ARITATIKA ODUL PEBINAAN OLEH TI PEBINA OLIPIADE KOPUTER ILU KOPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEBINAAN BIDANG KOPUTER OSN 009) PEERINTAH DAERAH PROPINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEUDA DAN OLAHRAGA 009
DAFTAR ISI PENDAHULUAN... TEORI BILANGAN... DEVISIBILITAS (KETERBAGIAN)... BILANGAN PRIA... 6 FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR... 9 KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL... ARITATIKA ODULAR... DIGIT TERAKHIR... 5 DEFINISI REKURSIF... 8 DERET... 9 KOBINATORIKA... KONSEP DASAR PENCACAHAN... PRINSIP PENJULAHAN (RULE OF SU)... PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT)... PERUTASI DAN KOBINASI... 5 Permutasi... 6 Permutasi dari -obje yag terpilih... 6 Permutasi sebaya r dari obje... 7 Permutasi Kelilig (Circular Permutatio)... 7 Permutasi sebaya r dari obje dega pegembaliam obje yag terpilih.. 9 Permutasi sebaya r dari obye yag tida seluruhya dapat dibedaa... 9 Kombiasi... 0 Kombiasi sebaya r dari obje yag berbeda.... TEOREA BINOIAL DAN ULTINOIAL... 5 PIGEONHOLE PRINCIPLE/PERINSIP SARANG ERPATI... 0 PERINSIP INKLUSI DAN EKSLUSI... EBUAT ODEL ARITATIKA/ATEATIKA... 6 KONTEKS ASALAH... 8 BERPIKIR SECARA CERDAS... 9 LATIHAN SOAL ARITATIKA DAN KOBINATORIKA...50
PENDAHULUAN Secara umum materi uji tertulis terbagi atas tiga ompoe utama: materi uji aalitia da logia, materi uji aritmattia da materi uji algoritmia. ateri uji aalitia da logia bertujua utu meguji potesi aademis peserta amu sedapat mugi memilii relevasi yag tiggi dega problem solvig da eleme petig dalam meguasai pemrograma computer. ateri aritmatia sebearya sejala dega aalitia da logia di atas area soal aritmatia di OSN bidag Iformatia bua seedar meguji etrampila dalam hitug meghitug, tetapi lebih pada cara berpiir yag logis da aalitis amu dega soal bertemaa aritmatia. Sedaga materi algoritmia bertujua utu meguji emampua peserta dalam memahami da meyusu suatu algoritma. Aspe-aspe yag terait dega pegetahua da bahasa pemrograma diredusi semiimal mugi e tigat pseudocode. ateri Uji Aritmatia Terdapat eam aspe aalitis dalam persoala aritmatia yag umumya dijadia sebagai materi uji pada OSN bidag iformatia, yaitu:. emahami sifat-sifat bilaga (Teori Bilaga);. emahami formula reursif (Sifat Reursif);. eetua pola dari sebuah deret bilaga;. Esplorasi dalam masalah ombiatori; 5. ampu membetu model aritmatia/matematia serta melaua dedusi/ idusi model; 6. egaita dega otes masalah; 7. Berpiir secara cerdas.
TEORI BILANGAN DEVISIBILITAS (KETERBAGIAN) Utu bilaga a da b, a 0, ita ataa a membagi b jia b ac utu sebuah bilaga bulat c. Kita tujua dega megguaa otasi a b. Dapat juga diataa bahwa b terbagi oleh a. Beriut adalah sifat-sifat turua dari a b :. Jia a b, b 0, maa a b. If a b ad a c, maa a αbβc utu sembarag bilaga bulat α da β. Jia a b da a b ± c maa a c. a a (reflesif) 5. Jia a b da b c maa a c (trasitif) 6. Jia a b da b a maa a b Teorema: utu sembarag bilaga bulat positif a da b aa ada sebuah pasaga ui (q,r) bilaga bulat positif yag memeuhi b aq r, r < a Hal ii juga dieal dega Algoritma Pembagia. Algoritma Pembagia dapat diperluas utu bilag bulat laiya sebagai beriut: utu sembarag bilaga bulat a da b, a 0, aa terdapat pasaga ui (q,r) bilaga bulat sehigga b aq r, 0 r < a. Cotoh Soal : Butia 5 5 terbagi oleh 0! Solusi: 5 5 (-)(-) (-)()(-)() Lima produ persamaa diatas berturut-turut adalah:,,,,. jia {-, -, 0,, } ita dapat ataa bahwa 5 5 0 terpeuhi. aa utu ita bisa yataa: 5 5 (-)()(-)() ( 5! 5
( 0 5 Utu -, ambil -m, dimaa m aa diperoleh ( 5 5 0 m 5 jadi berdasara persamaa diatas dapat diataa bahwa 0 5 5. Cotoh Soal : temua semua bilaga bulat positif dimaa bilaga yag diperoleh dega meghilaga digit terahir tersebut adalah sebuah pembagi dari. Solusi: Ambil b sebagai digit terahir dari bilaga da ambil a sebagai bilaga yag diperoleh dari meghilag digit terahir. aa 0a b. Karea a adalah pembagi, maa ita bisa yataa bahwa a membagi b. Semua bilaga yag berahir dega 0 adalah solusiya. Utu b 0 maa a adalah satu digit da solusi yag mugi utu adalah bilaga-bilaga beriut:,,..., 9,,, 6, 8,, 6, 9,, 8, 55, 66, 77, 88 atau 99. Cotoh Soal : isala p > adalah bilaga gajil da adalah bilaga bulat positif. Butia bahwa p p p... ( p ) terbagi oleh p. Solusi: isala p da perhatia bahwa adalah bilaga gajil. aa d ( p d) p[ d d ( p d)... ( p d) ]. Dega mejumlaha persamaa-persamaa tersebut dari d sampai d p, ita bisa meghasila persamaa p p p... ( p ) pada ruas iri, yag teryata terbuti bisa dibagi p (terlihat pada ruas aa). Cotoh Soal : Temua semua bilaga bulat positif yag utu semua bilaga bulat gajil a, jia a maa a Solusi: isala a adalah bilaga gajil terbesar sehigga a < amu ( a ). Jia a 7, maa a, a, a adalah bilaga gajil yag bisa membagi. Perhatia bahwa pasaga maapu dari dua bilaga tersebut adalah relatif prima, jadi (a )(a )a bisa membagi. Ii meyataa bahwa (a )(a )a (a ) sehigga 5
a 6a 8a a a. aa a 7a a 0 atau a ( a 7) ( a ) 0, solusiya adalah a, atau 5. Jia a, maa sehigga {,,...,8} Jia a, maa da. sehigga {9,,5,8,,} 5 Jia a 5, maa da..5 sehigga {0,5} 5 7. Karea itu {,,,,5,6,7,89,,5,8,,,0,5} SOAL LATIHAN:. Tujua bahwa utu sembarag bilaga atural, diatara da () bisa ditemua tiga bilaga atural berbeda a, b da c sehigga a b bisa terbagi oleh c.. Temua semua bilaga bulat positif sehigga 5 5 bisa membagi BILANGAN PRIA Bilaga bulat p > diataa prima jia tida ada bilaga bulat lai d > yag memeuhi d p. Sembarag bilaga bulat > mempuya setidaya satu pembagi prima. Jia adalah bilaga prima maa pembagi primaya adalah itu sediri. Jia bua bilaga prima, misala a > sebagai pembagi terecilya. Selajutya a.b, dimaa < a b. Jia a bua bilaga prima maa aa ada a da a sehigga a a.a dega < a a <a da a, ii merupaa otradisi dari miimalitas a. Bilaga bulat > yag bua merupaa bilaga prima disebut bilaga omposit. Jia adalah omposit maa memilii sebuah pembagi prima yag tida melebihi. Sesugguhya seperti yag telah ditujua diatas, a.b, dimaa < a b da a adalah pembagi terecil dari. aa > a sehigga a. Teorema : (Euclid) Ada jumlah ta terbatas bilaga-bilaga prima.
Buti: Asumsia dega otradisi bahwa haya ada jumlah terbatas dari bilaga prima: p < p <... < pm. isala sebuah bilaga P p p... pm. Jia P adalah bilaga prima maa P > pm, ii merupaa otradisi terhadap masimalitas dari p m. Di lai piha, jia P adalah omposit maa dia aa memilii pembagi prima p > yag merupaa salah satu dari, p pm, ita misala p,..., p p p... p m sedaga area p salah satu dari p... ii megarah e p. Ii merupaa otradisi. p p p m p. Ii diiuti dega, p pm, berarti p,..., Perhatia: Bilaga prima terbesar yag dietahui adalah 58657. Bilaga itu ditemua pada 006 da memilii 980858 digit. Hasil fudametal dari aritmatia meghadapi tataga terbesarya, fatorisasi dari bilaga bulat. Teorema : (Teorema fatorisasi prima) Setiap bilaga bulat > mempuyai sebuah represetasi ui sebagai produ dari bilaga-bilaga prima. Buti: Keberadaa presetasi tersebut dapat diperoleh dari cara beriut: isala p adalah pembagi prima (fator) dari. Jia p, maa p adalah fatorisasi prima dari. Jia p <, maa p r dimaa r >. Jia r prima maa p p dimaa p r, ii adalah fotorisasi yag diigi dari (sesuai dega teorema). Jia r adalah omposit maa r pr dimaa p prima, r > sehigga p pr. Jia r prima maa p p p dimaa r p, da ita selesai. Jia r adalah omposit, maa ita lajuta algoritma ii sehigga memperoleh deret bilaga r > r >.... Setelah lagah yag terhigga, ita aa memperoleh r sehigga p p... p. Utu euiaya, mari ita asumsia ada setidaya satu bilaga bulat positif sehigga p p... p qq... q dimaa p, p,..., h p, q, q,..., q h adalah bilaga-bilaga prima. Terlihat jelas bahwa da h. isala adalah bilaga miimal yag memeuhi syarat tersebut. Kita meyataa bahwa p q utu i j setiap i,,,, j,,, h. Jia, sebagai cotoh, p q p, maa h ' / p p p q Lqh L da < <, merupaa otradisi dari 7
miimalitas. Asumsia bahwa p adalah fator prima terecil dari dalam represetasi diatas. Dega meerapa Algoritma Pembagia sebagai beriut: q pc r q pc r K q p c r h h h Dimaa p, i, K, h. Kita aa peroleh r i q q K q p c r )( p c r ) K( p c r ) h ( h h Dega memperluas persamaa ii ita aa memperoleh Ap r r Kr. h Dega megetahui bahwa ' r r Kr ita peroleh p p K p Ap '. Dari h sii ita dapat etahui bahwa bilaga prima. p ' da ' p s s Ksi, dimaa s, s, K, si adalah Dari sudut lai, megguaa fatorisasi dari r, r, K, r edalam betu prima, semua fator dari r i < p. Dari ' r r Krh diiuti sudah difatora edalam h betu ' t t Kt j dimaa t s < p, s,,..., j. Fatorisasi ii berbeda dari betu ' p s s K. Namu <, ii merupaa otradisi dari miimalitas. s i Dari teorema ditas dapat diturua bahwa utu setiap bilaga bulat > bisa ditulisa secara ui dalam betu p α K α p Dimaa p, p,..., p adalah bilaga-bilaga prima ui da α, α,, α K adalah bilaga bulat positif. Represetasi ii disebut fatorisasi aoial (caoical factorizatio) dari. Cotoh Soal : Butia bahwa utu sembarag bilaga bulat > bilaga 5 bua bilaga prima.
5 5 Solusi: Kita peroleh ( ) ( ) ( ) ( )( ), 5 hasil peralia dari dua bilaga bulat diatas. Oleh area itu bua bilaga prima. Cotoh Soal : Carilah semua bilaga prima a, b, c sehigga ab bc ac > abc. Solusi: isala a b c. Jia a maa ab bc ac > bc, sebuah otradisi. Karea a adalah bilaga prima, maa ii megaraha e a. Pertidasamaaya aa mejadi b c bc > bc, sehigga: > c b jia b 5, maa c 5 da b 5, yaitu: < < b c 5 5 5, ii salah. Jadi solusiya ada utu. b da c bisa sembarag bilag prima. b da c atau 5. CONTOH SOAL:. Diberia p, q da r bilaga prima da diberia sebuah bilaga bulat positif sehigga p q r Butia bahwa.. Butia pertidasamaa Bose p K utu, dimaa p p > p p, p,k adalah deret meai dari bilaga-bilaga prima. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR Utu sebuah bilaga bulat positif ita yataa semua pembagi positifya. Jelas bahwa D sebagai himpua dari D adalah himpua terhigga. Utu bilaga 9
bulat positif m da, eleme masimal dari himpua D D disebut fator m perseutua terbesar (greatest commo divisor) dari m da, ita megguaa otasi fpb(m,). Pada asus dimaa yataa m da adalah relatif prima. D D {}, ita megataa bahwa fpb(m,) da ita m Hal beriut bisa diturua secara lagsug dari defiisi di atas:. Jia d fpb(m,), m dm, d maa fpb(m, ). Jia d fpb(m,), m d m, d maa fpb(m, ) maa d d. Jia d adalah fator perseutua dari m da maa d bisa membagi fpb(m,). Jia m α p α K, p β p β K, p α, β 0, α β, i,, K, maa i i i i, fpb( m, ) mi( α, β ) mi( α, β ) p K p. 5. Jia m q r maa fpb(m,) fpb(,r) ari ita butia poi 5. isala d fpb(m,) da d fpb(,r). Karea d m da d diiuti d r. Karea d d. Kebaliaya dari d da d r diiuti oleh d m, jadi d d. Oleh area itu d d. Sebuah algoritma yag bergua utu meemua fator perseutua terbesar dari dua bilaga bulat positif adalah Algoritma Euclidea. Ii berisi peerapa berulag dari Algoritma Pembagia: m q r, r < r, r < r... q r
r q r, r < r r r r q r, r 0 Ratai persamaa ii adalah terhigga area > r > r > K > r. Sisa bagi yag tida ol, r, adalah fator perseutua terbesar dari m da. Sebearya dega megguaa atura 5) diatas ita dapata fpb, r ) r ( m, ) fpb(, r ) fpb( r, r ) K fpb( r Proposisi : Utu bilaga bulat positif m da, terdapat bilaga bulat a da b sehigga am b fpb(m,). Buti: Dari Algoritma Euclidia bisa diperoleh r m q, r mq ( qq ),K Secara umum ri mα i β i, i, K,. Karea r i ri ri qi, sehigga α i β i α β i i q q i i i,..., -. Ahirya, ita medapata bahwa α β i i fpb( m, ) r α m β. Kita bisa medefiia fator perseutua terbesar dari beberapa bilaga bulat positif m,, m, K ms dega memperhatia: d fpb( m, m ), d fpb( d, m ), K, d s fpb( d s, m ) s Bilaga bulat d d s disebut fator perseutua terbesar dari m, m, K, ms da diotasia sebagai fpb m, m K, m ) (, s Cotoh Soal : Temua fator perseutua terecil dari bilaga-bilaga yag memeuhi 6 6 A 5.dimaa 0,,..., 999. Solusi: Kita dapata A 9 5 5 5. 7 0 egguaa ogrue mod 5 ita peroleh 6 A ( ) (mod 5). Utu, A 9 0(mod 5), area itu bua fator perseutua.
Sebaliya, A 8 9.9 5.5...8.6.. 0(mod 7) Oleh sebab 7 dapat membagi A, utu semua bilaga bulat 0. Aibatya, fator perseutua terbesar dari bilaga A o, A, K, A999 adalah 7. Cotoh Soal : Temua semua tripel bilaga bulat positif (a, b, c) sehigga a b c bisa dibagi a b b c c a Solusi: Biara g sebagai fator perseutua terbesar dari a da b. aa g bisa membagi a b jadi g bisa membagi a b c da g bisa membagi c. Dega ii, fpb dari setiap pasaga (dua bilaga) dari a, b, c adalah fpb utu etigaya. Biara (l,m,) (a/g, b/g, c/g). aa (l, m, ) adalah tripel yag memeuhi odisi permasalaha, da l, m, merupaa pasaga-pasaga relatif prima. Karea l, da semuaya bisa membagi l m, searag ita mempuyai m l m l m Asumsia tapa ehilaga arti umumya bahwa l m. Kita aa mempuyai da area itu, m l m / l m l l. Karea l ( m ), ita juga mempuyai m / 9 l m m Jia maa m.9 / < yag berlawaa dega asumsi bahwa m. Oleh sebab itu, haruslah. Da tida sulit utu dilihat bahwa (,, ) adalah solusi ui dari permasalaha ii dega m.
Jia m maa l > m area l da m relatif prima, jadi da l > m /, sehigga m l m < l, m < l m, da m. Tidalah sulit utu melihat bahwa satu-satuya solusi adalah (,, ). KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL Berlawaa dega himpua sebelumya, D yag sudah ita pelajari di sub bahasa adalah himpua terhigga bilaga bulat. Utu bilaga bulat positif s da t, eleme terecil dari himpua dari s da t da diotasia sebagai p(s,t). Beriut adalah turua lagsug dari defiisi tersebut:. Jia m p(s,t), m ss tt, maa fpb(s,t ). disebut elipata perseutua terecil s. Jia m adalah elipata perseutua dari s da t da m ss tt, fpb(s,t ), maa m m. Jia m adalah elipata perseutua dari s da t maa m m. t. Jia s p pα p α K p da,...,, maa t p pβ p β K p, α i, β i 0, α i β i, i p max( β ) max( α β ) ( s, t) p α K p Hal beriut meujua hubuga atara fpb dega p. 5. Utu setiap bilaga bulat positif m da aa memeuhi hubuga beriut: m fpb( m, ). p( m, )
ARITATIKA ODULAR Utu bilaga bulat a, b da, dimaa 0. Kita ataa a da b adalah modulo ogrue jia a-b. Kita otasia dega a b (mod ). Relasi pada himpua Z bilaga bulat disebut relasi ogrue. Jia m tida bisa membagi a b, maa ita ataa bilaga bulat a da b bua modulo ogrue. Beriut peryataa yag bisa diturua dari hal ii:. a a (mod ) (refletif). jia a b (mod ) da b c (mod ), maa a c (mod ) (trasitif). jia a b (mod ) maa b a (mod ). Jia a b (mod ) da c d (mod ) maa ac bd (mod ) da a c b d (mod ) 5. Jia a b (mod ) maa utu sembarag bilaga bulat, a b (mod ) 6. Jia a b (mod ) da c d (mod ) maa ac bd (mod ) Teorema : Utu a, b, bilaga bulat, 0 sehigga a q r, b q r, 0 r, r s. aa a b(mod ) jia da haya jia r r. Buti: Karea a b q q ) ( r ), ii meghasila a-b jia da haya ( r jia r r. Dega memperhatia bahwa r r <, ita aa peroleh r r jia da haya jia r r. Cotoh Soal: Temua sebuah bilaga bulat dega 00 997 sehigga membagi Solusi: Perhatia bahwa mebagi utu semua. Selai itu juga membagi jia da haya jia 6 (mod 0), da membagi jia da haya jia 8 (mod ). Karea.. 96 memeuhi semua ogrueitas tersebut, maa membagi
DIGIT TERAKHIR isala a a -...a 0 adalah represetasi desimal dari bilaga bulat positif N. Digit terahir N adalah l(n) a 0 da utu, digit terahir adalah l (N) a -... a 0. Kosep sederhaa ii mucul dalam berbagai situasi. Sagat bergua megetahui digit terahir dari, dimaa utu,,..., 9: Da jelas bahwa jia l(n)0 maa l (N ) 0...0 (0 sebaya ) da jia l(n) maa l(n ) utu semua. Cotoh Soal : Apaah digit terahir dari (... (((7 7 ) 7 ) 7 )... 7 )? Ada 00 buah 7 dalam formula tersebut. Solusi: Digit terahir dari bilaga desimal adalah sisa modulo 0. Searag 7 9 - (mod 0). Sehigga 7 7 (7 ).7-7 (mod 0) da (7 7 ) 7 (-7) 7 -(7 7 ) -(-7) 7 (mod 0) elajuta proses tersebut ita aa melihat bahwa ((7 7 ) 7 ) 7 ) 7 (mod 0) da secara umum ( (((7 7 ) 7 ) 7 ). 7 ) ± 7 (mod 0), dimaa tadaya jia jumlah emucula 7 adalah gajil da jia emucula 7 adalah geap. Jadi utu pertayaa diatas jawabaya adalah 7 Cotoh Soal : Berapa digit terahir dari 00? 5
Solusi: Dega megubah,, dst, perhituga meghasila deret,,, 8, 6,, 6, 8, 56, 5, 0, 08, 096, dst. Amati aga terahir dari setiap bilaga, ita medapata perulaga dari 6 8 pada mod 0,,,. Jadi jia 00, diperoleh 00 mod, yaitu memilii digit terahir 8. Cotoh Soal : Ketiga digit awal dari hasil peralia 00 x 5005 jia dijumlaha adalah? Solusi: Ii juga tida mugi dihitug maual. Perhatia bilaga dasarya da 5 yag jia dialia mejadi 0. Karea setiap pasag fator da 5 meghasila 0 berarti haya meambah 0 di digit teraa. Ada 00 pasag fatorfator tersebutg sehigga 00 x 5005 5 x 000 5 000. Pejumlaha tiga digit awal 58 Cotoh Soal : Hituglah (80! x 8!) /(77! x 0!). Solusi: egguaa sifat sbb utu a da b bulat positif, a > b, maa a!/b! a.(a ).(a ) (b ). aa (80! x 8!) /(77! x 0!) (80!/77!) / (0!/8!) (80x79x78) / (0x9) (80/0) x (78/9) x 79 x x 79 6 yag dapat dihitug tapa alulator. Cotoh Soal 5: Jia da p adalah dua bilaga bulat, da p berharga gajil, maaah dari beriut ii bil gajil? (A) p (B) p (C) p (D) p 5
(E) (p )( p) Solusi : A bua, area (p) adalah gajil maa dari da p salah satu gajil da yag lai geap. Selisih atara da p pasti gajil sehigga jia ditambah mejadi geap. B bua area peralia atara suatu bilaga geap dega bilaga apapu aa mejadi geap. C bua area pagat bulat positif berapapu dari bilaga geap, tetap geap, da gajil tetap gajil, emudia gajil ditambah geap da diurag gajil mejadi geap. D bua area pagat bulat positif berapapu dari bilaga gajil tetap bilaga gajil, da jumlah dua bilaga gajil mejadi geap. E bear, area peralia atara dua bilaga gajil meghasila bilaga gajil. 7
DEFINISI REKURSIF Defiisi reursif adalah bagaima membagu sesuatu dari versi sederhaa dari hal yag sama. Defiisi reursif mempuyai dua bagia :. Kasus basis (base case) yag tida tergatug dega apapu. Kasus Kombiasi yag bergatug pada asus yag lebih sederhaa. Sebagai cotoh ita ambil defiisi reursif dari fatorial:, x 0 fac ( x) x. fac( x ), x > 0 Kasus basis dari cotoh diatas adalah fac(x) utu x0 da asus ombiasiya adalah f(x) x.fac(x-) utu x >0 Cotoh lai adalah deret Fiboacci, yag telah disiggug di bab sebelumya. isala ita memilii fugsi fib() yag megembalia bilaga fiboacci e-. aa dega cara reursif dapat ita defiisia bahwa: 0, 0 fib ( ), fib( ) fib( ), > Utu fugsi diatas asus basisya ada dua yaitu fib() 0 utu 0, da fib() utu. Sedaga asus ombiasiya adalah fib() fib(-) fib(-), >. Cara tradisioal utu medefiisia fugsi Fiboacci adalah dega megguaa da sudah diaggap sebagai defiisi iformal dari fugsi Fiboacci. Cotoh Soal : Jia didefiisia f().f(-) utu setiap > 0 da f(0) maa berapaah f(0)/(f(7).f(6))?
Solusi: Fugsi ii adalah fugsi fatorial yag defiisia secara reursif. Yaitu sama dega cotoh diatas (fugsi fac). Jadi f(0) 0!, f(7) 7! Da f(6) 6! Sehigga, 0!/7! (0.9.8.7.6.5...)/(7.6.5...) 0.9.8 da (0.9.8) /(6.5...) Cotoh Soal : Jia suatu fugsi didefiisia f(x, y) x -y utu x da y dua bilaga real. aa f(, f(, )) adalah? Solusi: f(x, y) x -y maa f(, f(,) f(,.-.) f(, -7). (-7)(-7) 9-9 -0 SOAL LATIHAN:, Jia f ( ) f ( / ), geap utu bilaga bulat positif > 0. Berapaah f ( ), gajil, > f(008)? 9
DERET Ada dua macam deret yag serig mejadi topi, yaitu deret aritmatia da deret geometri. Kedua deret ii berbeda dalam hal defiisi suu beriutya terhadap suu sebelumya. Deret aritmatia adalah deret bilaga yag selisih suu-suu bersebelaha selalu tetap. Cotohya deret bilaga bulat:..., -, -, -, 0,,,,... isala U melambaga suu e dari deret aritmatia, maa U-U- b atau beda atar suuya. Suu pertama dari deret ii U ita misala a. aa aa berlau hal beriut: U a (-)b isala S adalah jumlah suu pertama, UUU... U, berlau S ( a U) dega ata lai S ( a ( ) b) Pembutia utu formula S ii sudah ita laua pada bab sebelumya. Selajutya ita aa membahas megeai deret geometri. Deret geometri adalah deret bilaga dimaa hasil bagi suu-suu bersebelaha selalu tetap. Cotoh deret geometri adalah sebagai beriut:,,, 8,... U/U- selalu meghasila, hal ii ita sebut sebagai rasio r. aa aa berlau U ar-, da S a( r ) r
Cotoh Soal :. Diberia dua deret bilaga R:,,,, 5, 6 S:, 5, 8,,, 7 Tujua persamaa yag meujua hubuga atara R da S? Solusi: Kita dapat lihat deret tersebut adalah deret aritmatia. ari ita lihat masig-masig deret mulai dari deret R. a r da b r, maa U r a r (-)b r (-).. Sedaga utu deret S. a s da b s, maa U s a s (-)b s (-) -. aa ita dapat lihat bahwa hubuga atara edua deret itu adalah S R -
KOBINATORIKA Kombiatorial adalah cabag matematia utu meghitug jumlah peyusua obje-obje tapa harus megeumerasi semua emugia susuaya. Kombiatorial merupaa bahasa yag petig dalam matematia disrit. Blaise Pascal (6-66) adalah seorag bagsawa Peracis yag membatia seluruh hidupya utu matematia, baha bisa disebut matematiawa terbai pada jamaya. Pada usia 7 tahu ia sudah meulis essai tetag erucut. Belum sampai usia 0 tahu ia mejadi salah seorag yag pertama meemua perhitugadalam meaia. Ia meiggal di usia 9 tahu, tetapi sebelumya telah beerja sama dega Pierre de Fermat meletaa dasar-dasar probabilitas. Dari osep-osep ombiatori Pasal meyusu segitiga Pascal yag diguaa utu meghitug bayaya cara memilih r usur dari usur yag ada. Selai itu, Pascal juga tertari pada probabilitas dari ejadia-ejadia yag jarag mucul. ejelag ahir hidupya ia berharap dapat mecari tahu probabilitas dari ejadia-ejadia semacam ii. Searag ita megguaa probabilitas yag Pascal embaga utu mempelajari eajaiba-eajaiba yag jarag mucul dari berbagai macam ejadia, seperti ecelaaa, erusaa mesi, da erusaa aibat cuaca buru. esipu sebagai mausia ita tida tahu pasti apa yag aa terjadi ati amu ahli-ahli statistia dapat megestimasi emugia dari ejadia-ejadia tertetu yag aa terjadi megguaa probabilitas (teori peluag/emugia). Baya dari para ahli matematia yag pertama ali megembaga teori probabilitas sebearya adalah orag-orag yag meyuai judi. erea berharap bahwa pemahama megeai probabilitas dapat meigata peluag merea utu memeaga permaia yag merea laua. Girolamo Cardao, salah seorag pejudi yag juga merupaa seorag professor dalam bidag matematia, meghitug probabilitas dari pelempara dadu tertetu da probabilitas dari pearia artu As dari seota artu. Ia memperlihata hasil erjaya dalam buuya yag berjudul Ludo Aelae (Boo of Games of Chace). Dalam buu ii, ia tida haya membicaraa emugia utu memeaga permaia saja tetapi juga meyaraa cara-cara yag meari utu bermai curag. isalya ia mejelasa bagaimaa caraya utu meigata peluag pearia artu tertetu dari sebuah ota artu dega cara meggosoya dega sabu. Baya aspe dalam ehidupa ita
didasara epada peluag yag mugi terjadi diluar jagaua ita. atematia dapat diguaa utu mempredisi peluag yag mugi dari ejadia-ejadia tersebut. ugi juga ahli-ahli eoomi megguaa statistia utu membatu merea mempredisia perubaha-perubaha dalam pasar-pasar uag atau bursa saham, yag dapat meyebaba peroleha ataupu ehilaga uag dalam jumlah yag sagat besar. Iilah yag meyebaba osep ombiatoria petig dalam pealara matematia. KONSEP DASAR PENCACAHAN Dalam ehidupa sehari-hari ita serig dihadapa dega masalah peghituga. isalya ada berapa cara yag dapat dilaua pada saat memasua sebuah elereg e dalam sebuah atug, begitu pula apabila memasua beberapa elereg e dalam beberapa atug, berapa cara memilih wail dari bebarapa elompo mahasiswa da masih baya lagi asus yag lai. Salah satu prisip dasar yag medasari perembaga probabilitas terutama yag terait dega masalah peghituga adalah osep dasar pecacaha. Ada dua perisip dasar pada osep dasar pecacaha yaitu prisip pejumlaha da prisip peralia PRINSIP PENJULAHAN (RULE OF SU) Apabila ita mempuyai dua buah himpua yag tida memilii usur bersama, maa jumlah aggota dari dua himpua ii adalah jumlah dari baya aggota dari masig-masig himpua. Defiisi 5.. Jia ada sebaya m cara utu memilih beda jeis A da ada cara utu memilih beda jeis B, maa total ada sebaya m cara utu memilih beda jeis A atau beda jeis B dega A B φ. Perisip ii disebut sebagai Perisip Pejumlaha. Secara umum apabila dalam suatu pelasaaa tugas diperoleh hal beriut: - Jia tugas I dilasaaa dega m cara - Jia tugas II dilasaaa dega m cara - Jia tugas e dilasaaa dega m cara
Dega syarat tugas yag diberia harus disjoit (salig asig), maa seluruh tugas dapat dilasaaa dega m m... m. Cotoh 5.. isala ada tujuh uliah yag berbeda yag ditawara di pagi hari da lima uliah yag berbeda yag ditawara di siag hari. aa ada sebaya 7 5 piliha bagi mahasiswa yag aa megambil haya satu uliah saja. PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT) Apabila dalam suatu prosedur (uruta pegerjaa) yag dapat dilaua dalam dua lagah yag salig lepas (tida bergatug). Jia lagah pertama ada sebaya m cara da lagah edua dapat dilaua dega cara maa prosedur tersebut dapat dilaua dega m cara. Defiisi 5.. Jia ada m cara utu memilih beda jeis A da utu setiap piliha tersebut ada cara utu memilih beda jeis B, maa total ada sebaya beda jeis A da satu jeis beda B. Perisip ii disebut Perisip Peralia. m cara utu memilih satu Secara umum apabila diberia suatu lagah yag terdiri dari beberapa tugas misala saja sampai sebaya tugas dega etetua beriut: - Jia tugas I dilasaaa dega m cara - Jia tugas II dilasaaa dega m cara - Jia tugas e dilasaaa dega m cara Dega pelasaaa yag salig lepas atara tugas satu da tugas yag lai, maa pasaga tugas dalam suatu lagah dapat dilasaaa dega m m... m cara. Cotoh 5.. Sebuah warug meyediaa meu yag terdiri dari jeis maaa (sate, soto, asi campur, da baso) da jeis miuma (Es Jeru, Es Teh, da Es Dega). Bayaya
macam hidaga (terdiri dari maaa da miuma) yag dapat disusu adalah sebagai beriut: Lagah pertama, ita memilih maaa yag bisa di laua dalam cara Lagah edua, ita memilih miuma yag bisa dilaua dalam cara, Sehigga bayaya macam hiadaga adalah sebaya cara. PERUTASI DAN KOBINASI Secara garis besar persoala pecacaha dapat dielompoa sebagai beriut: a. Pecacaha pola terurut dari beberapa beda, dalam hal ii susua (uruta) dari beda tersebut sagat diperhatia, jadi ab ba. b. Pecacaha pola yag ta terurut dari beberapa beda, dalam hal ii susua (uruta) dari beda tersebut tida diperhatia, jadi ab ba. Berdasara cara pegambila, elompo ii terbagi lagi e dalam dua bagia yaitu: - Pegambila dega pemgembalia/pegulaga. - Pegambila tapa pegembalia/tapa pegulaga Dalam ehidupa sehari-hari ita serig meghadapi masalah pegatura suatu obye yag terdiri dari beberapa usur, bai yag disusu dega mempertimbaga uruta sesuai posisi yag diigia maupu yag tida. isalya meyusu epaitiaa terdiri dari etua, seretaris da bedahara dimaa uruta utu posisi tersebut dipertimbaga atau memilih beberapa orag utu mewaili seelompo orag dalam megiuti suatu egiata yag uruta tida diperhatia. Dalam matematia, peyusua obye yag terdiri dari beberapa usur dega mempertimbaga uruta disebut Permutasi, sedaga yag tida memperhatia uruta disebut Kombiasi. 5
PERUTASI Dalam berapa cara tiga buah buu A, B, C yag berbeda dapat disusu secara teratur di atas sebuah meja? Cara yag palig sederhaa utu mejawab pertayaa ii adalah dega mecatat semua susua yag mugi dapat dibuat dega batua metode ruag. Persoala yag dihadapi sebetulya sama saja dega megisia ruag osog dega buu A, B, C. Ketiga ruag tersebut dapat digambara sebagai beriut. Bawah tegah atas Jia ruag pertama diisi dega salah satu dari etiga buu A, B, C maa aa terdapat tiga emugia cara utu megisiya. Ii berarti utu yag palig bawah ita dapat megisi dega memilih satu diatara tiga buah buu. Setelah meletaa satu buu pada loasi palig bawah maa ita haya dapat megisi ruag edua dega dua cara saja, area haya sisa dua buu saja yag dapat diguaa utu megisi ruag edua. Karea dua buu sudah diletaa maa utu pegisia ruag e tiga masih tersisa satu buu saja. egguaa prisip peralia maa hasilya etiga ruag tersebut dapat diisi dega 6 cara. Dari cotoh tersebut peyusua secara teratur berarti peyusua atau pegatura suatu elompo obje dalam suatu uruta (order) tertetu. Uruta peyusua atau pemiliha merupaa ciri has dari masalah permutasi. Defiisi 5.6. Permutasi sejumlah obje adalah peyusua obje tersebut dalam suatu uruta tertetu. Beriut aa dibicaraa terlebih dahulu permutasi dari obje yag berbeda tapa pegembalia obje yag telah terpilih. PERUTASI DARI -OBJEK YANG TERPILIH Dari cotoh peyusua buu diperoleh cara meyusu tiga buah buu yag berbeda adalah 6 cara, secara umum utu obje berbeda dapat dipermutasia dalam ( )( )...()()()! cara yag berbeda.
Defiis 5.7. Bila meyataa bilaga bulat positif maa hasil peggadaa bilaga tersebut dari sampai dega diamaa fatorial da dilambaga dega!. Teorema 5.8. Permutasi dari eseluruha obje yag berbeda adalah jumlah cara peyusua dari suatu elompo yag terdiri dari obye yag berbeda edalam sebaya ruag, secara eseluruha mejadi! da dilambaga sebagai P (, )! PERUTASI SEBANYAK r DARI OBJEK Defiisi 5.9. Pegatura atau peyusua sebaya r obye yag diambil dari suatu elompo obye yag terdiri dari obye yag berbeda diamaa permutasi sebaya r dari obje yag berbeda dimaa r da secara simbolis permutasi tersebut diotasia sebagai P (, r ). Teorema 5.0. Jumlah permutasi sebaya r dari obje yag berbeda dimaa! pegambila r tapa pegulaga adalah P(, r). ( r)! r da Cotoh 5.. Dari 7 orag aa aa disusu suatu peragat elas yag terdiri dari etua, seretaris da bedahara. Berapa cara yag dapat dilaua utu memilih peragat elas tersebut? Persoala ii dapat diselesaia dega permutasi. Dari soal dietahui 7 da r. Jadi 7! 7! bayaya cara memilih peragat elas adalah P( 7,) 0cara. (7 )!! PERUTASI KELILING (CIRCULAR PERUTATION) Defiisi 5.. Permutasi suatu elompo obje yag membuat suatu ligara diamaa permutasi elilig (Circular Permutatio). 7
Bila suatu elompo obje disusu secara teratur dalam sebuah ligara maa permutasi obje yag bersaguta sebetulya haya mempersoala edudua relatif obye-oye bila melitasi ligara dalam syarat tertetu. Peyusua obye A, B, C dalam susua meligar beriut diaggap sama. Gambar 5.. Dalam persoala tetag permutasi elilig, hal yag terpetig adalah edudua obje yag tertetu relatif terhadap obje yag lai. Utu mecari jumlah permutasi dalam susua elilig tersebut ita harus berusaha meetua terlebih dahulu edudua salah satu obje secara tetap. Kemudia dilajuta meghitug jumlah permutasi dari obye yag lai seperti apabila obye tersebut tersusu berjajar. Teorema 5.. Permutasi elilig dari obye apabila obye tersebut disusu dalam sebuah ligara dapat disusu secara teratur dalam ( )! cara. Teorema 5.. Permutasi elilig r dari obye apabila r obye tersebut disusu dalam sebuah! ligara dapat disusu secara teratur dalam P(, r) cara. r( r)! Cotoh 5.5. Ada orag yag aa dudu di dalam tiga buah bagu yag disusu meligar di tama. Ada berapa macam cara posisi dudu yag dapat dilaua apabila disyarata bahwa jia peempata yag diperoleh dari peempata lai dega memidaha seseorag r tempat dudu searah jarum jam, peempata tersebut diaggap ideti? Terlebih dahulu ita yataa eempat orag tersebut sebgai A, B, C, D. Karea peempata yag diperoleh dega rotasi diaggap sama maa lagah pertama ita bisa meempata A secara
sembarag. Utu meempata dari orag sisaya ita bisa meguruta merea emudia meletaaya dalam uruta searah jarum jam dari A. Utu meempata dari orag dapat diperoleh dega sebaya C(,) cara. Berarti ada posisi yag sama (ideti). Sedaga utu memilih diatara orag dapat dilaua dega sebaya P(,) cara. Jadi bayaya cara dudu meligar yag dapat dilaua oleh eempat P(,) orag tersebut adalah 8 cara. PERUTASI SEBANYAK r DARI OBJEK DENGAN PENGEBALIA OBJEK YANG TERPILIH Teorema 5.6. Permutasi sebaya r dari obje dega pegembaliam obje yag terpilih adalah jumlah permutasi dari suatu elompo yag terdiri dari obye da yag diambil sealigus sebaya r dega pegembalia obje yag telah terpilih dilambaga dega R r (, r) dega etetua r da merupaa bilaga bulat positif. PERUTASI SEBANYAK r DARI OBYEK YANG TIDAK SELURUHNYA DAPAT DIBEDAKAN Secara ituitif jumlah pemiliha obye yag dapat dibedaa tetuya lebih baya dari pada jumlah pemiliha dimaa terdapat beberapa himpua obye yag sama (tida dapat dibedaa). isalya umpula { a a, a}, terdiri dari usur yag tida dapat dibedaa haya dapat dipermutasia dalam cara saja. Sedaga apabila ita bedaa usur himpua tersebut mejadi {, a a } a maa jumlah permutasiya aa mejadi sebaya!, 6. Jadi apabila dibadiga maa jumlah permutasiya berurag higga /6 dari jumlah semula apabila himpua { a, a a } diubah sedemiia higga mejadi { a a, a},, sehigga tida bisa dibedaa dari aggota himpua yag satu dega aggota himpua yag lai. Teorema 5.7. Jia terdapat suatu elompo yag terdiri dari obye dimaa merupaa umpula obje yag sama, merupaa umpula obje yag sama, da seterusya higga merupaa umpula obje yag sama, sedaga... maa jumlah 9
permutasi dari obye yag meliputi seluruh obye di atas adalah sebaya L!!! L! Cotoh 5.8. Dalam berapa caraah ata ISSISSIPPI dapat dipermutasia? ISSISSIPPI tersusu dari huruf yag terdiri dari, I, S da P. Dega sediriya diperoleh,,,, da. Jadi permutasi huruf di atas diperoleh: KOBINASI!!!!! 650 cara. Perbedaa dasar atara permutasi da ombiasi terleta pada diperhatia atau tidaya suatu uruta dalam pemiliha seragaia obye. Permutasi memberia teaa pada uruta pemiliha sedaga ombiasi tida memperhatia uruta pemiliha. Defiisi 5.9. Kombiasi dari sejumlah obje merupaa cara pemiliha obje yag bersaguta tapa memperhatia uruta obje itu sediri. Susua ABC, BAC, ACB, BCA, CAB da CBA diaggap sama. Cotoh 5.0. Terdapat empat mata uliah yag ditawara epada Adi. Karea IP-ya ecil, Adi haya bisa megambil dua dari empat mata uliah yag ditawara. Ada berapa cara pemiliha yag dapat dilaua oleh Adi? Cara : isala empat mata uliah tersebut diberi ama dibetu pasaga sebagai beriut:,, da. Dapat,,,
,,,,, Jelas terdapat sebaya pasaga dari uruta ii. Tapi area adaya pasaga yag sama mucul dua ali maa diperoleh bayaya pemiliha adalah 6 cara. Cara : Dibetu pasaga sebagai beriut:,,,,,, } Pasaga ii dapat ditulis sebagai 6 6 cara. Jia diperluas maa diperoleh ) ( cara. Utu pegambila tiga mata uliah diperoleh daftar sebagai beriut:,,,,. Jadi bayaya pasaga beruruta yag diawali dega adalah buah yaitu },.
Jadi bayaya pasaga beruruta yag diawali dega adalah buah. Jadi. Secara umum maa diperoleh persamaa r r L r r r r r r Iilah yag disebut pemiliha sebaya dari obye yag berbeda. KOBINASI SEBANYAK r DARI OBJEK YANG BERBEDA. Defiisi 5.. Pemiliha suatu elompo terdiri dari r obye yag mugi dipilih dari suatu elompo yag terdiri dari obye berbeda tapa memperhatia uruta pegambila dega 0 < r < disebut ombiasi r dari obye da diotasia C(, r) atau. r isala r merupaa bilaga bulat o egatif. Dega suatu ombiasi- r himpua S dega aggota, dimasud sebagai suatu pemiliha ta terurut dari r obye dari aggota S. Dega ata lai, suatu ombiasi- r dari S merupaa himpua bagia dari S dega r aggota. Jia S { a, b, c, d} maa { a, b, c}, { a, b, d}, { a c, d} { b c, d},,, merupaa empat ombiasi- dari S. Notasi C (, r) meujua jumlah ombiasi-r himpua dega aggota. Sehigga jia r > maa C (, r) 0!. Jia 0, da r merupaa bilaga bulat positif, maa C ( 0, r) 0. Utu alasa emudaha lebih lajut dibuat suatu esepaata bahwa C ( 0,0). Teorema 5.. Kombiasi sebaya r dari obye yag berbeda adalah jumlah ombiasi dari obye yag berbeda da yag dipilih sealigus sebaya r adalah! r. r!( r)!
Tiap ombiasi dari obye yag berbeda da yag diambil sealigus sebaya r aa meciptaa sebaya r! permutasi area tiap elompo yag terdiri dari r obye tersebut dapat dipermutasia diatara merea sediri dalam r! cara. Oleh area itu diperoleh P(, r)! bahwa r! P (, r). Jadi, dega 0 < r <. r r r! r!( r)! Cotoh 5.. Diberia himpua bilaga H {,,,,, 00}, ada berapa cara memilih bilaga diatara aggota himpua tersebut sehigga jumlahya habis dibagi tiga. Solusi Betu himpua-himpua bagia H dega aggota-aggotaya jia dibagi tiga aa bersisa sebaya bilaga. Diperoleh : H 0 {, 6, 9,, 5,, 00} H {,, 7, 0,,. 98} H {, 5, 8,,,, 99} Pegambila bilaga yag jumlahya habis dibagi tiga dapat dilaua dega cara : - pilih diatara aggota-aggota H 0 diperoleh sebaya - pilih diatara aggota-aggota H diperoleh sebaya 00 cara 00 cara - pilih diatara aggota-aggota H diperoleh sebaya - pilih aggota H 0 diperoleh sebaya 00 cara, 00 cara
pilih aggota H diperoleh sebaya 00 cara, pilih aggota H diperoleh sebaya 00 cara. Karea terjadi bersama-sama dega megguaa prisip peralia diperoleh pegambila sebaya 00 00 00 00 cara. Jadi total cara memilih tiga bilaga sehigga jumlahya habis dibagi tiga adalah 00 00 00 00 00 00 9850000 cara. Teorema 5.. Utu setiap r berlau r r. Hal ii dapat dilihat pada tabel ombiatorial beriut: Tabel 5.. 0 5 0 - - - - - - - - - - - - - - 6-5 5 0 0 5
5 Pada baris e- :. Pada baris e-5 : 0 5 5 5 5. Teorema 5.5. Adaia da r adalah dua bilaga bulat yag memeuhi ) ( r maa berlau bahwa : r r r. TEOREA BINOIAL DAN ULTINOIAL Teorema Biomial Sebelum ita membahas tetag Teorema Biomial, aa dipereala dulu tetag Koefisie Biomial. Koefisie Biomial disusu berdasara defiisi ombiatori. Hasil susua dari ombiatori yag bersesuaia dalam tigat orde tertetu dalam oefisie biomial aa meyusu segitiga Pascal. Selajutya osep segitiga Pascal tersebut dipaai utu meyelesaia asus yag lebih omples. Dari teorema-teorema dalam sub bab ombiasi sebelumya diperoleh tabel beriut: 0 5 0 - - - - -. - - - -.. - - -.. - -.. 6 -.. 5 5 0 0 5. Pasaga r ii disebut oefisie biomial. Pasaga r bisa disusu dega susua beriut yag emudia dieal sebagai segitiga pascal.
6 5 0 0 5 5 Batas dari segitiga itu terdiri dari bilaga-bilaga da ilai-ilai di dalamya merupaa hasil pejumlaha dari dua bilaga diatasya, idetitas yag dihasila dari suatu proses peghituga tersebut idetitas ombiatorial, da argume yag megarah pada pembetuaya disebut argume ombiatorial. Utu selajutya aa dibahas tetag Teorema Biomial. Teorema 5.6. (Teorema Biomial) Jia adalah bilaga bulat positif, maa utu setiap a da b dipeuhi persamaa ( a b) 0 a Cotoh 5.7. b. Jabara ( x y) dega megguaa teorema biomial. Jawaba : sesuai dega teorema biomial, ita ambil maa ita dapata : a x, b y da,
7 ( ) ( ) b a y x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 6 96 6 6 8. 6.. 0 0 y xy y x y x x y y x y x y x x y x y x y x y x y x b a b a b a b a b a Cotoh 5.8. Carilah oefisie dari 5 b a dalam pejabara ( ) 9 b a. Solusi : suu yag melibata 5 b a mucul dalam teorema biomial dega megambil 9 da 5 5 6 9 b a b a b a Sehiga oefisie dari 5 b a adalah 6. Bertiut persamaa-persamaa yag merupaa hasil pegembaga teorema Biomial.. 0. dega....... 0....... 5 5. r r 0
0 6. r r r... r r yag berseawa dega r r 0... Teorema ultiomial r r Berapa baya bilaga yag terdiri dari 0 digit dapat dibuat dega megguaa bilaga,,,,,,,,,? Bayaya cara meempata 0 bilaga e dalam 0 tempat dapat dilaua dega 0! cara. Aa tetapi bilaga-bilaga tersebut dapat dielompoa e dalam gologa yaitu bilaga ada buah, bilaga ada buah, bilaga ada buah da bilaga ada buah. Karea uruta bilaga yag sama dalam satu gologa memilii ilai yag sama maa 0! harus dibagi dega bayaya cara 0! peempata bilaga,, da. diperoleh. 600 cara. Cara lai yag dapat di!!!! tempuh adalah dega megguaa ombiasi yag diperumum yaitu: - eletaa bilaga e dalam 0 ota dapat ditempuh dalam 0 cara. - eletaa bilaga e dalam 6 ota yag tersisa dapat ditempuh dalam 6 cara. - eletaa bilaga e dalam ota yag tersisa dapat ditempuh dalam cara. - eletaa bilaga e dalam ota yag tersisa dapat ditempuh dalam cara. Karea ejadia terjadi bersama-sama maa cara megatur 0 aga tersebut e dalam 0 digit adalah 0 6 0!. 600. Secara umum jia r da!!!!,,, r adalah bilaga bulat dega... r,...,, maa
bayaya cara meletaa II bilaga e dalam r ota adalah!... r!!... r Betu iilah yag di eal sebagai Koefisie ultiomial. Espasi biomial dapat diperumum mejadi espasi multiomial yaitu: ( a a a... ar ) ( a a a... a )...( a a a... a ) r r sebaya ali.... r,... r 0... r a i a... a Sifat Koefisie ultiomial adalah r r.!...... r,... r,... r... r Cotoh 5.9. Tetua oefisie x y z pada espasi ( x z) 6 y. Jawaba Dari soal dietahui 6,,, sedaga oefisie x, y (), da z. Koefisie dari x y z pada espasi ( x z) 6 y adalah 6 6!!.!.! ()( )() ( ) ( 0). Teorema 5.0. (Teorema ultiomial) Utu suatu bilaga bulat positif, maa utu setiap bilaga real X, X, X, X,..., X t aa berlau : ( X X X... X t X )... t t... t X X X... Xt dega syarat 9
Cotoh 5... Expasia betu ( X X sehigga ada dapat meetua 7 X X X 5 ) ( X 5 oefisie X X X ) 7 7! Solusi : oefisie ( X X X X 5 ) adalah 0 0!0!!!!. Bila yag diespasia ( X X X ) 6 maa tetua oefisie 5 X X X. 6 Solusi: oefisieya ( ) ( ) ( 5) 6000. Tetua oefisie x y z pada espasi ( x z) 6 y. Solusi: Dari soal dietahui 6,,, sedaga oefisie x, y (-), da z. Koefisie dari x y z pada espasi ( x z) 6 y adalah 6 6!!.!.! ()( )() ( ) ( 0). PIGEONHOLE PRINCIPLE/PERINSIP SARANG ERPATI Pigeohole Priciple atau Prisip Sagar erpati pertama ali diyataa oleh ahli matematia dari Jerma yag berama Joha Peter Gustav Lejeue Dirichlet pada tahu 8 sehigga prisip ii juga dieal dega istilah Prisip Laci Dirichlet. Jia seawaa merpati terbag edalam suatu himpua sarag merpati dimaa dalam asus ii diasumsia bahwa jumlah merpati lebih baya dari jumlah saragya maa palig sediit dua merpati harus terbag e dalam sarag yag sama. Dega ata lai jia ada 6 burug merpati yag ditempata e dalam 5 rumah, maa salah satu rumah pasti ditempati oleh lebih dari satu burug.
Teorema 5.. Jia di dalam bilaga asli N da atau lebih obye didistribusia e dalam himpua maa palig sediit satu diatara himpuatersebut pasti terdiri dari palig sediit dua obye. Geeralisasi dari teorema tersebut adalah: Jia da adalah bilaga asli da sejumlah obye aa didistribusia e dalam himpua maa palig sediit satu diatara himpua tersebut pasti memuat palig sediit obye. Cotoh 5.. Jia ada 67 orag disuatu ruaga maa palig sediit dua diataraya memilii taggal da bula elahira yag sama. Cotoh.. Jia 5 surat didistribusia e dalam 5 ota surat maa palig sediit satu diatara ota surat tersebut pasti memuat palig sediit sejumlah 0 surat. Beriut aa diberia beberapa cotoh permasalaha yag dapat diselesaia dega megguaa prisip pigeohole. Cotoh 5.5. Seorag pemai catur hadal mempuyai watu miggu utu megiuti turame. Sebagai persiapa ia igi berlatih setiap hari dega memaia sediitya permaia catur (gim), tetapi tida igi lebih dari ali gim dalam semiggu. Butia bahwa ia perah melaua permaia sebaya tepat ali gim dalam beberapa hari berturuta. Solusi: Tulis a sebagai jumlah gim yag dimaia pada hari pertama, a sebagai jumlah gim yag dimaia pada hari pertama da edua, a jumlah gim yag dimaia sampai dega hari etiga da seterusya. Diperoleh barisa bilaga a, a, a, a,...a77 terdiri dari aga yag berbeda-beda da semai memesar. Aga 77 berasal dari latiha selama miggu
(77 hari). Berdasara syarat bahwa setiap muggu tida boleh lebih dari gim maa diperoleh a. Jadi ita memilii barisa 77 a < a < a < a <... < a77 da diperoleh pula a < a < a < a <... < a77 5 Aga diperoleh dari yag diberia. Bilaga a... a77, a, a,... a77, a, a, a, adalah 5 bilaga bulat yag terleta di atara da 5. Oleh area itu ada dua bilaga yag sama. Dua bilaga yag sama ii pasti dalam betu a a utu i j suatu j < i. Oleh area itu pada hari e j sampai hari e i, ahli catur bermai sebaya ali permaia PERINSIP INKLUSI DAN EKSLUSI Berapa baya aggota di dalam gabuga dua buah himpua A da B? Gabuga atara dua buah himpua meghasila himpua baru yag eleme-elemeya berasal dari himpua A da B. Himpua A da himpua B memilii emugia elemeeleme yag sama. Bayaya eleme bersama atara A da B adalah A B. Setiap usur yag sama tida dihitug dua ali, seali pada A da seali pada B, mesi diaggap satu eleme di dalam A B. Karea itu,jumlah eleme hasil peggabuga seharusya adalah jumlah eleme di masig-masig himpua diuragi dega jumlah eleme di dalam irisaya, atau ada berapa aggota dalam gabuga dua himpua higga? A B A B A B
Prisip ilusi-eslusi dapat dirapata utu operasi lebih dari dua himpua, Utu tiga buah himpua A, B, da C, berlau teorema beriut : Teorema 56. isala A, B, da C adalah himpua berhigga, maa C B A berhigga da C B A C B C A B A C B A C B A. Selajutya jia dilaua geeralisasi utu r buah himpua maa aa diperoleh teorema beriut: Teorema 5.7. isala A,A... A r adalah himpua berhigga, maa berlau r r r j i j i r j i j i i i r A A A A A A A A A A A A < < <.. ) (...... Cotoh 5.8. Ada berapa bilaga bulat positif lebih ecil atau sama dega 00 yag habis dibagi 6 atau 9? Solusi: isala A adalah himpua bilaga bulat dari sampai 00 yag habis dibagi 6 da B adalah himpua bilaga bulat dari sampai 00 yag habis dibagi 9. Dega megguaa prisip eslusi, bayaya bilaga bulat dari sampai 00 yag habis dibagi 6 atau 9 adalah B A B A B A 5 6 8 00 9 00 6 00. Cotoh 5.9. Sebaya orag mahasiswa megambil uliah Bahasa Iggris, 879 orag megambil uliah Bahasa Peracis, da megambil uliah Bahasa Jerma. Sebaya 0 orag
megambil uliah Bahasa Iggris da Peracis, orag megambil uliah Bahasa Iggris da Jerma, da orag megambil uliah Bahasa Peracis da Bahasa Jerma. Jia 09 orag megambil palig sediit satu buah uliah Bahasa Iggris, Bahasa Peracis, da Bahasa Jerma, berapa baya mahasiswa yag megambil uliah etiga buah bahasa tersebut? Solusi: isala, I himpua mahasiswa yag megambil uliah Bahasa Iggris P himpua mahasiswa yag megambil uliah Bahasa Peracis. J himpua mahasiswa yag megambil uliah Bahasa Jerma. maa, I, P 879, J I P 0, I J, P J da I P J 09 Dega megguaa prisip ilusi-eslusi diperoleh: I P J I P J I P I J P J I P J memberia 09 879 0 I P J sehigga I P J 7. Jadi, ada 7 orag mahasiswa yag megambil etiga buah uliah Bahasa Iggris, Peracis, da Jerma. SOAL-SOAL LATIHAN. Bayaya bilaga bulat positif di atara 00 da 000 yag merupaa elipata dari 6 atau 7 tetapi tida eduaya adalah. Dari lomba matematia asioal yag terdiri dari peserta lai-lai da perempua yag jumlahya urag dari sama dega 006 peserta. Jumlah peserta lai-lai lebih baya dari peserta perempua. Jia peluag juara da adalah dari jeis elami yag sama adalah ½, berapa jumlah peserta perempua?. Betu sederhaa dari, dega! adalah... ( )!!
. A, B, C da D bersama-sama bermai bridge. Setiap pemai dibagia artu. Bayaya emugia pembagia artu jia A da B memilii semua artu As adalah 5. Diberia sebuah segi sepuluh oves dega sifat tida ada tiga diagoalya yag berpotoga pada satu titi di dalam daerah segi sepuluh tersebut. Dapat dibagi mejadi berapa ruas garisah diagoal-diagoal itu oleh titi-titi potogya? 6. buah beteg disebar pada papa catur beruura 8 8. Butia bahwa dapat diambil 5 beteg dega sifat tida ada di atara merea yag salig meyerag. 7. Nomor telepo di Kota alag terdiri dari eam aga. Bayaya omor telepo di ota itu yag habis dibagi 5 adalah... 8. Lima orag pemuda pergi berereasi megguaa sebuah mobil. obil yag diguaa memilii tempat dudu di depa (termasu pegemudi) da tempat dudu di belaag. Dari elima orag pemuda tersebut haya dua orag yag bisa mejadi pegemudi. Baya cara merea dudu adalah... 9. Sebuah elompo terdiri dari 005 aggota. Setiap aggota memegag tepat satu buah rahasia. Setiap aggota dapat megirima surat epada aggota lai maapu utu meyampaia seluruh rahasia yag telah dipegagya. Bayaya surat yag perlu diirima agar semua aggota elompo megetahui seluruh rahasia adalah. 0. Di dalam sebuah ota terdapat buah bola, masig-masig beromor,, da. Aggi megambil sebuah bola secara aca, mecatat omorya da megembaliaya embali e dalam ota. Hal yag sama ia laua sebaya ali. isala jumlah dari eempat omor bola yag terambil adalah. Berapaah peluag bahwa bola yag terambil selalu beromor? 5
EBENTUK ODEL ARITATIKA/ATEATIKA Dalam problem solvig, serigali diperlua tahapa pemodela masalah yag sebagia megguaa model matematia/aritmatia da meyederhaaaya sehigga mejadi model yag lebih sederhaa da siap diomputasia dalam betu algoritma. odel yag tida tepat beraibat pada egagala dalam pemecaha masalah. Cotoh:. Uag Amir lebih baya dari uag Ali. Jia dijumlaha uag eduaya lebih dari 50 ribu rupiah, semetara selisih uag Amir dega uag Ali lebih dari 0 ribu rupiah. Berapaah uag Amir yag palig tepat? odel permasalaha: Uag Amir x, Uag Ali y, da dari desripsi diatas diperoleh: Pers-I : x > y Pers-II : x y > 50.000 Pers-III : x y > 0.000 Pers-I da Pers-III meghasila Pers-IV : x y > 0.000 Jia Pers-II da Pers-IV dijumlaha meghasila: x > 80.000. aa, x > 0.000. Seorag igi memasag ila sebaya baris utu mejual baragya. Utu hari pertama ia harus membayar Rp 50,- tiap baris. Utu 5 hari beriutya ia harus membayar Rp 50,- tiap baris, da utu sehari-hari beriutya ia harus membayar Rp 00,- tiap baris. la membayar Rp 6.000,-. Berapa hari Ila itu dipasag?. Persis tiga tahu sebelum Aisa lahir adalah tahu 980-x. Jadi ulag tahu e-0 Aisa jatuh pada tahu?. Tiga orag diberi tugs. asig- masig dari merea dibayar Rp. 75,-, Rp. 00,-, Rp. 5,- tiap jamya. erea meerima uag sebesar Rp. 6.000,- setelah meyelesaia
tugas tersebut. Bila merea beerja 7 jam dalam sehari. Da 6 hari dalam semiggu. Berapa migguah tiga orag tersebut beerja... 5. Sebuah tes diiuti oleh 60 siswa da ilai dari 0 sampai dega 00, haya siswa yag medapat ilai lebih besar atau sama dega 80. berapa ilai rata rata terecil yag mugi bagi e 60 siswa? 7
KONTEKS ASALAH Kotes dari soal perlu diperhatia da otes tersebut adag adag haya tersirat saja. Yag dimasud dega otes di sii adalah pemahama umum aa sesuatu yag sewajar ya dietahui pula. Cotoh: Jia loceg berdetag setiap deti, dalam jumlah detag yag sesuai watu yag dituju a, maa tepat pada puul berapa detag terahir yag meujua jam 6? Apaah puul 6:00:06? Salah, seharusya puul 6:00:05 area detagdetag tsb pada puul 6:00:00, puul 6:00:0, puul 6:00:0, puul 6:00:0, puul 6:00:0 da puul 6:00:05!! Kotes disii adalah detag pertama terjadi pada tepat puul 6, da peomora deti/meit dimulai dari 0,,... dst.
BERPIKIR SECARA CERDAS Jia meghadapi suatu masalah omputasi yag elihataya tida mugi, pasti ada sesuatu di bali itu!! Dapatalah dega batua pemahama aa sifatsifat operasi aritmatia utu medapata model matematis yag lebih sederhaa. Cotoh Soal : Berapa digit terahir dari 5055? Solusi: Dega megubah,, dst, perhituga meghasila deret, 9, 7, 8,, 79, 87, 656, 968 dst. Amati aga terahir dari setiap bilaga, ita medapata perulaga dari 9 7 pada mod 0,,,. Jadi jia 5055, diperoleh 5055 mod, yaitu memilii digit terahir 7. (Bisa dilihat pada pembahasa digit terahir di teori bilaga) Cotoh Soal : Ketiga digit awal dari hasil peralia 00 x 5005 jia dijumlaha adalah? Solusi: lihat pada materi digit terahir di teori bilaga Cotoh Soal : Tetua pejumlaha.!.!.!... (-).(-)! Diyataa dalam dega! (-)(-)..... Solusi: 9
LATIHAN SOAL ARITATIKA DAN KOBINATORIKA. Seorag igi memasag ila sebaya baris utu mejual baragya. Utu hari pertama ia harus membayar Rp 50,- tiap baris. Utu 5 hari beriutya ia harus membayar Rp 50,- tiap baris, da utu sehari-hari beriutya ia harus membayar Rp 00,- tiap baris. la membayar Rp 6.000,-. Berapa hari Ila itu dipasag?. Persis tiga tahu sebelum Aisa lahir adalah tahu 980-x. Jadi ulag tahu e-0 Aisa jatuh pada tahu?. Suatu seri aga terdiri dari 0 8 8 aga selajutya adalah:. Selisih atara bilaga terbesar da terecil dari bilaga yag terbetu dari aga (digit) yag dapat dibuat yag habis dibagi adalah : 5. ari berusia 5 tahu lebih tua dari pada Joi. Joi berusia tahu lebih muda daripada Parto. Berapa tahuah ari lebih tua dari Parto? 6. Joo mempuyai uag sebaya setegah dari uag Boo. Jia Boo memberia Rp. 5,00 epada Joo, maa Joo aa mempuyai uag Rp.,00 lebih sediit daripada uag terahir Boo. Berapaah jumlah uag merea? 7. Seorag Pedagag membeli buu dari peyalur di awasa Pasar Ciapudug, Badug seharga Rp. 6.000, dia harus meyisaa biaya ogos sebesar 0%. Selai itu dia juga harus meyisaa eutugasebesar Rp. 9.000 per b uuya. Harga jual buu tersebut aa ai berapa perse jia dibadiga harga beliya? 8. ((80x79x...xx) (8x7x...xx))/((77x76x...xx) (0x9x...xx))... 9. Ibu Dia sedag mecoba utu membua usaha baery disebuah ruo di perumaha elit di awasa Cibubur. Dari resep yag ia pelajari, utu suatu campura adoa browies uus diperlua ½ cagir terigu da ½ cagir air. Bila teryata sisa tepug terigu yag tersisa di lemari tiggal ¾ cagir, berapa cagirah air yag diperlua? 0. Berapa baya segi empat yag terbetu dari tabel beruura x?. Jia adalah sebuah bilaga bulat gajil, maa peryataa yag bear adalah: (i) pasti gajil (ii) pasti geap (iii) pasti gajil (iv) pasti geap