka. Jika r <, maka deret koverge mutlak. Jika r >, maka deret diverge 3. Jika r =, maka tes gagal [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
50 CONTOH Selidiki deret berikut koverge bersyarat, koverge mutlak atau diverge.! Jawab: Dari soal diatas kita memiliki a, da a!! sehigga a! lim! r lim lim 0 lim! a! Meurut uji hasil bagi mutlak, deret ii koverge mutlak [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
5. CONTOH Jawab: Dega uji deret gati tada deret (buktika!!), sedagka a koverge adalah deret diverge (karea merupaka deret-p dega p= ½ < ) Jadi deret [MUGB3] KALKULUS II adalah koverge bersyarat. 6-Mar-5
5 LATIHAN Selidiki apakah deret tersebut koverge mutlak, koverge bersyarat atau diverge: 5.. ( ) 3 4. ( ) l 5. ( ) 3. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
53 DERET PANGKAT Deret pagkat secara umum ada dua betuk. Deret pagkat dalam x didefiisika a x 0 = a0 + a x + a x +.... Deret pagkat dalam (x b) didefiisika a 0 x b = a0 + a (x-b) + a (x-b) +... Utuk kali ii kita bicara selag kekovergea / utuk harga x berapa saja deret pagkat tersebut koverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
54 SELANG KEKONVERGENAN Selag kekovergea ditetuka dega uji hasil bagi mutlak sebagai berikut: Misalka a x b 0 a ( x b) da L lim a ( x b). Jika L <, maka deret koverge.. Jika L =, tidak dapat diambil kesimpula guaka uji deret sebelumya. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
55 SOAL Tetuka selag kekovergea deret. 0. x ( )! ( )! x 0 3. x ( ) 0 [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
56 JAWAB []. Kita aka guaka Uji Hasil Bagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. x x x ( ) x L lim : lim ( ) ( ) ( ) Jadi deret tersebut koverge mutlak apabila L<, yaitu < x < Kemudia aka kita cek utuk titik ujug itervalya, yaitu x = atau x = -. Pada x = deret ii adalah deret harmoik yag diverge. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
57 JAWAB [] Pada x = deret ii adalah deret harmoik bergati tada yag koverge. Sehigga selag kekovergeaya adalah x < [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
58 JAWAB [3]. Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. x x x L lim : lim 0!! Karea L = 0 <, maka deret selalu koverge utuk semua ilai x. Jadi selag kekovergeaya adalah (-,) [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
59 JAWAB [4] 3. Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak.! x L lim! x 0, jika x 0 lim x, jika x 0 Jadi deret tersebut koverge haya utuk x = 0. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
60 TEOREMA Himpua kekovergea deret pagkat a x berbetuk 0 selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut:. satu titik x = 0. selag (-c, c), mugki ditambah salah satu atau keduaya titik ujugya. 3. seluruh himpua bilaga riil [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
6 TEOREMA Himpua kekovergea deret pagkat a ( x b) 0 berbetuk selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut :. satu titik x = b. selag (b-c, c+b), mugki ditambah salah satu atau keduaya titik ujugya. 3. seluruh himpua bilaga riil [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
6 LATIHAN Tetuka selag kekovergea deret pagkat berikut:. ( x ) 0. x l.9 x l 3 3 3.7 4 3 x x 3. x...! [MUGB3] KALKULUS II x l 4 4.8... 3! 6-Mar-5
63 OPERASI DERET PANGKAT Dalam pasal sebelumya utuk x deret ax 0 ax a x Pertayaa yag mucul megeai sifat-sifat deret kuasa di atas (misal S(x)= ax ) misalka bagaimaa jika S(x) 0 didiferesialka da jika S(x) diitegralka. [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
64 TEOREMA Adaika S(x) adalah jumlah sebuah deret pagkat pada sebuah selag I, jadi S ( x) a x a0 a x a x a3 x3... 0 maka :. S '( x) 0 D a x d [a0 ax a x a3 x3...] a a x 3a3 x... a x. [MUGB3] KALKULUS II x 0 S (t ) dt 0 x 0 at dt a0 x a x a x3... 3 0 a x 6-Mar-5
65 CONTOH Sesuai teorema di atas, = + x + x + x3 +... utuk -< x < x Tetuka: a. x b. l( x) Jawab: a. Dega meuruka suku demi suku, kita peroleh 3 Dx Dx x x x... x x 3 x... x x, x [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
66 CONTOH b. l ( x) Sedagka dega megitegralka suku demi suku, kita peroleh juga x l( x ) x dt t t t 3... dt t 0 0 x 3 4 t t t t... x x x 3 x 4... 3 4 3 4 0 x, -< x < l( x ) [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
67 LATIHAN Tetuka (Petujuk : Lihat cotoh a da b di atas). f ( x). f ( x ) [MUGB3] KALKULUS II x x 3. x f ( x) x x x 4. f ( x) 5. f ( x ) ta x 6. x f ( x ) l x 7. f ( x) 3x x 6-Mar-5
DERET TAYLOR DAN DERET MACLURIN Deret Taylor Defiisi: Misalka f(x) dapat dituruka sampai kali pada x=b, maka f(x) dapat diperderetka mejadi deret kuasa dalam betuk f ( x) 0 f ( ) (b) f ''(b)( x b)... x b f (b) f '(b)( x b)!! deret di atas disebut Deret Taylor dega pusat x = b. Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Lauri, yaitu f ( x) 0 6-Mar-5 f ''(0) x f ( ) (0)... x f (0) f '(0) x!! [MUGB3] KALKULUS II 68
69 Perderetka fugsi berikut dega deret maclauri:. f(x)= si x Jawab: f(x) = si x f(0) = 0 f (x) = cos x f (0) = f (x) = - si x f (0) = 0 f (x) = - cos x f (0) = - f lv (x) = si x f lv(0) = 0 CONTOH Sehigga, x3 x5 x7 x f ( x) si x x... 3! 5! 7!! 0 [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
70. f(x)= CONTOH ex Jawab: f(x) = ex f(0) = f (x) = ex f (0) = f (x) = ex f (0) = f (x) = ex f (0) = f lv (x) = ex f lv(0) = Sehigga, x x3 x 4 x f ( x) e x...! 3! 4! 0! x [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5
7 CONTOH 3. Perderetka f(x)= ex dega deret taylor dega pusat di x= Jawab: f(x) = ex f() = e f (x) = ex f () = e f (x) = ex f () = e f (x) = ex f () = e f lv (x) = ex f lv() = e Sehigga, f ( x) e [MUGB3] KALKULUS II x x e e ( x ) e! 3 x e 3!... 0 x e! 6-Mar-5
7. Perderetka dega f(x) berikut deret maclauri a. f(x) = cos x e. f(x) = si x b. f(x) = cos x f. f(x) = sec x c. f(x) = cos x g. f(x) = ta x d. f(x) = ex + si x h. f(x) = sec x LATIHAN. Perderetka dega f(x) berikut deret taylor dega pusat x = a a. f(x) = cos x, a = /3 a. f(x) = ex, a = b. f(x) = si x, a = /3 [MUGB3] KALKULUS II 6-Mar-5